книги / Проблемы теории пластичности и ползучести

возможна при любых значениях нагрузок, если только раньше не произойдет разрушение; понятия приспособляемости и бе­ зопасной работы конструкции становятся неадекватными. Именно в связи с этим в статье [164] предложено несколько способов получения верхних оценок для деформаций и пере­ мещений. Практическую ценность и относительные достоин­

ства этих	способов,		как отмечает автор, еще предстоит
определить	путем	их	реализации	на конкретных при­
мерах.	оценки	перемещений,		предложенные Майером,
Способы

Витиелло и Капурсо, распространены на динамические задачи приспособляемости в работах [91, 100, 112, 165, 168].

Отметим, что при использовании для оценки перемещений неравенств типа (8.1), включающих лишь характеристики ко­ нечной стадии процесса приспособляемости [90, 155, 164, 221 и др.], остаются неизвестными программа нагружения, приво­ дящая к максимальным остаточным перемещениям, и отличие получаемых верхних оценок от действительных значений иско­ мых величин.

Принципиально иной подход к определению деформаций, напряжений и смещений в условиях приспособляемости упру­ гоидеальнопластической конструкции (лишенный указанных недостатков, но более трудоемкий) развит В. А. Икриным [30, 31, 33]. Исходя из соотношений инкрементальной теории пла­ стичности, при заданных интервалах изменения нагрузок опре­ деляется область допустимых состояний конструкции, в кото­ рой отыскивается траектория деформирования, доставляющая максимум перемещению рассматриваемой точки (при некото­ рых программах нагружения оказывается возможным найти точное значение перемещения). Весьма существенно, что дан­ ный метод (в отличие от рассмотренных выше) дает конечные значения для перемещений при нагрузках, сколь угодно близ­ ких к предельным по приспособляемости. Его использование позволило на примере простейших конструкций установить не­ которые особенности процесса приспособляемости (например, возможное несовпадение программ нагружения, определяю­ щих минимальные параметры предельного цикла и макси­ мальные накопленные деформации [30, 33]).

В перечисленных методах оценки перемещений упрочнение материала либо не учитывается [30, 90,. 221 и др.], либо учи­ тывается приближенно [100, 168, 199]. При оценке результатов соответствующих расчетов в связи с этим необходимо иметь в виду, что способ схематизации реальной диаграммы деформи­ рования может влиять на результаты расчета накопленных деформаций и перемещений значительно сильнее, чем на пре­ дельные нагрузки или температуры.2

2 Зак. 1220

Экспериментальному исследованию деформаций, накапли­ ваемых к моменту приспособляемости в балках, посвящены работы [120, 121, 129].

9. СТАБИЛИЗИРОВАННЫЕ ЦИКЛЫ НАПРЯЖЕНИЙ (НЕУПРУГАЯ ПРИСПОСОБЛЯЕМОСТЬ)

Отдельные типы напряженных элементов конструкций при ограниченном сроке службы могут работать за пределами при­ способляемости. В этом случае при стационарном цикличе­ ском нагружении конструкций из циклически стабильных (стабилизирующихся) материалов происходит постепенная стабилизация цикла изменения напряжений и скоростей де­ формации. Существование процесса стабилизации, который асимптотически заканчивается переходом к стационарному циклу изменения напряжений и скоростей деформации, в об­ щей форме было доказано Фредериком и Армстронгом [127] на основе постулата Друккера. В цитируемой работе получила обоснование также единственность (независимость от началь­ ного состояния) напряжений в стабильном цикле в областях тела, где скорости неупругой деформации в указанном цикле отличны от нуля. Таким образом, соответствующая теорема для условий упругой приспособляемости, приведенная в [10], может рассматриваться как частный случай.

В работе [127] утверждается, что стабилизация напряже­ ний (в общем случае достигаемая асимптотически) происхо­ дит достаточно быстро на первых этапах нагружения в соот­ ветствии с экспоненциальным законом. Анализ, проведенный на простых примерах В. А. Икриным [32], показал, что стаби­ лизация может иметь кусочно-экспоненциальный характер. При этом отличие в распределении напряжений в двух после­ довательных циклах может оставаться существенным доволь­ но долго.

Теорема о единственности стационарных циклов позднее была доказана также Мрузом [179]. В последней работе сде­ лана попытка найти соотношения, позволяющие непосред­ ственно оценить параметры стабилизированного цикла, одна­ ко какие-либо примеры использования предложенных соотно­ шений пока, к сожалению, отсутствуют.

При расчете стабилизированных циклов возможны две основные формулировки задачи: в первой из них целью яв­ ляется определение напряжений и приращений (размахов) де­ формаций при заданных внешних воздействиях, во второй — определение параметров внешних воздействий, отвечающих на­ чалу возникновения (или заданной интенсивности) различных типов циклической неупругой деформации (знакопеременное

течение, прогрессирующее разрушение, их сочетание). Первая постановка рассматривалась применительно к условиям цик­ лической ползучести (при отсутствии кратковременных пла­ стических деформаций) в работах Б. Ф. Шорра [75—77]. Опи­ сание поведения конструкций включало уравнения равновесия и совместности деформаций, уравнение состояния, связываю­ щее напряжения со скоростями деформаций, и условие замк­ нутости цикла по напряжениям

т
§ f>tldx = 0,	(9.1)
О
где р ц — скорость изменения остаточных	напряжений. Усло­

вие (9.1) может быть записано в кинематической форме в виде уравнения (1.3).

Заметим, что в рассматривавшихся выше работах Понтера, Мартина и др. [170, 171, 195—199] по существу также речь идет об определении стабилизированных состояний при неуп­ ругом деформировании и предлагается ряд приближенных ме­ тодов для оценки напряжений, деформаций и диссипации энергии в стабильных циклах.

Применительно к упругоидеальнопластическим конструк­ циям задача прямого расчета напряжений и скоростей дефор­ маций в стабильном цикле может быть решена на основе экстремального принципа, предложенного в работе [68]. В со­ ответствии с этим принципом из всех полей кинематически возможных скоростей остаточных деформаций (включающих пластические ё'у и упругие Aijhkp/i* составляющие)

®"/ +			= V2(й. , + й, г)			(9.2)
и самоуравновешенных остаточных напряжений
	х
рИ = Р°и+	\ 9и		9°ч = Ы		т-0>	м
	О
P°iu = °>		Рип1 = 0		на	s p>	(9.4)
Pi/,/ =	0,	pijiij — 0		на	Sp,	(9.5)
образующих в сумме с «упругими» напряжениями						допу-

стимое напряженное состояние в любой точке тела и в любой момент времени

W / + Pi/)<°>

(9-6)

в действительном стабилизированном цикле реализуются та­ кие поля указанных величин, которые доставляют абсолютный

минимум (равный нулю) неотрицательному функционалу

т

J = = \ d x \ ( а и ~	k"l d v	(9-7)
О

и удовлетворяют условиям замкнутости цикла (9.1) или (1.3). Здесь сhj — напряжения на поверхности текучести, связанные со скоростями ё'у ассоциированным законом течения.

Задавая те или иные признаки стабилизированного цикла, нетрудно получить из приведенного выше экстремального принципа соответствующие условия их реализации. Если, в частности, в стабилизированном цикле ё'у = 0 во всех точках

тела и во все моменты времени (упругая приспособляемость), то условия (9.2) и (9.5) обращаются в тождества, функционал (9.7) достигает минимального (нулевого) значения, и условия существования указанного стабильного цикла сводятся к на­ личию не зависящих от времени напряжений р°/? удовлетво­

ряющих условиям (9.4) и (9.6). Очевидно, полученный ре­ зультат совпадает с теоремой Мелана. Аналогичным образом, задавая скорости деформаций e"f отличными от нуля, можно

прийти к теореме Койтера.

Более сложные условия, определяющие существование стабилизированных циклов, в которых приращения деформа­ ций за цикл равны нулю (или отличны от нуля) при разви­ том знакопеременном течении, а также условия, при которых приращения перемещений за цикл достигают заданных нену­ левых значений, были получены в работе [26]. В качестве при­ меров здесь найдены условия возникновения прогрессирую­ щего разрушения при развитом знакопеременном течении для ряда объектов: цилиндрической оболочки, толстостенной тру­ бы, круглой пластинки.

Отметим, что в наиболее простых случаях разграничение области неупругой приспособляемости в соответствии с раз­ личными типами циклической пластической деформации уда­ ется провести с помощью приемов, близких к применяемым при анализе упругой приспособляемости [10, 57, 58], не при­ бегая к общим соотношениям, полученным в работе [26]. В качестве примера на рис. 6 приведена полная диаграмма приспособляемости для цилиндрической оболочки [10, 84], на­ груженной постоянным внутренним давлением (относительное

напряжение др=	огр/с>г, где от— предел текучести)			и цикли­
чески изменяющимся		однопараметрическим	температурным
полем (dt= a t/a Tl	где сн = 0,5сс£Д//(1— р,),		Дt — перепад по
толщине). Здесь	А — область приспособляемости			(А '— об­
ласть чисто упругого		поведения с начала нагружения),Б —

область знакопеременного течения, В — область односторон­ него нарастания деформации с каждым циклом, Г — область «смешанной» деформации (сочетания знакопеременной и односторонней). Анализ показывает, что при значениях пара­ метров нагружения, соответствующих областям Б, В и Г, уста­ навливаются стабильные циклы напряжений, характеризую­

щиеся постоянным разма­

Г

хом

(или приростом) не­

упругой

деформации.

Экспериментальная

\ .

проверка

приведенной

диаграммы

отражена

в

работе

[42], в которой,

в

Г

частности,

исследовалась

граница

между

областя­

А

ми Б и Г,

определяющая

условия,

при которых

на

Б

фоне

развитого

знакопе­

ременного

течения

возни­

в

кает

прогрессирующее

разрушение.

10.

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ

А

ЗАДАЧ ПРИСПОСОБЛЯЁ-

МОСТИ

Определение

условий

А'

прогрессирующего

разру­

шения

сплошного

тела

0,5

(как и родственная

проб­

лема

предельного

равно­

Рис. 6 . Полная диаграмма

приспосо­

весия)

требует

решения

бляемости для

цилиндрической

обо­

неклассической

вариа­

лочки.

ционной

задачи,

вклю­

уравнения

равновесия или

сов­

чающей дифференциальные

местности,

ограничения

на

величины

переменных

(напря­

жений или приращений деформации), входящих в

соответ­

ствующие

уравнения,

и

подлежащий

максимизации

или

минимизации критерий оптимальности (целевая функция),ко­ торым обычно является один из параметров, определяющих внешние воздействия. Аппарат для строгого решения задач такого типа на основе любой из теорем теории приспособляе­ мости дает математическая теория оптимальных процессов [43]. Решение одномерных задач предельного равновесия и приспособляемости пластин и оболочек с помощью принципа максимума Л. С. Понтрягина рассматривалось в работах [10,

65]. Однако общие вычислительные методы, реализующие дан­ ный принцип для двух- и трехмерных задач с распределен­ ными параметрами и ограниченными фазовыми координатами, насколько известно, еще не нашли применения в теории при­ способляемости.

Значительно подробнее разработаны численные методы ре­ шения задач приспособляемости с помощью аппарата матема­ тического программирования (главным образом, линейного). Для их использования необходимо получение соответствую­ щих дискретных математических моделей, что достигается за­ меной дифференциальных уравнений системой алгебраических уравнений и наложением ограничений на переменные в конеч­ ном числе узловых точек. Такой подход реализуется проще всего при расчете стержневых систем (фермы, рамы), при ус­ ловии что ограничения на величины внутренних усилий имеют вид линейных неравенств, а выражения для определения пла­ стической диссипации соответственно линейны относительно неизвестных скоростей (приращений) деформации. При вы­ полнении расчетов используются различные варианты пря­ мого и двойственного симплекс-методов [70, 71, 74, 95, 152 и др.], методы определения чебышевской точки системы ли­ нейных неравенств [37] и другие вычислительные схемы и алгоритмы.

При расчете двумерных и трехмерных конструкций, а так­ же стержней при комбинированном действии силовых факто­ ров применение методов линейного программирования возмож­ но лишь при кусочно-линейной аппроксимации поверхностей

текучести.	Соответствующие методы		расчета	применительно
к задачам	приспособляемости	были	развиты	сравнительно
недавно.	Общие вопросы,	связанные с их		применением,

рассматривались в работах [10, 22, 24, 104, 164, 181]. Как и при расчетах одномерных стержневых систем, задачи, полу­ ченные на основе статической и кинематической теорем, об­ разуют двойственную пару задач математического программи­ рования [72, 109]. Конкретные примеры расчета осесимметрич­ ных пластин и оболочек методами линейного программирова­ ния даны в работах [10,22,66]. Здесь для получения дискрет­ ной модели конструкции использовались конечные суммы, рассматривались также вопросы точности вычислений. Рас­ чету тонкостенных сосудов посвящены работы [126, 131], в первой из них (в отличие от [22, 66]) распределение остаточ­ ных напряжений было принято пропорциональным двум пара­ метрам.

Нелинейные условия текучести приводят, как правило, к задачам квадратичного выпуклого программирования [41, 73, 83, 185].

Для анализа приспособляемости сложных (неосесимме­ тричных) конструкций перспективным является применение методов математического программирования с использова­ нием конечно-элементной дискретизации [83, 164, 185].

К задачам линейного и выпуклого программирования при­ водит также проблема оценки перемещений, накопленных к моменту приспособляемости [87, 90, 156, 164, 221].

Следует отметить, что применение методов математиче­ ского программирования в течение некоторого времени разви­ валось независимо в задачах приспособляемости и в задачах предельного равновесия. Преобразование фундаментальных теорем, рассмотренное в разд. 2, а также введение обобщен­ ных переменных (разд. 3) позволяет свести задачу о приспо­ собляемости к проблеме предельного равновесия соответст­ вующих фиктивно неоднородных конструкций и на этой основе широко использовать вычислительные приемы и алго­ ритмы, разработанные в теории предельного равновесия [44, 54 и др.].

Применение методов математического программирования связано с довольно трудоемкими вычислениями, выполнение которых возможно обычно лишь с помощью ЭВМ. Оно оправ­ дано в прикладных задачах лишь тогда, когда приемлемое по точности решение не может быть получено более элементар­ ными средствами. В некоторых случаях с помощью математи­ ческого программирования удобно отыскать характерные ме­ ханизмы разрушения для типовых задач, с тем чтобы в даль­ нейшем использовать эти механизмы для получения прибли­ женных решений.

Как и в задачах предельного равновесия, в теории приспо­ собляемости широкое распространение получили приближен­ ные методы, позволяющие при совместном использовании двух теорем получать двухсторонние оценки для параметров, опре­ деляющих предельный цикл. Пожалуй, наибольшее распро­ странение получили приближенные статические методы опре­ деления нижних оценок [55, 57, 58, 157—160, 202, 203, 205, 220 и др.], базирующиеся на применении каких-либо предположе­ ний относительно полей самоуравновешенных напряжений (ра­ боты разных авторов отличаются конкретными способами за­ дания этих напряжений) и последующем подборе таких зна­ чений параметров нагрузок, при которых удовлетворяются все условия теоремы Мелана.

Первоначальная форма теоремы Мелана не отражает раз­ личий между двумя видами разрушения (соответствующий анализ во многих исследованиях, в частности зарубежных [157—160, 181, 220 и др.], обычно не делается). В ряде случаев (например, при наличии в конструкции сильных концентрато­

ров напряжений, в частности в сосудах типа пересекающихся оболочек) предельный цикл явно ограничивается условием знакопеременного течения и решение можно было бы полу­ чить более элементарно (см. разд. 2).

Если не исключена возможность того, что предельный цикл ограничен условиями накопления односторонних деформаций* применение приближенных статических методов вполне оправ­ дано. Заметим, что для определения условия знакопеременного течения способ задания самоуравновешенных напряжений по­ чти безразличен, поскольку их роль сводится лишь к изменению характеристики цикла в «опасных» точках (при этом рас­ пределение напряжений в остальных точках конструкции не является единственным), соответственно решение на основе статического метода получается обычно точным. При опреде­ лении условий прогрессирующего разрушения, в силу единст­ венности напряжений в предельном цикле [10], различные ва­ рианты задания самоуравновешенных напряжений позволяют получать лучшую или худшую оценку «снизу».

Преобразование кинематической теоремы (разд. 2) сде­ лало ее таким же удобным инструментом в решении задач, ка­ ким является соответствующая теорема предельного равнове­ сия. Как известно, определить подходящий (и иногда доста­ точно близкий к действительному) кинематически возможный механизм разрушения часто бывает проще, чем задать наибо­ лее благоприятное распределение напряжений, уравновешен­ ных заданной постоянной нагрузкой. Более простым является и получение результата при использовании кинематического метода. Примеры применения различных вариантов этого ме­ тода даны в работах [10, 21—24, 96, 133, 210, 211, 212]. Опре­ деляемые в общем случае оценки «сверху» для параметров предельного цикла в задачах.с очевидным механизмом разру­ шения совпадают с точным решением.

Методы решения задач приспособляемости при динамиче­ ских воздействиях не отличаются принципиально от рассмо­ тренных выше; их сравнительная оценка была дана в ра­ боте [103].

Решение задач неупругой приспособляемости (расчет ста­ билизированных циклов) при наличии пластических деформа­ ций сводится с помощью экстремального принципа, рассмо­ тренного в разд. 9, к неклассическим вариационным задачам, аналогичным задачам приспособляемости. В частности, при определении напряжений и приращений (размахов) деформа­

ций система	ограничений	задачи включает условия (9.2),
(9.4) — (9.6),	(9.1) или (1.3)	и соотношения ассоциированного

закона течения. Критерием оптимальности является функцио­ нал (9.7). В дискретной форме при исследовании кусочно-ли­

нейных поверхностей текучести получаем задачу линейного программирования.

При расчетах параметров предельных стабилизированных циклов, отвечающих заданным (обычно кинематическим) при­ знакам, критериями оптимальности являются параметры внешних воздействий. В зависимости от постановки задачи они максимизируются или минимизируются. Система ограни­ чений включает, кроме перечисленных выше условий, доба­ вочное уравнение, согласно которому функционал (9.7) дол­ жен быть равен нулю.

11.РАСЧЕТ КОНСТРУКЦИЙ ЧАСТНОГО ВИДА

ИИНЖЕНЕРНЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ

По-видимому, наибольшее число работ в теории приспособ­ ляемости связано со стержневыми конструкциями (балки, ра­ мы, фермы) строительного типа [38, 40, 53, 70, 88, 107, 108, 116, 119, 123, 132, 138, 141, 148, 153, 183, 208 и др.]. Исследования в этой области были наиболее ранними (на простых стержне­ вых системах уяснялись основные эффекты [10, 140, 201, 217]). Их поток не прекращается и сейчас [38, 86, 89, 144, 215] как в связи с дальнейшим углубленным изучением эффектов и совершенствованием частных методик расчета, так и в связи с расширением круга приложений теории (применительно, на­ пример, к теплообменным аппаратам [144], аркам [93] и дру­ гим объектам). Следует заметить, что в задачах данного типа минимальные нагрузки, приводящие к прогрессирующему раз­ рушению, иногда мало отличаются от предельных (мгновен­ ное пластическое разрушение). Это, естественно, вызвало ра­ зочарование у некоторых авторов [142], однако позднее были обнаружены примеры стержневых систем, испытывающих ме­ ханическое нагружение, в которых различие между предель­ ными нагрузками, отвечающими мгновенному и прогрессирую­ щему разрушениям, оказывается более существенным [117, 135]. Исходя из результатов, полученных в разд. 2, 4, можно сделать вывод, что такое различие характерно, в частности, для подвижных нагрузок, причем оно увеличивается по мере приближения поля «упругих» напряжений к квазистационарному полю по отношению к соответствующей (подвижной) си­ стеме координат [63, 64, 117]. В качестве конкретных приложе­ ний рассматривались конструкции мостов [93, 106, 122].

Как в прикладном, так и в теоретическом отношении инте­ ресным примером являются контактные квазистационарные воздействия, возникающие при многократном обкатывании на­ груженным роликом некоторой поверхности (полупростран­ ства или полуплоскости), По-видимому, первая работа, в ко­

торой рассматривалась соответствующая задача о приспособ­ ляемости, принадлежит Джонсону [145], дальнейшее развитие это направление получило в работах [2, 59, 178]. Имеются так­ же экспериментальные результаты определения деформаций, накапливающихся с каждым циклом (проходом), полученные в Советском Союзе [46] и за рубежом [178, 194].

Отметим, что исключительное использование статической теоремы, характерное для работ [59, 145, 178], затрудняло оп­ ределение предельных состояний, реализуемых при нарушении условий приспособляемости. В свою очередь это препятство­ вало объективному сопоставлению результатов расчетов с имеющимися экспериментальными данными. В работе [2] сде­ лана попытка устранить отмеченный недостаток путем исполь­ зования кинематической теоремы.

Значительный практический интерес представляет приме­ нение теории приспособляемости к анализу несущей способно­ сти конструкций типа пластинок и оболочек. Здесь можно вы­ делить прежде всего обширный цикл работ (преимущественно зарубежных), посвященных расчетному [105, 118, 125, 157— 160, 176, 177, 189, 206, 207, 220] и экспериментальному [124, 190] исследованиям приспособляемости сосудов давления. Как уже отмечалось выше, в условиях однопараметрического нагружения прогрессирующее разрушение является не харак­ терным видом разрушения; как правило, в предельном состоя­ нии реализуется знакопеременное пластическое течение (в осо­ бенности при наличии концентрации напряжений) либо «мгно­ венное» пластическое разрушение (предельное равновесие).

Наиболее перспективной областью приложений теории при­ способляемости оказались, по-видимому, конструкции,' рабо­ тающие в нестационарных температурных полях (как при на­ личии механических нагрузок, так и при их несущественном влиянии). Отличие от результатов расчета по предельному равновесию (при определении условий накопления с каждым циклом односторонних деформаций) здесь может быть весьма значительным, поскольку, как известно, тепловые напряжения на условия предельного равновесия не влияют. Проблема фор­ моизменения конструкций при теплосменах весьма актуальна для ряда отраслей современной техники, в частности для атом­ ной энергетики, двигателестроения, металлургии; различным ее аспектам посвящено значительное число теоретических и экспериментальных исследований.

В атомных реакторах специфические условия работы, ха­ рактеризующиеся периодическими теплосменами, сочетаются с чрезвычайно жесткими требованиями к стабильности геоме­ трии. Изучение формоизменения в связи с этой проблемой бы­ ло начато экспериментальными исследованиями [28]. Теория