книги / Проектирование стальных мостов с учетом пластических деформаций
..pdfпринимая, что при выпучивании пластины в ее продольном и попе речном направлении образуется по одной полуволне. Потере устой чивости пластины соответствует следующее значение интенсивности критической деформации:
е; |
а |
|
|
Ô2 |
|
(6.27) |
Ьс |
|
|
~ь2 |
|
||
|
|
|
|
|
||
В случае сжатия прямоугольной пластинки в |
о д н о м |
н а |
||||
п р а в л е н и и |
имеем <тх = <т£= а; |
оу = т = 0. Дифференциальное |
||||
уравнение устойчивости (6.26) получает простейший вид: |
|
|||||
|
дл w |
дл w |
д1 w |
6а |
d2w |
|
( ± + - Н |
дх4 -+2 |
дх2 ду2 |
ду* |
+ |
дх2 —°* |
(6*28) |
Это уравнение показывает, что при сжатии пластины в одном на правлении, ее свойства (жесткость) меняются в том же направлении. Жесткость в перпендикулярном направлении, а также крутильная жесткость соответствуют цилиндрической со своим секущим моду лем. Решение уравнения (6.28) будем искать в форме
w = a sin (rnnxJa) sin (tinyIb) ,
где m, n — число полуволн соответственно в продольном и поперечном направлениях, отвечающих минимальному значению критической нагрузки.
Для вытянутой в направлении сжатия шарнирно опертой по всем сторонам пластины критическая интенсивность деформаций
8/кр = — -^-(2+ 1/Т+Н). |
(6.29) |
При выпучивании шарнирно опертой прямоугольной пластины, сжатой в одном направлении, в поперечном направлении образуется одна полуволна (п = 1). Тогда в общем случае шарнирно опертой по всем сторонам пластины критическая интенсивность деформаций определится наименьшим значением при варьировании целочислен ного параметра т:
п2
е«И1.= —
(6.30)
Представляет практический интерес случай шарнирно опертой пластины с одним п р о д о л ь н ы м с в о б о д н ы м ^ краем. Здесь решение уравнения устойчивости задается в виде
w = а ( у lb) sin (r n n x l a ) .
Принято, что ось х совпадает с шарнирно опертым продольным краем пластинки.
Наименьшее значение критической силы получается при т = 1, т. е. вдоль х образуется одна полуволна. Критическая интенсивность деформаций
Я* |
б» [ |
1+ Зсб |
/ b \» 3 1 |
ei КР — 9 |
63 L |
4 |
(6.31) |
[ а ) + я 2 ] ' |
В случае удлиненной пластинки при b <£ а имеем
(6.3Г)
Формула (6.3Г) весьма проста и позволяет при заданном отноше нии Ы6 легко находить критическую деформацию. Далее по диаг рамме деформирования а — е находят критическое напряжение.
Рассмотрим с д в и г п л а с т и н к и , квадратной (со стороной а), находящейся под действием касательных напряжений, равно мерно распределенных по всем кромкам. Интенсивность напряже
ний ot = тУз. Дифференциальное уравнение устойчивости
dAw |
, |
ч d*w |
, |
д4ш |
2ô |
d2w |
дх* |
+(1_1' “ |
дх-ду* |
‘ |
ду* |
+ |
(6.32) |
дхду = ° ' |
Обычно это уравнение решают методом Галеркина, полагая
W = 2 2 |
sin (mJU*/а) sin |
а). |
т п
Нахождение критического напряжения здесь связано с трудоем кими вычислениями. Приближенное значение критической деформа ции сдвига
Тир = |
= ю ,2 "7" (0 >75+ о >25а) ("“ )3 |
<6 -33> |
Приведенные данные служат основой для назначения толщин пластинчатых элементов сечений в тех случаях, когда несущую спо собность рассчитывают с допущением ограниченных пластических деформаций. Эти же данные могут быть использованы для разработ ки практического способа определения критических напряжений в упругопластической стадии по критическим напряжениям, найден ным в предположении неограниченной упругости.
Для конкретных марок сталей можно пользоваться соответствую щими графиками, позволяющими по «упругим» критическим напря жениям определять действительные критические напряжения в пластической стадии (рис. 6.6). При этом принимают, что пластины входят в состав сварной конструкции и соответственно вводят коэф фициент условий работы 0,9, учитывающий влияние сварочных на пряжений. Коэффициент условий работы в размере 0,9 вводят при напряжениях, не превышающих предел пропорциональности. В ди апазоне напряжений от ап до расчетного сопротивления этот коэф фициент увеличивают постепенно до единицы; при развитии пласти ческих деформаций остаточные напряжения релаксируют и их вли яние на устойчивость исчезает,
Значения предельных характеристик графика (см. рис. 6.6), со ответствующих начальной точке площади текучести диаграммы де формирования, будут следующими:
Марка стали |
16Д |
15ХСНД |
10ХСНД |
|
бцр, шах |
• • |
0,0017 |
0,00232 |
0,00252 |
^кр. шах* |
М П а |
400 |
550 |
600 |
<*кр, max» МПа |
210 |
290 |
350 |
|
Вр . |
|
0,000605 |
0,000653 |
0,000615 |
(M )im in |
|
14 |
12 |
11.5 |
(^/^)2Ш1П |
44 |
38 |
36 |
Таким образом, если потерю устойчивости пластиной отождеств лять с моментом выхода напряжений на площадку текучести, то по лучим конкретные минимальные отношения Ь/& при определенных нормативных значениях пластической деформации. В случае уве личения пластической деформации сверх нормативной, отношение £?/б должно уменьшаться, т. е. пластина должна быть более толстой при неизменном Ь. Для такой пластины упругое критическое напря жение находится за пределами графика (см. рис. 6.6) и свидетель ствует о избыточном запасе пластины по устойчивости по сравнению с нормативным, допустимым значением сжимающего напряжения или деформации. Если пластина находится в условиях сложного напряженного состояния, ее толщина (при неизменных длине и ши рине) должна быть больше по сравнению с той же пластиной, но на груженной в одном направлении. Таким образом возникает задача определения несущей способности по у с т о й ч и в о с т и п л а с
т и н , |
находящихся в условиях |
|
|
|
|||||
сложного |
напряженного |
со |
|
|
|
||||
стояния |
в |
упругопластической |
|
|
|
||||
стадии. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для |
пояснения |
сказанного |
|
|
|
||||
рассмотрим |
квадратную пласти |
|
|
|
|||||
ну, сжимаемую в одном направ |
|
|
|
||||||
лении. При нормативной пласти |
|
|
|
||||||
ческой |
деформации |
в размере |
|
|
|
||||
0,0006 и марке стали 16Д отно |
|
|
|
||||||
шение ширины |
пластины к тол |
|
|
|
|||||
щине |
должно |
быть |
примерно |
|
|
|
|||
равно 44. Критическое напряже |
|
|
|
||||||
ние при этом равно пределу |
те |
|
|
|
|||||
кучести, т. е. расчетному сопро |
|
|
|
||||||
тивлению. Рассмотрим далее ту |
|
|
|
||||||
же пластину, |
но нагруженную |
|
|
|
|||||
сжимающими |
напряжениями |
в |
|
|
|
||||
двух |
направлениях. |
Естествен |
„ |
„ 0 |
А |
||||
но, что при той же нормативной |
|||||||||
интенсивности |
пластической де- |
5 'пруп.х» |
кЙшческнх |
||||||
формации, |
пластина |
при двух- |
|
жений к действительным (Ткр |
|
осном |
сжатии |
должна |
иметь |
|
|
большую толщину. |
Используя |
|||
|
формулу (6.27), |
получим екр* = |
|||
|
= (л2/36) (S/&)2. Принимая екрг= |
||||
|
= 0,0017 будем иметь 6/6=12,7. |
||||
|
В большинстве |
важных слу |
|||
|
чаев сложного нагружения сжа |
||||
|
тых пластин отсутствуют реше |
||||
|
ния для упругопластической ста |
||||
|
дии. |
Поэтому приходится поль |
|||
|
зоваться приближенными прие |
||||
|
мами, основанными на решениях |
||||
|
частных задач |
в упругопласти |
|||
|
ческой стадии. |
|
|
|
|
|
Изучение действительного по |
||||
Рис. 6.7. Схема к расчету пластины в |
ведения сжатых |
пластин, входя |
|||
закритической стадии |
щих в состав стальных |
пролет |
ных строений, не будет полным, если игнорировать возможность з а к р и т и ч е с к о й р а б о т ы п л а с т и н после потери устойчивости, т. е. в закритической упру гой и упругопластической стадиях. Это особенно важно для случа ев тонких пластин, подкрепленных продольными жесткими ребра ми (рис. 6.7). До потери устойчивости пластины напряжения сжа тия распределяются по ширине равномерно, а после выпучивания увеличиваются у ребер жесткости. В центральной части они близки к критическим, вычисленным по упругой стадии. Для определения нагрузок, которые могут быть восприняты пластинкой в закрити ческой стадии, необходимо использовать геометрически нелиней ные уравнения теории гибких пластин, т. е. исследовать ее работу при конечных значениях прогибов.
Рассмотрим ч а с т н ы й с л у ч а й нагружения прямоуголь ной шарнирно опертой пластины равномерно распределенными по ширине напряжениями. Считаем, что опорный контур пластины жесткий. Продольные грани ее после потери устойчивости остаются прямолинейными в плоскости пластины, а в поперечном направлении возможно свободное смещение продольных граней. Система уравне ний теории гибких пластин имеет вид:
DV2V% = д2Ф d2w |
д2Ф |
d2w |
д2 Ф |
д2 w |
(6.34) |
|
дуп- |
йх* + |
дх”- |
ду2 ~ |
дхду |
дхду |
|
1 „ . Л |
/ д* ю Vs |
d2 w |
д2 w |
|
(6.34') |
|
7 r v2 v2°= (w )“ |
дх2 |
ду2 |
|
|||
|
|
Так как рассматриваем шарнирно опертую пластину, прогиб за*? даем в виде
w = ^ |
j ^ |
amn sin (m n xlà ) sin (nny!b), |
m |
n |
|
Подставляя это выражение в уравнение (6.341) и интегрируя, получим
,Г|_р&W _______ ^тп______ V
е ? \(тк1а)* + ( п * т *
х COS ^ c o s |
b |
+ |
— |
2 |
C i ^ + 4 " С* У2 ' |
<6 -35) |
a |
|
|
* |
|
где Ьтп — однородные алгебраические полиномы второй степени от Ищи..
Выразим в аналитической форме граничные условия. По про; дольным граням нормальные напряжения
Г |
за Ф |
„ Л |
о у= 1 |
■— ;а- |
dx = 0, откуда Ci = 0. |
о
По поперечным граням нормальные напряжения равны внешне му воздействию
о |
д* Ф |
|
Ь I |
||
dif d y ~ —ох 6» откуда С2 = ох 6* |
Проанализируем граничные условия пластины. Как уже сказа но, после потери устойчивости кромки пластины остаются прямоли нейными, что аналитически выразится:
a |
b |
jи |
о |
* du |
С du |
—;— dx = cosnst, и = I —:— dr/= const. |
|
дх |
J ду |
Воспользуемся далее соотношениями теории упругости:
ди |
|
/ dw \ 2 |
1 |
/ |
d* Ф |
в“ ~ Ох |
+ |
2 [ â x j ~ |
Eô |
\ |
dy°- |
dv |
-ь |
1 1! dw у |
1 ,f d* Ф |
||
ду |
|
2 (\ à y ) ~ |
£6 |
‘[ |
a*2 - |
а2 Ф |
|
|
dx* |
(6.36) |
|
d» CD |
||
|
=Ll
Подставляя сюда выражение для функции напряжений Ф и вы полняя интегрирование, получим:
« = — J |
^ 2 |
2 |
т*; |
(6.37) |
|
т |
п |
|
|
° = |
2 |
2 |
aJm "*■ |
(6.37') |
|
т |
п |
|
|
К р и т е р и е м выполнения условия прямолинейности кромок служит независимость перемещений и и о на кромках от координат. Выражением (6.37) определяется укорочение пластины и соответст венно продольных ребер жесткости, которые деформируются (вдоль) вместе с пластиной.
Напряжения в ребрах будут ср = (и/a) Е. Тогда, используя фор мулу (6.37), получим для потерявшей устойчивость пластинки
£р |
2 m2 |
(6.38) |
Е - Т + - £ 2 |
2 < |
|
|
тп гп * |
|
т |
п |
|
Здесь неизвестны пока коэффициенты атп . Для их определения нужно подставить выражения для w и равенства (6.38) в уравне ние (6.34) и проинтегрировать последнее, например методом Бубно в а — Галеркина. Число получаемых алгебраических уравнений за висит от числа удерживаемых членов в ряду для w.
Для практических расчетов удобно ввести понятие р е д у к ц и о н н о г о коэффициента ср = огх/огр, т. е. отношения среднего значения напряжений, действующих в пластинке (равны внешним напряжениям), к напряжениям в продольных ребрах жесткости. Развернутое выражение редукционного коэффициента
ф = 1- - - - - Й |
- Е |
Е в * /я-. |
(6.39) |
ар |
8а2 |
» |
|
Рассмотрим в качестве примера квадратную пластину со сторо ной Ь и учтем в расчете один член ряда (ап Ф 0). Это равносильно предположению, что пластина искривляется по одной полуволне вдоль осей х и у. Она сжата в одном направлении напряжениями а. В выражении для функции напряжений (6.35) получим 62о = 6о2= = Еа\i/32, а другие коэффициенты обратятся в нуль. Физический смысл коэффициента ап — это стрелка прогиба пластины, которую обозначим через /.
Далее находим размер взаимного сближения нагруженных кро мок
u = —crblE— n2 /з/(86).
Соответственно относительная деформация в направлении сжа
тия
вх = а /Е + (п 2/8) (//6)2.
Напряжение в продольном ребре
< Т р= а+ £ (я*/8) (fib)». |
(6.40) |
Для определения стрелки прогиба / в закритической стадии про интегрируем уравнение (6.34) методом Бубнова-Галеркина. Общая формула метода получит вид:
a |
b |
я . |
пх |
mj |
, , |
» D |
|
|
|||||
|
Л sin |
-----sin —— |
dx dy = 0 |
при А = — v 4 w— L (до, Ф). |
||
И |
|
a |
b |
|
о |
|
о |
о |
|
|
|
|
|
После подстановок и преобразований получаем следующее урав
нение для стрелки прогиба: |
|
|
f * |
4д2 D |
я2 |
№6 |
|
|
|
|
Это уравнение |
можно представить |
|
|
|||
в виде |
|
|
|
|
|
|
|
о = вкр+5 (я2/8) (//6)2 |
|
|
|
||
при а„р = 4я* DI(62 6), |
(6.41) |
|
|
|||
где сгкр — критическое напряжение по |
|
|
||||
линейной теории |
пластин. |
|
|
|
||
Выражая ст из уравнения (6.40) и |
|
|
||||
сравнивая его |
с |
уравнением |
(6.41), |
|
|
|
получим |
а = |
0,5 |
(сгкр + <тр). |
Редук |
|
|
ционный |
коэффициент |
|
_______ ._____I__—I---- |
|||
|
<р=0,5 ( 1 + а 1ф /а р). |
(6.42) |
1 |
2 3 4 6 6 10 П |
||
Отсюда МОЖНО заключить, |
что ре- |
Рис. 6.8. Зависимость редукци- |
||||
дукционный коэффициент для |
линей- |
онного коэффициента <р от п = |
||||
но-упругой пластины при учете одного |
|
=огР/сгКР |
||||
члена ряда всегда больше 0,5. |
|
|
|
|||
Эффективная ширина сжатой пластинки, потерявшей устойчи |
||||||
вость, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ьэ = уЬ. |
|
(6.43) |
Эту величину нужно учитывать при подсчете площадей, моментов инерции и моментов сопротивления поперечного сечения пролетно го строения.
Приведем окончательное выражение для редукционного коэффи циента. С этой целью выразим напряжение в продольном ребре через среднее напряжение: ар = 2а — <ткр. В итоге получим
Ф =0,5 [1+ (2а—I)""1] при а = а /а Кр. |
|
(6.44) |
Если а = 1, закритическая стадия еще не проявится |
и <р = 1. |
|
В предположении неограниченной упругости и при а |
со, |
ф ->0,5. |
Относительное значение стрелки прогиба рассматриваемой здесь квадратной пластинки в закритической стадии работы ’
f l b = — V 8 (or-crKp)/£ |
(6.45) |
% |
|
Заметим, что при а = акр и f/b = 0, что соответствует началу бифуркации форм равновесия в линейной теории устойчивости пластин.
Необходимо помнить, что полученные результаты относятся к упругой стадии и в расчетах удержан один член ряда, что завышает значение редукционного коэффициента.
График редукционного коэффициента (рис. 6.8) рассчитан методом конечных разностей [14] и его результаты нужно считать наиболее достоверными.
Пластинчатые элементы стальных пролетных строений имеют не избежные начальные искривления, вызываемые технологическими причинами. Значения допустимых искривлений обычно нормируют ся. Так в ряде стран принято, что для пластины стрелка начального выгиба в средней по поверхности точке не должна превышать 1/200 ширины пластины. Считается, что контур пластины остается плос
ким. В |
рассматриваемом случае имеем дело с у с т о й ч и в о |
с т ь ю |
2-го р о д а , когда с самого начала нагружения пластины |
сжимающими напряжениями растут прогибы. Критическое состояние характеризуется тем, что напряжение (нагрузка) достигает макси мума и дальнейшее увеличение деформаций сопровождается паде нием нагрузки.
Имеют место особенности поведения пластин в критическом сос тоянии, связанные с характером закрепления краев в плоскости пластины. Представляют интерес два предельных случая — сво бодное искривление (деформация) всех кромок в плоскости пласти ны и поступательное перемещение всех ее кромок при сохранении их прямолинейности. В реальных конструкциях характер закрепле ния краев пластины более сложный и определяется сечением и фор мой окаймляющих элементов — продольных и поперечных ребер жесткости, поясов. При свободной деформации кромок начальноё искривление пластины из ее плоскости всегда уменьшает критичес кую нагрузку по сравнению с плоской пластиной, а при сохранении Прямолинейности кромок возможно как уменьшение, так и увеличе ние критической нагрузки в зависимости от гибкости пластины и стрелки ее начального выгиба.
В соответствии с х а р а к т е р о м граничных условий должны изменяться и методы расчета сжатых пластин. Если отсутствуют на контуре препятствия смещениям пластины в ее плоскости, достаточ на теория жестких пластин, т. е. линейная теория. Дифференциаль ное уравнение равновесия первоначально искривленной жесткой пластины
г |
аз |
а* |
D V 2 V 2 w L + k Ô | а * |
— |
( оч + суо) - \ - а и — (w L+ w 0) — |
аз
—2 хху (Wi + о>о) = 0, (6.46)
где — функция дополнительного прогиба от нагрузки; к — параметр сжимающей нагрузки, действующий в плоскости пластинки; wQ— функциц начальных прогибов.
Уравнение (6.46) описывает только упругое поведение пластины. Его распространение на упруго-пластическую область возможно при условии введения приближенных критериев устойчивости, типа «устойчивой прочности».
Если на контуре пластины имеются1ребра или другие-элементы, препятствующие смещениям в ее плоскости, то важную роль начи-'
нают играть напряжения в срединной поверхности (мембранные на пряжения) и необходимо применять теорию гибких. пластин. При этом рассматривают систему дифференциальных уравнении, в ко1 торой изгиб и плоское напряженное состояние пластины оказыва ются взаимно зависимыми вследствие геометрической нелинейности задачи.
Обозначая через Ф (х, у) функцию напряжений плоской задачи теории упругости, система уравнений по теории гибких искривлен ных пластин [11] имеет вид:
D v 2 V 2 ®. —fi |
г |
а* ф |
|
|
02 |
|
|
|
|
|
1 |
|||
L |
--------- |
• ------ |
|
|
UX" |
UIJ- |
|
|
||||||
1 |
|
|
àtj* |
|
|
0л-2 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
Ô2 Ф |
02 |
(wi + o;0)]= 0; |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
дхду |
дхду |
02 W{ |
(6,47) |
|||||
* о |
„ |
|
17 |
|
* * i |
|
V |
|
w i |
0'2 W\ |
-!-2 |
|
||
i V3Ф—E |
L\ |
----- L |
|
— ------ • |
дхду |
дхду |
|
|||||||
|
|
|
|
àxdtj ) |
|
dx" |
dy* |
|
|
|||||
|
|
|
02 |
W t |
|
|
02 W0 |
02 ^ |
(y i |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
Q |
|
0. |
|
|
|||||
|
|
|
|
dlj1 |
|
|
0Л*2 |
|
0Л-2 |
àtf |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь функция начального искривления (прогиба) на контуре равна нулю. Задание граничных условий поясним на примере прямо угольной пластины, равномерно сжатой в продольном направлении. Пусть при изгибе пластина на краях имеет шарнирное опирание;
Это дает два условия на каждой грани: wi = 0; |
= 0 (где п — |
нормаль к контуру). В плоскости пластины ставится условие, что ее грани, оставаясь прямолинейными, могут поступательно переме щаться, т. е.
аb
f ux d x —const; J vy dy = const b о
Тогда с позиций плоского напряженного состояния на контуре пластины граничные условия получат вид (при условии четности функций wlt 'wo, Ф):
а*Ф |
& Ф |
(* |
dt* Ф |
, |
I |
f |
а»Ф |
dx |
с7±. |
дхду |
0: |
=0; J |
д.х- |
dx= 0; |
ь |
J |
ду* |
Решать данную геометрическую нелинейную задачу, целесооб разно на ЭВМ; можно пользоваться и методом Бубнова — Галеркит на [11]. Здесь также для упругопластической стадии необходимо при: влекать приближенные критерии предельного состояния.
- . Для плоских пластин без начального искривления уравнениями (6.48) описывается закритическое поведение сжатых пластин после потери устойчивости в упругой стадии работы материала.
Более конкретно рассмотрим влияние начального искривления на несущую способность сжатых пластин для четырех случаев*.
№
1. |
Для прямоугольной |
свободно опертой пластины, р а в н о |
|
м е р н о |
с ж а т о й |
в продольном направлении распределенной |
|
нагрузкой Nx: |
|
|
|
начальное искривление wo = |
/о sin (пх/а) sin (пу/Ь); |
||
упругий прогиб пластины |
|
||
|
|
sin (пх/а) sin (ny/b). |
|
После подстановки его в уравнение (6.46) получим |
|||
|
|
<*/о |
пх |
|
|
(1—а) |
sin а |
при a = N x lN x кр; |
(п/а2 + 2п2/Ь2 + а2 пЧЫ). |
Величина N XKV представляет собой критическую нагрузку плос кой пластины в предположении неограниченной упругости материа ла.
А н а л и т и ч е с к и к р и т и ч е с к о е состояние можно определить на основании одного из приближенных критериев. На иболее простой критерий — условие наступления текучести в од ной, наиболее напряженной, точке:
шах | &хо“Ь А^эси | — Ст »
где <7*0 — осевое напряжение в критическом состоянии; а*и — краевое напряжение от изгиба пластинки в критическом состоянии.
Б. М. Броуде [11] использовал более точный критерий:
шах| ОхоЛ- à ü x j V 2 | = а т .
Дополнительные напряжения от изгиба
£ô |
I д2 W |
д2 wL |
|
—-- 2 (1 —р2) Г дх2^ + И* |
ду2 ) |
- |
|
л 2 Efp б |
а |
пх |
пу |
2 (1—р2) Ь2 ( - » |
1 —а sin |
а sin |
b |
Рассмотрим квадратную пластинку (Ь = а). Для точки в центре квадрата условие потери устойчивости:
, |
*2 EU 6 |
1 |
~г |
,(1—p V 2 |
сг0/сг— 1 J T при ах = ^ / 0 , o0= N XKï>là. |
Искомым является напряжение а, которое определяет несущую способность искривленной пластины по устойчивости. Уменьшение критического напряжения за счет начального искривления можно характеризовать отношением а/ао, которое вычислено Б. М. Броуде для стали с пределом текучести 240 МПа. Представляют интерес чис ленные значения этого отношения при стрелке начального искрив ления /о = b /200 для квадратной пластины:
ЫЬ |
60 |
70 |
80 |
100 |
а/ао |
0,66 |
0,73 |
0,78 |
0,84 |