книги / Проектирование стальных мостов с учетом пластических деформаций

Анализ этих данных показывает, что начальные искривления бо­ лее чувствительны для относительно толстых пластинок. Так, при 6/6 = 60 критическое напряжение снижается на 34%. Однако нуж­ но помнить об условности расчетной схемы (свобода деформаций контура в плоскости пластинки) и приближенности критерия ус­ тойчивости.

2. Прямоугольная свободно опертая пластина, подверженная ч и с т о м у и з г и б у в ее плоскости имеет начальное искривле­ ние такое же, как в рассмотренной равномерно сжатой. Для пласти­ ны с соотношением сторон alb = 0,95 и при огт = 240 МПа на осно­ ве данных Б. М. Броуде имеем соотношение а/сго = 0,76 при /о = = 6/200. Следовательно, при градиентном напряженном состоянии пластина чувствительна к начальным искривлениям.

3. Случай, когда прямоугольная свободно опертая пластина, равномерно нагруженная н а о д н о м ( п р о д о л ь н о м ) крае, соответствует вертикальному сжатию стенки балки от временной нагрузки или от реакции опорных частей. Начальное искривление примем таким же, как в предыдущих пластинах. Приведем соотно­

шения Р1Ро для квадратной пластины,	если /о = 6/200 и сгт =
= 240 МПа по данным Б. М. Броуде:
Р/р0 = о,77 при 6/0 =	100;

р/ро — Оубб при 6/6 = 75.

4. Возьмем прямоугольную свободно опертую пластину равно­ мерно сжатую в продольном направлении, кромки которой подкреп­ лены в ее плоскости а б с о л ю т н о ж е с т к и м и на изгиб реб­ рами (геометрически нелинейная задача). Рассмотрение этого слу­ чая позволяет оценить влияние окаймляющих жестких таких ребер, что с практической точки зрения весьма важно. Функцию началь­ ного искривления примем такой же, как и выше.

На основе вычислений Б. М. Броуде соотношения а/сг0 и ^ imax/6 при /о = 6/200 и сгт = 240 МПа имеют следующие значения:

6/6	60	70	80	100
СУ/СГо	0,76	0,97	1,22	1,92
w j à	0,44	0,66	0,91	1,42

Следовательно, при стеснении деформации срединной поверхно­ сти пластины возможно увеличение критической силы по сравнению со случаем свободной деформации краев пластины. В данном приме­ ре это проявляется при отношении 6/S > 80.

Таким образом, конструктивными мерами м о ж н о р е г у л и ­ р о в а т ь критическое напряжение пластины без изменения ее ге­ ометрических размеров. Нужно подчеркнуть, что в стальных конст­ рукциях пролетных строениях мостов со сплошными главными бал­ ками всегда имеются окаймляющие пластину элементы. Однако обыч­ но их характеристики учитывают только с позиций изгиба пластины, что свидетельствует о недоиспользованных резервах несущей спо­ собности конструкций. В то же время закритическая стадия работы

пластины может быть весьма ограниченной или отсутствовать вооб­ ще. Последнее имеет место для сравнительно толстых пластин (в рас? смотренном примере при Ы8 < 70). Соответственно можно устано? вить ориентировочно пределы применимости линейной и. нелинейг ной теории для пластин, сжатых в одном направлении. Для стали.с пределом текучести <гт = 240 МПа линейная теория дает приемле­ мые результаты при й/б'С 50, т. е. для пластин, теряющих устой­ чивость 1-го рода в упругопластической стадии.

6.8. КОНСТРУКТИВНО-АНИЗОТРОПНЫЕ ПЛАСТИНЫ

В рамках деформационной теории пластичности возможны* д в а п о д х о д а к расчету устойчивости пластин — с учетом-эффекта разгрузки при выпучивании и без его учета. В последнем случае, на­ зываемом также теорией устойчивости в условиях продолжающегося нагружения, решения отличаются сравнительной простотой и-удов- летворительно совпадают с экспериментальными данными. Значёния критических напряжений, найденных без учета разгрузки, со­ ответствуют нижней их границе и совпадают со значениями для нё- линейно-упругого тела с заданной диаграммой деформирования.

Рассмотрим	устойчивость	к о н с т р у к т и в н о - а н и з о т ­
р о п н о й	пластины (рис. 6.9),	что соответствует, например, про­

верке устойчивости сжатого пояса коробчатой балки.

Для конструктивно-анизотропных пластин зависимости между напряжениями и деформациями в упругопластической стадии нужно принимать по аналогии с зависимостями для основного материала. При коэффициенте Пуассона р = 0,5 эти зависимости имеют вид:

е * = - 7Г- (<*х—0,5ар Gy);						(оу — 0,Бссх ах);
								(6.48)
Уху —	р	•	*ху Î Уху — г			*ху	1ух*
	сс		Уху		ьс
или, в другой форме:
G X — $ E C		(б а Н 0|5сt y		B y ) ;	G y — р £ с (в ^ -1 -0 «5 а а ; в * );			? х у —
					*ху	Уху;
					а*			(6.49)
Tj/X —	Eç		а ху	при			.
			-------Уих		Р = (1—0,25а* а „ ) ~ \
	3		ау
где Ес — секущий модуль; а*, ау, аху — коэффициенты заполнения, .от-
-ражающие конструктивную анизотропию пластин (0 ^								1).

Условие парности касательных напряжений выполняется для Средних касательных напряжений, т. е. ххуах = хуха у. Зависимость между интенсивностями напряжений и деформаций для основного

материала выражается так: в* = P <Ji/£p._ Вводя обозначения

Sx = ° x — 0 ,5 o ty ау, Sv= oy—0,5а* а*,

для нормальных напряжений по­ лучим:

	°х = Р (5дс +	0 »5<Ху Sy) ;
	— Р ( 5 у + 0 , 5 а . г- S x ) .
Кроме того, следует			иметь в
виду,	что S x =	е*£0	и S y =
== &уЕс.
Принимая докритическое на­
гружение простым, напряжения
и деформации в некоторой точке				Рис. 6.9. Схема конструктивно-анизо­
пластины к моменту выпучива­				тропной пластины
ния	обозначим	соответственно

ох>оу, т и е*, ву, у. Искривление пластины в момент потери устой­ чивости вызывает вариации деформаций (вариациями деформаций срединной поверхности пренебрегаем): 08* = — zô%x; ôey = —гб^уХ

Xôy = 2zô%xy. Для вариаций			составляющих напряжений,-если ва­
риации внешних	сил	равны	нулю,	по	аналогии с указанным
А. С. Вольмиром [14] способом можно получить:
Ô S * ---------Е с ô x v	е* г	(Ес Ек) (a* ÔKg-[ 2тХу				{-Оу б>Су);
	at е*
						(6.50)
ôSy—■-Ес ®Ку“I- *O вi		(Ес—Ец) (ах би*+ 2т*у х*у4- Оу ^Ху);
foxy—	о	*ху Ес zôx*y-|-		1ху ‘	’ (Ес— Ек) (O g ÔKg +
	4- 2т*у бияуЬсГу ÛKy)			при £ к —		,

_где Ек — касательный модуль; а*, ау> т*у — напряжения в точках сре­ динной плоскости пластины, вызванные внешними силами, приложенными по контуру.

Вариации внутренних моментов:

0,5ft		ах бег*zdz =	0,5ft	ccg р (6Sg-|-0,5ay ôSÿ).zdz; Ш у =
ÔMX =	(*		J
— 0,5ft			—o,5ft
0,5ft		0,5ft
= f	a y ôoy zdz= J		oty P (Ô5y4-0t5ag 0SX) zdz\ Ш хи=*
0,5ft		- 0 ,5 ft
			0,5ft
		= 6Alyg=		j ci* ôr*y zdz•

-0 ,5 ft

Подставляя

в данные

выражения,

соответствующие вариации

»

=

d2w

d2w

d2w

*

напряжении, и учитывая, что %х

;

Ху = jÿ* î Ixv =

* будем

иметь:

м к = - а *

Eh2 Г

/д2 ш

ôa к; \

—

[Рфо f- ^ Г +

0,5а„ —

) -

— £

(Фс-Фк) fa, 4

»

+ 2t„

J L » + a, ^ Y

| ;

of

[

дх*

"

дхду

v

ду*

)\

Е№ Г

{д2до

д2 до \

су

(

д2до

МУ= ~ ау

~

[ р<Рс Г ^ Г +0,5а* F F ) ~ I

f (фс-ф,<) V х 1 F +

д2 ш

д2 ю

+ 2т*»1 з т + а0 -

-)]■

дхду

£Л3 Г

2

д2d2 до

( ô*

б3

12

[

3 4)0

Зл:дхду</ i Л3

~

Л3

“ ж!/+

а:С!/

т ху

а эе

д2 до

д2 до

д2 w

(Фо—Фк)

°х

дх2

~^2т*гу

focty

dt/2

при — EçfЕ t

— EKIE.

Выражение для Мху получено в предположении, что для листа

толщиной S принято аху =

1.

э л е м е н т а пластины в случае

Уравнение р а в н о в е с и я

малых прогибов

д2М

д2 м.ху

д2 МУ

à2 до

-2Т;

д2 до

д2 до

дх ду

- —Nx ■ . n

дхду

дх3

ду3

дх2

ху

Для получения дифференциального уравнения прогибов плас­ тины нужно подставить в данное выражение моменты. В общем слу­

чае переменных	значений усилий по кромкам пластины Nx (у)>
N y (#)» т (*» У)	уравнение получается сложным, поэтому целесооб­

разно рассматривать частные виды приложения нагрузки. В слу­ чае равномерных сжатия и сдвига параметры tpc, срк и а* постоянны во всех точках пластины и решение упрощается.

Пусть Nx = const, a N y = Тху =		0. Дифференцируя функции
моментов и подставляя их в уравнение равновесия, имеем
			д4 до
°’ (,+Т ^-т)т£+го" дх2 ду2
+ А	д4до	N-	â2 ха)
	ду^	Фс	(6.51)
			àx2

при Dx — &х f}Dt Dy * (Ху PO, 2DXy = D \(Хх &у Р4"

+ (4/3) (63M3_ 6 3a V A,+ a *»)b 0 “ £А»/12.

Полученное дифференциальное уравнение устойчивости в упру­ гопластической стадии отличается от аналогичного для упругой стадии наличием множителей при Dx и Nx, а также коэффициентом

Р в значениях жесткостей.
По нашему	мнению, эти выражения для жесткостей б о л е е
п р а в и л ь н о	отражают конструктивную анизотропию пластин,

что оказывается следствием учета коэффициентов заполнения в за­ висимостях для деформаций при плоском напряженном состоянии.

Принимая решение в виде		w = / sin (ттсх/А) sin (яу/В)> полу­
чим критические усилия
Мх кр =	фс	+ Dy X2+ 2DxffJ	(6 • 52)
при ю = Фк/(Рфс) — I/p + 1 ,Х = А/(тВ) .

Минимальное значение критического усилия найдем из условия = 0, что дает X = У соD J D y. Таким образом, критическое уси­

лие

min Nхкр “ фс ( У uD* Dy -\~Dxy)t (6.53)

критическая деформация

2Л2	_______
ел1Ф=="Т	(У©^дс	(6.54)
°л р х #

где 6Пр х — приведенная толщина пластины.

Для конструктивно-анизотропной пластины, показанной на рис. 6.9, при условии 6 < h коэффициенты заполнения

2 h	2	fli
о * - —	'* * - —	-

Коэффициент аху отражает повышенную податливость на сдвиг вследствие конструктивной анизотропии. Для сплошного листа аху = 1; при неполном его заполнении определяется из решения соответствующей задачи, например из расчета замкнутой рамы. Ха­ рактерно для рассматриваемого случая конструктивной анизотро­ пии то, что каждая в отдельности жесткости Dx и D y зависят от ах и а у. А жесткость/)^ зависит как от а*, а у, так и аху. Эти осо­ бенности наиболее полно отражают конструктивную анизотропию пластин.

При неравномерном распределении внешних сил для получения решений нужно пользоваться энергетическим или численными ме­ тодами.

На основе полученного решения автором разработан п р а к т и ­ ч е с к и й м е т о д расчета пластинчатых элементов в упругоплас­ тической стадии, использованный при проектировании коробча­ тых балок. Для упругой стадии работы материала получены реше-

Дня йри более mtipôkiix предположениях в отношений xapaktèpâ Й видов нагрузки. Приведем результаты для некоторых характерных случаев.

С л у ч а й 1 — действие нормальных напряжений, распределен­ ных по линейному закону по ширине пластины; все стороны удли­ ненной пластины шарнирно оперты. Критические напряжения:

	а2кЮ -	1 _/7-	1+ *	Jxy
“кр-	-т-----D = — у д
	ànpx В*		V D X D,J

для пластин, имеющих опирание по двум сторонам, коэффициент

сс = l/4 + 3,8£2. 33 ;

то же, одну опертую и одну свободную стороны

а =• i/o,425 + 0 ,085£“ при £— I —^mln^max »

где ônp х — приведенная толщина листа, подкрепленного поперечными

ипродольными ребрами; В — ширина пластины.

Сл у ч а й 2 — действие касательных напряжений для шарнир­ но опертых продольных сторон

V4+,J^-+ V DJxyX D „

Сл у ч а й З —г равномерно сжатая анизотропная пластина ши­ риной Б и длиной А. Критическое напряжение

	кр.	лГ.2	tri2
		«лр* В2		" Ч	т ) ‘+ ° ' ( т ) , ^ г + “ ,4
Здесь т = 1		при ах =		0, а 2 =		4; т2 = 2 при ах = 4, а 2 = 36;
т = 3 при	=	36, а 2 =		114;	...,	но

V а1	^ пц^ У а2Аг*/ Dy
	13Л

Переход от ог£р к акр осуществляется по графику (см. рис. 6.6) по аналогии с изотропными пластинами.

Устойчивость 2 - г о рода конструктивно-анизотропных пла- •стин, имеющих начальное искривление, приходится рассматривать на основе приближенных критериев, используя упругое реше­ ние. Для прямоугольной пластины, свободно опертой по четырем сторонам и имеющей начальный прогиб

Шо=г/о sin (nxfa) sin (nylB),

•при сжатии вдоль оси х упругое решение

	W = WQ+ WX «	fo .	яде .	Jiff
		-------sin ----- sin —-
		1I —а	а	В
при	<*— NX [DX а2	■b 2D.XV	Л2	л2тт2	\ - 1
			В2 ^ Ч	г )	-

Приведенные решения для конструктивно-анизотропных faià-

.стин могут использоваться для проверки общей устойчивости сте­ нок сплошных балок, подкрепленных рядом продольных и попереч­ ными ребрами, а также ребристых и ортотропных плит, составляю­ щих поперечное сечение коробчатых балок.

6.9. СТЕНКИ СПЛОШНЫХ БАЛОК

Балки со сплошными стенками, как правило, подкрепляют системой ребер поперечных, или поперечных и продольных. Путь подкрепления стенки ребрами ведет к более экономичной конструк­ ции по сравнению с гладкой стенкой увеличенной толщины. От правильного назначения размеров ребер жесткости существенно зависит несущая способность балки; в то же время излишние запа­ сы в сечениях ребер ведут к неоправданному перерасходу стали.

При полном	использовании критического напряжения в плас­
тинах целесообразно ребра назначать ж е с т к и м и (негнущи-
мися), а при неполном использовании критического напряжения —
у п р у г и м и	(гнущимися). Последний случай	имеет место, на­
пример, в балке, стенка которой по конструктивным соображениям
на определенной длине, охватывающей ряд отсеков, сохраняется
постоянной толщины. Поскольку интересна работа пластины как
в упругой, так и в упругопластической стадиях, нужен соответ­
ствующий метод получения дифференциального		уравнения устой­
чивости.
Ф. Блейхом для данного случая принято приближенное урав­
нение устойчивости пластинки:

Для упругой стадии это уравнение приводит к точному решению при установлении размеров ребер жесткости.

Рассмотрим три случая подкрепленных пластин.

1.	В свободно опертой пластине,	подкрепленной о д н и м
п р о д о л ь н ы м ребром жесткости (рис.		6.10,а), имеет место сим­

метрия. Перемещение при выпучивании пластины из ее плоскости будет или симметричным или кососимметричным. Симметричная форма потери устойчивости соответствует случаю упругого (гну­ щегося) ребра, что возможно при его моменте инерции меньшем предельного J Q. Кососимметричная форма потери устойчивости име­ ет место при моменте инерции ребра Ур > У0, а при Jp = J 0 воз­ можны обе формы потери устойчивости.

Нужно отметить, что критическое напряжение пластины при кососимметричной форме выпучивания не зависит от момента инер­ ции продольного ребра и определяется как для шарнирно опертой по всем сторонам пластинки с шириной 0,5 Ь. Таким образом, значение момента инерции ребра J 0 — предельно минимальное и обеспечивает одновременное выпучивание пластины с ребром и

местное ее выпучивание. Можно также считать величину J Qниж ­ ним значением для жесткого (негнущегося) ребра. Для продоль­ ного негнущегося ребра жесткости момент инерции

/ 0 = D b yjE =0,092603 y 0t

(6.55)

при Yo= И ,4 а + (1 ,25+ 16р) а 2 —5 ,4 “l/oc, , а = alb, P= .Fp/(&ô),

где b — ширина пластинки; ô — ее толщина; Fр — площадь поперечного сечения продольного ребра

В случае, если у0 больше величины у 0 тах = 24,4+112 р (1 + + р), его необходимо принять равным у 0 шах* Приведенная формула для у0 справедлива при 0 ^ р ^ 0,20.

Следовательно, если момент инерции продольного ребра жест­ кости больше J 0, каждая панель пластины выпучивается как сво­

бодно опертая при критическом напряжении

= 14,46 Е X

X (ô/б)2; причем переход к о1ф осуществляется по графику (см. рис. 6.6). Это критическое напряжение не зависит от момента инер­ ции ребра, а любое увеличение J сверх значения J 0 не повышает устойчивость подкрепленной пластинки, если не учитывать закритическую стадию работы.

Как уже указывалось, практический интерес представляет

случай гнущихся ребер, когда по заданному критическому на-

оо

пряжению окр требуется определить необходимый момент инерции
GO	_
упругого продольного ребра. Критическое напряжение акр <	<ткр

Рис. 6.10. Схемы пластин, подкрепленных ребрами жесткости

и равно действующему			от задан- к
ной нагрузки напряжению.
Момент инерции ребра			^
7 = 0 , 0 9 2 6 6 ^		у ,	(6.50)
при у = Ф+ ( - ^			кр,
'Ч.	Г	!	6 ^ Г 1
/ с _ ОГкр	12 (1 _ ^ 2 )	(	6 ) J

	где п — число полуволн в продоль­				Рис. 6.11. Графики для определе­
					ния параметра К
	ном направлении.
		со		по графику (см. рис. 6.6) по зна-
	Величина ajp определяется
		со	параметр Ф по рис. 6.11 в зависимости от отношения
	чению <кр, а
	сторон пластинки, т. е. от а =			alb, и коэффициента устойчивости
	пластинки /(.				со	_
			В последнем случае величина J <Z J 0t а форма вы­
	пучивания относительно продольной оси симметричная.
	2.	Рассматривая свободно опертую пластину с д в у м я п р о ­
	д о л ь н ы м и		равностоящими	ребрами жесткости (рис. 6.10,6),

возьмем только случай жестких ребер, когда в поперечном направ­ лении потеря устойчивости происходит по трем полуволнам.

Момент инерции определяется по формуле (6.55), а коэффициент

yQ— 14,5 1/о? + 3 6 а2 р.

Предельная величина у0 не должна превышать значения

7отах = 96 + 610р+975р2.

Эти формулы справедливы при 0 < (5 < 0,20.

Для критического напряжения подкрепленной пластины а£р =

= 32,5 Е (6/6)2, а переход		к <гкр производится		по графику (см.
рис. 6.6).
3.	Если стенка балки подкреплена п о п е р е ч н ы м и р е б ­
р а м и	и подвержена действию касательных напряжений (рис. 6.10,
в), приведем формулу критических касательных				напряжений для
шарнирно опертой по всем сторонам пластинки длиной а и шириной
в. Принимая а = alb, имеем:
		Ît2 £	/ ô \а Г
	Ъ -	. г а - ц . )	( т ) *	( 6 - я >
	К = (5 ,3 4 + 4 /а2) при а	> 1; К =	(4 + 5 ,3 4 /а2)	при а < 1 .

Рассматривая данную пластину (стенку), подкрепленную по­ перечными ребрами, нужно отметить, что теоретически несуществует предельных значений у0 для поперечных ребер (точнее, величи-

н ау	оо). Однако для практических расчетов величина у0 может
быт-ь назначена [7]
	Т0 = 4 (7/а2—5).	(6.58)

Если заданы размеры поперечных ребер жесткости, критическое'нап^яжение можно определять по формуле (6.57), но тогда ко­ эффициент-

= 5 ,3 4 + (5 ,5/as —0,6)

Это выражение применимо при условии

1< 1 / а < 5 и о < 7 (7/а*—5)-1 < 4 .

Если оказывается, что у > у0»то принимают К = 4, 74 + 5,5/а2. Последним выражением, не зависящим от у, определяется мак­ симально возможное при данном а критическое касательное на­

пряжение.

Возможна д р у г а я п о с т а н о в к а задачи, а именно: по заданному критическому напряжению определить момент инерции поперечного ребра:

aô3	|i*) ( К - 5,34)3	Уо	(6.59)
12(1-		(5,5/а2—0,6)3 *

Значение К вычисляют по формуле (6.57) для заданного т,*р.

.Формула (6.59) применима, если К > 5,34; при К < 5,34 не требу­ ется поперечных ребер жесткости. При пользовании формулой (6.59) нужно учитывать одно обстоятельство. Может оказаться, что расстояние а между ребрами взято слишком большим и нельзя подобрать соответствующее значение момента инерции. Поэтому,

в случае, если

/ _ К -

\ 5 ,5 /а2—0,6 ) ^

’

необходимо уменьшить расстояние между поперечными ребрами и найти новое значение J по формуле (6.59).

В упругопластической стадии критическое напряжение т1ф

.находят с помощью графика (см. рис. 6.6), а момент инерции попе­

речного ребра умножают на отношение a j1<p/a?K при ст,- = УЗт. «Анализ устойчивости пластин стенок балок в упругой стадии

при сложном напряженном состоянии	[11] приводит к понятию
г р а н и ч н о й п о в е р х н о с т и ,	которая определяет до­

пустимую комбинацию напряжений в пластине. Уравнение гра­ ничной поверхности в общем случае:

f (<х/<т0, р/р0, т/т0) =* 0 ,

(6.60)

где а, р, г — действующие (расчетные) напряжения, которые достигли критических значений; а0, р0, т0 — критические напряжения, найденные в предположении независимого действия каждого из них.

Такой подход можно распространить на упругопластическую стадию, считая, что допущение ограниченных пластических дефор­ маций мало скажется на форме граничной поверхности. Принимая,