книги / Моделирование и автоматизация проектирования силовых полупроводниковых приборов
..pdfвенства |
|
• U -^ ,)- « U - W " ,)= < 7 f 'M x. |
(3.81) |
выражающего непрерывность электронного тока в интересующей нас области [ - W /, — W{\.
Таким образом, задача сводится к вычислению плотностей то ков в соответствующих областях структуры. При вычислениях бу дем считать совпадающими пороговые значения концентрации легирующих примесей NCk=N c, определяющих снижение подвиж ностей носителей заряда (3.78) и времен их жизни (3.80). Это существенно упростит математические вычисления, не исказив фи зического смысла получающегося результата. Кроме того, будем рассматривать случай, когда граничная точка — Wc, в которой на чинается изменение параметров, расположена правее точки — U7, (см. рис. 3.12). Этот случай наиболее интересен, так как соответ ствует / > 10 А/см2.
В области низкого уровня инжекции (— Wp^ x ^ — W\) урав нение непрерывности для электронов в соответствии с результа тами предыдущего параграфа имеет вид
d2(n — n0) |
|
М л |
, |
1 |
dfln |
q |
d (A E ')'\d(n |
|
|
||
|
|
dx |
' |
|
dx |
kT |
dx |
j1 |
, |
|
|
|
1 |
dfi„ |
1 |
dNA |
d |
( |
1 |
dNA |
|
|
|
L,? (х) |
|
|
+ |
|
|||||||
Mix |
d x |
N A |
dx |
dx |
\ *A |
dx |
|
||||
q < P (A £ j) |
] |
d«n |
q |
d^Ecg) |
|
|
|
|
|||
+ hT |
dx2 “ + |
y.,i |
dx |
kT |
^ ] ( n |
- « . ) = |
0, |
(3.82) |
где L2n(x )= D n (x)r„ (x) .
С учетом (3.75), (3.78) и (3.79) уравнение (3.82) приобретает
вид |
|
|
|
d2( n - n 0) |
|
|
2qVi \d(n-n9) |
dx2 |
|
|
dx |
|
|
|
(3.83) |
- ( ■ w + v - t ' - ' - ® - ) ) 1— |
|||
Решение (3.83) с граничными условиями |
|||
л| _ _= |
n( |
^ i) |
|
p |
|
|
|
может быть записано следующим образом: |
|||
п(х) = и(— Г , ') е х р [ т |
( |
* |
(Х+ Г >’>] (тГ,(’£ г ) - (3-84) |
6— 6393 |
81 |
где Kv{z) - |
функция Макдональда; z = |
(2/XnynLnB){NA (x)lNc)v *‘>z’~ |
||||||||||||||||
значение |
z |
в |
|
точке |
x = — W\; |
Тк = |
а«+Р л; |
v = ( l + |
art- |
|||||||||
— 2(qVJkT))/yn; |
LnB~ |
значение |
диффузионной |
длины электронов |
||||||||||||||
в базовом |
слое. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Плотность |
электронного |
тока |
в |
точке |
х = — W\ |
зависит от |
||||||||||||
соотношения |
|
параметров |
|
структуры. |
При |
|
z '> l , |
т. |
е. |
|||||||||
кпупЬп(—Wi') < 2 , |
что |
соответствует |
высоким |
плотностям |
|
тока |
||||||||||||
( / > 10s А/см2), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
] |
( - Г,-) =, --У ''* ' |
|
|
|
С”(~ |
*У >) 1’ |
а")Я |
(3.85) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
Lttb |
|
|
|
V |
Ne |
} |
|
|
|
|
|
|
При z '< 1, т. е. при xnynLn{—Wl')> 2, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
<lDribNc |
к^п |
ttnv |
/ |
|
Г ( — v) |
\ |
/ n ( - U |
Y ) \ 1 + V'r» |
||||||||
|
|
|
Lnb |
|
|
|
|
\ |
|
T(v) |
) { |
|
Nc |
) |
(3.86) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где T(v) — гамма-функция Эйлера. |
|
|
|
при принятых значе |
||||||||||||||
При выводе |
(3.86) учитывалось, что v < l |
|||||||||||||||||
ниях параметров |
ал^0,25, |
pn^l,67, |
У=0,009 |
В, 7 = 3 0 0 К. |
А /см 2, |
|||||||||||||
Из (3.86) |
следует, |
что |
в |
области |
|
плотностей |
токов, |
|||||||||||
1 0 < /< 2 -1 0 3, |
которая |
при |
типичных |
значениях |
Ncc* 1016 |
|
см-3, |
|||||||||||
Ял_1^5-*-10 |
мкм, |
^лв^Ю 2 мкм |
соответствует |
неравенствам |
||||||||||||||
(Я„уд7лБ)/2 > |
(Na (— Wx)INc)yn/2>\, |
плотность |
тока |
электронов, |
||||||||||||||
текущих из |
/г-базы |
в р-эмиттер, оказывается пропорциональной п'1, |
где fe=l+V Y n—an= 2 —2qV{/kT. Таким образом, условиеk=£2 опре деляется сужением ширины запрещенной зоны, но не снижением подвижности или времени жизни носителей заряда в сильнолеги рованных слоях.
Условие %nynLn{—W V)> 2 |
позволяет |
оценить рекомбинацион |
||||||
ный ток в области [— W/, —Wt], Используя |
(3.75) и (3.77), лег |
|||||||
ко показать, что при |
(Р„+1)/2 |
|
|
|
|
|
||
И < |
NA( - Wx') |
|
|
|
|
(3.87) |
||
У д(-^1) |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||
рекомбинационный ток можно оценить сверху как |
|
|
||||||
|
h |
= q J |
Rdx < |
■ |
(Ц7/ — Wx). |
|
(3.88) |
|
Неравенство |
(3.88) |
с учетом (3.86) |
может |
быть |
преобразова |
|||
но к виду |
|
|
|
|
|
|
|
|
JR< J n( - Г / ) |
|
|
/ _ |
r ( - v ) \ |
(3.89) |
|||
|
|
|
^ Y n M -W V ))20-0 I |
r(v) |
/ |
|
82
Из (3.89) |
следует, что JR< J n(—Wi') яри |
|
||
|
|
|
|
<3-90> |
Подставляя (3.90) |
в (3.87) |
и учитывая, что XnynLn{Wl')> 2 , |
||
получаем, что при |
|
|
|
|
|
и < х 0 = ехр |
|
|
|
значение JR оказывается малым по сравнению |
с / п(— Wy')t и |
|||
им можно пренебречь в условии |
(3.81). |
|
||
Физически это означает^ что подавляющее большинство нерав |
||||
новесных |
носителей |
заряда |
рекомбинирует в |
области [—Wp, |
— W\], где происходит сильное уменьшение времени жизни. Выражение, определяющее плотность электронного тока в об
ласти высокого уровня инжекции, т. е. при x > —Wu может быть легко получено из (3.15). Исключая из этих выражений поле Е и пользуясь условием нейтральности, получаем
Jn= |
J— — \ -qD {x)-^ --q D (л) п |
S - , |
(3.91) |
|
' |
Ь + \ ^ 4 к } dx |
4 к ' |
dx kT ' |
|
|
Dn(x) Dp(x) |
|
|
|
где p lJ) = 2 |
r.(,)+ p,w - |
|
|
|
Подставив |
(3.86) и (3.91) в (3.81) и воспользовавшись тем об |
стоятельством, что при выполнении неравенства (3.90) концентра-
ции_/г(— W\) |
и л(— Wi) |
связаны соотношением |
[3.37] n(—Wy)= |
||||
= Укл(— W\), получим граничное условие в точке x = —Wy |
|
||||||
dn |
Ь |
J |
|
fsn |
( ni-WJ |
+ |
|
dx |
b + 1 |
q D { - W ,) |
^ |
qD( — \V/1) |
^ ni0 |
||
|
|||||||
|
qnj-W j |
|
| |
|
(3.92) |
||
|
|
kT |
dx |
1х= -пч’ |
|
||
|
|
|
|
||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( _ |
Г ( - у ) \ |
|
|
|
k = |
1 |
Ф'*Ыс |
^ |
r(v) > |
|
|
Для сопоставления полученного граничного условия с имею щимися в литературе данными необходимо перевести его в точку * = 0 . Для этого необходимо, решив уравнение непрерывности в областях [— W\, — И7С], [—WCt 0], найти связь* между n(—Wy) и
п (0 ),-^ -1 |
и — I .При решении было учтено следующее. |
dx JJC= —1^ж |
dx lx=0 |
Во-первых, при /г^ 2 ‘ 103 А/см2 концентрация n(—Wi) <:5-1017 см-3, что с учетом (3.77) соответствует NA (— W i)^ 1017 см~3. При таких концентрациях легирующих примесей AEgc=0, поэтому при реше-
6* |
83 |
нии уравнения непрерывности в указанных областях пренебрегаем третьим слагаемым в правой части (3.91).
В этом случае решение уравнения непрерывности в области вы сокого уровня инжекции имеет вид
n { x ) = e x p ^ { x + W c)[A]v,,{z)-\-BKv„{z)] |
при —№ \ < л < - Г с, 1 |
|
п{х) = С exp ( —х/ЬБ) |
при — |
J |
|
|
(3.93) |
где v " = a /(a + P ), у = а + р , z=2/%yL(x). |
собственные |
свойства |
Отметим, что поскольку нас интересуют |
||
р — п перехода при нахождении решения |
(3.93) мы ограничились |
рассмотрением структуры с толстой базовой областью Wn/Ln > 2 . Константы А, В и С определяются очевидными в данном случае граничными условиями
4т— г, = |
n { ~ W c - 0 ) = n { - w e + С), |
|
Jn(~Wc~0) = ] a( - W c + 0). |
Простые преобразования выражений (3.93) с учетом граничных условий и использованием того, что zc<.z\<.\, позволяют найти следующие соотношения
(3.94)
n i -W J ^ n i- W ') = я(0)exp (WJLs).
Подставляя (3.94) в (3.92), получаем граничное условие
Отметим, что если граничная концентрация N0) определяющая начало сужения запрещенной зоны [см. (3.80)], велика, то схема расчета может несколько усложниться. Область низкого уровня инжекции — Wp<£Lx^— W/ необходимо разбивать теперь на две части. В первой из них при — WP^ X^LW " сужение запрещенной зоны имеет место и уравнение непрерывности имеет вид (3.82).Во второй части области при — W\"<Lx<L— W\ концентрация леги рующих примесей меньше No и AEgc= 0 . Распределение носите лей заряда в области низкого уровня инжекции определяется те-
84
перь. решениями в каждой из двух указанных частей, сшитыми в точке x = —W ", причем условием сшивки является непрерывность концентрации и тока электронов в этой точке. В общем виде рас чет приводит к громоздким выражениям. Однако в случае, когда область —Wi'\ широка, а именно W " — Wi>2/Xnya, формулы для плотности электронного тока вблизи точки х= —WY существенно упрощаются, и это позволяет получить граничное ус ловие в виде
dn |
-г |
ь |
|
' qO {-w t) + |
Jsn |
(n -W J f |
||
dx |
: ~ 6 + |
l |
q D ( - T J |
л»о |
J |
|||
где k = |
2; v |
1 + «Я . |
|
I |
<*DnbNi |
'( Г( — у)/Г(у)) |
( nt0\k |
|
f t d V |
|
J |
(W ^ B)2'" ' |
\ Nc J ’ |
||||
|
|
|
||||||
Как видим, |
(3.92') |
можно получить из (3.92), положив AEgc== |
||||||
==0. Это |
означает, что |
|
при достаточной удаленности |
точки х = |
= —Wi от области, где существенно сужение запрещенной зоны, влияние этого эффекта на граничное условие оказывается прене брежимо малым.
Полученный результат легко сравнивать с экспериментальны ми данными. Согласно результатам [3.26] вплоть до плотностей тока /= 5 0 0 А/см2 показатель k=2. Это может означать только то, что сужение ширины запрещенной зоны становится сущест венным в областях с большими концентрациями легирующих при месей, расположенных столь далеко от точки х= —Wi при / = = 500 А/см2, что практически эффект сужения ширины запре щенной зоны не влияет на распределение носителей заряда в ба зовом слое и прилегающей к нему области эмиттера.
Экспериментальные данные, представленные в [3.39], позво ляют предположить, что область плотностей тока, в которой k =
= 2, продолжается вплоть до значения /^ 8 0 0 |
А/см2. Однако дан |
ные эти недостаточно подробны, и поэтому |
область плотностей |
тока /> 5 0 0 А/см2 нуждается в дополнительном исследовании. |
|
Таким образом, граничное условие, определяющее распределе |
ние носителей заряда в базовом слое структур с диффузионными р-п переходами имеет вид, отличающийся от граничного условия в резком р-п переходе. В граничной точке х = — WCt в которой на чинается изменение физических параметров полупроводника, со
гласно (3.92), |
(3.94) |
оно может быть записано в виде |
|
|
||||
dn I |
_ _ |
____ / |
| Ап |
/ я( — W ) \k |
(3.96) |
|||
dx |
\*=-wc ~~ |
ь + 1 |
<lDB |
[ n.Q |
) |
|||
|
и отличается от известного условия Флетчера [3,23, 3.24], во-пер вых, зависимостью тока насыщения от параметров эмиттерного слоя, во-вторых, показателем степени k. При не очень больших плотностях тока влияние области, в которой существенно суже ние ширины запрещенной зоны, мало и k=2. Интересно то, что условие 1гф2 определяется именно эффектом сужения ширины запрещенной зоны, а не снижением подвижности и времени жиз-
ни носителей заряда в силытолегированных слоях структуры. При вычислениях мы не конкретизировали численные значения коэф фициентов ап и >рп в (3.78) и (3.79). Значение k от ап и рп не за висит. В то же время учет изменения подвижности и времени жиз ни носителей заряда по толщине диффузионного слоя в сущест венной мере определяет сам вид граничного условия. В этом легко убедиться, сравнив (3.9,6) с результатом, полученным в рам ках простейшей модели [3.37], в которой считалось хп= const и Pn— const по ширине эмиттерного слоя. Граничное условие, опре деленное в [3.37], имеет вид
dn I |
/(1 — Y(fr + |
D ) |
/ 3 9 7 v |
dx 1х= -1Г , |
2bqDp |
' |
K ' 1 |
где -y=const — коэффициент инжекции перехода, связанный про стой, но громоздкой формулой с физическими параметрами слоев.
Качественно полученный результат легко понять. Снижение коэффициента инжекции эмиттерного р+-п перехода означает воз растание тока электронов из я-базы в р+-эмиттер. Непосредствен ными причинами, вызывающими это, являются либо снижение времени жизни носителей заряда в эмиттере, приводящее к воз никновению градиента неравновесных электронов, а следовательно, и диффузионного электронного тока, либо возникновение эф фективного электрического поля за счет сужения ширины запре щенной зоны, вызывающего дрейфовый ток электронов в эмит тер. На эти токи, естественно, влияет координатная зависимость коэффициентов Dn(x) и Ца(х). Именно эти причины приводят к нелинейному граничному условию (3.96). Если же считать, что Tn==const, p,n==const, сужение ширины запрещенной зоны не учитывать, как это было сделано в [3.37], то граничное условие (3.97) оказывается линейным, а коэффициент инжекции перехо да — постоянным.
ВОЛЬТ-АМПЕРНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА
Найденное граничное условие позволяет просто вычислить ВАХ ПС структуры с диффузионными р-п переходами. Учитывая результаты, изложенные в предыдущем параграфе, будем решать уравнение непрерывности в области высокого уровня инжекции [— Wcu HP»+We2] (см. рис. 3.11) в диффузионном приближении. Граничные условия для этого уравнения имеют вид
dn I |
_ |
J |
, Isa |
^я( — В |
|||
|
|
|
|
qDb |
\ |
M ) ; |
|
dx |
| * = ^ С1 ” |
2qDpB |
Щоi |
/ |
|||
dn |
| |
|
J |
|
|
|
(3.98) |
|
J S P |
( n ( W n + |
W cz) \ k |
||||
dx |
1 |
* = ^ + ^ - |
2qDnB ~ |
qDB |
\ |
n{о |
) |
При k = 2 |
стандартные вычисления, |
аналогичные описанным |
|||||
в § 3.3, приводят к результату, сходному |
с (3.36), (3.39) и отли |
||||||
чающемуся от |
последних токами |
насыщения |
Jsn и / sp, а также |
86
размером эффективной базовой области. Для структур с WrJL> > 2 результат вычисления ВАХ ПС имеет вид
|
|
|
|
UT= U Tpn-{.UTLD-\- U Teh, |
|
|
(3.99) |
||||||
|
|
|
|
v T„ |
= <i*L b - L |
|
|
|
(3.100) |
||||
|
|
|
|
|
|
Я |
|
J{ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U T L D = |
- |
|
|
|
nLB |
|
|
|
(3.101) |
|
|
|
|
|
|
rimin' |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
* * * |
i |
7 |
Pi |
|
|
i |
n, |
\a |— i/2 |
|
|
|
|
U Teh = |
ш |
+ |
И Г |
7 Г ^ |
i 1 - |
(\nmin.s ) ' J |
" 2 |
* |
"P" |
A* |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.102) |
Здесь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
' = |
|
|
|
+JT: ^ |
) ( , + / |
,4^ r x ) ] ‘,2; |
|||||||
<p0 = |
----------Р‘ /Пм’‘ |
|
, |
yjs = ^ |
5 |
; r ^ |
= r cl+ r „ + r H |
||||||
2 |
|
6 |
K l- (A / < W * |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
H = I i ± ^ A |
z ^ ± ; |
nnta = |
2 |
( |
- |
r a )л (Г „Н -Г „)exp( - ^ t ) ; |
|||||||
|
j |
ЧР№Нек |
, |
f _ r |
( - ’ t)\ |
I „ u y |
|
||||||
|
»\ |
r(vt) |
) |
|
|||||||||
|
|
* |
|
LtB |
< w ™ > 2,‘ _1 |
U |
J |
' |
|
||||
|
|
v* “ S |
w |
T‘ = a‘ + |
P‘: |
|
= |
|
|
|
|||
|
|
|
« ( - ^ a ) = - |
|
JLB/qDpB |
|
|
|
|
||||
|
|
|
+ |
|
|
|
|
"a .* |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
! + 6+ i |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
+ J / |
^ |
|
|
|
||||
|
|
n(Wn+ W n)' : |
|
7У?°ЯБ |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
1 i |
i |
/\ |
. |
4 |
77$p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
+ ‘+ T ~qT |
|
||||
Для |
структур |
c WnH<\ в |
области |
малых |
плотностей |
тока |
(/^ 5 0 0 А/см2) остаются в силе результаты, полученные в § 3.3 для структур с резкими р-п переходами.
87
Отметим, что если в (3.98) |
k= 2 |
и при токах, столь больших, |
|||
что в базовом слое с высоким |
т;Б |
концентрация носителей заря |
|||
да превысит значение |
рс = (СхБ) _,/2. т. е. станет |
существенной |
|||
оже-рекомбинация, то |
все результаты, полученные в § 3.3 |
для |
|||
структур с резкими р-п переходами, могут быть |
перенесены |
на |
|||
рассматриваемые диффузионные структуры. |
|
|
СРАВНЕНИЕ ПОЛУЧЕННЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ С ЭКСПЕРИМЕНТОМ
Сформулированное выше граничное условие (3.96) определяет инжектирующую способность диффузионных р-п переходов. В отличие от резких р-п переходов со ступенчатым распределени ем легирующих примесей, в которых нелинейность граничного ус ловия при высоком уровне инжекции в базовом слое определяется квазиравновесностью носителей заряда в области пространствен ного заряда перехода, в диффузионных структурах нелинейность граничного условия определяется изменением электрофизи ческих параметров полупроводника, таких, как т, D, р, Её, в силь нолегированных слоях структуры. Фактически изменение перечис ленных параметров в эмиттерных слоях структуры служит при чиной возникновения диффузионных и дрейфовых потоков неос новных носителей из базового слоя вэмиттерные, и это в конечном итоге приводит к снижению инжекционных способностей диф фузионных р-п переходов. Интересно, на наш взгляд, то, что влия ние изменения электрофизических параметров на граничное усло вие оказывается различным. Только учет сужения ширины запре щенной зоны приводит к в граничном условии. Если же пре небречь этим фактором, то при любой концентрационной зависи мости кинетических коэффициентов и времени жизни k = 2 . Это является, на наш взгляд, принципиальным и дает возможность по измерениям зависимой граничной концентрации носителей от тока судить о вкладе эффекта сужения ширины запрещенной зоны в формирование электрических характеристик структуры. Соглас но экспериментальным данным [3.26] k—2 вплоть до плотности тока 1=500 А/см2. Это означает, что при таких значениях / силь нолегированная область, в которой существенно сужение шири ны запрещенной зоны, расположена столь далеко от точки х = = — Wi, что эффект уменьшения Ее не влияет на распределение носителей в области, определяющей вид ВАХ ПС.
Полученный результат объясняет, почему формулы для ВАХ ПС, полученные ранее для структур с резким р-п переходами, хорошо качественно, а при подборе значений плотности токов насыщения Jsn и Jsp и количественно, описывают эксперименталь
ные ВАХ ПС диффузионных структур. Примеры |
такого сравне |
|||
ния экспериментальных |
данных |
с расчетными |
содержатся в' |
|
[3.30, |
3.39]. |
|
|
|
Вместе с тем следует отметить, что, несмотря на внешнюю схо |
||||
жесть граничных условий в резком переходе (3.18) |
и в диффузи |
|||
онном |
переходе (3.96) |
при k = 2 , |
зависимость их |
от параметров |
88
структуры существенно отличается из-за различия в выражени ях для токов насыщения. Непрерывность изменения электрофизи ческих параметров полупроводника от своих значений в базе к меньшим значениям [см. (3.78), (3.79)] приводит к зависимости токов насыщения в (3.96). от параметров базового слоя.
3.5. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ВОЛЬТ-АМПЕРНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИЛОВЫХ ПОЛУПРОВОДНИКОВЫХ ПРИБОРОВ
Аналитические модели ВАХ ПС, описанные в предыдущих па раграфах этой главы, содержат обычно упрощающие предполо жения, которые, вообще говоря, ограничивают область примени мости каждой конкретной формулы. Почти все конечные формулы для ВАХ ПС получены в результате разложения общих реше ний уравнений непрерывности в ряд по малому параметру. Это оказывается не очень удобным для практических расчетов харак теристик многослойных структур, потому что, во-первых, нужно всегда помнить о границах применимости используемых формул, а во-вторых, в области токов, где параметр разложения не мал, приходится вычислять ВАХ, интерполируя на эту область выра жения из других областей параметров. Например, так приходит
ся делать, |
вычисляя ВАХ ПС структур |
с W JL< 1 в области то |
ков, когда |
pmijp(0) ~Pminlp{Wn) ~ 1 . |
В таких случаях лучшим |
выходом из положения является численное моделирование ВАХ ПС. Исследования в этом направлении развиваются интенсивно, и к настоящему времени в литературе имеется значительное чис ло работ, посвященных численным методам ВАХ ПС СПП. Су щественным моментом, определяющим ценность каждой конкрет* ной модели ВАХ ПС прибора, является физическая обоснован ность математических соотношений, положенных в ее основу. Результаты анализа физических явлений в полупроводниковых структурах, уточнение экспериментальных значений физических констант, описанные в § 3.2, показывают, что известные к настоя щему времени численные модели ВАХ ПС СПП неадекватно опи сывают явления, происходящие в структуре. В то же время акку ратный учет всех факторов, определяющих ВАХ ПС, так видо изменяет исходные уравнения математической модели, что для решения их требуется новый алгоритм. Разработка и описание такого алгоритма составят предмет настоящей главы. При изло жении материала будем следовать [3.40].
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ВОЛЬТ-АМПЕРНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ
Отличительной особенностью СПП являются высокие плотно сти токов, текущие через них в проводящем состоянии. Физиче ские явления, сопровождающие протекание больших токов через структуру, подробно рассмотрены в § 3.2. Поэтому ниже остано вимся лишь на основных математических положениях модели. При описании статической ВАХ ПС мощной структуры можно
ограничиться одномерным приближением. В этом приближении система уравнений, описывающая изотермические физические процессы в полупроводниковой структуре, имеет вид
d2y
p - n + N ) ; |
|
Л 2 |
|
|
(3.103) |
где N=Nd—NA'— эффективная концентрация |
ионизированных |
примесей; R = R BRH-\-RA определяется формулами |
(3.1). |
Корректный учет влияния ЭДР и эффектов сильного легирова |
|
ния приводит к выражениям для Зп и Ур, имеющих вид (3.15). |
Учет зависимости входящих в (3.15) кинетических коэффициентов от концентрации подвижных носителей заряда, концентрации при месей и электрического поля проводится в соответствии с резуль татами работ [3.15, 3.18].
Граничные условия определяются из предположений о термо динамической равновесности и электронейтральности на контак
тах и в явном виде могут быть записаны в виде |
|
|
|||||
Р (0) = - |
^ + / ( т |
) Ч |
« |
Л |
0 |
) : |
|
= |
|
|
+ |
|
|
|
(3.104) |
|
<р(0) = £/; |
cp(U7) = |
0, |
|
|
|
|
где U— внешнее напряжение, |
приложенное |
к структуре; |
п,(0) и |
||||
ni(W) — собственная |
концентрация |
носителей |
заряда на |
грани |
цах структуры с учетом изменения запрещенной зоны в сильиолегированных эмиттерах; N(0) и N{W) — значения эффективной концентрации на границах структуры.
Система уравнений (3.103) существенно отличается от анало гичных уравнений, использованных в других работах, посвящен ных численному исследованию ВАХ ПС (см., например, [3.31— 3.43]), за счет появления в выражениях для токов (3.15)' допол нительных слагаемых, которые описывают эффект взаимного ув лечения носителей заряда вследствие ЭДР. В свою очередь это приводит к особенностям при выводе конечно-разностной аппрок симации уравнений. Поэтому остановимся на этом подробнее.
90