книги / Нерегулярные граничные задачи на плоскости

$ 19]	За д а ч а Ли й е й н о Го с о й р я ж ё н и я	201

из возможных значений, получим, что е зависит только от р. Рас­ смотрим последовательиость

	N+n
U~N,n (s) =	II IZ (s) — z (st) f 6*,	n = 1, 2, . . .	(19.34)
	k=N
Поскольку 6fcp <	1 для всех /с > TV,	конечные произведения

(19.34) принадлежат пространству L~(0, s) при всех п = 1, 2, . . .

Оценим их норму в этом пространстве. С этой целью положим

N+n

en= l —p S 6t> e > 0, ге = 1, 2, ...,

k=N

а затем определим числа рк,п из соотношений рри.п&ъ. = 1 — еп. Тогда получим

"я	w+n	n = 1, 2 ,...
=	S _ ! _ = l,
П-,П	.S , P».n

Теперь для оценки нормы произведения (19.34) воспользуемся обобщенным неравенством Гёльдера (см., например, [39], стр. 169)

	S П	/«(*)<*«<П	J	1,11. л > о ,	2	f	=	i.
	"А=1	v=i w			jf=i	rk
Последовательно получаем
S		SJV+n
^ «	( . ) *	= ( П |*(«) -	*
У		У
		в АГ+п
		N+n S		VPk.n	S>		ds
Мы	воспользовались тем,		что |z (s) — z (sk)		|	1	и	e„ >> e.

И для кривой Ляпунова, и для кривой Радона без точек заостре­ ния последний интеграл в полученном неравенстве представляет ограниченную функцию на С, на зависящую от п. В силу извест­ ной леммы Фату (см., например, [31], гл. VI, § 1) бесконечное произведение

П !*(*)-*(*»)Г**

k=N

202

Кр а е в ы е з а д а ЗД

trn . V

принадлежит	пространству Lv (С).	Представим СГ1 (s) в виде
		W-1
СГ1 (а) =	Щ1(a) ITN ($)» где	= П I * (* )-* (* * ) Г** .
		k*=l

и обозначим через д0 точную верхнюю грань всех чисел д, удов­ летворяющих неравенству (19.33):

й - Ш - г -	(19.35)
к °к
Тогда произведение Щ1(а) при любом	конечном N принадлежит,
очевидно, пространству Lgo_,0 (О, S),	каково бы пи было е0 > 0.

Докажем сейчас, что тем же свойством обладает и все произве­

дение ЕГ1.				0.
Пусть е0 > О вадано и фиксировано, и пусть д ~ д0 —
По неравенству Гёльдера		^ S
S	S
		(Ц сУ Ч з)*} ,		(19.36)
если только числа	т, г и N удовлетворяют условиям
4 г + Т " = 1’	S	g m = g 0- e i ,	0 < ех<	е0.
	к=N	1
Для любого е1( 0 <	ех < е0, из последнего соотношения определим
число т: т = (q0— ex)/(g0 — е0) > 1. Тогда			из первого	соотно­
шения получаем г = {q 0 — е1)/(е0 — в]) > 1.			Наконец,	остается

выбрать такое (наименьшее из возможных) число N, чтобы выпол­ нялось второе из выписанных соотношений; это всегда осущест­ вимо в силу условия (19.30). Произведение гд играет роль числа р, фигурировавшего выше, и подходящим выбором е0, ех < е0, его всегда можно сделать большим единицы. Из ограниченности пра­ вой части (19.36) вытекает, что U~l (а) принадлежит Lq (С), д =

= Яо -	е0 > 0.	д0. Тогда хотя бы для одного к имеем
Рассмотрим числа д >
6 f t ? > 6 ftg0 = 1 . Кроме		того,
и -' (S) =	— --------- 5-------------> -----------1---------- для всех А =			1,2,...
	П	' ■ « - W	‘	'
	m=l

Поэтому, как в случав кривой Ляпунова, так и в случае кривой Радона без точек заострения, IT1 (а) не принадлежит простран­ ству Lq (С), д > д0. Таким образом, доказана

S 10]	ЗАДАЧА ЛИНЕЙНОГО СОПРЯЖЕНИЯ
Л е м м а	19.5. Пусть С — произвольная кривая Ляпунова или

кривая Радона без точек заострения. Предположим затем, что {5л} — произвольное не более чем счетное множество точек сег­ мента [0, SJ, {6/J — той же мощности множество положитель­ ных чисел, удовлетворяющих условию (19.30), а число qQопределено формулой (19.35). Тогда бесконечное произведение

и~г(*) = П и * ) - * ы Г Б*

к

принадлежит пространству Lq<rt (С) при любом г, 0 < е < q0, и не принадлежит пространствам Lq (С) при q > q0.

Лемма 19.5 доказана в работе 117, д)], § 3 (см. также 117, л)], § 5), для того случая, когда С — единичная окружность. Пред­ ложенный там способ ее доказательства без всяких изменений применим также и в условиях леммы 19.5, и мы изложили его выше.

Докажем теперь формулы (19.28), (19.29) в общем случае. С этой целью построим последовательность функций скачков

Qi,.(0) = 0, Qln(*) =	2	^ + [ £ 2 1(S) - £ 2 1(S- 0 ) b 0 < s < 5 ,
	0<sj.<s
	fc<u
сходящуюся при n	оок функции (s), построенной по формуле
(19.5), в каждой точке s		Ю, 5J. Кроме того, последовательность

{Я1п (s)} имеет равномерно (по п) ограниченные вариации и поэтому является ограниченной. Следовательно, она сходится к Ях ($) и в смысле метрики Lp (0, s) при р > 1, а поскольку в условиях леммы 19.4 сингулярный оператор вида (19.28) непрерывен в

Lp (0, 2л) при	р >	1, имеем
1 С г» ,	ЧTJ	dz(s) V c>

JПШ (*) Re ,(,)_ *(< j) ТГсГ

Теперь заметим, что, согласно одной теореме Ф. Рисса, из каждой последовательности функций, сходящейся к некоторому пределу в смысле метрики Lp, можно выбрать подпоследовательность, сходящуюся к тому же пределу почти всюду (см., например, [31], гл. IV, § 3 и гл. VII, § 2). Следовательно, предыдущее предельное соотношение для некоторой подпоследовательности {пк} имеет место почти всюду. Запишем теперь равенство (19.20), соответст­ вующее функции Qlnft (s), и перейдем к пределам: слева на основа­

нии только что сказанного, справа — на основании леммы 19.5. Это приводит к утверждению леммы 19.4 в общем случае.

19.8. Как вытекает из формул (19.10), (19.16), функция Zx (z) представляет собой произведение четырех функций Zx* (z), ; =

204 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ [ГЛ. V

=	1, 2, 3, 4. Результаты предыдущих пунктов дают возможность
выписать модуль предельных значений Z? lz (s)J, по		которому,
в	соответствии с теоремой 11.6, можно будет точно	определить

класс функции Ъх (z). Введем несколько	обозначений.	Пусть,
прежде всего,
[i(.)J| = 0 f t o ^ f e w	i f W l " 1-	(19.37)

Согласно утверждению (i) леммы 19.3 при выполнении условий

(19.3) имеем
sup vrai {Ux (s), i/U^ (s)} = il/0< + со;	(J9.38)
0<s<S

если же имеют место только условия (19.2), то для кривых Ляпу­

нова, как следует из разложения (19.14), условию вида (19.38) о .

удовлетворяют функции Uf (s)-

Для функций (19.16) модуль граничных значений изнутри облас­

ти G+ совпадает, очевидно, с модулем граничных		значений изну­
три области G~. Поэтому обозначим
|ZOU [z (з)] |== U, (з),	/ = 2 , 3,	4.	(19.39)

Из утверждения (Ш) леммы 19.3 вытекает, что как для кривой Ляпунова, так и для кривой Радона имеют место включения

Uг(s) ^ Lq (С), 1A (s)f=L'(C ),		0 <	? < оо,
о	. (о).		(1У.41))
C7,(s)= |* (»)-«(0) Г*» ^
здесь h(00) — число	(19.19).	на	два множества:
Разобьем, далее, множество скачков

в первое отнесем все положительные числа К\ среди скачков hh, во второе — все отрицательные числа среди скачков hh] абсо­ лютные значения скачков второго множества обозначим через

/&к. Будем считать множества {hf} занумерованными в порядке

невозрастания чисел hjj\ Соответственно разбиению множества {hh) разбивается и множество точек {зл}: в первое множество

(4} попадают точки разрыва с положительными скачками, во

второе — {Sfc} — точки разрыва с отрицательными скачками. Затом полагаем

o f W= ПI« to - « (<#) Г*'”,	(19.41)
k

причем произведение каждый раз распространяется либо на все множество {4}, либо на все множество {s*}. Пространства, ко-

§ 19] ЗАДАЧА ЛИНЕЙНОГО СОПРЯЖЕНИЯ

205

торым принадлежат функции i/Uf (s), определяются на основании леммы 19.5.

Наконец, если С — кривая Ляпунова или кривая Радона без точек заострения, a Q2(s) удовлетворяет условиям (19.17), то па основании второго утверждения леммы 19.3 имеем включения

V i\ s)e L rt,(C),

(19.42)

где е > 0 — достаточно малое число.

Принимая во внимание принятые в этом пункте обозначения,

а также формулу (19.29), получаем	’
z f [г (5)1 |= v f (s) иг(s) Щ (s) [tfj (s)]'1 и, (s) |г (s) -	z (0)

(19.43)

Рассмотрим некоторые частные случаи этой формулы. Пусть сначала функция D (s) непрерывна в смысле Гёльдера и не обра­ щается в нуль, а кривая С удовлетворяет условиям Ляпунова. Как отмечалось в п. 19.2, в этом случае отсутствует последнее слагаемое й 2 (s) в формуле (19.6) и имеет место формула (19.7).

Следовательно, Л(00) — = 0, поэтому отсутствует последний множитель в формуле (19.43). Далее, каждое из произведений (19.41) содержит только конечное число сомножителей, показа­

тели которых равны единице, а функции C/f, U2, l/t/*, 1/U2 удовлетворяют условию Гёльдера на границе С. Формула (19.43) принимает вид

IZf[Z(s)lI= V t (5)ВД П IZ(5)—2<iQIПI*(5)— *(4)Г'•(«•«)

кк

Таким образом, в каждой точке z (s£), где функция Q (а) имеет скачок (— 2л), функции Z± [z (s)l имеют нуль первого порядка,

а в каждой точке z (s*)> где Я (s) имеет скачок 2л, функции Zf \z (s)l имеют полюс первого порядка. Это — классический случай.

Более общие предположения, когда Q a (s) ~ 0, £2„ (s) — не­ прерывная на [0, S] функция a Qx ($) — произвольная функция скачков, приводят к формуле

IZ ? [г (5)11-	E f (5) О, (5) и ; (5) 10} (5)Г* I 5 (5) - 5 (0)			=
= и ? (5) Р,(5)П 12 (5) - г (JS)Г;,г”			П 1 2 (5) — г (5Й Г**»" X
	к--	-	*
В. условиях	(19.3)	X | z (s )-z (0)		(19.45)
		имеет место	(19.38), следовательно,	порядок

пространства Ьр, которому принадлежат функции |Z^\, 1/| 2 ? |, определяется условиями (19.40) и леммой 19.5.

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ [ГЛ. V

Отметим также третий важный случай, когда в формуле.(19.6) отсутствует слагаемое й х (а). Формула (19.43) принимает вид

I z ? [< («)] |= u t (>)V, (>) (/, («) I * («) - * (0) |*SV (19.46)

Число х (Z3) = hff/2я будем считать в этом случае целым и на­ зывать индексом краевого, условия (19.1). В условиях (19.3) по­

рядок суммируемости функций |Z fl, 1/| Z fl определяется ве­ личиной х {D) и включениями (19.40), (19.42).

19.9. Приступим теперь к анализу однородной задачи ли­ нейного сопряжения

Ф+ lz (a)J - D (а) ф - [я (s)] = 0

(19.47)

в постановке п. 19.3. В настоящем пункте будем считать, что имеют место условия (19.2), а кривая С удовлетворет условиям Ляпунова. Если Ф (z) е Ер- (G~), Ф (z) GE -Еб (G+) при некотором

б >	0 и удовлетворяет условию (19.47), то на самом деле Ф (z) е
е	£ р+ ((?+), где р+ = r+p7(r+ - f р“).		Очевидно,	р + <	р- ,		если
г+ <■ +		оа Можно было бы задаться числом р+ >		1, и тогда из
(19.47)		получили бы значение р~ = г~р+/(г~ + р+). В			условиях
(19.3)		имеем г+ = оо, р+ = р- , и общее значение р+			=	р”	будем
обозначать через р.			можно выразить			в	виде
	Из	условия (19.12) функцию D (а)

отношения ZjVZi* Подставляя это значение/) (а) в условие (19.47), приходим к выводу, что функция ¥ (z) == Ф (z)/Zi (z) почти всюду удовлетворяет простейшей задаче (19.9). Если бы оказалось, что Y (z) £= Ех (G+), то из леммы 19.1 вытекало бы, что отношение ФIZi тождественно равно некоторому многочлену. Тем самым мы получили бы общее решение задачи (19.47). Поскольку в общем случае это не так, поступим несколько иначе.

Построим кусочно-голоморфную функцию
-Z(z) = Z 1 (z)-fl (z)	(19.48)

и подберем рациональную функцию R (z) так, чтобы она имела нули и полюсы только па границе С и чтобы имело место вклю­ чение

		12Г [z (а)] Г1 е= Lv.~ (С),	р'~ = р-/(р- -		1).	(19.49)
Наряду		со скачками hk в точках z (aft),		0 < sk <	5,	число /г0 =
=	—	hf\ где h$\ h^ определены	по	формулам	(19.27), (19.19)

соответственно; играет роль скачка в точке z (0). Определим целое число х0 (D), исходя из условий

= 2л■XQ(D) ho, 0 < f c j < 2л, (19.50/

S 19]

ЗАДАЧА ЛИНЕЙНОГО СОПРЯЖЕНИЯ

207

и присоединим точку 4' = 0 к множеству (4b а скачок ht — к множеству {fe£}. Вновь полученные множества точек и скачков в

них заново перенумеруем в порядке невозрастания значений ht- Сделаем также дополнительные предположения

г+> - Г . * - > т £ т .

(19.51)

где v — число, участвующее в первом неравенстве (49.17), и «обозначим

д° = (2г+ —1)р~—(I + vP~)2г+ *	(19.52)
Распишем теперь подробно функцию |Z~ [z (s)J |	в соответствии

с формулами (19.48), (19.43) и (19.37) и примем во внимание огра-

о

ниченность функций [£/Г (s)J-1, U\ (s), включение (19.40) при достаточно больших д, условие D е Zr+ (С) и включение вида (19.42) с заменой р на правую часть последнего неравенства (19.51).

Функцию	Л (г) будем	разыскивать в виде
		х-(П)
	я ( » ) - ! *	— * С0))^№> П (< - г (si))-1,	(19.53)
		*=1
где целое	число н0 (D) определено формулой (19.50),		а число
(D) выберем так, чтобы выполнялись условия

£ > т Ь

г = » (° ) + 1.......*i(D) + %(D) = X-(D), (19.54)

участвующее здесь число q0 задается формулой (19.52). Целые числа xlf хГ условиями (19.54) определяются одновначно, и, как показывают несложные вычисления, из обобщенного неравенства Гёльдера и леммы 19.3 вытекает требуемое включение (19.49).

Число (19.52) всегда больше единицы, поэтому в общей ситуа­ ции каждое из условий (19.54) нетривиально. Если h0< 0, то число х0 (Ь), как следует из (19.50), отрицательно, следовательно, функция Л-1 (z) является многочленом; если же h0> 2л, то Л"1 (z) имеет в точке z = z (0) полюс порядка х„ (Л).

Из (19.12) следует, что функция (19.48) почти всюду удовлет­ воряет условию (19.47). Заменяя в рассуждениях, предшествующих

208

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ

[ГЛ. V

формуле (19.48), функцию Zx (z) иа Z (z) и опираясь па включеппо (19.49), приходим к выводу, что каждое решение Ф(г) однородной задачи (19.47), принадлежащее классу Ер- (б- ), может быть пред­ ставлено по формуле

ф ( < ) = г ( . ) р ; ( . ) ,	(19.55)
где Рп (z) — некоторый многочлеп порядка и.	Как следует из

формулы (19.10), фупкция Zx (z) на бесконечности равна единице, поэтому функция (19.48) имеет па бесконечности порядок x0(D) —

— х ' (D). Поскольку	порядок	решения	Ф на бескопечности не
должен превосходить	числа к, из формулы (19.55) следует нера­
венство		х- (D) < к.		(19.56)
п + х0 (D) -
Приходим к следующему утверждению			(ср. [17, л)],	§ 7):

Т е о р е м а 19.1. Предположим, что граница С удовлетворяет условиям Ляпунова, коэффициент D краевого условия (19.1) удов­ летворяетусловиям (19.2) и имеютместо формулы (19.51), (19.52),

в которых v — число	из первого неравенства (19.17). Тогда
(i) Функция Z (z),	построенная по формулам (19.48), (19.10),

(19.53), (19.50) и(19.54), почти всюду удовлетворяет однородному условию (19.47) и обладает свойством (19.49).

(и) Все решения Ф (z) однородной задачи (19.47), припадле- . жащие классу Ер- (G~), представимы по формуле (19.55), в ко­

торой Рп (z) — произвольный многочлен, порядок которого п удов­ летворяет соотногиению (19.56).

(iii) Задача (19.47) в классе	Ер- (G~)	имеет конечное число I
линейно-независимых над полем	комплексных чисел решений, по­
рядок которых на бесконечности не превосходит к. Число I удов­
летворяет неравенствам
0 < I < шах (0, х" (D) -Нс -		* 0 {D) + 1}	(19.57)

и совпадает с количеством независимых комплексных параметров

(коэффициентов)	многочлена Рп (z), для			которого имеет место
условие (19i56) и	включение
	Z -[z (s )| P „[z W ]e iP- ( 0 -				(19.58)
В заключение отметим, что оценка (19.57) означает следующее:
= 0, если х"(Л ) +		к — х0 (D) <	0,		(19.57')
0 < I < к" (D) +	к -	х0 (D) + 1,	если х‘	(D) + к -	х (D) > 0.

19.10.Дальнейший анализ однородной задачи (19.47) связан

сболее точным описанием многочлена Рп (z) из формулы (19.55),

§ 10] ЗАДАЧА ЛИНЕЙНОГО СОПРЯЖЕНИЯ 209

удовлетворяющего условиям (19.56), (19.58). Это позволит нам в более конкретизированных условиях уточнить оценки па число /. Соответствующие рассуждения проведем в следующих допуще­ ниях: 1) граница С является либо кривой Ляпунова, либо крнвой Радона без точек заострения; 2) модуль функции D (а) удовлетво­ ряет условиям (19.3). Что же касается функции (19.6), то в на­ стоящем пункте будет изучен случай, когда отсутствует слагае­ мое й 2 (а).

В принятых условиях г* = оо, р+ = р~ = р, второе условие (19.51) означает, что р > 1, третье — совпадает с третьим усло­ вием (19.17), а число q0, определенное формулой (19.52) при v = = 0, совпадает с числом р' . Вследствие этого условия (19.54) принимают вид

К	1		(р )
W > T .		г = 1 , 2 , , . . , М Д ) ,
АГ	1	(Р)	(Р)	(Р)	(Р)
ж —	у - .	г = Х,(0 ) +	1....... к,(В ) +	х,(В) =	к-(В). (19.59)

* Г < 7 "

Для каждой конкретной функции D целые числа, определяемые этими соотношениями, зависят только от р, что видно иэ обозна­ чений. В частности, когда функции D*1 удовлетворяют условию Гёльдера и р "> 1, эти числа сохраняют одно и то же значение для

(р)

(р)

(р)

всех р, причем н2 (D) = 0 , a Hi (D) = vT (D) означает количество точек, в которых аргумент функции D (а), определенный по схеме

п.19.2, имеет отрицательные скачки.

С помощью соотношений, «дуальных» к (19.59), определим еще

(р)(р )

два целых числа х3 (D), к4 (D):

				г =	<Р)
2я ^		р	’		1 ,2 ,...,х 3(Я),
i L	=	j _	’	г =	* (В) + 1. . . % (О) + *. (В) = $• (В). (19.60)
2it		р
2it	^	в	’	г > $ ( В ) .

В отмеченных только что классических допущениях х4 (D) = 0,

<Р> /«V

а число x3.(Z?), пе зависящее от р, означает количество точек, в которых функция И (а) имеет положительпые скачки.

210 КРАЕВЫЕ За д а ЧЙ 1ГЛ. V

Построим функцию

	(р)	(р)		(р)	(Р)
	*J№H-X«(D)			xt(X))-)-x,CD)
Z (z) = z (z)	f l		[Z — Z (Sr)]		П	[z — z (sDJ =
=Zx (z) [z -	z (0)]x^		П	[z -	z (|4)]	П	[z - z	(19.61)
Из формул (19.61), (19.45), (19.50) следует, что
|Z “ [z (a)] |=
	П	| z ( s ) - Z (S-r) l ^ 2" T f T I , (*) _					, (,+) l1-	^

^. (19.62)

П|2 (S)- z « ) fr1** U\Z(S)-Z (S~r) |1_7‘r/a"

r>*j+x« r=i

Из первой строчки (19.59) следует, что 1 — hT/2n < 1 — 1Ip' = = Ир, г = 1, 2, . . ., xlt кроме того, в силу последней строчки

(19.60)	имеем hp2n < 1/р при г >	к3	к4. Так как числитель в
(19.62)	ограничен, то из леммы 19.3 вытекает, что вся дробь при­
надлежит пространству £ „+е (С)		при	достаточно малом е > 0.

Вспоминая затем формулы (19.38), (19.40), приходим к выводу, что

Z-[z(s)]e=LP+E(C),

(19.63)

если е > 0 достаточно мало. Больше того, если имеют место усло­ вия

(р)	(р)	(19.64)
Ч2(П) = 0,	**(£>)= 0,

то из формулы (19.62) и аналогичных приведенным выше сообра­ жений вытекает также включение

{Z-	[z (а)]}'1 (= Lp4t (С),	(19.65)
если е > 0 достаточно	мало.	которые
В условиях (19.65)	можно применить рассуждения,

привели к представлению (19.55). Таким образом, если имеют место условия (19.64), то каждое решение Ф (z) задачи (19.47), имеющее на бесконечности конечный порядок и принадлежащее простран­

ству Ер (G~), может быть	представлено по	формуле
Ф (z)	= Z (z) Qm(z),	(19.66>

где Qm(z) — некоторый полином порядка m. Из включения (19.63)1 следует, что и, обратно, правая часть (19.66) представляет решение*