книги / Нерегулярные граничные задачи на плоскости

§ 11] ОБЛАСТЬ СО СПРЯМЛЯЕМОЙ ГРАНИЦЕЙ 91

вием (11.4) принадлежит Келдышу и Лаврентьеву [11]. Перво­

начальное определение Смирнова требовало, чтобы были огра­
ничены интегралы		от	|ф (z) |р вдоль	обрааов Стокружностей
|£ |=	г, 0 < г <	1,	при конформном	отображении единичного
круга	|С I <С 1 на область G. Для доказательства эквивалент­
ности	этих определений, очевидно, достаточно установить, что из
(11.4)	вытекает условие
		Tim ^ |0(z)|p| dz| < + oo .			(11.4')
		Г—1 Qr
Предположим, что		функции z = ©п(£)		конформно и однолистно
отображают круг		|£ |< 1 на области Gn, причем ©„(0) =			© (0),

arg ©,'i(0) = arg м'(0). Как известно (см., например, [51, стр. 56), внутри круга | £ | < 1 последовательности {©„(С)}» {со^(С)} равномерно сходятся к функциям © (£), ш'(С) соответственно. Рассмотрим функции

¥ (£) = Ф[© (£)]	Y n(£) =	Ф [© п (С )]у ^ )
и заметим, что Ф[©п (£)1 непрерывны в замкнутом круге |£ |^			1,
а (некоторая однозначная	при |£ | < 1	ветвь) ]/© «(£) ё	Я ,
(см. теорему 11.1). Следовательно, ¥„(£) е		Я р, поэтому, согласно
лемме 10.2, имеем (при г <	1)

$|Т„ ( ге“ )

о

Г= I |Ф(ж)||*|<Л/,(Ф).

Осп

Переходя к пределу по п при фиксированном г < 1, получим

2л

$ |Т(п*0|р Л> = I | Ф (г)П & | < М р(Ф),

осг

откуда следует (11.4'). Из доказанного вытекает, что Ф (z) тогда и

только тогда входит в класс Ер, р		0, когда построенная выше
функция Y (£) входит в класс Нр. Вспоминая результаты § 10 и
свойства	функции © (£), отмеченные в п. 11.1, приходим к сле­
дующему	утверждению:	„	.

Т е о р е м а 11.4. Каждая функция Ф (z) m класса Ер в об­ ласти со спрямляемой границей С имеет предельные значения ф+(£), t ЕЕ С, по всем некасательным к С путям почти всюду на С, функция I Ф+(t) \р суммируема вдоль С и

ш Л | Ф ( « ) Н * 1 - $ 1 ф *ЮГ’ 1<в|-

r~*l Cr

С

92

ГРАНИЧНЫЕ СВОЙСТВА АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

[ГЛ. Ш

Отметим также, что из теоремы

10.7, примененной к функции

Ф[© (£)]©'(£),

формулы

(11.2)

и абсолютной

непрерывности

функции © (е” ) (теорема 11.1) вытекает теорема Коши для любой

функции Ф (z) £= Ех.

Т е о р е м а

11.5. Пусть Ф (z) принадлежит классу Ег в обла­

сти со спрямляемой границей С. Тогда

[ <$>+(t)dt = 0.

Аналог

теоремы 10.6

в

случае произвольной

области

со

спрямляемой

границей

С докажем в следующей

главе

(§ 15)

после изучения граничных свойств интегралов типа

Коши —

Стплтьеса.

Установим аналог второго

утверждения

теоремы 10.5

11.5.

для областей

класса С.

[22, б)]).

Пусть Ф (z)

Т е о р е м а

11.6 (В. И. Смирнов, см.

принадлежит классу Ер, р >

0, в области с границей из класса С.

Если граничные

некасательные значения Ф+(г), t ЕЕ С, суммируемы

вдоль границы со степенью q^> р,

то Ф (£)

принадлежит

клас­

су E q.

Предположим,

что

¥

(.£) — произ­

Д о к а в а т е л ь с т в'о.

вольная функция класса Нр, р >

0, в круге

|£ | <

1, и дока­

жем, что

(конечная почти

всюду)

функция

In h (s),

где h (s) =

= |¥ +(eu) I,

суммируема

на сегменте [0, 2л]. Вспоминая фор­

мулу (10.7) и лемму 10.4, замечаем, что достаточно установить

теорему для р =

1 и функций, не имеющих внутренних нулей.

Применяя неравенство, связывающее среднее геометрическое

со

средним арифметическим (см. [27], стр. 167), получим

г*

2к

elp W

Г ” 11 + 1Т «*”)П < Ч < :М и + |Т((*<•)11<Ь,

(11.5)

оо

откуда в силу леммы Фату следует суммируемость функции

1п[1 + |¥+(е«) |].	Поскольку, очевидно, 1п+ |¥ (ре1*) |	<
< In [1 + |¥ (ре1*) |], то суммируема и функция 1п+ |¥ (ре1*)		]
П т	J 1п+1¥ (pels) |ds < + оо.
р-»х	о

,TenepV . „	’Д°,	I In IV (0 I |= 2 ln+ IV ( « I _
ln I * (Ol и что In I ¥	(£) |— регулярная гармоническая в круге

§ 11]	ОБЛАСТЬ СО СПРЯМЛЯЕМОЙ ГРАНИЦЕЙ	93
|£ | <	1 функция. Отсюда
± $ |Ы	У (ре«) 1 1 * = ^ 5 2 In-1Г (ре») I * -

оо

2*

2я

— i . 5 1п|Т((*“ )|& = ^ $ 21п+|'К(ре“ )!* -1 п | Т (0 )| .

оо

Предыдущее неравенство показывает, что стоящий в левой части

этой

формулы

интеграл

ограничен

числом,

не

зависящим

от

р

1.

Согласно

лемме

Фату,

имеем

суммируемость функции

In h (s)

=

In

|Y+ (e*)|.

Рассмотрим

теперь аналитическую функцию

л « ) = « р {

^

ь |т * И | £ ± £ - * } .

|t|<i.

(п-в)

О

Применяя неравенство вида (11.5), получаем

i 5 | 0 < р * * )Р * < ^ $ м р ^ $ Ч ЧГ W l ^ ( p . » - о ) * }

О

0

0

<-к

0

(ж11**^ Гр(р-*- °>*}” М 1 l'i!)|Р*•(11Л)

0

о

Следовательно,

функция (11.6) принадлежит тому же классу Нр,

что

и

функция

'Р (£). Покажем (теорема

Г. Сеге,

см. [20]),

что

функция (11.6)

максимальна в том смысле, что

|¥(0

1< \D (0 1,

I СI <

1-

(И-8)

В

самом

деле,

рассмотрим'

функции

hm($) = h (s)

при

(s) >

лг >

0

и

hm(s) =

m,

если

h (s) < m.

Очевидно,

что

h (s) / hm(s) < 1

при

любом m >J0

и

hm(s)

стремится к

h (s)

при m -> 0.

Построим теперь семейство функции вида (11.6):

An(E) =

expj-^- ^lnAm( s )- ^ | - d s },

|С|<1,

О

которые в каждой фиксированной точке £,

I £ I <С 1» сходятся к

D (£) при т -*■ 0. Пользуясь неравенством вида (11.7), убедимся,

что

при

любом

фиксированном

ш

0

функция

Dm (£)

тоже

принадлежит

классу

Нр. Поэтому,

если Y (£) по-прежнему не

имеет внутренних

нулей

(разложение (10.7) позволяет неравенст­

во

(11.8)

перенести

затем и

на

общий

случай), то функция

94	ГРАНИЧНЫЕ СВОЙСТВА АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ		1ГЛ. III
№ (ОДт1 <01* однозначна		и, как показывает неравенство Гёль-
дера,	принадлежит классу	Нг. Согласно построениям,	модуль
граничных значений этой		функции равен [h (s)/hm(s)]P/2^ 4.

Согласно первому утверждению теоремы 10.5, в каждой внут­

ренней точке £			имеем		|^ (£)	|	I Я т (£) |. Переходя к				пре­
делу при т-*- 0,			получаем требуемое				неравенство (11.8).
Возвращаясь			к	теореме,		построим		функцию		¥ (£) =
= Ф[со (£)]		©'(£). Как известно (см. п. 11.4), эта функция принад­
лежит классу Я р, р >				0, какова бы ни была функция Ф (г) из Ер.
Для ее	граничных значений |Ч,+(е<3)						| имеем
		In IТ* (£“ ) |=1п|Ф*(ш<**•)) I + i						In I	(*<■) |.
Обе	функции		In |4f+(e4s) |,			In |(o'(eis)		|суммируемы в			силу
только	что	доказанного,			ибо	(£) е Яр, а			й '( 5) g	Я }	(тео­
рема 11.1).		Следовательно, суммируемой						является и		функция

In |Ф+[ш (е*)] |. Соответствующую функцию (11.6), в силу того, что граничная кривая принадлежит классу С (см. следствие 11.1), можно представить в виде

	D (0 =	D .«)^<o'(C).					(11.9)
	А> К) =	exp		J In |Ф* [и (»*•)] |			* } .
				О
Подставляя разложение D (£) и У					(£) =	Ф[<а (£)]|^о)'(£) в нера­
венство (11.8), получим			|Ф[ю (£)]		| <	|Я0(£)	| или
		|Ф(г) I		< I ^оГг (z))		I,	(11.10)
где х (z)	есть функция, обратная к со (£). Отсюда получаем нера­
венство
| Ф (г )Г | ^ К		\ \D0[x (z)]\q\dz\ = r jj |Г>о (ге^) |а |со' (re^) |ds,
						о
из которого явствует,			что	Ф (z)	принадлежит		классу E q, если
Я 0(£) V	(£) е Я д. Снова пользуясь принадлежностью границы
классу С, получаем

12]	ОБОБЩЕННОЕ НЕРАВЕНСТВО М. РИССА		95
Согласно	условию	теоремы, функция Ф+(£), < £ С , суммируема
со степенью <7, так		что функция |Ф+1© (eis)I |I©' (ei#)	сумми­

руема на сегменте [0, 2п] со степенью q. Применяя к последнему

выражению оценки вида (11.7), убеждаемся, что Da(Q ©' (£) е= Hq. Этим доказательство теоремы 1 1 . 6 завершается.

В заключение, отметим, что первое утверждение теоремы 10.5 имеет место и для граничных кривых класса С и может быть доказано аналогичными рассуждениями, исходя из неравенства (11.10) п формулы (11.9).

§12. Обобщенное неравенство М. Рисса

12.1.Рассмотрим область G со спрямляемой границей С.

Пусть Ф (2 ), z G,— некоторая регулярная аналитическая функция, имеющая почти всюду на С конечные предельные зна­ чения Ф+(£), / е С, вдоль всех некасательных путей. Как сле­ дует из теоремы 11.4, такими свойствами обладает каждая функция из класса Ер, р^> 0. Наряду с функцией Ф (2 ) рассмот­ рим также функцию

		F (2 ) = ехр			( 1^ 0(2 )},		z e G ,	(12.1)
где F0(z) — однозначная,				регулярная			и аналитическая	внутри
G функция. Предположим, далее,						что	число р четное: р = 2к,
к > 1 — некоторое			целое		число,	и	что функция Ф (Z)F 1IP (Z)
принадлежит классу			Ер в области G. Вводя для краткости обоз­
начения и — ВеФ+(*), v =				1 т Ф +(«),?(«) =з F+(t), f e <7, рассмот­
рим важный для дальнейшего интеграл
Представляя	его в виде
I = т ^К'")” -		(“ +		^	л + 4з $ (“ +*■’>’’ -Рт-м -			+ ь.
								(12.3)
оценим сверху число			1 1 1, порознь оценивая модули слагаемых
справа. Из соотношения
	и-Но			«-Н®
р	[	zv~4z =		$	<*(sp) = (n + iu)P — (iv)p
получаем	iv
Кич-го)" —(ш)рК Р				J	I*Iм I<Ь|<р|в|(и* +
				4и

ГРАНИЧНЫЕ СВОЙСТВА АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ			[ГЛ. Ш
Далее, заметим,	что (а + by < 2« (а9 + Ы),	каковы	бы ни
были неотрицательные числа a, b u g ; поэтому
|(ц + ivy -	(ivy |< Р2{р~т [| и|* + \и1 1 у П	р > 1 .

Будем трактовать функцию р ($) = |F+[t (s)] | как некоторый вес и введем в рассмотрение пространства £ р(р; С) с этим весом. Обозначая для краткости

* “ li., (Р. о = ( J р (») I«

(12.4)

и используя предыдущее неравенство, для первого слагаемого 1\ справа в (12.3) получаем оценку сверху

IЛ|

j i w - (» +

* к

(р I“ Г + PI,!’I“ I•р1 '’’'I^Р,р’) * ;

здесь (п в последующем) штрихом обозначается гармонически сопряженное число: 1Ip + 1/jo' = 1. Применяя к интегралу от

второго слагаемого неравенства Гёльдера с показателями р, р', получим

I ■^ I ■<	11“	О) + Иц<»: ОI»	О ) .	(12.5)
	С

Переходя к оценке второго слагаемого в (12.3), заметим, что функция Фр [©(£)] Р [G>(£)]©'(£) принадлежит классу Пх (п. 11.4), так что к ней применима вторая формула (10.8). Воспользовав­ шись теоремой о вычетах, считая, что г = 0 есть внутренняя точка G и что со (0) = 0, получим

h = н ? ] (“ + *»)’’ ф * = Ч>!'(0)/'(0).

Будем рассматривать множество функций Ф (г), исчезающих в некоторой внутренней точке, например в точке z = 0 , хотя для целей настоящего пункта достаточно было бы предположить, что

|Ф<0 ) Р < « Н ^ о + ь И ц < * ч И $ « я

(12-6>

при некоторых фиксированных неотрицательных а, Ъ. Действи­ тельно, в этом случае предыдущая формула приводит к оценке

§ 12J		ОБОБЩЕННОЕ НЕРАВЕНСТВО М. РИССЛ				97
вида	(12.5)
		I кIР (0 ) I {«I»			о).	(12.5')
Теперь		из (12.3) получаем требуемую оценку
где		11 1<	а 1!и1^(р; С)+	РIIUlLp(p.С)1 v|[L“{P;С),		(12.7)
		“ = 2SS	+ ‘*IF (0>I’	Э-^аетп+*1'<0>1-
Особо		отметим валшый случай, когда
		sup |F (z) |= sup exp {—Im F0(z)} =			oo.	(12.8)
		G+C	G+C

В этом случае все предыдущее имеет место для любой функции Ф (z) из класса Ev%причем в правой части (12.7) вместо норм вида

(12.4)	нужно поставить			нормы вида
		1“ кг(а=($1“ 1’* Г							(12.4')
а числа а, Р		определить формулами
	- Р*г'т м		I	а и »	9 -	Г ^ м ч ,	ш	,
		2 я т т | И	^	’	Р	2rtm ia11|+	о т	*
В классе функций Ф (z), для					которых Ф (0) =		0,	надо	также
положить а =		Ъ= 0.
12.2.		Перейдем теперь к оценке модуля интеграла (12.2) сни­
зу. Как обычно, через 0 (s) обозначим угол между касательной к
кривой С и осыо х (см. п. 2.2). Кроме того, через								<p (s) обозна­
чим непрерывную ветвь функции arg t (а), 0 < s								S. Учитывая
еще, что число р четно, формулу (1 2 .2 ) сможем переписать в виде
r =	± a i jfcМ р 1-Т7 Г		“	P tff(* )-q > («)+ He2 V l«W l> *.					(1 2 .2 ')
Сделаем теперь о с н о в н о е					п р е д п о л о ж е н и е :
	sup vrai |0 (а) — <p (a) +				ReFp+U (a)] |< 6		<	n / 2 .	(1 2 .9 )

Это неравенство означает некоторую согласованность между гео­ метрическими свойствами границы С и структурой весовой функ­ ции (12.1). Исходя теперь из формулы (12.2') и используя

4 И. И. Даиилюк

ГРАНИЧНЫЕ СВОЙСТВА АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ [ГЛ.

III

обозначения (12.4), получаем требуемую оценку снизу:

I11-

зг I j Г" Г1^

« р г (0|(*)-

Ф'(*) + Re К

[t(*)]) л |>

S

>^rS|''|’ rw r">s(0(s)” ,|>(s) + ReJ?;i'<s)1)‘is > ТМ ^С),

О

( 12. 10)

где

созб

Q

*

2я max \ t\ ^

'

С

Сопоставляя оценки (12.7) и (12.10),

приходим к неравенству

т 1 » | Е ^ о < « | » Е ^ о +

Р1 Ч

^ в -|»|фг.с).

(1 2 .1 1 )

коэффициенты которого не зависят от выбора функции Ф =

и + iv.

Деля в случае ||U||Lp(p; С )>0 (при|| и ||г,р(Р; С) =

0 все нижеследую­

щее

очевидно в

силу (1 2 .1 1 )) обе части неравенства

(1 2 .1 1 ) на

||в ||р и обозначая через х

отношение

|v ||

к

||и ||,

получим

ухр

fixp 1

+ а. Следовательно, величина х

ограничена

сверху

единственным положительным корнем уравнения ухр =

ряр - 1 -f- а.

Приходим

к выводу, что

существует

конечная

величина Ар =

= А (р, С,

F),

не

зависящая

от

выбора

Ф (z),

для которой

имеет место неравенство

fly lLp(p:C) < 4 p N

V

P;C)-

(1 2 .1 2 )

Если наряду с оценкой (12.8) имеет место и оценка

т= in!

IF+ [t(s)] |= in! exp { - I m Ft (t)} >

0 ,

(12.13)

C

то неравенство (12.12) в терминах нормы (12.4'):

(12.14)

то же имеет место, причем для оценки числа Av нужно восполь­ зоваться числом у = m cos 6/(2я max |t |) ;> 0. Формулы (12.12), (12.14) и дают разные формы обобщенного неравенства

М.Расса.

12.3.Ограничимся классом функций Ф (z), исчезающих в точке z = 0. Пусть S — оператор, который сопоставляет гранич­ ным значениям функции и = ИеФ (z) граничные значения функ­

ции v = 1шФ (z). По построению область определения и	об­
ласть значений оператора S — линейные функциональные	про-

§ 12] ОБОБЩЕННОЕ НЕРАВЕНСТВО М. РИССА 98

странства, а сам оператор однороден и аддитивен. Предполо­ жения на весовую функцию (1 2 .1 ), сделанные в предыдущих пунктах, не зависят от числа р. Неравенства (12.12), (12.14) оз­ начают, что для четных р оператор S ограничен. Применяя к нему теорему 6.2, приходим к выводу, что оператор S ограничен в Lp при любом р > 2. Следовательно, неравенства (12.12), (12.14)

имеют место при всех р,			2 ^	р < оо.		G , ограниченной спрям­
Т е о р е м а	12.1. Пусть			в области,
ляемой кривой С,		задана аналитическая функция (1 2 .1 ), причем
выполнено условие		(12.9);	предельные			некасательные	значения
F+(t) существуют		почти	для		всех t ЕЕ С и весовая		функция
р (а) = F+(t (а))	конечна		почти		всюду.	Пусть Ф (z) = и + iv

принадлежит совокупности аналитических функций, регулярных внутри области G и таких, что Ф {Z ) F 1/P (Z) принадлежит Е р при р > 2, причем Ф (0) = 0 (точка 0 лежит внутри G).

Тогда существует некоторая конечная постоянная А (р, С, F) (не зависящая от выбора функции Ф (z) в пределах описанного класса функций), для которой имеет место формула (12.12). Если функция (1 2 .1 ) по модулю отграничена от нуля и бесконечности, то имеет место неравенство (12.14).

В заключение сделаем ряд замечаний. В случае 1 < р < 2 рассуждения п. 1 2 . 2 в общем случае нуждаются в видоизменениях, но сохраняются в частных предположениях. Именно, в случае единичного круга, рассмотренного М. Риссом, имеем 0 (а) —

— Ф (а) = л/2, следовательно, если положить F (z) = 1 , то вместо формулы (1 2 .2 ') получим

о

причем знак совпадает со знаком функции v. Это позволяет по­ лучить при р > 1 оценку вида (1 2 .1 0 ):

Вывод неравенства (12.14) в этом классическом случае, как методом М. Рисса, так и другими методами, имеется в первом издании монографии [10, а)], п. 7.21. Незначительно отличается от этого случай верхней полуплоскости (см. [23], § 5.10).

Неравенство М. Рисса эквивалентно утверждению об ограни­ ченности в Ьр сингулярных интегральных операторов. Этому кругу вопросов будет посвящен § 16, из рассуждений которого следует, что рассмотренного в теореме 1 2 . 1 случая р > 2 вполне достаточно. Обобщению теоремы М. Рисса об ограниченности

4*

100 ГРАНИЧНЫЕ СВОЙСТВА АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. III

сингулярного интегрального оператора на случай взвешенных про­ странств посвящены работы [2], [4], [21, а), б)], [3], [26] и др. Здесь же только отметим, что приведенные в настоящем пара­

графе	рассуждения представляют обобщения первоначального
метода	М. Рисса; случай		интеграла	(12.2)	при наличии весовой
функции (1 2 .1 ) для единичной окружности					рассмотрен в работах
[8 ,а), б)]. Затем		изучение	интеграла	(12.2)	было продолжено в
статье	[9], где	неравенство М. Рисса		было	обобщено на случай

кривых с ограниченным вращением.

Отметим также, что в рассуждениях настоящего параграфа остается открытым вопрос о существовании весовой функции (12.1), удовлетворяющей условиям (12.8), (12.9) и (12.13) в заданной области G с границей С, а в случае взвешенных пространств —

вопрос о	непустоте	множества	функций Ф (z),	для	которых
Ф (z) F1-P (z) е й р В		области G.
§ 13. Упражнения п дополнительные замечания к гл. III
13.1.	Как было показано в		п. 9.3, мера dp. (s)	может	быть построена

по функции (9.15) с помощью предельного перехода вдоль некоторой пос­ ледовательности pn -> 1:

p(s) = lim \ и (р , a)dn.

р« - 1?

Используя эту формулу и пптегрпруя по частям формулу (9.2), пока­ жите, что мера (s) однозначно определяется функцией и (р, а).

Семейство (9.15) полезно также для описания класса гармонических функций в едипичпом круге, представимых в виде интеграла Пуассона — Лебега (9.12). Этот класс может быть охарактеризовал тем, что семейство

(9.15)	при 0	< р < 1	равностепенно	абсолютно непрерывно па отрезке
[0,2я] (см. [28], а также [16]).
13.2.		Лемма 10.3 дает только достаточное условие для Ф (z), при кото­
ром она имеет функцию Бляшке. Необходимое и достаточное условие для
этого	состоит	в том,	чтобы иптеграл
		^ In |Ф(ре1*) |ds,		0 < р < 1 ,

представлял ограниченную на [0, 1] функцию от р (см., например, [5], гл. IX , § 3). Используя формулу Иенсспа, покажите, что зтот интеграл пе убывает при возрастании р (см., например, [16], стр. 36). Покажите также, что для равномерной сходимости на компактных подмножествах единичного круга последовательности (10.5) к произведению (10.6) условие (10.4) не только достаточно (лемма 10.1), но и необходимо.

Внутренние точки единичного круга представляют только часть мно­ жества, па котором сходится произведение Бляшке. Покажите, что это произведение, отвечающее последовательности (£п), сходится во всех точках открытого множества на комплексной плоскости, дополнительного к компакт­

ному множеству, состоящему из точек 1 /£ , и точек единичной окружности,