книги / Проблемы теории пластичности и ползучести

С П И С О К ЛИ ТЕРАТУРЫ

1. Sawczuk

A.

On

incremental

collapse

of

shells

under

cyclic

loading.

Theory

of

Thin Shells. — Proc. IUTAM

Symp. — Berlin: Springer-Verlag,

1969,

p.

328.

2.

Maier

G.

A matrix structural theory of piecewise linear elastoplasticity

with

interacting

yield

pianes. — Meccanica, 5

(1970),

54;

русский

пе­

ревод: сб. Механика, 1971, N° 2

(126),

134— 157.

3.

Зенкевич

О.

Метод

конечных

элементов

в технике. — М.:

Мир,

1975.

4. Argyris

J. Н. Continua

and

discontinua. — Proc.

Conf.

matrix

methods

in structural

mechanics. — Ohio:

Wright-Patterson A. F. B.,

1967,

p.

12.

5.

Maier G. Incremental plastic analysis in the presence of large displace­

ments and physical

instabilizing

effects. — Intemat. J. Solids

and

Struc­

tures,

7

(1971), 34.

6. Зангвилл

У. С. Нелинейное программирование. Единый

подход. — М.:

Советское

радио,

1973.

7.

Кюнци

Г

П., Крелле

В. Нелинейное

программирование. — М.: Совет­

ское радио,

1965.

8. Ходж

Ф. Г.

Расчет конструкций с учетом пластических деформаций. —

9.

М.: Машгиз,

1963.

in

elastoplastic

media

subjected

to

cycles

of

Prager

W.

Shakedown

load and temperature. — Proc. Symp. plasticita

in

Sc. d. Costr.,

Bologna:

Varenna,

Zanichelli,

1956,

p. 239; русский

перевод: сб. Механика,

1958,

N° 5

(51).

10.

Койтер В. Т. Общие теоремы

теории

упруго-пластических

сред. — М.:

11.

ИЛ,

1961.

Shakedown theory

in

perfect elastoplasticity

with

associated

Maier

G.

and non-associated flow-laws: a finite element linear programming app­

roach.— Meccanica,

14

(1969), No. 3, 250.

12.De Donato O. Second shakedown theorem allowing for cycles of both loads and temperatures. — 1st. Lombardo, Rendic. Sci., A104 (1970), 265.

13.Vitiello E. Upper bounds to plastic strains in shakedown of structures subjected to cyclic loads (будет опубликовано в Meccanica).

14.Davies J. M. Collapse and shakedown loads of plane frames.— J. Struct. Div., Proc. ASCE, 93 (1967), 35.

15.Havner K. S. On convergence of a discrete aggregate model in polycry­ stalline plasticity (будет опубликовано в Internat. J. Solids and Struc­

tures, 1971).	A. Discrete model analysis of elastoplastic pla­
16. Ang A. H., Lopez L.
tes.— J. Engng. Mech.	Div., Proc. ASCE, 94 (1968).

17.Maier G. A minimum principle for incremental elastoplasticity with nonassociated flow -law s.— J. Mech. and Phys. Solids, 18 (1970), 319.

ПРОБЛЕМЫ ТЕРМОПЛАСТИЧНОСТИ')

П. Пэжина, А. Савчук

Проблемы необратимой деформации металлических конструкций на­ ходятся теперь в центре интересов техники ядерных реакторов.

Данная статья представляет собой обзор достижений теории термо­ пластичности. Сначала изложена опирающаяся на представления термоди­

намики сплошных сред теория реологических материалов с внутренними
изменениями, вызванными пластическими деформациями. Обсуждается
общая теория упруговязкопластических материалов и	ее эксперименталь­
ное обоснование. Рассматриваются термопластические	соотношения при

бесконечно малых деформациях.

Вторая часть обзора посвящена краевым задачам термопластичности. В ней обсуждаются решения и методы решения задач о закалке, терми­ ческих ударах, выделении внутреннего тепла и расчете элементов машин. Рассматривается циклический нагрев и комбинированное термомеханиче­ ское нагружение; излагаются методы анализа приспособляемости.

1. ВВЕДЕНИЕ

Изучение необратимых деформаций при наличии тепловых полей требует тщательного термодинамического анализа. Тер­ момеханические взаимодействия между переменными поля в реологии более сложны, нежели в любой теории упругого по­ ведения.

В течение последнего десятилетия наблюдается развитие исследований в области основ механических теорий сплошных сред. Как физические основы, так и математическое описание процессов необратимых деформаций критически разбираются с точки зрения самых общих принципов механики и термоди­ намики. Эти исследования привели к уяснению многих поня­ тий и установлению законов построения непротиворечивых теорий термомеханического поведения материалов. Однако формулируемые таким образом теории не используются пока

впрактике инженерных расчетов.

Сдругой стороны, чтобы быстро и корректно ответить на определенные вопросы ядерной и космической техники, а так­ же механики материалов, необходимо развивать теории,позво­

ляющие решать задачи неупругости и течения, которые можно

') Perzyna Р., Sawczuk A. Problems of thermoplasticity. — Nuclear en­ gineering and design, North-Holland Publishing Company, 24 (1973), 1—55.

© Перевод на русский язык, «Мир», 1979.

сопоставить с данными обширных экспериментов, выполнен­ ных на частных элементах конструкций.

В данном обзоре на примере термопластичности мы пы­ таемся единообразно изложить оба подхода. Общие принципы термодинамики создают каркас, при помощи которого можно четко определить место каждой частной теории. Это дает воз­ можность правильно объяснить имеющиеся для многих термо­ пластов решения, полученные для широкой области задач — от задач металлургии до проблем анализа напряжений топ­ ливных элементов реакторов и элементов газовых турбин. В термопластичности явно проявляется единство усовершен­ ствованной теории и ее приложений.

Чтобы определить рассматриваемую область науки, изла­ гается соответствующая аксиоматика, касающаяся термоди­ намики сплошных сред. В основе обсуждаемой теории лежит понятие о термодинамическом процессе и термодинамическом состоянии. Термодинамическое состояние обусловливает дис­ сипацию энергии. Различные теории зависят от принятого опи­ сания процесса диссипации. Особое внимание обращается на описание диссипации при помощи внутренних параметров. Вы­ веденная таким способом феноменологическая теория термо­ динамического поведения имеет, по-видимому, физическое об­ основание и позволяет предложить определяющие соотноше­ ния как для не зависящей, так и для зависящей от времени пластичности, т. е. чувствительного к скорости течения мате­ риала.

Общая задача изложения заключается в применении зако­ нов термодинамики для вывода уравнений поля, включая оп­ ределяющие соотношения для материальных частиц. Таким образом, можно легко обнаружить и обсудить термодинамиче­ ские взаимодействия, учитываемые уравнениями поля или по­ средством внутренних параметров, или явно входящие в урав­ нения энергетического баланса.

Переходя к частным теориям термопластичности, мы пы­ таемся выявить используемые предположения и, следова­ тельно, неизбежные ограничения частной системы определяю­ щих уравнений.

После обсуждения определяющих соотношений мы перехо­ дим к приложениям, т. е. к решению краевых задач для си­ стемы уравнений, управляющих деформациями и теплопровод­ ностью в пластически деформированном теле. В несвязанной теории уравнение теплопроводности и соотношения-, опреде­ ляющие поля напряжений, рассматриваются раздельно. Коль скоро известно температурное поле, можно определить и учесть тепловое расширение в соотношениях напряжения — деформации. После этого остается решить систему уравнений,

определяющих поле напряжений. Так как для пластических тел существенна температурная зависимость предела текуче­ сти и модуля упрочнения, в систему уравнений в качестве па­ раметра вводится температура.

Общей чертой имеющихся решений технологических задач о термопластических напряжениях является внесение некото­ рых упрощений в температурную часть вопроса. Распределе­ ние температуры, однако, сильно влияет на геометрию и про­ тяженность пластических зон и, таким образом, влияет на поля остаточных напряжений. В термопластичности задача теплопроводности имеет большее значение, чем при анализе термоупругих напряжений. Во многих приложениях оправдано использование приближенных моделей потока тепла и термо­ механического поведения материалов. Сделана попытка дать

обзор решений, касающихся закалки, фазовых	превращений
и тепловых ударов; обсуждаются характерные	особенности

имеющихся результатов, относящихся к упрочнению, темпера­ турной зависимости предела текучести, различию между квазистатическими и динамическими полями напряжений и т. д.

Тепловые поля часто являются периодическими. Поэтому для исследователей представляет интерес описание поведения элементов конструкций при повторном действии теплового по­ тока и давления. Мы обсудим только задачи приспособляе­ мости, не затрагивая вопросов термической усталости. Нали­ чие тепловых полей и механических сил, как это имеет место в случае газовых турбин, топливных элементов, сосудов дав­ ления и т. д., делает неприменимой классическую теорию пре­ дельного равновесия. В данном случае нельзя считать, что «нагрузки» возрастают пропорционально одному параметру. Кроме того, раздельное воздействие температуры или нагруз­ ки может вообще не вызвать пластического движения, но из­ менения температуры при постоянной нагрузке могут вызвать увеличение пластической деформации. Отсюда очевидно

значение	анализа	термомеханической	приспособляемо­
сти.

Вданном обзоре исследований мы занимаемся механикой

вбольшей мере, чем ее частными приложениями. Это оправ­ дывается тем, что большая часть работ по тепловым напряже­ ниям в конструкциях частного вида, по-видимому, легко до­ ступна. Наши усилия направлены на то, чтобы дать некоторое единое представление о термопластичности, начиная с теории определяющих соотношений до типичных результатов анализа напряжений. За неимением специальной монографии по термо­

пластическому поведению материалов, на которую можно было бы сослаться, мы вынуждены в этом обзоре напомнить некото­ рые основные решения.

Наши комментарии по ряду работ будут по необходимости краткими, а на некоторые из них будут даны лишь библиогра­ фические справки. Сознавая недостатки предлагаемого очер­ ка, мы тем не менее надеемся, что данная в нем информация облегчит изучение ряда вопросов термопластичности.

2. ТЕРМОДИНАМИКА СПЛОШНЫХ СРЕД

2.1. Введение

Основная задача термодинамики материалов состоит в на­ хождении определяющих соотношений, т. е. в описании пове­ дения материалов при ограничениях, налагаемых вторым за­ коном термодинамики. Мы обсудим феноменологическую тео­ рию диссипативных материалов с изменениями внутренней структуры, создаваемыми пластическими деформациями.

Возможно несколько подходов к термодинамической тео­ рии сплошных сред. Эти подходы различаются основными по­ стулатами, на которых основывается теория. Кроме того, в ка­ ждом подходе возможно использование нескольких методов описания диссипативных эффектов. В данном изложении тер­ модинамическая теория диссипативных материалов строится аналогично рациональной термодинамике. Этот подход был предложен Колеманом и Ноллом [30] и в дальнейшем развит в работах [26—29, 83—86]. Внутренняя диссипация выражает­ ся через внутренние параметры, согласно Колеману и Гуртину [28] и Валанису [285]. Термодинамика материалов с перемен­ ными внутреннего состояния изучалась в работах [225, 132, 133, 117, 247, 217—222]. Особое внимание уделялось формули­ ровке соответствующих определяющих соотношений для пла­ стических материалов, чувствительных к скорости.

Другой подход к термодинамике сплошных сред, который обычно называют классической термодинамикой необратимых процессов, был развит в работах [200, 201, 22, 45, 46, 169, 39, 41].

Принципы, постулированные этими направлениями, заклю­ чаются в следующем: а) принимается, что справедлив принцип локального состояния; б) удовлетворяется соотношение Гибб­ са; в) требуется, чтобы уравнение баланса энтропии содер­ жало член, выражающий производство энтропии, который мо­ жно представить как сумму произведений потоков и усилий; г) потоки являются функциями усилий. Хотя не требуется, чтобы это соотношение было обязательно линейным, разложе­ ния в ряды соотношений взаимности Онзагера — Казимира со­ держат только коэффициенты при линейных членах. Исполь­ зуя эти принципы, можно дать термодинамическое описание4

4 З а к . 1229

упругих, реологических и пластических свойств металлов. От­ метим здесь работы [19, 163, 164, 8, 9, 282, 283, 303, 116, 198, 117]. Недавно Мейкснер [166—168] предложил более общую теорию, включающую классическую термодинамику необрати­ мых процессов как частный случай.

В дальнейших рассуждениях мы используем положения ра­ циональной термодинамики в основном из-за того, что такой подход имеет хорошо развитую математическую структуру, которая открывает широкие возможности для анализа и опи­ сания важных явлений. Современные работы по аксиоматике термодинамики сплошных сред обнаружили пригодность кон­ цепций и преимущества методов рациональной термодинами­ ки — см. работы [184, 185, 186, 93, 94, 95, 298].

Важно подчеркнуть, что оба подхода, как классической, так и рациональной термодинамики, имеют свои недостатки и ни один из них не может претендовать на универсальность.

2.2. Термодинамический процесс; термодинамическое состояние

Перейдем теперь непосредственно к описанию термодина­ мических состояний, не напоминая основных положений тер­ модинамики сплошных сред, т. е. определения тела, движения, деформаций и напряжений.

Для движущегося тела процесс можно рассматривать как некоторое отображение, приписывающее в рассматриваемой

области каждому t упорядоченную таблицу:
{Et, St, Ни Ми Wt).	(2.1)

Соответствующие глобальные величины, входящие в таблицу, суть: внутренняя энергия Et, внутренняя энтропия St, теплота Ht, представляющая приток тепла, приток энтропии Mt и мощ­ ность Wt, расходуемая при рассматриваемом движении тела. Скорости изменения этих величин будут обозначены точками сверху, т. е. Et = dE/dt и т. д.

Термодинамический процесс определяется как процесс, ко­

торый удовлетворяет следующим постулатам:
1	Баланс энергии (первый закон термодинамики)
	Et - H t - W t = 0.	(2.2)
2.	Рост энтропии (второй закон термодинамики)
	St — Mt = Nt > 0.	(2.3)

Функция Nt представляет собой скорость изменения произ­ водства энтропии в теле (в рассматриваемой части тела). Та-

ким образом, второй закон термодинамики требует, чтобы про­ изводство энтропии было неотрицательным.

Первый закон термодинамики понимается как существен­ ное ограничение для класса явлений и взаимодействий, кото­ рые мы можем рассматривать. Второй закон термодинамики налагает ограничения на определяющие соотношения, приня­ тые для материала.

Определив термодинамический процесс, мы можем перейти к определению термомеханического состояния тела в момент времени t в виде совокупности значений, принимаемых функ­ циями (2.1) в этот частный момент времени t.

Принимая соответствующие допущения о гладкости и ис­ пользуя принцип виртуальной мощности или непосредственно уравнений баланса для массы, количества движения и момен­ та количества движения, получим следующую частную форму­ лировку первого закона термодинамики:

ё = div q ге -\- w>

(2.4)

где ё — скорость изменения внутренней удельной энергии, q —

поверхностная плотность теплового потока,	ге— объемная
плотность потребления тепла, w — плотность	мощности на­

пряжения, равная произведению напряжения Коши Т на про­

странственный градиент скорости L = grad х, w =	T-L.
Второй закон термодинамики дает следующее локальное
неравенство (неравенство Клаузиуса — Дюгема):
s > div-J- + - ^ ,	(2.5)

где 5 — скорость возрастания удельной энтропии,	а 0 — поле
положительных значений температуры.
Введем для удобства новые переменные:
рё = ё, pf) = 5, рг = ге,	(2.6)

где ё — скорость изменения удельной внутренней энергии на единицу массы, т) — скорость изменения удельной энтропии на единицу массы и г — потребление тепла в единицу времени на единицу массы. Если через £ обозначить скорость производ­ ства удельной энтропии, то первой части неравенства (2.3) бу­ дет соответствовать следующее локальное соотношение:

I = f i - ■ g - - ^ g div<7 + -^-7-grade.

(2.7)

Далее удобно ввести удельную свободную энергию на еди­ ницу массы (свободную энергию Гельмгольца) ф, определяе­

мую следующим образом:

,ф = е — 0г|,

(2.8)

и применить законы термодинамики к исходной конфигура­ ции, переходя таким образом от пространственного описания к материальному.

Окончательно запишем первый закон термодинамики в сле­ дующем локальном виде:

I tr (TRC) - Div q R - P* (Ф + 0Г) + 0Г)) + pRr = 0, (2.9)

где индекс R означает, что соответствующая величина отно­ сится к исходной конфигурации. Оператор Div вычисляется относительно материальных координат, а точка означает ма­

териальное дифференцирование по времени /. Кроме	того,
TR— тензор напряжений второго ранга (симметричный)	Пио-

лы — Кирхгофа, а С — правый тензор деформаций Коши — Грина.

Следуя Колеману и Ноллу [30], запишем неравенство Клау­

зиуса — Дюгема		при	материальном	описании в	следующем
виде:
-	ф -	0л +	tr (TRC) -	-Ц . q R . V0 >	0,	(2.10)
где V — градиент в исходной конфигурации, т. е. градиент, вы­
численный	при независимой переменной X. Значения					V0, Г*,

Q R и р я о т н о с я т с я к соответствующим величинам в простран­ ственном описании, а именно к величинам grad 0, Г, q , р при соответствующем определении связей.

2.3. Локальный термодинамический процесс

Чтобы определить в теле поля деформаций и температуры, необходимо определить в точке X тройку значений [217—222]

л ( X , I) = {С (X , /), 0 ( X , 0, V0 (X , /)}.

(2.11)

Эту тройку мы назовем актуальной деформационно-темпера­ турной конфигурацией частицы X.

Далее определим локальный термодинамический процесс в частице материала движущегося тела. Такой процесс дол­

жен описываться совокупностью функций
Рх = {А(Х,1),ЩХ,()},	(2.12)

задаваемой для каждого момента времени t из временного ин­ тервала так, чтобы удовлетворялся постулат (2.10). В сово­ купности функций (2.12) А — действительная деформационно­

температурная конфигурация (2.11), а П представляет пере­ менные:

П ( X, /) = {ф (X, /), Л (X, /), Г* (X, /), <7* (X, /)}, (2.13)

а именно удельную свободную энергию на единицу массы ф, удельную энтропию на единицу массы т), симметричный тензор напряжения Пиолы — Кирхгофа TR и поток тепла на единицу поверхности в исходной конфигурации qR. В (2.12) и (2.13) мы полагали, что массовые силы можно определить из пер­ вого закона движения Коши и что расход тепла на единицу массы в единицу времени r(x,t) можно однозначно опреде­ лить из частной формы первого закона термодинамики (2.9). Поэтому эти величины не рассматриваются как переменные процесса.

В соответствии с введенным ранее определением термоме­ ханического состояния примем в качестве локального термомеханического состояния материальной точки X в момент вре­ мени t совокупность значений функций Рх.

Основная цель анализа термомеханического поведения со­ стоит в представлении системы правил для предсказания этого поведения. Эти правила позволяют предсказать будущее со­ стояние, если известно актуальное состояние, т. е. описать термодинамический процесс. Это предсказание относится к термомеханическим явлениям для рассматриваемого мате­ риала тела. Поэтому, чтобы определить термомеханическое состояние материальной частицы X в момент времени t, не нужно знать всех значений, принимаемых функцией Рх- По­ ведение материала будет описываться системой определяю­ щих соотношений, которая в пределах принятого приближения формулируется при помощи введенных понятий.

Для предлагаемого термодинамического описания диссипа­ тивного материала существенно следующее предложение.

Предложение 1. Описание состояния. Термомеханическое состояние частицы, соответствующее моменту времени ^опре­ деляется при помощи деформационно-температурной конфигу­ рации частицы А(Х, t) и посредством метода создания этой конфигурации. Предложенное представление о состоянии ана­ логично представлению, введенному в другой связи Бриджме­ ном [19] и Гайлсом [62].

Под методом создания актуальной деформационно-темпе­ ратурной конфигурации частицы X мы подразумеваем доку­ мент, дающий подробную инструкцию для этого создания (см. работы [62, 63]).

Следовательно, чтобы определить актуальное термомеха­ ническое состояние частицы при необратимом термодинами­

ческом процессе, недостаточно иметь актуальную дефор­ мационно-температурную конфигурацию частицы, но, кроме того, необходимо знать метод создания этой конфигурации. Другими словами, метод создания должен дать дополнитель­ ную информацию, требующуюся для однозначного описания состояния частицы при необратимом термодинамическом про­ цессе. Метод создания необходим для того, чтобы была воз­ можность описать внутреннюю диссипацию.

Благодаря предложению 1 термомеханическое состояние частицы в момент времени t определяется при помощи значе­ ния функции

g = {Л(Х, /), метод создания}.

(2.14)

Структура материала тела будет устанавливаться посред­ ством определяющего предположения: термомеханический принцип детерминизма для диссипативного материала выра­ жается функциональным соотношением

П (X,0 = R{g),	(2.15)
где	(2.16)
R = {XP,N ,T,Q)

представляет определяющие функции (функционалы) для сво­ бодной энергии Ч*1, энтропии N, напряжения Г, потока тепла Q.

Можно использовать различные описания метода создания актуальной деформационно-температурной конфигурации. В конечном счете это приводит к различным описаниям вну­ тренней диссипации.

Мы ограничимся представлением термодинамической тео­ рии диссипативных материалов с изменениями внутренней структуры. При описании внутренней диссипации будут ис­ пользоваться внутренние параметры (скрытые переменные). Основную задачу термодинамики материалов Колемана и Нолла [30] и Трусделла [280] можно теперь сформулировать следующим образом: в соответствующем классе процессов Рх и для соответствующего класса функций (функционалов) R в (2.16) определить те, которые удовлетворяют неравенству Клаузиуса — Дюгема (2.10).

Выбрав подход для описания термомеханического состоя­ ния и структуры материала тела, мы перейдем к более деталь­ ному рассмотрению реологических материалов с внутренними изменениями.

2.4.Реологический материал с внутренними изменениями

Вслучае реологического материала с внутренними измене­ ниями (см. [217]) существуют два источника внутренней дис­ сипации. Первый из них связан с реологическими эффектами