книги / Нерегулярные граничные задачи на плоскости
..pdf517.3 |
УПРАЖНЕНИЯ И ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ |
161 |
||
воли фупкция х + |h (х) | монотонна |
при 0 < х < л- |
Следовательно, |
если |
|
кривая |
С не имеет точек заострения |
и х -f- |h (i) [ < |
п при х < я, то |
этот |
радиус больше единицы. В работах [16, a), 6)J, посвящоппых обобщешио тео рии Радона па случаи грапичпых задач плоской теории упругости в областях с нерегулярной границей, рассмотрен случай h{x) = тsin 2 х/2, где т — число, |m I < 1 .
17.5. Рассмотрим функцию (14.1) с достаточно гладкой / (s) и для кривой Су. удовлетворяющей условию Ляпунова. Используя результаты §§ 15,16 и опираясь на упомяпутую в п. 17.1 теорему Рисса о норме линейного функ ционала в пространстве непрерывных функций, докажите, что
sup P f [<az (<т)] = |
sup ^ |d ю (o) f = К (C) < + * > . |
2фС |
zeC c |
С другой стороны, приведите пример кривой, удовлетворяющей последнему условию, по пе удовлетворяющей условию Ляпунова (такие кривые построе ны в [3J).
17.6. Пусть Юр (Л) — функция множеств, определенная формулой (4.14),
11 / (Q) ~ непрерывная •па поверхности F фупкция. Потенциалом двойного слоя с плотностью / вдоль поверхности U называется пптеграл
W (p) = w ] /( Q ) “ p ( rfQ)- |
(17.6) |
'р |
|
В предположении, что F удовлетворяет условию (4.11), докажите следующц утверждения: 1) в каждой точке Р ф F функция (17.6) непрерывна и удовлет воряот теореме о среднем, следовательно, является гармонической; 2) пре
дельные значения W * (Р) существуют в каждой точке Р €= F п выражаются формулами
w ± (P) = ± f(P) + 4 r [ f W )*р <^)- р е Л |
(17-7) |
3) интегральный оператор в последней формуле определен и ограничен в про странстве непрерывных на F функций (см. [2, а), б)]).
В работе [3] эти результаты обобщены на более широкий класс поверх
ностей по сравнению с рассмотренным в п. 4.10. |
0 с цептром в точке |
|||
Пусть Ft (Р) — пересечение F с шаром радиуса е > |
||||
Р. Радиус Фредгольма R интегрального оператора в формуле (17.7) определя |
||||
ется из формулы |
|
|
|
|
~7Г — 7ГГlim sup Var сор (Р , (Р)) = |
тйг lim sup |
\ fo P W )| (17.8) |
||
* |
° * е-»0 Р |
п е-»0 Р |
|
|
(см. [14, г)], а также [2, а]), [3]). |
|
|
|
|
17.7. |
Исследованию свойств интегральных операторов с ядром Коши |
|||
посвящено ряд работ А. Г. Джваршейшвилн. Так, в работе [10, а)] установ |
||||
лено, что сингулярный интеграл с ядром Коши существует почти во всех точ |
||||
ках кривой С: г = z (s), если выполнено хотя бы одно из условий: 1) кривая С |
||||
принадлежит классу Ьх в (см. п. 4.11,.формула (4.16)), а плотпость интеграла |
||||
суммируема |
вдоль кривой С\ 2) кривая С принадлежит классу Lq 0l, q > |
1, |
||
а плотность интеграла принадлежит пространству Lp (С), р = g / (g — 1) > |
1. |
|||
Условие |
С 6Е Lq<а, по крайней мере в случае утверждения 2), является |
только достаточным и может быть заменено более слабым: интегральный
6 и. и. Даиилюк
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ РАДОНА II КОШИ |
[ГЛ. IV |
модуль непрерывности (£>р (0, 6) (т. е. супремум интеграла |
(4.16) при |
|h|< б) обладает свойством |
|
|
(17.9) |
Ограниченность сингулярного оператора в Lp (С), р > 1, установлена в ме
нее общих предположепиях: кривая С удовлетворяет условию вида (2.6) н принадлежит классу LT<а, где г = max (р, р /{р — 1), причем (г — 1)/г <
<а < 1.
Вболее поздней работе [10, б)] был рассмотрен класс кривых С, обладаю
щий свойством
(17.10)
гдо h (о) — суммируемая на (0, S) функция. Считая по-прежнему, что вы полняется условие вида (2.6), было установлено, что сингулярный оператор с ядром Коши существует почти всюду на С и является ограпиченным опера тором в обычном пространстве Lp (С), 1 < р < оо.
Покажите, что каждая кривая, удовлетворяющая условию (17.10), об ладает также свойством (16.36).
17.8. Как показано в работе [26, а)], сингулярный интеграл Коши — Стилтьеса с п р о и з в о л ь н о й конечной мерой р вдоль спрямляемой кривой С существует почти всюду на С, если это утверждение имеет место для сингулярного интеграла типа Коши с каждой н е п р е р ы в н о й плотно стью. Достаточным для этого является условие вида (17.9), в котором подын
тегральная |
функция |
заменена |
на со* (0, 6)/6. В более поздней работе [26, б)] |
||
было показано, что |
|
если 0 (s) непрерывна и соа (0, 6)/б интегрируема в |
|||
окрестности пуля, где |
со (0, 6) — обычный модуль |
непрерывности, то син |
|||
гулярный |
интеграл |
с |
ядром |
Коши представляет |
непрерывный оператор в |
LP (C ),p > |
1. |
|
|
|
|
Принимая во внимание сказанное в начале п.13.10 и проводя рассужде ния, как при доказательстве леммы 16.2, убедитесь (см. [26, а)]), что сингу лярный оператор с ядром Коши вдоль некоторой кривой не может быть непрерывным в Lp, если кривая не удовлетворяет условию Смирнова (см. и. 11.3). Это утверждение может быть справедливым и для кривых Смирнова, пбо в пх числе существуют такие, что соответствующий интеграл типа Коши пе^преоб|разует даже непрерывные функции в суммируемые (пример построен
17.9. Пусть z(s0) — точка, в которой кривая С имеет касательную, и пусть С (s0, е)обозначает меньшую часть С, ограниченную точками г ($0 — е),
z (s0 + |
е). |
Очевидно, существует такое е0 > |
0, что 2 [ z (s) — z (s0) |> |s — s01, |
R e [ |
z ( |
s ) — z (s0)]} Ф 0 для всехz (s) е |
С (s0, е0),* ф so. |
Л. Д. Иванову (см. [11]) принадлежит следующее утверждение (е < е0): |
$ |
1 |
|
М-z (s) — z (so) s — so |
ds < 32я* - f |
|
С(и, е»)\С(«», е) |
:)1 |
(17.11)
УПРАЖНЕНИЯ |
И ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ |
ЗАМЕЧАНИЯ |
163 |
||
Рассмотрим величину |
|
|
|
|
|
z' (s) — г* (др) |
eiO(s)__ег®(»о) |
|
|
|
|
Re z (s )-z (s 0) |
= Ие, г (s) _ г {so) |ещв, *оГ = |
|
|
|
|
|
2 |
0(so)— 0(s) . |
9(я) + 0 (so)- |
Ц (s, so) |
|
= |
r*r*)-*'(«o)'|sin------ 2 |
5111 |
2 |
|
Покажите, прежде всего, что для кривых, удовлетворяющих условию (2.6), в частности для гладких кривых, имеет место оцепка
z'(s) — z'(so) |
| _ |
| O ( s ) - 0 (so)|2 + 2 | 0 (s)-O (s o )lh )(s . s o ) - 0 ( s o)| |
Г ' < М ~ М |
| < ° |
-----------------------------~ |
где Ci — некоторая постоянная, |s — s01— достаточно мал. Затем убедотесь, что для некоторой 0Я= const справедливо также неравенство
1
I Ф (s, S0) K Ог |0 [so + I(S - So)]I dl |
(17.13) |
о |
|
при достаточно малых |s — s0|. Считая систему координат выбранной так,
что 0 (s0) = |
0, н исходя из (17.12), (17.13), покажите, что |
|
|||
|
г' (s) — г' (so) |
|
О)2 (0, sp, I s — So I) |
0з = const, |
(17.14) |
|
z(s) — z (s0) |
< 0 3 |
I A—SO| |
||
|
|
|
|||
где (о (0, s0, |
б) — «модуль непрерывности функции 0 в точке s0»‘. |
|
|||
|
ю (0, so, 6) = |
sup 10 (so -f- A) — 0 (so) |. |
|
Пусть со (0, 6) = sup со (0, s0, б) — |
обычный модуль непрерывности функции |
0 (s). Предполагая, что функция со8 |
(0, 8) / б интегрируема в окрестности нуля |
и исходя из оценок (17.11), (17.14), докажите утверждение (аналог леммы |
|
16.3) об эквивалентности весов (16.14), (16.27). |
17.10. Как было отмечено в конце п. 16.8, результаты пн. 16.5 —16.G, касающиеся обобщения теоремы М. Рисса об ограниченности сингулярного оператора на случай взвешенных пространств Lp, были получены автором в работе [8, б)]. Уже после ее наппсанпя он познакомился со статьей [5], посвя щенной в первой своей части тем же вопросам. В обеих этих работах в слу чае единичного круга метод М. Рисса получил одно и то же обобщенно, а до казанные с его помощью результаты идентичны, хотя и сформулированы в
разных терминах. |
|
|
В более ранних работах |
[27], [1] |
рассмотрен случай р (s) = |s |“ , где |
— 1 < а < р — 1. |
|
функция внутри области <?+, ограни |
17.11, Пусть U — гармоническая |
||
ченной кривой Жордана 0 , |
а / (s) = |
U* — граничные значения этой функ |
ции па 0 . Пусть V — сопряженная к |
U гармоническая функция, обращаю |
щаяся в нуль в некоторой внутренней точке z0 £ С+. Предполагая, например, что U непрерывна в G+ + 0 , легко убедимся, что для спрямляемых кривых 0 почти всюду существуют предельпые значения V+ функции V. Формула Nf (*) = U + iV определяет оператор,который в случае единичного круга при го = 0 совпадает с классической формулой Шварца. Еслп той же буквой N
6*
164 |
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ РАДОНА II КОШП |
[ГЛ. IV |
|
|
обозначить оператор, сопоставляющий граличпому значению / (s) продель ные значения Nf+ (s) функции Nf (г), получим Nf (s) = / (s) + iSf (s), где S — оператор, обобщающий сингулярный оператор с ядром Гильберта
- i - ctg ~~2~~ • Ито установил (см. [12]), что оператор N (илп S) ограничен
в Lp (С), 1 < р < оо, если кривая С — гладкая. - 17.12. Введем в рассмотрение ядро
|
4—0 |
|
Ф (» - «) = |
| 5 «• (0; fl) db |, |
(17.15) |
|
о |
|
где а (6; 5) — модуль непрерывности функции 6 (s). Из рассуждений, при водящих к оценке (17.11), вытекает неравенство (см. [16, а)])
( |
e«*W |
i |
1 |
Reh |
( .) - « ( .) |
- 7 — |
)< ♦ ( * - |
Используя результаты § 16, а также сказанное в п. 17.9, убедитесь, что если ядро (17.15) порождает ограниченный в Lp (р2; С) оператор, то в условиях тео ремы 16.4 оператор Re {2л iKf [z (о)]} ограничен в том же пространстве, какова бы ни была гладкая кривая С, для которой со2 (0; 6)/6 интегрируема в окрестности нуля. Покажите затем, что в этих же условиях оператор Kf [z (о)] ограничен в Lp (рх; С) одновременно с оператором Nf [z (а)] (см.
п.17.11).
17.13.В статье [4] изучаются вопросы настоящей главы для того слу чая, когда линия интегрирования С представляет всю вещественную ось.
Граничные вопросы интегралов типа Коши, которым был посвящен § 15, в этом случае изучены удовлетворительно при самых общих предположениях о плотности этих интегралов (см., например, [24]), поэтому основное внима ние автор упомянутой статьи уделяет вопросам ограниченности сингуляр ных интегральных операторов во взвешенных пространствах. Сформулируем основные утверждения статьи [4] в этом направлении.
Пусть Wp_обозначает класс комплекснозначных функций р (х), опреде ленных на всей вещественной оси (—оо, оо) и почти всюду отличных от пуля
и бесконечности, причем ecxuf е Гр (— оо, оо), р > 1 , и если черезТ обозна чено преобразование Гильберта функции /, те. е. сингулярный интеграл вдоль вещественной оси с ядром Коши (х — у)-1 , — ос ^ х, у ^ + оо, то имеет место аналог неравенства Рисса
$ |Р ( * ) / ( * ) J |р(х) f(x)\Pdx,
где А — не зависящая от f постоянная. Пусть Ьр обозначает класс функций вида (х+ 0Ф+ (*), гдеф+ (х) — граничные значения аналитической в верх
ней полуплоскости у > 0 функции ф (г), удовлетворяющей аналогу усло вия (10.1)
|
sup \ \ n x + 'i y ) \ P d x < |
+ oo. |
Наибольшей |
общностью обладает утверждение леммы 4 из [4]: если |
|
р £ Lp и для некоторых констант vlt v2, v, — |
•< я, имеет место условие |
|
vi К Р arg р (х) ^ |
vlf то (по крайней мере для целых четных значений р) |
§ 17] |
УПРАЖНЕНИЯ И ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ |
165 |
вес р принадлежит классу Wp. Доказательство было получено |
при помощи |
|
естественного обобщения того метода, которым доказывается неравенство |
||
Рисса в классическом случае р = 1 па вещественной осн (см., например, [24], |
||
гЛ. X). Переходя от верхней полуплоскости к единичному кругу, убедитесь, |
||
что сформулированная лемма и результаты и. 16.5, по существу, эквивалент |
ны. Еще одним интересным результатом реферируемой статьи является ут верждение, эквивалентное теореме 16.5: веса вида (16.43) в условиях (16.44) принадлежат Wv (см. [4], лемма 9).
ная, |
17.14. |
Пусть z0 = z ($0) £ С |
- точка, |
в которой |
существует касатель |
||
и пусть |
в обозначениях п. |
15.2 z1 = |
z0 + |
it exp |
£ (0 (s0) + |
ф), |
|
га = |
z0 — is exp |
i (0 (s0) + ф). Исключая из формул |
(15.3) |
интеграл |
по |
||
С \ |
С (z0, |г — z0J) и обозначая |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ei°Cs.) |
Г |
1 |
1 1 |
(№16) |
|
h (». *>: * Ы) = -Щ - |
„ 7_ -„ |
|
||||||
убедитесь в справедливости |
предельного соотношения |
|
|||||||
|
|
|
lim \ Lt (s, so: ф (so)) dp (s) = |
р' (s0) |
(17.17) |
||||
|
|
|
е-»0 " |
|
|
|
|
|
|
почти для всех s0 е |
[0, 5]. Исходя отсюда, докажите утверждение: для того |
||||||||
чтобы интеграл |
типа |
Коши — Стилтъеса (15.1) обращался |
в интеграл |
||||||
Коши — Стилтъеса |
(т. |
е. |
чтобы |
предельное |
соотношение |
F+ [z (s)] = |
|||
= р ' (s) exp |
{— 10 («)} имело место почти всюду), необходимо и достаточно, |
||||||||
чтобы выполнялись аналогичные (13.3) |
условия |
|
|
||||||
|
|
( |
s*(«)dp(*) = 0, |
/t = |
0 , 1 , 2 , . . . |
|
|||
Относительно обобщений остальных утверждений из п. 13.5 см., например, |
|||||||||
[21,6)], гл. |
III, |
§ |
10). |
|
|
|
|
|
|
В статье [20] показано, что выражение (17.16) удовлетворяет условиям, |
|||||||||
которые накладываются на ядра так |
называемых сингулярных интегралов |
||||||||
в теории аппроксимации функций (см., например, [18], гл. X). Это позволило |
|||||||||
установить, что в случае гладких кривых С для абсолютно непрерывных мер |
|||||||||
р, dp (s) = / |
(s) ds, предельное соотношение (17.17) имеет место в смысле мет |
||||||||
рики Lp (С), если / ^ L p (С). |
|
|
|
|
|
||||
17.15. |
|
В заключение отметим работы [14, б), в)], посвященные изучению |
|||||||
плоских кривых и применению к теории потенциала двойного слоя. Главное |
утверждение статьи [14, в)] можно сформулировать следующим образом:
для того чтобы потенциал двойного слоя (14.1) с произвольной непрерывной плотностью / допускал непрерывное продолжение на замыкание G+ С обла сти G+, необходимо и достаточно, чтобы кривая С удовлетворяла плоскому аналогу условия (4.20)
2л
|
sup Vе (z) = sug ^ рс (z, a) de < |
4- 001 |
еде |
рс (z, а) — число точек множества { i : s £ [0, |
5], z (s) ф z, z (s) — z = |
= |
|z (s) — z |exp la). |
|
l(jfi |
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ РАДОНА П КОШИ |
ГГЛ. IV |
|
ЛИТЕРАТУРА |
|
||
1. Б а б е н к о ' |
К. И., О сопряжеппых функциях, ДАН 62, № |
2 (1948), |
|
157-160. |
10. Д., М а з ь я В. Г., С а п о ж н п к о в а В. Д., а) О по |
||
2. Б у р а г о |
|||
тенциале двойного слоя для нерегулярных областей, ДАН |
147, № 3 |
||
(1962), 523-525. |
|
||
б) |
К теории потенциалов двойного п простого слоя для областей с нере |
гулярными границами, Сб. «Проблемы матем. анализа. Краевые задали
и интегральные уравнения», Изд-во ЛГУ,. 1966.
3.Б у р а г о Ю. Д., М а з ь я В. Г., Некоторые вопросы теории потенциа ла и теории функции для областей с нерегулярными границами, «Наука» (Ленпнгр. отд.), 1967.
4. |
В и д о м |
X. (W i d о m Н.), Singular integral equations in |
Lp, |
Trans. |
|
5. |
Amer. Math. Soc. 97, № 1 (1960), 131-160. |
сопряжен |
|||
Г а п о ш к и п В. Ф., Одно обобщение теоремы М. Рисса о |
|||||
|
ных функциях, Матем. сб. 46 (68), № 3 (1958), 359—372. |
|
пере |
||
6. Г о л у з и н Г . М., |
Геометрическая теория функции комплексного |
||||
|
менного, |
«Наука», |
1966. |
|
|
7.Д а в ы д о в Н. А., Некоторые вопросы теории граничных значении аналитических функций, канд. диссертация, МГУ, 1949.
8. Д а н и л ю к И. И., а) О задаче Гильберта с измеримыми коэффициента ми, Сиб. матем. ж. 1, № 2 (1960), 171—197.
б) Лекции по краевым задачам для аналитических функций и сингуляр ным интегральным уравнениям, Изд-во Новосиб. ун-та, 1964.
в) Об ограниченности сингулярного интегрального оператора в простран ствах Lp с весом, Тр. Тбилисск. матем. ин-та 33 (1967).
г) Про обмежешеть в эваженнх просторах Lp потенщалу подпшпого шару^вздовж лши з обмеженим обертанням, ДАН УРСР, сер. А, № 9 (1968),
9. Д а н и л ю к И. И., Ш е л е п о в В. 10., а) Об ограниченности в Lp сингулярного оператора с ядром Коши вдоль кривой ограниченного вра щения, ДАН 174, 3 (1967), 514-517.
б) Про обмежешеть в зшикепих просторах Lp сипгулярнпх штегральпих оператор1в вздовж лшш з обмежепим обертанням, ДАН УРСР, сер. А.,
№ 3 (1969), 199-203.
10.Д ж в а р ш е й ш в и л и А. Г., а) Об особом интеграле, Тр. Тбилисск. ун-та, сер. мех.-матем. наук 84 (1962), 161—184.
б) Сингулярный интеграл и его некоторые применения, Тр. Тбилисск. матем. пн-та. 31 (1966), 71—90.
|
в) О функциях, |
аналитических |
в |
полуплоскости, Тр. Тбилисск. |
|
11. |
матем. ин-та 31 (1966), 91—109. |
|
|
||
И в а н о в |
Л. Д., О гипотезе Данжуа, УМН 28, вып. 4 (1963), 147— 149. |
||||
12. |
И т о (Ito |
W. Й.), |
On coniugate |
functions, Bull. Amer. Math. Soc. 57, |
|
13. |
№ 6 (1951), 469. |
Л. В., А к и л о в |
Г. Пм Функциональный анализ |
||
К а н т о p о в и ч |
в нормированных пространствах, Физматгиз, 1959.
14.К р а л И. (Krai J.), a) On the logarithmic potential, Comment. Math. Univ. Carolinae 3 (1962), 1, 3—10.
б) Some inequalities concerning the cyclic and radial variations of a plane
path-curve, Чехосл. матем. ж. 14 (89) (1964), 271—280.
в) On the logarithmic potential of the double distribution, Чехосл. матем. ж. 14 (89) (1964), 306-321.
г) The Fredholm radius of an operator in potential theory, Чехосл. матем. ж. 15, № 3,4 (1964), 454-473, 565-588.
д) О потенциале двойного слоя в многомерном пространстве, ДАН 159, № 6 (1964), 1218-1220.
ЛИТЕРАТУРА |
167 |
|
15.Л о п а т и 11 с к и й Я. Б., а) Об одном способе приведения граничных задач для системы дифференциальных уравнений эллиптического типа
12§СГ 151^ПЫМ МптегРалышм Уравнениям, Укр. матем. ж. 5 Ns 2 (1953),
б) Про один тип сингулярных !птегралышх р1вняпь, Теор. i прикл. матем., вип. II, Львовой, уп-т, 1963, 53—57.
16. М о г п а р а д в е |
Л. Г., а) |
Основные задачи плоской теории упругостп |
|
для коптуров с угловыми точками, ДАН 16, Л? 3 (1937), |
157—161. |
||
б) К решепию основных задач плоской теории упругости для коптуров |
|||
с угловыми точками, ДАН 19, № 9 (1938), 673—676. |
уравнения, |
||
17. М у с х е л н ш в п л н |
II. И., |
Сингулярные интегральные |
|
«Наука», 1968. |
|
|
|
18.Н а т а и с о п И. П., Теория функций вещественной переменной, Гостехиздат, 1957.
19.П а р а с ю к Е. Н., Об одном классе сингулярных интегральных урав нений, капд. диссертация, Львопск. ун-т, 1964.
20. П р е о б р а ж о л с к и й С. П., |
О сингулярных интегралах |
И. И. Привалова, Сиб. матем. ж. IX , № 2 (1968), 340—347.
21.П р и в а л о в И. И., а) Иптеграл Couchy, Саратов, Изв. Ун-та, физ.- матем. ф-т, 11, 1 (1918).
б) Граничные свойства аналитических функций, Гостсхиздат, 1950.
22.Р а д о й И. (Radon I.), Ober die Randwertanfgaben beim logarithmischen Potential, Sitzungslericbte Acad. Wiss. Wien 128 (1919), 1123—1167; есть русск. перевод: О краевых задачах для логарифмического потенциа ла, УМЫ 1, вып. 3 - 4 (13-14) (1946), 96-124.
23. |
С и м о и с п |
к о |
И. Б., а) |
Краевая задача Римана |
с непрерывным |
||||
|
коэффициентом, |
ДАН 124, |
№ 2 |
(1959), 278—282. |
|
||||
|
б) Краевая |
задача |
Римана |
с |
измеримым |
коэффициентом, ДАН 135, |
|||
|
№ 3 (1960), 538-541. |
|
|
|
|
|
|||
|
в) Краевая задача Римана для п пар функций с измеримыми коэффициен |
||||||||
|
тами и ее применение к исследованию сингулярных интегралов в простран |
||||||||
24. |
ствах Lp свесами, Изв. АН СССР, сер. матем. 28, N° 2 (1964), 277—306. |
||||||||
Т и т ч м а р ш |
Е., |
Введение |
в |
теорию |
интегралов |
Фурье, Гостех- |
|||
|
издат, 1948. |
|
|
|
|
|
|
|
|
25.У о л ш Дж. Л., Интерполяция и аппроксимация рациональными функ циями в комплексной области, ИЛ, 1961.
26.X а в и и В. П., а) Граничные свойства интегралов типа Коши и гар монически сопряженных функций в областях со спрямляемой границей,
Матем. сб. 68, (НО), № 4 (1965), 499-517. |
|
||
б) О непрерывности |
в Lp интегрального оператора с ядром Коши, Вест |
||
ник Ленингр. ун-та, |
сер. матем.-мох. 7, вып. 2, (1967), 103—108. |
Some |
|
27. Х а р д и и Л п т т л ь в у д . (Hardy |
G. Н., Littlewood J. Е.), |
||
more theorems concerning Fourier Series |
and Fourier power Series, |
Duke |
J.Math. 2 (1936), 354-382.
28.Х в е д е л и д з е Б. В., Линейные разрывные граничные задачи теории функций, сингулярные интегральные уравнения и некоторые их прило жения, Тр. Тбплисск. матем. пп-та 23 (1956), 3—158.
29. Х е л ь с о п и С е г е (Helson |
Н ., Szego G.), A problem in prediction |
theory, Ann. mat. pura ed appl., |
Serie 4, LI (1960), 107—138. |
30.Ш е л е п о в В. IO., О задаче Римана в областях, граница которых имеет ограниченное вращение, ДАН 181, Ns 3 (1968), 565—568.
Г л а в а V
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ
Настоящая глава посвящена теории граничных задач. Сначала изложены основные результаты Радона о краевых задачах Дирих ле и Неймана в областях, граница которых имеет ограниченное вращение и не имеет точек заострения. Затем исследуется задача линейного сопряжения с одной неизвестной голоморфной функ цией. При этом рассуждения следуют классической схеме, а все построения, в том числе и формулы для индекса, носят вполне эффективный характер. Основные предположения сводятся к сле дующему: граница области есть либо кривая Ляпунова, либо кри вая Радона без точек заострения; модуль коэффициента краевого условия в существенном отграничен от нуля и бесконечности; аргумент этого коэффициента есть сумма непрерывной функции и либо функции ограниченной вариации, либо достаточно малой (по существенному максимуму модуля) измеримой функции. Далее излагается теоретико-функциональный метод И. Б. Симоненко, причем основное внимание уделено обобщению метода на случай задачи линейного сопряжения со многими неизвестными голоморф ными функциями из класса Ер, 1 < р < оо . После этого в соответ ствующих предположениях строится теория сингулярных интег ральных уравнений. В заключение мы приводим дополнительные результаты Радона, некоторые многомерные обобщения, теорию нерегулярных ^ задач Римана — Гильберта, ряд утверждений гомотопической теории рассматриваемых задач и некоторые дру гие результаты.
§18. Задачи Дирихле и Неймана
18.1.Обозначим, как обычно, через G+ некоторую односвязную конечную область со спрямляемой границей С и предположим, что наСзадана вещественная функция <р. Внутренняя задача Дирих ле состоит в том, чтобы определить однозначную вещественную функцию в, гармоническую внутри области G+ и принимающую
па С предельные значения <р. Точный смысл последнего условия каждый раз должен быть уточнен в зависимости от классов функ
S 18] |
ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ И НЕЙМАНА |
ций, которым принадлежат ф и и. Пусть линия С имеет ограни ченное вращение, а функция ф непрерывна. Решение задачи Дирихле будем в этом случае разыскивать в классе непрерывных на G+ + С функций, причем граничные некасательные значения искомого решения должньг совпадать с ф в каждой граничной точке.
Согласно теореме 14.2, всем этим условиям удвлетворяет по тенциал двойного слоя
и (л, у) = - ^ / (s)daco2(s), |
г = х + iy е <?+, |
(18.1) |
плотность которого / непрерывна на |
С. Вычисляя граничные зна |
чения интеграла (18.1) по формуле вида (14.9) и приравнивая их заданной функции ф, для определения плотности / получаем урав нение
Но) + 4 |
+ |
W = Ф.(«>. |
(18.2) |
в котором надо полояшть к = 1, |
фх = |
ф. |
|
Обозначим через G~ дрполнение к G+ •]- С до всей плоскости |
переменного z = х + iy- Внешняя задача Дирихле состоит в том, чтобы определить вещественную однозначную функцию, гармо ническую в каждой конечной внутренней точке области G~, огра ниченную на бесконечности и принимающую на границе С нека сательные предельные значения (—ф). Пусть ф непрерывна на С и пусть решение ищется в классе непрерывных на G~ + С функ ций. Потенциал (18.1) исчезает на бесконечности, следовательно, искомое решение надо разыскивать в виде суммы интеграла (18.1) с неизвестной плотностью / и некоторой, тоже неизвестной, вещественной постоянной а. Снова опираясь на теорему 14.2 и ис пользуя формулу (14.9) применительно к области G~, для непре рывной на С плотности / ползшим уравнение (18.2), в котором надо
положить к = —1 и фх = ф + с. |
Lp (с), 1 |
< |
Можно также рассмотреть случай, когда <р ;^ |
||
< оо. Пусть Ф (z) = и -f- iv — соответствующая |
аналитическая |
функция, мнимая часть которой v в некоторой внутренней точке равна нулю. Будем разыскивать решение и задачи Дирихле в классе функций, для которых Ф (z) е Ер (G±), а некасательные предельные значения почти всюду на С совпадают с (±ф) соот ветственно. Если кривая С не имеет точек заострения, .то, соглас но лемме 16.2, потенциал (18.1) принадлежит требуемому классу, если / Lp (С). Пользуясь формулами вида (15.11) и приравни вая предельные значения и± к заданным функциям ( + ф), снова приходим к уравнепшо (18.2) с соответствующими к и фх.
170 |
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ |
Lrjl. V |
Будем обозначать символом mes меру Лебега на прямой. |
||
Если z — z ($), 0 |
s < £ ,— параметрическое уравнение |
кри |
вой С, отнесенное к длине дуги, то, полагая для каяч-дого измери
мого по Лебегу множества Е С |
(О, S) mes z (Е) = |
mes |
Е, |
полу |
чим меру на С \ {z (0)}. Если |
доопределить эту |
меру |
условием |
|
mes {z (0)} = 0 и требованием аддитивности, то |
получим |
меру |
на С. Будем называть ее мерой Лебега на С и обозначать тем же символом mes.
Рассмотрим теперь пространство Д» (С) ограниченных измери мых относительно меры mes функций на С, норма в котором определяется как существенный максимум модуля функции от носительно меры mes. Если q> е Д» (С), то решения задач Дирих-. ле будем разыскивать в классе ограниченных гармонических функ
ций, чьи некасательные предельные значения |
|
почти всюду |
||||||||||
на С совпадают с (±<р). На основании теоремы 14.1 потенциал (18.1) |
||||||||||||
ограничен для любой плотности / е |
Д« (С), следовательно, с его |
|||||||||||
помощью эадачи Дирихле снова редуцируются к уравнению |
||||||||||||
(18.2) |
при \ = ± 1 соответственно. |
|
|
|
|
|
||||||
Займемся исследованием аналитического выражения для соп |
||||||||||||
ряженного оператора Т*, когда исходный оператор |
Т рассматри |
|||||||||||
вается в одном из только что отмеченн ых пространств. |
|
|||||||||||
18.2. |
|
Начнем с пространтсва Lp (С , 1 < |
р < оо. В этом слу |
|||||||||
чае оператор Т определяется формулами (14.11), |
(14.12) как син |
|||||||||||
гулярный |
интеграл |
в смысле |
Коши. Сопряженным |
к Ьр (С), |
||||||||
1 < |
р < |
оо, будет пространство Д, (С), |
q = pl(p — 1). Общий |
|||||||||
вид линейного функционала |
в |
Lp (С), 1 < р < |
о о , |
дается фор |
||||||||
мулой |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l(f) = |
[f(s)dp(s), |
|
|
|
(18.3) |
|||
где |
dp, (s) = g (s) ds, |
g (s) e |
Lq(С) |
(см., |
например, [19], гл. IV, |
|||||||
§ 8, |
п. 1, |
или [21], |
гл. |
VI, |
п. 2.2). Согласно |
определению, |
||||||
Т* g (/) |
= |
l (Tf) для |
всех |
/ е |
Lp (С), |
1 < р < |
оо. |
Подстав |
||||
ляя в формулу (18.3) вместо / (s) функцию Tf (s), определенную |
||||||||||||
формулой |
(14.11), и |
считая, |
что |
dp (о) = g (a)d о, |
получим |
|||||||
|
|
|
П « з 1 (Г 1 ) = |
|
|
(o)de J *(»,«)/(»)*• |
|
(18.4) |
Примем теперь во внимание, что ядро (14.12) есть мнимая часть ядра z' (s)/[z (s) — z (а)] и что в силу теоремы 16.1 формула (16.9) имеет место для произвольных функций / e i p (С), 1 < р < < оо, g g L (С), q = pl(p — 1), если кривая С не имеет точек заострения. На основании этого можно переставить в формуле