книги / Моделирование переходных процессов в полюсопереключаемых асинхронных двигателях

=s V2 (£/a -f после чего подставив его в (2.9), (2.10), (2Л8) и учтя при этом

		W	r‘sl =	К	2 / sl;	1тЛе** = ] / 2 / й;
		C « e ,S*v =		/ 2	^ v;	C K^		V =	1/2/,"v,	(3.2)
а	также,	что	при трехфазиом				статоре		/о* =	(/л	+
-Ь	4* /с); Л* = -g- (/^ -{- п/д						+	#2/с): /2s = - у		(/л	Л-
+	а?1в +	а ! с■),

где /0s, /is, /2s — трехфазные симметричные составляю­ щие временных комплексов статора, получим выражения связи между временными комплексами и пространствен­ ными векторами:

г« = X £ - ( . h + h e -i^ 'Y .

к = ] / (/о.е,ш°' + /ose-'01-'); (3 .3 )

	7„ =	] /	+	/г5е-М<):
	;vn. =	] / з . ( / ; у и»' +		/Sve- ' “‘');
= ] /	(/„V “"r + 0		_/“1' +	/ KV ~ '“"‘
^ = i				)•

Симметричные составляющие мгновенных значений про­ странственных векторов фазных напряжений можно выразить через временные комплексы аналогично токам. При этом первая симметричная составляющая простран­ ственных векторов зависит от прямовращающейся пер­ вой и обратновращающейся сопряженной второй сим­ метричной составляющих временных комплексов. При симметричной системе напряжений обратновращающаяся составляющая равна нулю. Это позволяет пред­ ставить уравнения электрического равновесия для переходных режимов в координатах, неподвижных относи­ тельно-поля (см. параграф 3 второй главы), и исключить периодические коэффициенты, зависящие от частоты

сети. Подобные преобразования невозможны при несимметрии напряжений, поскольку этому препятствует наличие не равной нулю второй симметричной состав­ ляющей.

2. Уравнения электрического равновесия симметричного асинхронного двигателя

Для симметричного асинхронного двигателя при сим­ метричном напряжении сети уравнения электрического равновесия установившегося режима получим из урав­ нений переходного режима (2.24), заменив в них прост­ ранственные комплексы временными в соответствии с выражениями (3.3):

В уравнениях принимается во внимание спектр взаим­ ных гармоник МДС статора и ротора. По каждой гар­ монике существует либо прямолибо обратновращающееся поле. При преобразованиях учтем, что временные комплексы не являются функциями времени. Уравнения запишем в виде

ла

Значения параметров в системе уравнений (3.4) вычис­ ляем по каждой гармонике МДС с учетом направления ее вращения.

Параметры уравнений электрического равновесия (2.20), (2.24), (3.4) имеют некоторые особенности. Пока­ жем их и установим взаимосвязь с параметрами, широко применяемыми в теории электрических машин. Для этого в уравнениях (3.4), соответствующих симметрич­ ному двигателю с трехфазной обмоткой статора, с уче­ том только одной пространственной гармоники v приве­

дем г2‘Фазнь1й ротор к трехфазному [21:

После преобразований и умножения роторного уравне­ ния на WiKo6v/KyrV получим

	= rsh s	-f /Чй0 ( 4 - m s) / b		+ MSKV^ - - ^		- v 4
					"yrv			(3.5)
	о —	2Гук + ЗЛс	~ CQS	2	WtKoev V ,
		0)0 — У0)Л		г2	к	V	^2V “Г
		©О			уГУ
	+ /®о A i.K v ~ Y —K1^ 6v - / i s +			2 | т л +	m„ (1 — cos v6J +
	H"	XJQ(m^a+v			r , K .o6v		/2v
			ftltZt+Zz—v) I — (~7~
					*yrv

где /iv — значение тока ротора, приведенного к трех­ фазной обмотке с числом витков Wx и обмоточным ко­ эффициентом K06V*I Kyrv — коэффициент укорочения по гармонике v для контура ротора. Сравнивая обычно используемые комплексные уравнения асинхронного двигателя

— t i l l	-f- j{ x 1 +	xmv)	-f- jx my i2v
®d^2v	h v - b / W	I T -	/ (*2v + ^mv) / 2v
0 ------ Щ _ VQ)r

и уравнения (3.5), устанавливаем следующие соотноше­ ния параметров:

В выражении для	первое слагаемое является ин­
дуктивным сопротивлением пазового		и лобового	рас­
сеяний. Второе слагаемое состоит из		индуктивного	со­
противления самоиндукции по основной гармонике

и индуктивного сопротивления самоиндукции по высшим гармоникам МДС ротора

3

2"®о

3. Уравнения электрического равновесия асинхронного двигателя с несимметричным статором

При несимметрии питающего напряжения или парамет­ ров двигателя нельзя подучить уравнения установив­ шегося режима таким путем, как это сделано в парагра­ фе 2. В первом случае этому препятствует наличие обратновращающейся второй симметричной составляющей напряжения (см. параграф 1 настоящей главы), во втором — сопряженного пространственного комплекса роторных токов, также вращающегося в обратном направ­ лении (2.17). Эти обратновращающиеся векторы не поз­ воляют при подстановке выражений (3.3) в (2.20) изба­ виться в уравнениях электрического равновесия от периодических коэффициентов, зависящих от частоты се­ ти. Причина этого заключается в системе допущений, по­ ложенной в основу уравнений (2.20). Для получения уравнений установившихся режимов с учетом несим­ метрии необходимо дополнительно учесть особенности этих режимов и соответственно скорректировать систему допущений и метод анализа. Синусоидальность токов в обмотках машины дает возможность представить МДС каждой из них в виде составляющих по прямым и об­ ратным полям. В соответствии с этим система токов ро­ тора по каждой пространственной гармонике МДС со­ стоит из двух систем — по прямому и обратному полям.

Все рассматриваемые поля взаимонезависимы, поэтому нелинейные параметры рассчитывают отдельно для каждого из них. Кроме того, синусоидальность токов по­ зволяет при составлении уравнений электрического рав­ новесия воспользоваться символическим методом — опе­ рации над косинусоидами токов заменить операциями над соответствующими им временными комплексами.

Уравнения электрического равновесия установивше­ гося режима работы асинхронного двигателя составим для ветвей обмотки статора и контуров короткозамкну­ того ротора по каждой прямо- и обратновращающейсягармонике МДС

Здесь

101 =

И 1/1 +

4 г ГО-

[ 0] =

[ Q S, U r]t =

[ U Bь . . .

, U n v ,

0 ,

0 ,

. . . , 0 , 0 , . . .

, 0 , 0]/v

[/] =

1Л. й

=

/v,

Ни Пи

[ г ] :—

d ia g {Г в Ь

■• *

> Г в У , Г г \,

Тг \ ,

. . . »

f r v t Гrv>

> frNt

?гы)»

W ) =

№.1,

, т вУ| Г ь

'F,"Vl Ч*°г

• • *

rvt

Ч/ . _ _ L

S

№ / +

Y,/IU1) +

Y J ;

Aiu —

_ /—-

т" 2 1,"

1ТГП<°)

^

V

S

Y?lv + YJJ? +

YnS?v] ;

I rv --

Г—

rrv =

|^2

i=l

J

2 [rc (1 — cos v8K) +

Гук],

где

[f/1,

[/] — матрицы

комплексов

действующих зна­

чений напряжений и токов.ветвей обмотки статора и ко­

роткозамкнутых контуров ротора; 0 Ъ1 — комплекс дей­ ствующего значения напряжения, приложенного к i-й

ветви; ['F] — матрица	потокосцеплений;	потокосцеп-
ления: 'FBi — i-й ветви	обмотки статора;	'Ft/™ —

i-й ветви с /-й ветвью по основному потоку, потоку рас­

сеяния;	xF<r — i-й	ветви с ротором;	Ч ^0) — контура
ротора	по прямому	(обратному) полю	v-й гармоники;

Ч'Я? — контура	ротора с i-й ветвью по прямому (обрат­
ному) полю v-й	гармоники;	— контура ротора со

всеми его контурами по основному потоку прямого (об­

ратного) поля v-й гармоники; ’РЙЙ, — контура ротора с остальными его контурами по потокам рассеяния пря­ мого (обратного) поля ротора v-й гармоники. Остальные обозначения аналогичны (1.4) (см. параграф 3 первой

ипараграф 2 третьей глав). Величина гс зависит от час­ тоты тока рассматриваемого роторного контура.

Выражения для производных элементов матрицы потокосцеплений найдем, определив выражение для МДС какого-либо первого контура или группы конту­ ров с током в функции пространственной координаты

ивремени. Установим зависимость потока, создаваемого этой МДС, пересекающего какой-либо второй контур.

-Затем получим потокосцепление ветви, просуммировав потоки, перекающие ее катушки, и выполним операцию дифференцирования по времени. Выражение для проста ранственного распределения МДС, создаваемого i-й ветвью обмотки статора, находим с помощью фор­ мул (1.1), (1.3), (3.1):

Fu (а) = 2	tcos (ш — &iv+ щ t 4* ^) -Ь
v=J	У 2
	N

+ cos (va — 6fv — <o0t — li)] — Ц [Ftiv И -f- (a)],

V=1

(3.8)

тде a — текущее значение угла по расточке статора. Поскольку положительное направление угла а совпадает с направлением вращения против часовой стрелки, пер­ вое слагаемое выражения (3.8) относится к обратной волне МДС, вращающейся по часовой стрелке, а вто­ рое — к прямой, вращающейся против часовой стрелки. Потокосцепление г-й ветви, состоящей из Y al катушек, с /-й ветвью определяем следующим образом:

Y b i д/

' h , = S	S ( ® : / v + a > « v ) - ^ - .
к	= \ V—1	I n k I

где Oj/v (Фк/v) — поток, созданный прямо-(обратно-) вращающейся v-й гармоникой /-й ветви и пересекающий Л-ю катушку i-й ветви;

Ф * /, =

$

M Z F l i v <«) d {left,} =

2л . .

= K k R —[°/v V 2 sin

[cos [ v

(| nk | +

+ -f-)-6;v]cos(o0<+ W +

+ si*1 [v

(ln*I + - f " ) — 6<v] sin («V + 1/)} I

К— [Я0/(бк^Кб)*

Вуравнениях электрического равновесия (3.7) присут­ ствует производная от потокосцепления по времени. Для получения ее выражения в символической форме продифференцируем найденные выражения потоко-

сцеплений и заменим /у cos (ю0^ + £/) на //, а /у sin (ш^ +

+ % ) н а — /7 /:
~1Г ffik ) =	WW?	sin (»■ i r )	X
Х {C0S[V ~ lt (l		I + " t" ) ~ fi/v] ~
— / sin [v	[| nK1+ -y -) — S/v]} =

Выполнив аналогичные преобразования для составляю­ щих по обратному полю, получим

d_	№ ,) = /а>, -^Z -nR U ), £	( К Ы ш + K h v h v ) .
dt
	V—l

Для потокосцеплений, обусловленных рассеянием ста­ тора:

Токи контуров короткозамкнутого ротора, наведен­ ные полем статора прямой последовательности, в системе координат статора создают МДС

N

I

2

-

VK

cos v

[

а —

2л

.

—

sin —

п -------- ю,г

X

1г=ПS v=l

ш

2г

\

г 2

х V2I% cos

V(0r) / -ь iSv —

2л

( O)Q —

V/г "17

yv

—

X /г/ KVCOS (va

COQ^ — £KV)«

V=1

Для обратной

поледовательности

N

F°r (a) =

V z 2 £

frvfZ v cos (va - f co0* -f-

g v ).

V=1

Проделав

преобразования,

аналогичные

описанным,

получим

N

*

dt

(T^ir)

=

Kcvfrv (^v/ru/K V 4 “ V / г н / к \ ’)*'

V=1

В системе координат ротора МДС статора и ротора име­ ют вид

F b (a) =	N	f	~~ — (°>o ~	vc°r) * *— Ы ;
	X	~ ^ Г ^* cos
	£ i	/ 2
	*	/ •
(к) =	X	17^~ ^ C0S ^Л0С/ :— ^lv		^ ~Ь Ef]»

v=l " J

/V

r (ct)===	^2 £	W	KVcos [var —“ (COQ— V(0,) t — ^icv]*
	V=1
	__ N
F r { a ) ^	V*” ^2 £	fry?KV COS [v a , -J- (© 0 -|- VCO,) 4 - I KV]»
	V=1
			а г - а —	с о / .
Потокосцепление			контура	ротора, обусловленное
взаимоиндукцией		со всеми его контурами по прямому
полю гармоники		v:
	2
V?rv =	J	J 'S U v cos [var — (co0 — vcor) t —
	__Л
	2

— £"v] dar =	V г Д /Sv cos [ ( w o — V0)r) t + 6 Sv];
~ J J ~ O^V>v) =	/ (®o ■“ VCD/-) % v R l& 3 l ] / ~ 2 /rv^KV*

По обратному полю

^

O F /T V ) ~ / (t00 -j- VCOf)

2 / Z-V / KV.

Используя тот же подход, получаем следующие выраже­ ния для потокосцеплений контура ротора, вызванных взаимоиндукцией со статором:

4 ~ ('Рг" v) = i (Wo - Vfi>,)*W«Kc, К 2Л Sin -2£- i

4r	= / (®0 +	WR/4KCV- ^ -K 2 i,s in		.
Для потокосцеплення		пазового	и лобового	рассея­
ний ротора
C'FSjirv) =	/ (©0 — v co ,) 2	| ^ 2 [ /я л +	тп(1 — c o s	v 6 K)] 7 j v ;
(Ч™™) = / («о -f V(0r) 2 ]/2 [т л +			wn (1 — cos v5K)] 7jv.

В результате проделанных операций определим эле­ менты матрицы комплексных индуктивных сопротивле­

ний Ш	в соответствии с выражением			PF] — [Ll [/1,
а уравнение (3.7) представим			следующим образом:
		[О] = [z] 17],		(3.9)
где [z] — матрица комплексных			полных	сопротивлений,
	2»	Zsr	Система	алгебраических
[£] = И	+ Щ =	%rr
	£rs

уравнений электрического равновесия (3.9) записана относительно токов ветвей статора, контуров ротора и приложенных к ним напряжений. Для учета схемы со­ единения ветвей обмотки статора эти уравнения преоб­ разуем с помощью матриц [KJ, IKJ , как это сделано в параграфе 5 первой главы, и запишем их относительно

независимых токов ветвей статора и напряжений сети:

и «	Zss/t	Zshr
	Zrsh	%rr
		(3.10)
З д е с ь [2$sft] — [К ц ] ([^ SSH] 4 "		( £ 553] [ K ; ] ) J [?rsft] — [^rsit] 4 ~ [^ rsa] [Kf]«
[zshr] = [ K u] [ Z s r \ t где	[Uc],	[/s„] — матрицы столбцы ком­

плексов действующих значений напряжений сети и не­ зависимых токов ветвей статора; каждая из матриц [zss],

[zrf] разбита на две подматрицы по столбцам. Подматри­

цы, состоящие из столбцов с номерами от 1 до h (неза­ висимые токи), обозначены индексами «н», состоящие из остальных столбцов — индексами «з». После преобразо­ ваний, задавая значения известных (сетевых) напряже; ний и частоты вращения ротора, решаем полученную систему алгебраических уравнений относительно вре­ менных комплексов независимых токов ветвей статора и контурных токов ротора. Ввиду нелинейности пара­ метров в уравнениях электрического равновесия токи рассчитываются с помощью итерационных циклов. В первой точке расчета принимаются значения парамет­ ров двигателя в ненасыщенном режиме работы. По полу­ ченным токам значения параметров уточняются, после чего определяются токи, соответствующие уточненным параметрам. Итерации выполняются до тех пор, пока различие между коэффициентами насыщения магнитной цепи предыдущего и последующего итерационных цик­ лов не станет меньше заданной величины.

При учете элементов внешней цепи необходимо статорные уравнения системы (ЗЛО) преобразовать с

помощью матриц [к^ц], [кщ,ц], [гдц],		1^вц1> 1Свц] так .же,
как это сделано в	параграфе 5 второй главы:
\ 0 с )	= [Zshr] U r] 4 “ |[Zssft] 4 "
4 " [ к «вц ] ^ Р в ц ] 4 “ / Ч	1 Ч ц ] ------~"[Свц]	1j [ к £ в ц ]| С /ен]- ( 3 . 1 1 )

Роторные уравнения остаются без изменений. Порядок решения системы уравнений электрического равновесия при учете элементов внешней цепи такой же, как и си­ стемы (3.10).