книги / Проектирование и расчёт крепи капитальных выработок

Оптимальное проектирование трехслойной сталебетонной крепи шахтных стволов, сооружаемых бурением

9.1.Оптимальное проектирование

Внастоящее время крепь проектируется методом вариант­ ного проектирования (рис. 9.1). Вначале на основе анализа горно­ геологических условий и оценки устойчивости пород выбирается конструкция и технология возведения крепи. Затем для выбран­ ных проектировщиком на основании имеющегося опыта марок ма­ териалов (механических параметров) и размеров конструктивных элементов (геометрических параметров) крепи выполняется расчет напряжений, и если это необходимо — перемещений, элементов конструкции с использованием схемы контактного взаимодействия

исовместного деформирования крепи с массивом пород и прове-

Рис. 9.1. Блок-схема	вариантного	Рис. 9.2. Блок-схема оптимального
проектирования крепи		проектирования крепи

ряется прочность крепи. При нарушении условий прочности хотя бы в одном элементе крепи расчеты повторяются при других зна­ чениях механических и (или) геометрических параметров до тех пор, пока не будет получена допустимая по прочности конструкция. Как правило, существует несколько допустимых конструкций, среди которых желательно найти наиболее рациональную (напри­ мер, по стоимости), что опять-таки приводит к необходимости многовариантных расчетов. Если полученные результаты не удовлетворяют проектировщика, он переходит к рассмотрению дру­ гого типа конструкции или технологии возведения крепи, и описан­ ный выше процесс повторяется. Качество проекта, получаемого в результате вариантного проектирования, во многом зависит от опыта и инженерной интуиции проектировщика. Оптимальность такого проекта не гарантирована, так как полный перебор всех допустимых вариантов конструкции обычно невозможен.

Иначе обстоит дело при использовании методов оптимального проектирования конструкций. В этом случае в результате расчета находится оптимальная из всех допустимых вариантов конструк­ ция крепи. Многократные расчеты, при которых значения пара­ метров крепи задаются по плану, определяемому алгоритмом оп­ тимизации, предусматриваются программой и осуществляются автоматически. Алгоритм оптимизации позволяет найти оптималь­ ную конструкцию, не перебирая всевозможные варианты, что часто невозможно и, как правило, нерационально даже при использо­ вании современных ЭВМ. Оптимальное проектирование начинается с постановки задачи оптимизации конструкции (рис. 9.2), которая заключается в том, чтобы выбрать параметры крепи, изменяемые в процессе оптимизации (управляемые параметры), и сформировать целевую функцию и функции ограничений. Выбор метода оптимиза­ ции обусловливается свойствами функций цели и ограничений. При этом чем полнее информация о свойствах целевой функции и форме области, определяемой ограничениями, тем более эффек­ тивный метод может быть применен для решения оптимизационной задачи. Хотя проблема оптимального проектирования крепи гор­ ных выработок является одной из первоочередных в механике под­ земных сооружений, ее решение встречает пока еще серьезные труд­ ности. Одно из главных затруднений вызвано тем, что подземные конструкции работают во взаимодействии с массивом пород и вся­ кое изменение параметров конструкции (механических или геомет­ рических) вызывает изменение напряжений на контакте кон­ струкции с массивом (нагрузок на крепь). Это обстоятельство су­ щественно отличает крепь от других видов строительных конструк­ ций и не позволяет воспользоваться известными методами оптималь­ ного проектирования.

Ниже приводится, по-видимому, первое решение задачи опти­ мального проектирования подземной конструкции — трехслойной сталебетонной крепи ствола, сооружаемого способом бурения. Ра­ бота выполнена В. И. Нечаевым под руководством Н. С. Булычева.

9.2.Определение напряженного состояния

ипроверка прочности крепи

Всложных и особо сложных горно-геологических условиях при сооружении вертикальных стволов большое распространение по­ лучила конструкция трехслойной сталебетонной крепи, состоящей из двух концентрических стальных цилиндров, кольцевое про­ странство между которыми заполнено бетоном [11]. Поскольку такая крепь применяется главным образом при проходке шахтных стволов бурением, в дальнейшем рассмотрим именно эту техноло­ гию.

Расчетная схема крепи представляет собой пятислойное кольцо, первые трислоя которого представляют крепь, четвертый—зацементи­ рованное закрепное пространство, а пятый моделирует массив пород и имеет бесконечно большую толщину (рис. 9.3). Универсальным методом расчета многослойной упругой системы «крепь—массив» является (для случая плоской деформации) метод коэффициентов передачи нагрузок [9 ], которым мы и воспользуемся.

Поскольку массив моделируется линейно деформируемой сре­ дой, воспользуемся расчетной схемой с разделением результирую­ щего поля напряжений на начальное и дополнительное (снимае­ мое) [33], которая наилучшим образом отражает технологию воз­ ведения крепи под глинистым раствором. Крепь возводят в запол­ ненном глинистым раствором стволе, поэтому начальные напря­ жения во всех слоях крепи и на контакте крепи с массивом обу­ словлены гидростатическим давлением раствора и составляют на внутреннем контуре сечения любого /-го слоя

°г°(0 — Po°(i) =УрЯ,

/ = 0,4.

(9.1)

где ур — объемный вес промывочного раствора; Н — глубина ствола. При откачке раствора эти напряжения снимаются с внутренней

поверхности крепи, на которой допол­ нительные напряжения, следовательно, будут равны:

ai\	= p'o\o) = - y PH.		(9.2)
Дополнительные напряжения			на кон­
тактах слоев	определяются рекуррент­				,
ной формулой
Рощ = Ро(с-\)Ко (о»		i =	1 >4, (9.3)	/
				I	(
					L г0
Рис. 9.3. Схема	трехслойной	сталебетонной			р г -
					. ч
крепи:					гз
1* 3 — стальные	обечайки; 2 — слой		бегона; 4 —		Г4
цементационный слой; 5 — бесконечный			слой, моде­
лирующий массив

где /Со(о — коэффициент передачи равномерных внутренних на­ грузок, который находится также из рекуррентного соотношения

в котором Gi — модуль сдвига материала /-го слоя.

d< = « ( + 1;	5' = ( т ~ ) 2
Здесь щ — коэффициент	вида напряженного состояния /-го
слоя, равный в данном случае (условие плоской деформации)
и< = 3— 4pf;
Pi — коэффициент Пуассона	i-го слоя.

Полные радиальные напряжения на контактах слоев опреде­

ляются как сумма начальных и дополнительных напряжений
Ро (о = Ро°! + Polo-	(9-5)

Для сложных горно-геологических условий, когда крепь ствола ис­ пытывает статистически равномерное давление слабых водонасыщен­ ных весьма неустойчивых пород и гидростатический напор подзем­ ных вод, может быть использована также расчетная схема в виде трехслойного кольца с заданной внешней нагрузкой р 0(з)• В этом случае радиальные напряжения на контактах слоев находятся по формуле

Ро(i-i) = Роа)Ко (i>.

i = 3,2,

(9.6)

где /Сот — коэффициент передачи равномерных внешних нагрузок через t-й слой, определяемый выражением

Ко(1) =	Sidi	(9-7)
di -I- (s,ч— 1) Ь	Gj Гdj—i (Sj—i — Ко (i—l))
		Si-1 — 1
Gi-1 L
i — 2,3,	/Co (i) — 0.
При равномерной нагрузке	крепь	работает только на сжатие

и максимальные напряжения имеют место на внутренних конту­ рах сечения слоев, нормальные тангенциальные напряжения на которых равны

оеН(0 = тро (о — (т — 1 ) р 0 U - D ,

(9.8)

где

S — 1

206

Расчет на прочность слоев крепи производится по упругой стадии с учетом объемного напряженного состояния материала промежуточных слоев. Условие прочности для каждого слоя крепи заключается в том, что максимальное эквивалентное напряжение на внутреннем контуре не должно превышать расчетного сопротив­ ления материала на сжатие

<Ьки(о ^	(i)i	i — 1 Д	(9.9)
при этом
а экв (О =	ffGH(0 —	PtPo ( t - 1),	(9.10)

где Pi — константа прочности материала /-го слоя.

Для бетона (второй слой) в соответствии с теорией прочности Кулона—Мора

где ф — угол внутреннего трения бетона.

Для стали (первый и третий слои) по теории прочности Треска- Сен-Венана =■- рз 1.

Приведенные выше расчетные соотношения составляют основу прочностного расчета крепи и должны быть использованы при ре­ шении задачи оптимального проектирования крепи.

9.3, Постановка и предварительное исследование задачи оптимального проектирования крепи

Рассмотрим задачу оптимального проектирования крепи с точки зрения получения наиболее экономичной конструкции.

Общая стоимость сооружения ствола складывается из стоимо­ сти работ по проходке и возведению крепи и стоимости материа­ лов, расходуемых на изготовление крепи. Поскольку в данном случае мы задались конкретной конструкцией крепи и технологией сооружения ствола, то единственной переменной составляющей в общей стоимости является стоимость материалов. Учитывая ак­ туальность задачи удешевления крепи, снижения ее материало­ емкости и, в частности, металлоемкости, принимаем в качестве кри­ терия оптимальности минимум стоимости материалов на 1 м крепи. Технологические условия позволяют варьировать в определенных пределах строительные классы стали, марки бетона и толщину стальных оболочек. Эти параметры примем в качестве управляе­ мых. Естественными ограничениями в данной задаче являются условия прочности каждого слоя крепи и допустимые пределы из­ менения управляемых параметров.

Следуя, в основном, терминологии и обозначениям, принятым в работе [24], сформулируем поставленную задачу в виде следую­ щей задачи математического программирования:

			g(y)=> min,		(9.12)
			У С G
решение которой у *		обладает свойством
			g(y*) = ming(y),		(9.13)
			/у 6 G
где у = (у1	у 2, у ъ,	у4, уъ) — точка		в пространстве управляемых
параметров;	уг — класс		стали 1-го	слоя; у 2 — марка бетона 2-го
слоя; у 3 — класс стали			3-го слоя; у4 — толщина стали		1-го слоя;

Уъ — толщина стали 3-го слоя; g (у) — целевая функция; G — мно­ жество допустимых решений (допустимое множество).

Управляемые параметры yi, / = 1,5 принимают конечное число таблично заданных значений в соответствии с существующими стан­ дартами, поэтому считая, что нумерация этих значений произве­ дена в порядке их возрастания, будем в дальнейшем рассматривать

вкачестве управляемых параметров целочисленные переменные xit

/= 1,5, значения которых являются номерами соответствующих значений у (. Таким образом, каждое значение yi является одно­ значной функцией от Xi, и задача (9.12) — (9.13) принимает вид:

			/(*)=> min,			(9.14)
				х е D
			/(**) =	min/(*),		(9.15)
			x£D
где х = (х1у	х 2, х 3, х4, хъ) — точка в дискретном пространстве уп­
равляемых	параметров: / (х) — целевая				функция;	D — дискрет­
ное допустимое множество.
Целевая	функция,		имеющая	смысл	стоимости	материалов на
1 м крепи ствола, определяется				по формуле
			з	Яс (rl— rl-1).
		/ М = л Е				(9.16)
			(=1
где qt — цена		(стоимость единицы объема) материала /-го слоя;
ri — внешний		радиус	/-го слоя.

Радиусы слоев как функции управляемых параметров удовлет­ воряют следующим соотношениям, обусловленным технологией из­

готовления крепи:
Г1 = г0 + уь	У*=*уЛх*)\
г3 = г2 + уЪ	уь= уъ (хъ)\	(9.17)
Го= const,	Г2 = const.

Цена стали зависит от ее класса и толщины, цена бетона опре­ деляется его маркой, т. е.

<7l = <7l(*l. *4), ?2 = ?2(*2), ?з = <7з(*з, * 4). (9 .18)

208

Допустимое множество D представляет собой дискретное мно­ жество точек в пространстве управляемых параметров, определяе­ мое ограничениями на напряженное состояние (условиями прочно­ сти) и на диапазон возможных значений управляемых параметров:

£>= [х:<р,-(х) > 0;

xi = mt, щ, Ах(, / = 1,3, t = 1,5},

(9.19)

где ф/ (х) — функция ограничения на напряженное состояние /-го слоя; т(, щ, Ах( — соответственно нижний и верхний пределы и шаг изменения управляемого параметра х{.

Функции ограничений имеют вид

ф7(х) = — np(Q- - - i ,	/ = 1,з.	(9.20)
°экв (/)

Очевидно, #пр</) и Оэкв (/) являются функциями управляемых параметров:

(9.21)

Таким образом, задача оптимизации полностью сформулиро­ вана, и теперь, прежде чем перейти непосредственно к ее решению, необходимо выяснить основные свойства функций / (х) и ф,- (х),

} = 1,3. Рассмотрим сначала целевую функцию определяемую вы­ ражениями (9.16) — (9.18).

Цены на сталь и бетон возрастают с повышением строительного класса стали и марки бетона, поэтому / (х) является возрастающей функцией по каждому из аргументов хь х г и х 3. Цена стали яв­ ляется также функцией толщины листов, причем она может быть как возрастающей, так и убывающей либо, чаще всего, немонотон­ ной функцией. Однако уменьшение цены при увеличении толщины листов невелико, и стоимость стальной оболочки при этом все же возрастает. Кроме того, при увеличении толщины внутренней стальной оболочки уменьшается толщина бетонного слоя и, сле­ довательно, стоимость последнего. Но поскольку бетон значительно дешевле стали, уменьшение стоимости бетонного слоя не компенси­ рует увеличения стоимости стальной оболочки (даже когда цена стального листа убывает с ростом его толщины), и общая стоимость материалов возрастает. Следовательно, f (х) является возрастаю­ щей функцией и по аргументам х4 и х5. Таким образом, целевая функция есть возрастающая функция всех управляемых парамет­ ров.

Проанализируем далее свойства функций ограничений, опреде­ ляемых выражениями (9-20) — (9.21). Очевидно, что расчетное со­ противление каждого слоя крепи является возрастающей функ­ цией марки его материала. В то же время из физических сообра­ жений, подтверждаемых расчетами, можно заключить, что мак­ симальные эквивалентные напряжения в каком-либо слое умень­ шаются с увеличением толщины этого слоя, а также с увеличением

марки бетона. Хотя увеличение толщины первого слоя сопровож­ дается соответствующим уменьшением толщины второго слоя, на­ пряжения во всех слоях (в том числе и во втором слое) снижаются, так как модуль деформации стали значительно больше модуля деформации бетона. Следовательно, фх (х) возрастает по аргумен­ там х1( х 2, х4, х6 и остается постоянной по аргументу х3 (так как

не зависит от х3); <р2 (х) возрастает по аргументам			х 8, х4, хь и по­
стоянна по хи	х3; ф3 (х) возрастает	по х 2, х 3, х4,	х5 и постоянна
по хг. Таким	образом, фу- (х), / =	1, 3 — неубывающие функции

управляемых параметров.

Попутно отметим еще одно обстоятельства, которым мы восполь­ зуемся при построении алгоритма оптимизации: расчеты показы­ вают, что наибольшее влияние на напряженное состояние крепи

оказывает толщина первого слоя, меньшее — толщина			третьего
слоя, еще меньшее — марка бетона.		что х* £ Г с D,	где Г —
Из монотонности / (х) следует [24],
граница	множества D, определяемая как множество таких точек
х £ D,	по крайней мере для одной координаты xt которых выпол­
няется хотя бы одно из следующих условий:			xD) g D.
1) Х{ = mit 2) xt = щ, 3) (*!,		, Xi — Axt,
Тогда задачу (9.14) — (9.15) можно записать в виде:
	/(*)=> min,		(9.22)
	л* € Г
	f(x*) — m inf(x).		(9.23)
	*ег

Полученные выше результаты дают основание для выбора ме­ тода оптимизации и построения алгоритма решения поставленной задачи.

9.4.Выбор метода оптимизации

исоставление алгоритма

Для решения задачи (9.22) — (9.23) целесообразно применить метод ветвей и границ [24], так как, во-первых, допустимая об­ ласть имеет дискретную структуру, во-вторых, монотонный Харак­ тер целевой функции и функции ограничений позволяет, как мы увидим далее, алгоритмически просто организовать процесс Поиска оптимума. В общем виде алгоритм метода ветвей и границ включает следующие операции:

получение	нижней оценки	/ для минимума целевой функции,
т. е. / должна	удовлетворять	условию J < min f (х) (способ полу-
		х£ D
чения f определяется конкретной задачей);
выбор начальной точки х<°>		f D (правила выбора определяются
конкретной задачей);

сравнение J с /(х<°>); если f = / (х(0)), то х* = х(0) и Задача решена; в противном случае — перейти к п. 4;

разбиение множества D на конечное число непересекающихся подмножеств Dt (способ разбиения определяется конкретной задачей);

получение для		каждого D t	оценок ft >	f и выбор среди них
f* =	min ft (этим	однозначно	определяется	наиболее перспектив-
ное	i			дальнейших исследо­
	подмножество £>*, предназначаемое для

ваний), причем оценки ft должны быть достаточно информативными,

т. е. мало отличающимися от гш‘п/(л'), иначе выбор D* может ока-

дгб D(

заться ошибочным (способ получения /» определяется конкретной

задачей);	второй,		примени­
переход к повторению операций, начиная со
тельно к D*
Перейдем теперь непосредственно к решению задачи оптими­
зации конструкции крепи (9.22) — (9.23), считая,		что Г ф		ф.
Итак, исходным множеством задачи является		Г В	силу	воз­
растающего характера / (х) очевидной оценкой	будет J		= f (тъ
т г, т3, /п4, тъ).	(пъ п 2, п3, л4, п6)
В качестве начальной точки принимаем х(0) =

так как это единственная точка, наверняка принадлежащая Г (это

следует из	неубывающего характера ф,- (х), / = 1,3). Поскольку
/ < / (х<°>),	необходимо начать				разбиение	исходного		множества.
Разделим множество Г на подмножества Г*./, каждое из кото­
рых содержит точки			с ^	= const и х 3 = const, т. е.
		|х :х £ Г ,		x1 = tnl + kAx1,		x3=m 3 + /Ах3),
			k = 0, k,		/ = 0,	/~		(9.24)
	k = (tii— mi)/Ax1,				7 = (n3 — m3)/Ax3.
Формально можно положить
	fk, i = /		+ kAxly		m2, m3 + /Ax3, m4,		m&).
тогда /* =	/о,о	и D* = Г0, 0. Понятно, однако,					что в зависимости
от конкретных		значений		исходных данных		min /(х) может значи-
тельно превышать fkt / и,						xZTk,l		Г0|0. Следо­
				разумеется, не всегда х* £

вательно, такие оценки неприемлемы. В то же время без исследо­ вания Гkj более хороших оценок получить нельзя. В рассматри­ ваемой задаче правильное сравнение подмножества возможно только путем непосредственного сравнения самих минимальных

значений целевой функции на этих подмножествах, т. е. при fk,i = = min/(x), причем наименьшая из сравниваемых оценок/* уже

*егл,/ не просто указывает перспективное подмножество, а является ре­

шением всей задачи:

7* == m in/*,/== m in/ min f(x)\ = min/(x) = /(x*).		(9.25)
к, l	к, l \x£ Tkt / J x£ Г

Таким образом, необходимо решить задачу минимизации f (х) на каждом из подмножества Гk,i

f (л:) => min,	k = 0 , \	1 = 0, Т.	(9.26)
*ег*./

Далее описывается алгоритм направленного сканирования гра­ ницы допустимого множества (рис. 9.4), специально разработанный для решения задачи (9.26). Решение начинается с подмножества Г0,0. Забегая вперед, отметим, что при поиске min f (х) мы получим

х ^ Г0,0 информацию, позволяющую оценить перспективность других под­

множеств (даже не вычисляя явно их оценки /*,/) и определить, нужно ли исследовать последние и если да, то какое именно под­ множество следует рассмотреть первым по окончании исследова­

ния Г0,0.

Прежде всего определим нижнюю границу исследуемого под­ множества по координате х 2, т. е. наименьшее значение х 2 = а2, при котором еще имеется хотя бы одна допустимая точка, а именно точка (m lt а2, т 3, я4, пъ) £ D. Эта задача решается путем одномер­ ного поиска при варьировании х 2 от т 2 до п 2 с шагом Дх2 с по­ мощью алгоритма (рис. 9.5), построенного на основе дискретного

варианта метода чисел Фибоначчи

[24]. Затем аналогичным обра­

зом находим наименьшее значение х2 = Ь2, при котором

точка

(mlt

b2, т3, лг4, тъ) £

D. Тем самым выделяется перспективное

подмножество

Эх = [х

х 2 =

а2,

Ь2, Ах2;

х

£

Г0>0).

Далее

для

каждого х 2 из диапазона [а2, Ь2\

аналогично

предыдущему опре­

деляем наименьшее х6 — аъ,

при

котором

точка

(тх, х 2,

т 3,

nt,

а6) £ D, и наименьшее

хъ =

Ьь, при котором точка

(inlt

х 2,

т3,

т4, Ьь) £ D. Это позволяет выделить при каждом конкретном зна­

чении х 2 перспективное

подмножество 02 = {л:

хъ =

аъ, Ьъ, Ахъ\

х

£

Г0.о)- Давая хй значения из интервала

1о6, Ьъ\, получаем точки

х

£

02 cz 02 с

Г0>0 с= Г, определяя с помощью

все того

же

од­

номерного поиска значения с4 последней свободной координаты л:4 как наименьшее значение, при котором точка (тх, х 2, т 3, с4, JC6) £D . В получаемых таким образом точках, принадлежащих перспек­ тивным подмножествам границы допустимого множества D, вычис­ ляются значения / (х), непосредственное сравнение которых дает искомый min/(x). В зависимости от того, какие ограничения на

*6 го,о

напряженное состояние оказывались активными, т. е. определяю­ щими границу, при выделении перспективных участков границы и поиске граничных точек (другими словами, для каких / наруша­

лось условие <рj (х) > 0 при определении величин а 2, Ь2, аъ, Ь6,	с4)
мы можем осуществить переход к исследованию какого-либо	из

подмножеств Г*,/, k Ф О, I 0 либо сделать вывод о бесперспек­ тивности всех остальных подмножеств и закончить на этом реше­ ние задачи. Необходимо, следовательно, сформулировать правила ветвления. В самом деле, возможны следующие ситуации.