книги / Проектирование и расчёт крепи капитальных выработок

Остальные коэффициенты матрицы системы II являются тем же, что и в системе I.

Система уравнений II решается с группой свободных членов 16, взятых с обратными знаками. В результате решения системы II

получается третья группа	корней
c v ( I I ) — V = 1 ,	, 4 ,	a v ( I I ) — v = 1 ,	6 .

6 .2 .2 .4.4.— для расчета на сейсмические воздействия землетря­ сений дважды решается система I с группами свободных членов 1а и 16, определяемых по формулам:

dm(la) = d ( + d ~ l- - £		v/ivayv_ m+1j ,		(m =	1,	4),
di (la) = hi (/ +		dRT2) —d (h1wa+		2h2w4),		(6.43)
d2(la) = A, (/ +	dR T *)-dhlWi, d3(la) = A* (/ +				dRT6),
d4(la) = h4(l + dRTa),			d’5(la) = d'6(la) =		0 ,
dm (16) =	dw2- m,		(m = 1, .	,4 ),
di (16) =		—(/ + dRT2) + dw3,				(6.44)
d2(16) = dw4,	d3 (16) = d\ (16) = d'5 (16) =d'6(l6) = 0

и система II с группой свободных членов 16, определенных по формулам (6.44), за исключением члена а[ (II), который вычис­ ляется по формуле

d[ (11) = / + dRT2 + dw3.	(6 .45)
В результате решения систем уравнений I и II получаются со­
ответственно три группы корней — la, 16 и	II.

Полученные на втором этапе вычислений корни или группы корней систем уравнений являются основой для определения на­

пряжений и усилий в сечениях крепи.				напряжений и уси­
6.2.3.	Третий этап	расчета — определение
лий в сечениях крепи — включает ряд операций,				выполняющихся
сначала при значении 0 =		0 °, а затем при изменении угла			0 с за­
данным	шагом (например,	Д0 = 15°, до	180° (при расчете		крепи
в массиве с наклонным напластованием			или подверженном дейст­

вию тектонических сил, а также при расчете на действие одной про­ дольной или поперечной волны заданного направления угол 0

изменяется до 360°). Эти операции, следующие:
6 .2 .3.1 — для расчета	на действие собственного веса пород.
6 .2.3.1.1. Вычисляются	значения
Ах = аJib + 2a2h4,		A^==a\h4.	(6.46)
6.2.3.1.2. Определяются	величины:
6	4

А\ = — YJ vavcos(v+ 1 ) 0 + 2 vcvcos(v — 1)0 +

V = 1

V=1

V=1

	6	vavs in (v + 1)0 +	4	vcvs' n (v— 1)®—
B\ — ^			2
	V=1		V=1
		— Y Vj4vsin(v + 1)0.							(6.48)
		V=1
6.2.3.1.3.	При значениях p = 1			и	p =		R i	вычисляются вели­
чины:				,	4
4
c\ = 1 — Y v<7vp- v - 1cos(v+ 1) 0 ,				d\ =		Y	v4vP	v	sin(v-(-l)0 ,
V=1						V=1
4			6		- v - l .
a2 = d ^	vcvpv-1 cos(v— 1 )0 —t
				vavp~v—1cos(v + 1 )0 +
v = l			V=1
		+ d Y v-4vP v ’cos(v-(- 1) 0 ,							(6.49)
		V=1
b'2 = d Y	w vPv	'sin(v — l)0-f<	Y	vav.p		v	1sin (v +		1)0
V=1			V=1
		— d Y Vj4vP v	’s in (v + l) 0 .
		V=1

6.2.3.1.4. Определяются дополнительные напряжения на кон­ такте крепи с массивом по формулам:

C,J4J + djBj

а0 =	(6.50)
c't + d'*	Р=1

мc iB i ~ d \ A i

		Р0= -----	~2-----	Ч~
			С1 +	^1	Р=1
6 .2.3.1.5.	Определяются		начальные		напряжения		на контакте
	l-pX,	1 _ Х	(^J2 — di2) cos 20 — 2cjdj sin 20
					c? +		p=i
							(6.51)
м (0)	1— X	(c!2 — di2) Sin 2 0 -I-2c[d; cos 20
TPe	= ---------------------------------------------------------------------			c'f + d'i2
							p=i
и полные контактные напряжения
	_м О) _ _М , _м (0)		,	м (1)	м . м (0)	,	(6.52)
	о р = сгр -t- сгр			тре	= тре + тре

Для случая расчета на известную среднюю нагрузку Рср до­ полнительно вычисляются средние нормальные контактные напря-

жения по формуле

1 +Л

(I —2d) (1 —Я?)

а*

(6.53)

(Трср —

1 — 2d (1 — /?f)

Ri =

2

а0 + Д

6 .2.3.1.6 .

Определяются

полные нормальные тангенциальные

напряжения на внешнем и внутреннем контурах поперечного се­

чения крепи по формулам:

„ К

_

л

c l a 2

+

d l fc2

(6.54)

00 внеш — **

—

“

_

( 1

+

Х ) - а р М ( 1 ) ,

с\+ * \

Р= 1

к

_

л

с \а2

^1^2

-(1 +Х) .

О0внутр — ^

“

С\ +

P=Ri

6.2.3.1.7.

Определяются

безразмерные координаты точек внут­

реннего и внешнего контуров поперечного сечения крепи соответст­

венно по формулам:

Xh 2 = Г

4

(6.55)

1 ■+ рCOS 0 + Y, QvP Vcosv0l

L

a0

v = l

J I p = i

1,2 =

F p s i n 0 — X

<7vp~v sin v0~| I

Vi,

L

v=l

J I p= R lt 1

относительная

толщина

крепи

6 — д/(х2— x ff + (у2— уi f

(6.56)

и координаты точек

средней

линии поперечного сечения

Х\ + х2

у--

У\ + У*

(6.57)

6.2.3.1.8. Находятся безразмерные значения усилий по фор­

мулам:

б2

М-

12 ■(<70 внутр

<70 внеш)>

(6.58)

6

<70внеш)•

N —

(<70 внутр

6.2.3.1.9.

Полученные

значения

напряжений умножаются_ на

величину уНа* при известной средней

нагрузке — на Яср/<7рср,

изгибающих моментов — на

R 2yHa*b

(или

на R 2Pcpb/(Jpcp),

про­

дольных сил — на

RyHa*b

(RPCpb/apCp),

координат точек — на

R; b — единица

длины

в

продольном

направлении.

давление

6 .2 .3 .2

— для

расчета

на внешнее

гидростатическое

подземных вод.

6.2.З.2.1. Определяются величины А\ и В\ по формулам (6.47), (6.48) с добавлением в них дополнительных слагаемых:

F	£(1 +XO)COS0— Y J		— l)/iKcos60^ +
1 +		ft=l
	d (1 + *i)	/гос* cos (k— 1) 0 ,		(6.59)
		1
Вг = — - —	Г(1 + *о) sin 0 + ^ 2		0 Лк sin /гб! +
1 + *0	L	k=\		J
	1	2 fox* sin (A— 1 )0		(6.60)
	d (1 + *i)
		jf^i

и определяются нормальные напряжения на контакте крепи с мас­ сивом по формуле

= (	С‘Л' + d\B\		- # 2 + cos0 + YJ Q^cosvd VbR		(6.61)
v	'2	Р = 1		)
	<;2 +*1		V = 1

6 .2.3.2.2. Вычисляются вспомогательные величины йг и Ь2 по формулам (6.49) с добавлением слагаемых:

а2 = — — d У		(k— 1)		cos/е0 Н— —^— х
X Y		% p (,i+1) cos (k+ 1) 0 ,				(6.62)
	k =0
b2= ---- —£— d Y			(k — l)%>~*sin60----—p-----X
1 + x0	ft=i				1 + *1
	e
x	Z	ЛрАр- (ft+1) sin (/г+			1) 0 .
	k=Q
6 .2.3.2.3. Определяются			нормальные		тангенциальные	напря­

жения на внешнем и внутреннем контурах поперечного сечения крепи по формулам:

		00 внеш =	2 с\а2+ d^b2	yBR — Opt	(6.63)
			с\ + di2	P= I
			+ d\b2
		00 внутр --- 2		увR-
			c?+ d?	Р=Я.
6 .2.3.2.4.		Находятся усилия в сечениях крепи			по формулам
(6.55)	— (6.58), после		чего значения	изгибающих	моментов умно­
жаются	на	R 2b, а продольных сил — на Rb.

6 .2.3.3.— для расчета на действие тектонических сил или с уче­ том наклонного мелкослоистого напластования.

б.2.3.3.1 — Производятся вычисления по формулам:

А 1 (1а) =

Ё

vcv(la)cos (v — 1) 9 —Ё

vav (la) cos (v +

1) 0 +

V =

1

V = 1

2

+

Z

Vi4v(la) cos (v + 1) 0 ,

V =

1

4

6

B\ (Ia) = Z vcv(Ia)sin(v— 1)0 + 2

vav(la)sin(v +

1)9 —

V = 1

V = 1

2

— Z vЛv(la) sin (v + 1) 0 ,

(6.64)

A\(\6) =

4

6

Z

vcv(16)cos(v — 1)0— Z

vav(16)cos(v +

1)0 +

V =1

2

V=1

+

Z

Vy4v(I6) cos(v+ 1) 0,

V = 1

4

6

B’l (16)= z

vcv (16) sin (V — 1) 0 + Z vav(I6) x

V= 1

V=1

2

Xsin(v+1)0—Z Vi4v(I6)sin(v+l)0,

V =1

4

C.

Л!(П) =

— Z

vcv(II)sin(v— 1)0 — Z vav(II) sin(v+ 1)0 —

V = 1

V=1

—Ё Vi4v(II)sin(v+ 1)0,

v = l

4

6

B\ (II) = Z VCV(II)COS(V — 1)0—Z vav(II)cos(v+ 1) 0—

V=1

V—i

Z Vi4v(II)cos(v+ 1)0,

v = l

где

A y (la),

A v (16) Av (II)

определяются

соотношениями:

Ax (la) =

ax (la) h3+

2a2 (la) h4,

A 2(la) = a4 (la) /i4,

Ax(I6) = ai(I6)h3 + 2a2(I6)h4,

A2(16) = ax (16) h4,

(6.65)

Ax (II) =

ax (II) h3+

2a2 (II) hit

A 2(II) =

ax (II) Л4.

6 .2.3.3.2

При значениях p = 1, p =

вычисляются величины

с\, d[ по формулам (6.49)

и определяются

значения

а2 (la), Ь2

(la),

b2 (II)

по формулам:

4

6

а2(la) = d Z

vpv -1cv (1°) cos (v — I) 0 —t Z

vp-v_I av(Ia) x

V = 1

V = 1

2

X cos(v -f l)0 + d YJ vp“ v_I /4v(Ia)cos(v-f 1)0,

v = 1

b'2(la) = d		Z	vpv 'cv(Ia)sin(v— 1 )0 + / Z			vp v 'av(Ia) x
	V =		1	V =	1
X sin (v+ 1)0—d Y vP V 1^ v(Ia)sin(v+1)0,							(6.66)
				V = 1
		4		6
a2(l6) = d Y			vpv_1cv(I6 )cos(v— 1)0 — t Y		vp"v_1av(I6 ) X
	V =		1	V = 1
				2
X cos(v+ 1)0 + d Y vp""v“ 1>4v(I6) cos (v + 1)0,
				v =1
4				6
b2{l6) = d Y	vpv_1cv(I6 )sin(v— 1) 0 + / XI vp“ v_1av(I6 ) sin(v +
V = 1				V = 1
			2
	+	1)0 — d 2		vp-v -Ij4v(16) sin (v +		1) 0 ,
			V = 1
	4			6
a2(II)= — d Z		vpv“ 'cv( I I ) s i n ( v - l ) 0 - / Z			vp-v- ‘av(II)sin(v +
	+	1)0 —d Z		vp v~^Ay (I I) sin (v +		1) 0 ,
4			V= 1	о6
b2(U) = d	vpv—'cv(II)cos(v— 1 )0 —t ZZ vp_v_Iav(II)cos(v +
V=	1			v' =*l
	+	1) 0 —d Z		vp—v—'J4V(I I) cos (v +		1)0.
			V = 1

6.2.3.3.3. Определяются составляющие дополнительных напря­ жений на контакте крепи с массивом по формулам:

с \ А \ ( \ a ) + d \ B \	(1а)
<тРм (Ia) =
	Р = 1
с \ в \ (la) — d \ A \	(la)
т“е (la)=	(6.67)
c ' f + d ' i 2	P=

аналогично вычисляются ст“ (16), т“е(1б), a” (II), т “е (II) с подста­ новкой соответственно величин А\ (16), 51 (16), А\ (II), 51 (II).

6.2.3.3.4. Определяются составляющие начальных напряжений

a“ <°>(Ia)=	- 1,	Тр9<0) (la) = О,
a“ (0) (16) =Тре<0) (II) =		(с? — dj2) cos 20 — 2c\d\ sin 20	(	6	. )
		ci + dl2			68
			P = I
<%»i p i ) »	_*<«> (i6 ) _	-

и составляющие полных контактных напряжений
а” (‘>(1а) =	сгр (1а) + <трм(0) (1а),	т“0(,) (1а) = т"0 (1а) + трме(0) (1а),
				(6.69)
остальные составляющие ар(1)		(16), тр0(|) (16),	ар (1) (II),	тр0(1) (II)
находятся по аналогичным формулам.			полных	нормальных
6 .2.3.3.5.	Определяются	составляющие

тангенциальных напряжений на внешнем и внутреннем контурах поперечного сечения крепи по формулам:

с\а2 (1а) + d\b'2(1а)

	о 0 внеш (1а) == 4 -		ci2 + di2	— 2 —ар (1) (la),
				1=1
	^0 внеш (16) — 4		с[а'2(]б) +d\b'i m	I	- С д е	» . (6.70)
			c?+ d?
				I P=1
	Од.внеш ( I I ) =	4	с\а2(II) ~\~d\b2(II)	-	—ar“ (1)(II),
			ci2 + di2	P=1
			c\a2(\a) +d\b'2 (la)		- 2,
	^бвнутр (I#) -- 4
					р = я.
			c[a2 (16) +
	^Овнутр	(16) = 4
			c\2 + d 2		P =Ri
			c\a2(II) + d\b2(II)
	OQ внутр (H ) — 4
			cf + d1'2		Р= Я,
	6 .2.3.3.6 . Определяются компоненты			напряженного		состояния

на контакте крепи с массивом и нормальные тангенциальные на­ пряжения на контурах поперечного сечения крепи, выражающиеся

через	соответствующие	составляющие формулами:
а = |	1 ^ cr(Ia) + 1	[о (16) cos 2a + a (II) sin 2a]j A^a*, (6.71)

где символом о обозначены все искомые напряжения.

6 .2.3.3.7. Определяются усилия в сечениях крепи по формулам

(6.55) — (6.58),		после чего величины изгибающих моментов М ум­
ножаются на R 2b, а продольных сил N — на Rb.
6 .2 .3.4.— для		расчета на	сейсмические		воздействия землетря­
сений.	Вычисляются		значения	А г	(la),	А 2 (И)	по
6 .2.3.4.1.
формулам (6.65)		и определяются величины:
А 1(la) =	4		2
	2	vcv(Ia) cos(v— 1) 0 + £		v/lv(Ia)cos(v + 1)0 —
	V=1		V =1
		Vflv(Ifl)COS(v + 1)0+ Y J V/IVCOS(V +				1)0 + t	d ■>
	v^l		v= 1			d

B\ (la) =	2	vcv(Ia)sin(v — 1)0—2			Vi4v(Ia)sin(v +	1)0+
	V= 1			V=1
6			4
+ 2	vav(Ia)sin(v 4- 1)0— 2			v/tvsin(v +1)0,
V = 1			V=1
A[ (16) =	4			2
	2	vcv(I6)cos(v — 1 ) 0 + 2			v/4v(I6)cos(v + 1)0 —
	V= 1			V =I
	6
— 2		vav (16) cos (v +	1)0—cos 20,
	v=l
Bi (16) =	4			2	V/4v(I6) sin(v+	1)0 +
	2	vcv(I6)sin(v— 1)0 —2
	V=1		V=1
	6
+	2	vav (16) sin (v +	1)0+	sin 20,		(6-72)
	V= 1
		4		2
A\ (II)= — Z vcv(II)sin(v — 1)0— Z Vi4v(II)sin(v+ 1)0 —
	V = l			V=1
		6
	— Z vav(II)sin (v + 1)0 — sin 20,
	v=I
	4		2
B l(II)=	Z VCV ( I I ) C O S (V —		1)0— Z Vi4v(II)cos(v+ 1)0 —

~Z vav(II)cos(v + l) 0 —cos 2 0 . v=l

6 .2.3.4.2.		При значениях p =	1, p =	R i вычисляются величины:
C\ =	4		,	4
	1 — Z V<7vp“ v“ 1cos (v + 1) 0 ,		d\ =	Z VQ\P~V~ 1 sin (v + 1) 0 ,
	v=l			V=1
a2(la) —d Z vcv(Ia) pv 1cos (v — 1 )0 — <Z vav(la) p v						! cos(v +
	v=l		v=l
	2			4
4-1)0 + d Z		v4v(Ia)p“ v_1 cos(v+ 1) 0 + d Z			v/ivp~ v“	1cos(v + 1) 0 ,
	V =1			V=1
	4			6
b2(la) = d Z		vcv(Ia)pv_1 sin(v— 1) 0 + £ Z			vav(Ia) p- v ” 1 sin(v +
	V=1			V=1
	2
+	1) 0 —d Z	v^v(Ia)p v 1 s in (v + 1) 0 —d Z			v^vP V ! s in (v + l) 0 ,
	v=l			v=l
						(6.73)
	4

a2(l6) = d Z	vcv(I6 ) pv_1 cos (v — 1) 0 —t Z vav(I6 )p- v “ 1 cos(v +
v=l	v=l

	+	1)0 + d Z		Vy4v ( I 6 ) p v 'cos(v + l ) 0 —dp					2 cos 20,
			V=1
b'2(16) = d			YJ W V (16) pv 1 sin(v— l)0 + i £					vav(I6)p v 'sin(v +
			V=1			V =
			2
	+	1)0—d ^		Vy4v(I6) p-v_1 sin(v +			1)0 +dp _2sin20,
			V=1
			4			6
а2(П )= —d Z vcv(II) pv-1 sin(v— 1)0 — / Z								vav(II)p" v_1 sin(v +
			V=1			V=1
			2
	+ 1) 0 — d 2			Vi4v(II) p-v_I sin(v +			1) 0—dp-2 sin 20,
			V=1
			4			6
62(H) = d ^ vcv(II)pv_Icos(v— 1)0 —t Z							vav(II)p- v - I cos(v +
	+ 1) 0 —d Z			v^v(II)p-v _ 1 c o s(v + l)0				—dp_2 cos2 0 .
			V=1
6 .2.3.4.3.			Определяются составляющие напряженного состояния
крепи a (la), a (16), a (II)					по формулам:
			С \А 1 +	d i B l		c+i — d].4|
			с,2 + d,2		т р0 =		c?+ d?
					Р=1				P=i	(6.74)
<*0 !	i = 4	c \ a 2 + d l b 2			^П»			_Л	Cla2 + dib2
			с\? +d\2			a 0 внутр — **			“
				Р=1					Cl ~ + d l	р= R t
с подстановкой входящих величин А\,						В \, а2, Ьо соответствующих
групп	1, я,		1,6, и	II.	величины
6 .2.3.4.4.			Вычисляются
				Уо			1 - 5			(6.75)
				1 — v0	ы	-

и определяются значения экстремальных нормальных тангенци­ альных напряжений на внутреннем и внешнем контурах попереч­ ного сечения крепи по формулам:

^	СГ0 внутр (1я) + Q д	/ (1 +	Q2) [^0 внутр (1б) +	<Т§ внутр (II)]
^ =	а 0 внутр (1я) — Q V	( 1 +	Q2) [сТ0 внутр (16) +	0»е внутр (II)]
				(6.76)
С =	аевнеш (1я) "Ь Qд / ( 1		Q ) [^0 внеш (16) +	о§ внеш (Н)].

7? =	^ ^0 внеш (Ifl) Q Д / ( 1 -f- Q ) [ а 0 внеш (16) ^0 внеш (П )] .

	6 .2.3.4.5. Из		значений	Л,	В, С и D выбираются наибольшее
отрицательное		и	наибольшее		положительное.
	Если наибольшим того или иного знака оказывается число Л,
то	находятся	напряжения		сгр, тр0, а 0ВНуТр, а 0Внеш (в долях				вели­
чины Р) из соотношения
а __ 1 ~Ь £ сг(1д)			| Q .1^1 |	Q2	а (16) а 9 внутр (16) +		а (II) ае внутр (Н)
	4				V ° e внутр (1б) +		ст0внутр (" )
								(6 .7 7 )
	Если наибольшим того или иного знака является число В, то
для нахождения напряжений используется формула
Q.	1 ~Ь £ Q.	__ Q ^ ^ j ^ Q 2			сг (16) g 0внутр (16)		& (Н ) (JQ рнутр (Н)
					V	a e внутр ( ^ ) “Ь а0внутр
								(6 .7 8 )
	Если наибольшими оказываются числа С или D, то для опреде­
ления напряжений используются соответственно формулы								(6 .7 7 )
или (6 .7 8 ), но		с подстановкой			вместо	величин а 0ВнутР (1 6 ),		ст0ВнуТр
(II)	значений	а0 в„еш(1б),		а0 внеш(11).		эпюры напряжений сгр, тр0,
	В результате		получаются		по две

ff0внутр, QQВнеш» соответствующих наибольшим сжимающим (от­ рицательным) и наибольшим растягивающим (положительным) нормальным тангенциальным напряжениям а 0 в крепи, которые могут возникнуть при совокупном действии продольных (в фазе сжатия) и поперечных волн.

6 .2.3.4.6 . Определяются		безразмерные координаты точек внут­
реннего и внешнего контуров поперечного сечения и относительная
толщина крепи по формулам (6.55) и (6.56).
6 .2.3.4.7	Для обоих полученных вариантов напряженного со­
стояния крепи определяются величины М и N по формулам (6.58).
6 .2.3.4.8 .	Расчетные	значения напряжений	умножаются на ве­
личину
	Р =	КсусгТо,	(6 .7 9 )

где cL— скорость распространения продольных волн, определяе­ мая измерениями или вычисляемая по формуле

	Cl	. /	______ 1 — Vo____	(6 .8 0 )
		V Y	( l + v „ ) ( l - 2 v 0)
g — ускорение	свободного падения.
Расчетные значения изгибающих моментов М умножаются на
величину P R 2b, а продольных сил N — на PRby где b — единица
длины в продольном направлении сооружения.
6 .2.3.4.9.	Полученные		усилия соответствуют наибольшим сжи­
мающим и растягивающим			напряжениям а0 в каждом сечении