книги / Нерегулярные граничные задачи на плоскости
..pdf§ 101 |
КЛАССЫ |
ХАРДИ Нр |
АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ |
81 |
|
В соответствии с |
теоремой |
Егорова |
(см., например, [13], |
гл. IV, |
|
§ 3) множество Е выберем |
так, чтобы Ф (reis) р а в н о м е р н о |
||||
сходилась к Ф* (eis) при г -> 1 и s е |
Е. Тогда при г -v 1 первое |
слагаемое справа в (10.9) стремится к пулю и, кроме того,
В силу ужо доказанного первого равенства (10.8) отсюда получаем также
Следовательно, последние два слагаемых справа в (10.9) можно сделать сколь угодно малыми, устремляя (согласно теореме Его рова) меру множества е к нулю, а г к 1; это доказывает вторую фор
мулу (10.8). |
|
|
|
установить |
представление каждой функ |
|||
10.7. |
Теперь можно |
|||||||
ции Ф (z) е Нх иптегралом Пуассона — Лебега (10.3). |
|
|||||||
Т е о р е м а |
10.3 (Г. М. Фпхтенгольц, см. [25, а)]). Класс ана |
|||||||
литических функций, представимых одной из формул (10.2), |
||||||||
(10.3), один и тот оке и совпадает с классом Кх. |
|
(10.2) тео |
||||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Относительно интеграла |
|||||||
рема доказана |
(см. п. |
10.1). |
Обратимся к формуле (10.3). Пред |
|||||
ставленная ею функция Ф (z) принадлежит Нх, какова бы ни была |
||||||||
/ G i ( 0, |
2я), |
ибо |
2г. |
2г. |
|
|
2я |
|
2п |
|
|
|
|
|
|||
i |®(pel4) | £ f o < ^ - |
\ da ^ \f(s)\P(p,a-s)ds = |
^ \f{s)\ds. |
||||||
о |
|
|
0 |
0 |
|
|
о |
|
Обратно, |
пусть |
Ф (z) е Нг. Тогда, согласно формуле Пуассона, |
||||||
примененной к кругу |
|z| < |
г, при р < г имеем |
|
|
||||
|
ф(р^‘”) = 4 г |
|
|
___ г |
|
|
||
|
^ ф ( « ч г* -f рв — |
2pr cos ($ — |
б) |
’ |
||||
следовательпо, |
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
— |
2гр соз (у — |
— Р (р, б — s) |ds + |
||
|
о |
|
|
о) |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
________ — |
р-___________ , |
|
|
|
1 ф |
(г ^ |
) - ф + ( ^ ) 1 г2 + р2 — |
2гр cos (s— б)aS' |
о
82 |
г р а н и ч н ы е с в о й с т в а а н а л и т и ч е с к и х ф у н к ц и й |
[ГЛ. III |
При фиксированном р 1 и при г — 1 первое слагаемое стре мится к нулю, в силу того, что разность под знаком модуля равно мерно по г ограничена и стремится к нулю, а второе — в силу второй формулы (10.8) и ограниченности ядра. Поскольку левая часть последнего неравенства вообще от г не зависит, приходим
кформуле (10.3). Теорема 10.3 доказана.
10.8.Интегралом типа Коши — Лебега называется выра-
|
|
|
40.10) |
|
где / — произвольная функция из L (0, 2л). Выражение |
(10.10) |
|||
называется интегралом Коши — Лебега, если |
плотность / |
поч |
||
ти всюду на |
окружности \z\ = 1 совпадает с |
предельными |
не |
|
касательными |
значениями Ф+ (е“ ) представленной этим |
интег |
||
ралом функции. Заменяя в формуле (10.10) |
произведение |
fds |
на меру dp, (а), порожденную произвольной функцией р. (а) огра ниченной вариации, приходим к выражению
называемому интегралом типа Коши — Стилтъеса. Если и здесь
Ф+ (eio) почти |
всюду -(существует и) совпадает с р/ (ст), то (10.11) |
|||
называется интегралом Коши — Стилтъеса. |
а)]). Интеграл |
|||
Т е о р е м |
а 10.4 (В. |
И. Смирнов, см. [22, |
||
(10.11) принадлежит всем классам Нр при 0 |
< 1, |
какова бы |
||
ни была функция р, (а). |
достаточно провести |
для |
того слу |
|
Д о к а з а т е л ь с т в о |
чая, когда р, (а) — вещественная и неубывающая. Однако в этом случае
2Я
и (р, с) = Re Ф (рг*) = ^ $ 551£i£L£l ^ (s) > 0, 0
где г = \еи — z|, со (a; z) — угол между радиусом-вектором, иду щим из z в точку еи, и внешней нормалью к окружности \z\ = 1;
неравенство |
имеет |
место |
в силу очевидной |
оценки |со |^ я/2. |
|
Из соотношения Фр (z) = |
|Ф (z)|p exp ip arg |
Ф (z) |
и неравенств |
||
— п/2 ^ arg |
Ф (z) < |
я/2, |
эквивалентных условию |
и (р, а) > 0, |
получаем
|Ф(*)|р< |
Re Фр (г) |
0 < р < 1 . |
|
, 10] |
КЛАССЫ |
ХАРДИ Яр АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ |
83 |
Интегрируя это |
неравенство вдоль окружности |л| = р < |
1 |
и используя теорему о среднем для (однозначной) гармонической функции Re Фр(л), приходим к теореме 10.4:
2г.
‘{ |ф (р eta) I*<ij < — i— Re Ф" (0). » соз- j -
10.9.Дальнейшее изучение интегралов (10.10), (10.11) осно вано на следующем важном утверждении:
Т е о р е м а |
10.5 |
(В. И. Смирнов, см. [22, а)]). Пусть Ф(л) е |
|||||||||||
е Я р, р > |
0. |
Если |
почти |
для |
всех s 6Е [0, 2я1 |
имеет место |
|||||||
нераветтво |Ф+ (е{В) | |
М, М = const < + |
оо, то |Ф (л)| ^ |
М |
||||||||||
во всем круге |
|z| < |
1. |
Если же Ф+ (eis) е |
i , |
(0, |
2я) при g > |
р, |
||||||
то Ф (л) е |
Hq. |
|
|
Представим функцию |
Ф(л) по фор |
||||||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
|||||||||||||
муле |
(10.7). Поскольку |
Ф0 (л) е Я р и не |
имеет нулей в круге |
||||||||||
|л| < |
1, то в нем существует однозначная ветвь [Ф„(л)]р, принад |
||||||||||||
лежащая классу Нг. Согласно |
теореме 10.3 эту функцию можно |
||||||||||||
представить |
интегралом Пуассона — Лебега |
(10.3) |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
in |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[Фо (2)1” = ^ |
\ [® : И 1 РР (Р, « - » ) * . |
2 |
= |
ре*”. |
|
|||||||
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечая теперь, что |
|Ф (л)| < |
|Ф0 (л) |при |
|
|л| < |
1 и что почти |
||||||||
всюду |
на |
окружности |
|л| = 1 |
имеем |
|
также |
|Ф^ (еи) 1= |
||||||
= |Ф+ (е14)|, |
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Iф (2) 1Р < |
2П |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
I Iф+ («*“) 1Рр(р» а“ s) |
|
z = Р6* |
|
|||||||||
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда с очевидностью вытекает первое утверждение теоремы. Чтобы доказать второе, применим к последнему интегралу нера венство Гёльдера с показателями qlp > 1 и g/(g — р);
11Ф(«) г < ж \ I Ф*(«“)Г Р 'Л(Р. а - 2 ) ^ ’ -""(Р , о - 2 )* < 0
(S |Ф*ИГ‘^(Р. ° - S)dsf( 5 Р(р, б - 2) * ) ' " ”" ,
что немедленно дает
Iф w г < -Е- J Iф* («") Гр (P. « - 2)& .
84 |
ГРАНИЧНЫЕ СВОЙСТВА АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ |
[ГЛ. III |
||
Остается |
проинтегрировать |
это неравенство вдоль окружности |
||
|z| = р < |
1, чтобы завершить доказательство теоремы. |
|
||
10.10. |
Предположим, что |
функция Ф (z) представлена своим |
||
интегралом Коши — Лебега |
или |
Коши — Стилтьеса. |
В этом |
случае, согласно самому определению (см. начало п. 10.8), пре дельные значения Ф+ (е**) существуют почти всюду и принадле жат L (0, 2л). Согласно утверждениям теорем 10.4, 10.5, функция Ф (z) принадлежит классу Нх.
Чтобы доказать обратное утверждение, вспомним, что каждая
функция Ф (z) е # ! может быть представлена интегралом |
(10.3) |
|||||||||
(см. теорему 10.3). Отсюда следует, |
что |
ее вещественная |
часть |
|||||||
и (р, а) = Re Ф (peio) |
представима интегралом Пуассопа — Ле |
|||||||||
бега с плотностью fi(s) = u(l,s): |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2п |
|
|
|
|
2« |
|
|
|
|
“ (Р.«) - |
$ / 1 » Р (Р . « - « ) * - |
|
\ Ы«> |
- J r r * |
||||||
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
(см. формулу (9.1)). Следовательно, каждая функция Ф (z) |
е Нх |
|||||||||
представима интегралом Шварца |
|
|
|
|
|
|
||||
ф (*) - ^ |
f /l ® - j r r f * + |
iC’ |
Л (») = Re ф+ («*•). |
(1 0 .1 2 ) |
||||||
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
причем, как следует из |
(10.3), |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
2Я |
|
U («) = |
|
|
|
|
|
С = |
1 т ф (0 ) |
= |
^ $ Л |
(s) * , |
1 т Ф* (<!<■)• |
|
|
|||
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
Функция — £Ф (z) = v (р, а) — iu (р, а), |
v (р, |
а) |
= 1 т |
Ф (peio), |
||||||
тоже входит |
в класс |
Н1у следовательно, |
|
|
|
|
|
|||
-1Щ г) |
о |
/ , ( » ) - £ ^ - * - |
|0 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Умножая это равенство на i и складывая с (10.12), после элемен тарных преобразований для Ф (z) получим интегральную формулу Коши
®<*>= 2Sr $ |
* - * < W < ‘ - |
(10.10') |
14=1 |
|
|
Очевидно, что ее можно представить и в виде (10.11), вводя в рас смотрение меру dp, (s) = Ф+ (eie) ds. Таким обрааом, доказана следующая
§ 10] |
КЛАССЫ ХАРДИ Нр АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ |
85 |
||
Т е о р е м а 10.6 (Ф. Рисе и М. Рисе, см. [18]). |
Класс ана |
|||
литических функций Ф (z), регулярных в круге |z| < |
1 и предста |
|||
вимых либо интегралом |
Коши — Лебега, либо интегралом |
Ко |
||
ши — Стилтьеса, один |
и тот же и совпадает с |
классом Нх. |
||
Интересно отметить, |
что класс функций, представимых в виде |
|||
интеграла |
типа Коши—Лебега, шире класса Нх (см. ниже, |
§ 13, |
п.13.6).
10.11.В заключение докажем теорему Коши для функций
класса Я х и граничную теорему единственности для функций клас са Я р, р > 0.
Т е о р е м а |
10.7 (Ф. Рисе и М. Рисе, см. ]18]). Для кахедой |
||
функции Ф (z) |
из класса Нх имеет место равенство |
||
|
2я |
|
|
|
^ Ф+( е « ) ^ = 0. |
(10.13) |
|
|
о |
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . В |
каждом круге |
|z| г < 1 функ |
|
ция Ф (z) непрерывна, поэтому, |
согласно теореме Коши, |
||
|
|
2п |
|
|
^ Ф (t) dt = г ^ Ф (reu) deis = |
0. |
|
|
KNi |
о |
|
Кроме того, Ф+ (eis) существует почти для всех s fE [0, 2я] и принадлежит L (0, 2я), Теперь можно записать
2п 2я
|^ гф (re’«) deu — ^ Ф+(eis) deis|<
о |
о |
г-к |
|
гг. |
< ^ |Ф(ген) — Ф+ (еи) |<& -{- (1 — г) ^ |Ф+ (eis) |ds.
О о
Чтобы получить отсюда формулу (10.13), достаточно вспомнить предыдущее равенство и второе соотношение из (10.8).
Т е о р е м а 10.8. Если функция Ф (z) е Я р, р > 0, на мноotcecmee е положительной меры имеет пулевые некасательные пре
дельные значения, то Ф (z) = |
0. |
|
|
||
Д о к а з а т е л ь с т в о в |
силу разложения (10.7) достаточно |
||||
провести для функций |
класса |
Нг (ибо Ф? (z) (Е Кх). Построим |
|||
гармоническую функцию |
21» |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м(р, б> = |
-Ш \ &(*) *(Р. 6 - |
s) *» |
||
|
|
о |
|
|
|
ГД® |
Хе (s) — характеристическая |
функция |
множества е, Пусть |
||
v (р, |
а) — сопряженная к ней гармоническая функция и <р (z) = |
ГРАНИЧНЫЕ СВОЙСТВА АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ |
[ГЛ. III |
|
= и + iv. Поскольку ехр тг<р (л) ограничена при каждом п, |
то |
|
последовательность Фп (л) = Ф (л) ехр лф (л) входит в |
класс |
Нг. |
Применяя теорему |
10.6, получим |
|
|
|
|
|
|||
ф (-) ехр{-лф(г)} |
Р Ф* (*) ехр {жр (f)} |
__ |
|
|
|
||||
2lti |
|
\t\h |
|
*~ 2 |
|
|
,, , |
|
|
_ |
exp {—ray (z)} P |
Ф+ (t) exp {ratp (*)} |
|
|
|||||
” |
|
2ni |
) |
t — |
z |
|
^ |
|
|
|
|
, |
exp {—n<p (z)} |
P |
|
Ф+(t) exp {mp (t)} . |
|||
|
|
“• |
|
2it£ |
5 |
|
Г^г |
|
|
|
|
|
|
|
[0, 2я]\е |
|
|
||
Будем считать точку л, |
|л| < 1, фиксированной. Так как и = |
||||||||
= Re ф (л) > 0 , |
а на множестве точек t —e ^ .sg [0,2л\ \ е, имеем |
||||||||
и = 0, так что |
|ехр {лф (2)}| = 1, то второе |
слагаемое |
справа в |
||||||
последней формуле при л |
|
оо стремится |
к |
нулю. Следователь |
|||||
но (см. [6]), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ф(г) = |
lim |
|
|
Ф*«)|£ (-Ф (‘)) dt< |
(10.14) |
||||
|
П-*оо |
|
J |
t |
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
в |
|
|
|
|
|
каково бы ни было множество положительной меры е. Отсюда |
сле |
||||||||
дует, что Ф (л) = 0 |
в круге |
[л| < 1, если Ф+ (t) = 0 на е, |
что и |
||||||
требовалось. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отметим, что на самом деле теорема единственности имеет ме сто для значительно более широких классов функций (см., на пример, [16], гл. IV).
§11. Область со спрямляемой границей. Классы Смирнова Е р
11.1.Пусть G — односвязная область, ограниченная спрям ляемой кривой С, и пусть л = о (£), ©' (0) > 0,— функция,
осуществляющая конформное и однолистное отображение круга
|£| < |
1 на G. Как известно, |
о (£) непрерывна в замкнутом круге |
||
|£|^ |
1 и взаимно однозначно отображает окружность |£[ = 1 на С. |
|||
Следовательно, |
кривую |
С можно задать |
уравнением л = |
|
= © (eia), 0 < о < |
2я, и так как Сспрямляема, |
© (eia) есть функция |
ограниченной вариации. Функцию ю (£), очевидно, можно пред ставить интегралом Пуассона — Лебега
|
ап |
®(Р*ь) = |
“ (*•*) р (Р. б - s)ds. |
|
о |
Считая р < 1 фиксированным, продифференцируем эту формулу по or, а в получившемся вьфажении проинтегрируем по частям,
§ 11] |
ОБЛАСТЬ |
СО СПРЯМЛЯЕМОЙ ГРАНИЦЕЙ |
87 |
пользуясь формулой Ps — —Р0; получим |
|
||
ipeia®' № а) = |
2." |
2Г |
^ (s)* |
I 03 |
р»(Р» 6 ~ s)* = 25Г $ Р(Р* 6 ~ |
||
|
о |
о |
|
Согласно теореме 10.3, функция i£a>' (£) е Я*. Согласно той же теореме, эта функция представима в виде интеграла Пуассона — Лебега через свои предельные значения геиа>' (eie), поэтому
2я |
2Г. |
ifr' (S) = |
й ” ®' (*°) Р (Р, о - я) ds = ± ^Р (р, о - s)dg(s), |
|
(11. 1) |
|
g (s) = ^ iei0со' (eio) da. |
|
о |
Заметив, что g (2я) = 0, согласно теореме 10.7, воспользуемся
интегрированием по |
частям. Тогда |
|
|
|
|||
|
|
2* |
|
|
|
|
|
ft»' (0 = £ |
и (ре1*) “ |
-К ) |
* W |
<Р’ 0 ~ |
“ |
|
|
|
|
о |
|
|
2л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда получаем (при |£ |< 1) |
|
|
|
|
|||
|
|
2п |
|
|
|
|
|
и (й = ^ - 5 в ( е ) ^ ( Р , « - е ) * + с(р), £ = |
(*<*, |
|
|||||
|
|
О |
|
|
|
|
|
где с (р) — гармоническая |
функция в круге |
|£| < |
1. Поскольку |
||||
она зависит |
только |
от р, |
то, |
как нетрудно |
убедиться, с (р) |
= |
|
= a In р + |
Ъ. Из соображений непрерывности следует, что a = |
О, |
поэтому функция о (£) представима в виде интеграла Пуассона —
Лебега от |
абсолютно непрерывной функции g (s) + Ь. Согласно |
|||
следствию |
9.1, (ii), и из непрерывности о (е1*), |
g (s), |
получаем, |
|
что © (е1в) |
а б с о л ю т н о |
н е п р е р ы в н а |
н а |
[0, 2я]*). |
Из второй формулы (11.1) получаем |
|
|
||
|
^-®(е*“) = «е*Чо' (eia) |
|
(11.2) |
х) Обратное утверждение тоже верно: если со (£) непрерывна в круге 111< 1 и абсолютно непрерывна на окружности |£ |= 1, то со' (£) е #i
(см! [17]).
88 ГРАНИЧНЫЕ СВОЙСТВА АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ П’Л. III
почти для всех а ^ [0, 2я]. Кроме того, длина дуги s на кривой С как функция угла а абсолютпо непрерывна на [0, 2л]. Таким об
разом, получаем теорему:
Т е о р е м а 11.1. Функция со (С), конформно и однолистно отображающая круг |£| < 1 на область G со спрямляемой грани
цей С, непрерывна в замкнутом круге |£| |
1 и абсолютпо непре |
|
рывна на окружности £ = eia, 0 ^ а ^ |
2л,. |
производная со' (£) |
принадлезкит Hlt имеет место формула (11.2) |
и длина дуги s = |
=s (а) является абсолютно непрерывной функцией угла а. Последнее утверждение означает, в частности, что каждое
множество меры нуль на окружности |£| = 1 при |
отображении |
||
z = © (ei0) |
переходит также в множество меры нуль. Верно и |
||
обратное: каждое множество нулевой меры на границе С отобра |
|||
жается обратной к со (£) функцией в множество меры нуль па |
|||
окружности |
|£| = 1 (см., например, [16], гл. Ill, |
§ 1). Поэтому |
|
функция а = a (s), обратная к s = s (о), также абсолютно непре |
|||
рывна. Конформность отображения z = со (£) почти |
всюду имеет |
||
место и на |
окружности |£| = 1, |
так что там |со' (£)| фО почти |
|
всюду. |
Свойства гладкости |
функции со (С) зависят от свойств |
|
11.2. |
угла 0 ($). Если, например, 0 (s) удовлетворяет условию Гбльдера,
т. е. кривая С является ляпуновской, то со' (£) непрерывна в зам |
|
кнутом круге |£| |
1, а ©' (eie) также удовлетворяет условию |
Гёльдера (теорема Келлога; см., например, [5], гл. X, § 1). Если же 0 ($) — просто непрерывная функция, то arg со' (£) непрерывна в замкнутом круге (теорема Линделёфа, см. там же). Видоизменяя соответствующим образом рассуждения, используемые при до казательстве теоремы Линделёфа, приходим к следующему ут верждению:
Т е о р е м а 11.2. Пусть С — кривом Радона, так что 0 (s) — функция ограниченной вариации. Тогда функция arg со' (£) огра ничена вкруге |£| < 1, и в каждой точке гладкости кривой С имеет место формула
arg о/ (eio) = |
0 (s (о)) — а — я/2. |
(11.3) |
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Рассмотрим функцию |
|
|
0 < * < Я , |
ш < 1 * |
Каждая ее непрерывная ветвь является гармонической однознач ной функцией при |£|< 1 и непрерывной в замкнутом круге |£| ^ 1. Будем рассматривать ту ветвь, которая равна нулю в точ ке 5 = 0. Покажем, что существует некоторая конечная постоян ная К, для которой |и (£; т )| < /С, каковы бы ни были 5* |£1 < 1, и т, 0 < т < я. Если бы это было не так, то существовала бы пос-
§ 111 |
|
|
|
ОБЛАСТЬ СО СПРЯМЛЯЕМОЙ ГРАНИЦЕЙ |
|
89 |
|||||||||||
ледовательиость |
(тЛ , |
для |
которой |
Кп = |
max Iи (£; |
tn)|->oo |
|||||||||||
при п |
|
г, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
оо. о |
силу принципа максимума при каждом п сущест |
||||||||||||||||
вует такая точка |
£n, |£n|= |
1, что Кп = |
\и (£п; т„)|. Можно, оче |
||||||||||||||
видно, считать, что последовательность {£ „} сходится к некоторой |
|||||||||||||||||
точке £0» ICoI = 1. Для каждого |
С = |
eio, 0 ^ а <" 2я, определим |
|||||||||||||||
ветвь arg (£eiT — £) = |
а + |
«у, где у = |
arg {еи — 1), я/2 < у < я. |
||||||||||||||
Рассмотрим функцию ф ($, s'), |
построенную в п. 3.5, и ее значения |
||||||||||||||||
ф (s + |
v, s), |
где |
v = |
s (а + |
т) — s (а) > |
0. |
Используя |
формулы |
|||||||||
(3.4), |
нетрудно |
убедиться, |
что |
и (eia; |
т) + arg (е*<0+т>— eia) = |
||||||||||||
==ф [s (а) -f-v, s (а)] + 2nN, где |
N — некоторое |
фиксированное |
|||||||||||||||
целое число. Как будет показано |
ниже (следствие 14.1), ф (s, s') |
||||||||||||||||
при каждом фиксированном s имеет по s' полную вариацию, огра |
|||||||||||||||||
ниченную числом V, |
не зависящим от s. Так как в точке z (s0) |
||||||||||||||||
кривая С имеет касательпую и, следовательно, |
функция ф (a, s0) |
||||||||||||||||
иепрерьнша па |
(0, |
5], |
то |
из соотношений |
|ф (s, s')|< |ф (s, s') — |
||||||||||||
- Ф (s, |
s0) |+ |
|
|ф (s, |
s0)| < |
V + |
|ф (s, So)I получаем ограниченность |
|||||||||||
функции ф (s, |
s'). Отсюда |
в частности, вытекает ограниченность |
|||||||||||||||
последовательности {и (£п, |
тп)} |
вопреки |
полученному ранее. |
||||||||||||||
Итак, для некоторого К < |
+ |
оо |
имеем |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|arg |
|
|
|
|
|
| < * - |
I£ I< 1 . |
|
|
|
|
|
|||
фиксируя точку |
£, |
|£1 <С li |
и устремляя т к нулю, приходим к |
||||||||||||||
первому |
утверждению |
теоремы. Доказательство |
формулы (11.3) |
||||||||||||||
в каждой точке гладкости кривой С может быть теперь проведено |
|||||||||||||||||
так же, как и в условиях теоремы Линделёфа (см. [5], гл. X, § 1). |
|||||||||||||||||
11.3. |
|
Т е о р е м а |
11.3. В условиях теоремы |
11.2 функция |
|||||||||||||
Into' (£) принадлежит классу Нх. |
|
|
через |
ln+ s |
функцию, |
||||||||||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
|
Обозначим |
|||||||||||||||
равную |
In s |
при |
s > |
1 |
и |
нулю |
при s < |
1, |
и |
пусть In- s = |
|||||||
= In s — In+s. Согласно теореме |
о среднем, |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
2я |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
In I о' (0) I = |
J In |со' (peia) |da= |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
о |
|
|
2я |
|
|
|
|
|
2Л |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
= |
|
1п+1©' (ре1") I da + |
^ |
ln"|(i)' (ре*“) |da, |
|||||||
а поскольку |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2я |
|
|
|
|
|
2Я |
|
|
|
ЙЯ |
|
|
|
|
||
|
^ ln+|Q '(p^)|dc< jj К (pe^)|dc< J |o'(eie)\da = S |
||||||||||||||||
|
о |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
ГРАНИЧНЫЕ СВОЙСТВА АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ |
[ГЛ. Ш |
|
в силу неравенства ln+ |
леммы 10.2, то |
|
|
|
о |
|
|
Следовательно, |
|
|
|
2* |
2* |
|
|
^ |InIсо'(peie) \\da- ^ 1п+|ю'(ре4°)|do — |
|
||
|
|
— ^ In" |со' (peio) |do < 25 — 2я1п Joo, (0)|, |
|
|
|
о |
|
т. е. гармоническая функция In |ш' (£)| принадлежит классу /ц. Аналогичное включение arg (o' (£) ЕЕ Jh имеет место в силу теоре
мы 11.2. |
Поскольку |1п о ' (£)| |
|1п |ю (£)|| + |
|arg (o' (£)|, то |
in <*>' (0 |
е= и г, что и требовалось. |
|
всем классам |
На самом деле функция In <о'(£) принадлежит |
Нр с конечными р. Действительно, в условиях теоремы 11.2 гар моническая функция arg to' (£) ограничена, следовательно, при надлежит hp при любом Р, 0 < р < оо. Согласно же неравенству Рисса (см. ниже, § 12), этому классу принадлежит и In |со'(£) |; отсюда следует, что In £й'(£) е Я р, 0 < р < оо.
С л е д с т в и е 11.1. Если граница С односвязной области G является кривой Радона, то гармоническая функция In |со' (£) I представима в круге |С I <С 1 интегралом Пуассона — Лебега, и следовательно, аналитическая функциями ©'(£) представима ин тегралом Шварца черев In |со'(е**)|.
Чтобы убедиться в справедливости этого утверждения, доста точно принять во внимание теоремы 11.3 и 10.3. Области G, для которых имеет место следствие 11.1, называются областями класса С (В. И. Смирнова). Таким образом, области с границей Радопа входят в класс С. Относительно кривых Ляпунова это утвержде ние очевидно.
11.4. Пусть {Gn} — последовательность областей, замыкания которых лежат внутри G, границы Сп этих областей спрямляемы
и сходятся к С в том смысле, что каждая точка z е= G принадле жит всем Gn, начиная с некоторого номера. Говорят, что функция Ф (z) принадлежит классу Ер, р >> 0, если для некоторой постоян ной Мр(Ф), не зависящей от п, имеют место неравенства
п = 1, 2 ,..., |
(11.4) |
хотя бы для одной последовательности спрямляемых |
кривых |
{Сп} с указанным выше свойством. Определение класса Ер усло-