книги / Расчет конструкций при случайных воздействиях

шого числа решений (см. табл. 3.1 и 3.2), что требует затрат боль­ шого количества машинного времени.

Рассмотрим применение метода статистических испытаний при исследовании случайных колебаний многомассовой системы (рис. 3.9) при движении по дороге со случайными неровностями (проведено А. И. Котовым и Ю. Ю. Олешко). Одним из возможных путей снижения ускорений и ударов, действующих на транспор­ тируемые грузы, является вторичная амортизация, т. е. введение в систему груз — транспортное средство дополнительных упругих элементов и демпферов (амортизационных узлов). Основным внешним воздействием для наземных транспортных средств яв­ ляется кинематическое возмущение со стороны дороги, имеющее случайный характер (высота Н и длина волны дорожных не­ ровностей X — случайные функции). В случае неустановившегося движения для решения задачи о выборе параметров вторичной амортизации нельзя использовать спектральную теорию подрессоривания, так как требуется определить вероятность пробоя системы амортизации, что можно сделать только, зная законы распределения перемещений. Получить законы распределения выходных величин можно решением соответствующего данной многомерной задаче уравнения Колмогорова, что сделать для системы со многими степенями свободы очень сложно. Кроме того, при решении уравнения Колмогорова получается много­ мерный закон распределения вектора состояния системы, который менее удобен при решении ряда задач (определение вероятности достижения заданной границы и т. д.), чем одномерные законы распределения компонент вектора состояния, получаемые методом статистических испытаний.

В данном примере в качестве иллюстрации применения метода статистических испытаний находят законы распределения компо-

101

а)	б)
Рис. 3.10. Изменение плотностей распределении	параметров на выходе	во вре-
мени:
а — параметр 2в; б — параметр
нент вектора состояния (перемещений ze, z7 и углов ф и vp) для		ряда

моментов времени при нестационарных колебаниях системы тя­ гач — полуприцеп с грузом.

Нестационарные колебания вызваны наездом машины на еди­ ничную неровность со случайной амплитудой Н и длиной волны которую можно описать функцией

, ...	я г .	2nv	h) ,	2 , . . . , 5),
К (0 =	72~ L1	COS - 5- (t

где ti — запаздывание при наезде на неровность последующими колесами ма­ шины; v — скорость движения машины.

Для ряда типов дорог установлена эмпирическая зависимость между Я и Я, в частности для грунтовых дорог [48], которая использована в данном примере при численном решении уравне­ ний движения. Поэтому достаточно задавать случайные значения Н, для которых принят нормальный закон распределения с нуле­ вым математическим ожиданием и дисперсией, равной DH =

— 6-10"4 1м2].

Транспортная система представляет собой автопоезд типа тягач — полуприцеп (см. рис. 3.9). Между платформой полу­ прицепа и грузом тг установлены амортизационные узлы (вторич­ ное подрессоривание), расположенные симметрично относительно продольной оси транспортного средства. Амортизаторы имеют малую вертикальную жесткость и значительную жесткость в го­ ризонтальной плоскости. Основное влияние на плавность хода системы, а следовательно, на величину ускорений точек груза, оказывают колебания в плоскости чертежа. Считая, что движение

происходит без	пробоя подвески,	без отрыва	колес от	дороги,
и пренебрегая	неподрессоренными	массами,	расчетную	схему

102

автопоезда можно представить как динамическую систему с пятью степенями свободы (три независимых угла ср, 0 и гр и два независи­ мых вертикальных перемещения уг и у).

Ограничиваясь случаем, когда упругие и демпфирующие ха­ рактеристики систем амортизации линейны, можно получить систему пяти уравнений, аналогичную системе (3.1):

M y + By + C y ^ B J .	(3.69)
Опуская промежуточные выкладки, приведем результаты чис­

ленного решения (гистограммы) системы (3.69) при следующих

числовых			значениях параметров		системы: т т = 8-103 кг;					т =*
=	5-103		кг; т, = 8-103 кг; Са =		6,3-105 Н/м;		С2 =	С3 =	7,7		X
X	105 Н/м; Св =			С, = 10г*Н/м; к	= 4,7 м; /2 =		0,3 м;	13 — 1,5 м;
к	= 5,5 м; /5 =			2,3 м; /6 = 1,2 м; 17 = 6		м; к = 2,5 м; Ут =				3	X
X	103	кг-м2; J = 0,9-103 кг-м2;			JP =	5- 10s	кг-м2;	pj =	Н	15	X
X	103	Н-с/м;		р2 = р3 = 3 104	Н-с/м;	pe =	Р7 =	Ю4		с/м;
а = 0,7 м; v =				5 м/с.
	При решении уравнения (3.69) при нулевых начальных данных

использовалась стандартная программа генерации псевдослучай­ ных чисел Я (для каждого случайного Я определялось А,).

При расчете системы вторичной амортизации необходимо опре­ делить (при известном входе — единичной неровности) вероят­ ность пробоя системы, или, что то же самое, вероятность пре­ вышения взаимного сближения точек 6 и 7 (см. рис. 3.9) заданного значения. Для решения этой задачи необходимо иметь плотность

распределения взаимного изменения			расстояния ze и z7 точек
6 и 7
2в =	г/г — У —	+	(к — к) Ф;
Z7 =	уг — у	/вф	{к к) ф-

На рис. 3.10 приведены сглаженные гистограммы, которые можно рассматривать как законы распределения соответствующих случайных величин. Они позволяют решить сформулированную задачу о пробое подвески.

Г л а в а 4

Анализ случайных процессов

17. Основные задачи анализа случайных процессов

Рассмотрим две основные модели случайных процессов: поток статистически независимых воздействий (рис. 4.1, а, б) и случайные колебания (рис. 4.1, в). Для этих процессов требуется определить такие характеристики, которые могут быть непосред­ ственно использованы при расчете статической прочности, уста­ лостной долговечности и живучести конструкций.

Основной задачей при анализе потока статистически независи­ мых воздействий является отыскание закона распределения его наибольшего значения (абсолютного максимума) в функции вре­ мени реализации процесса. Существование этого закона распре­ деления обусловлено тем свойством случайных процессов, что их единичная реализация имеет такое наибольшее значение (абсо­ лютный максимум), которое может оказаться другим в другой единичной реализации этого же процесса.

При анализе случайных колебаний помимо задачи отыскания распределения абсолютного максимума возникают и другие слож­ ные задачи, необходимость решения которых связана главным образом с получением оценок усталостной долговечности кон­ струкций. При постановке этих задач рассмотрим некоторую реа­ лизаций) процесса случайных колебаний х (t) и отметим на ней характерные точки и соответствующие им характерные значения рассматриваемого процесса (рис. 4.2):

1.Точки пересечения со средним (нулевым) уровнем, называ­ емые нулями процесса;

2.Точки, соответствующие экстремальным (максимальным и минимальным) значениям процесса и называемые экстремумами процесса-,

3.Точку Л, соответствующую наибольшему для данной реа­

лизации максимуму процесса и называемую абсолютным макси­ мумом процесса-,

4. Точку В, соответствующую перегибу процесса (где вторая производная равна нулю) и называемую точкой перегиба;

5. Точки пересечения с линией некоторого уровня, называ­ емые нулями для разности процесса и этого уровня;

104

6. Отрезок по оси времени т„ между двумя соседними нулями процесса, называемый интервалом времени между нулями (два таких интервала определяют период случайных колебаний — период процесса по нулям);

7. Отрезок по оси времени тэ, соответствующий двум соседним экстремумам процесса и называемый интервалом времени между экстремумами (два таких интервала определяют период коле­ баний первой производной от заданного процесса — период про­ цесса по экстремумам);

8.Отрезок хтзх или xmin между нулевой линией и некоторым экстремумом, называемый экстремальным (максимальным или минимальным) значением процесса;

9.Отрезок х+ между нулевой линией и абсолютным максиму­

мом процесса, называемый значением абсолютного максимума; 10. Отрезок хр по оси ординат, соответствующий двум сосед­

ним экстремумам процесса и называемый размахом процесса. Получение вероятностной информации о количестве указанных

точек за некоторый промежуток времени и о величинах указанных выше отрезков по заданным вероятностным характеристикам процессов (корреляционным функциям или энергетическим спек­ трам) будем называть анализом этих процессов. Отметим некото­ рые вероятностные характеристики для указанных выше пара-

Рис. 4.1. Процессы нагружения:

а — стационарный дискретный поток воз­ действий; 6 — нестационарный дискрет­ ный поток воздействий; в — непрерывный

случайный процесс колебаний; г — про­ цесс накопления повреждений

Рис. 4.2. Анализ случайного процесса нагружения

г)

105

метров случайных процессов, которые могут быть включены

взадачи анализа.

1.Распределение числа нулей, экстремумов и точек перегиба случайного процесса при заданной его длительности. Частными характеристиками этих распределений являются среднее число нулей п0, среднее число экстремумов Я0 и среднее число точек

перегиба па в единицу времени, дисперсия числа нулей D |п0}, дисперсия числа экстремумов D {пэ| и дисперсия числа точек перегиба!) \па\ в единицу времени.

2. Распределение числа превышений некоторого уровня (вы­ бросов) при заданной длительности процесса t. Частными харак­ теристиками этого распределения являются среднее число пре­

вышений	некоторого	произвольного уровня я*,	обозначаемое
п {xji),	и дисперсия числа этих превышений D \п		(х^/Щ.
3. Распределение		интервала времени между	соседними ну­

лями, экстремумами и точками перегиба. Частными характери­ стиками этих распределений являются средний интервал времени между соседними нулями — т0, экстремумами — тэ и точками перегиба — тп, и дисперсии интервалов" времени между сосед­ ними нулями — D {т01* экстремумами — D |та| и точками пере­ гиба— D |тц[.

4.Распределение значений процесса, соответствующих его мак­ симумам (минимумам) — распределение максимумов (минимумов).

5.Распределение приращения процесса, соответствующего

двум соседним экстремумам — распределение размахов.

6. Распределение значения процесса, соответствующего его абсолютному максимуму — распределение абсолютного ма­ ксимума процесса.

7.Совместное распределение нескольких (в общем случае произвольного числа следующих друг за другом) экстремумов.

8.Распределение суммы нескольких (в общем случае произ­ вольного числа следующих друг за другом) интервалов времени

между соседними нулями или соседними экстремумами процесса. 9. Распределение функций, аргументами которых являются

случайные величины максимумов, размахов и т. п.

10. Распределение сумм, указанных в пункте 9 функций — характеристики процессов накопления повреждений.

Большинство из указанных выше задач не имеют в настоящее время точного эффективного решения даже для случая Гауссов­ ского стационарного процесса. Поэтому на практике широко используют приближенные решения.

Главными из рассматриваемых характеристик процессов, пред­ ставляющими наибольший интерес при расчетах прочностной надежности и усталостной долговечности конструкций, являются распределение абсолютного максимума процесса и совместное распределение произвольного числа следующих друг за другом экстремумов, из которого, как частные случаи, получаются рас­ пределения максимумов, размахов и им подобные характеристики.

Ю6

18.	Распределение абсолютного максимума
для	потока статистически		независимых
воздействий
Поток	статистически	независимых воздействий		х%(i =
= 1 ,2 ,...)	определяется	функцией	распределения	интенсив­
ности единичного воздействия F (х),			функцией распределения

интервала времени между воздействиями Ф (^) и временем наблю­ дения процесса t. Соответствующие плотности распределений обозначим / (х) и <р (t). Считается, что наблюдение начинается в момент t0 = 0 и первое нагружение происходит в момент вре­ мени tx Ф 0.

Пусть за время t произошло п статистически независимых нагружений. Тогда распределение абсолютного максимума про­ цесса x-t совпадает с распределением наибольшего значения слу­ чайной величины х при п сериях ее наблюдений по п наблюдений в каждой серии. По теореме об умножении вероятностей для условной функции распределения абсолютного максимума (при числе нагружений, равном п) получаем

FAx/n) = \F (х)}".	(4.1)
Плотность условного распределения	абсолютного максимума

fAx/n) = n\F.(x)\*-'f(x),

где f ( х ) == F ( х ) — плотность распределения интенсивности единичного воздей­

ствия.

Число нагружений п за некоторое фиксированное время t является величиной случайной. Поэтому для безусловной функции распределения абсолютного максимума получаем

оо	(4.2)
P *(x,t)= Я \F(x)}kP(k,t),
k~0
где Р (k, t) — вероятность того, что за время t произойдет ровно k	нагружений.

Для определения вероятности Р (k, t) заметим, что вероят­ ность того, что число нагружений за время t будет меньше не­ которого п, или, что то же самое, функция распределения числа п равна вероятности того, что сумма п интервалов времени между нагружениями будет больше t.

Отсюда следует

^(л) =	р { /я = Е ^	> / | =	1 - ф п(0,.	(4.3)
где Фп (0 — функция	распределения	суммы п	интервалов времени	между на­
гружениями.
Плотность распределения суммы п интервалов времени между
нагружениями в форме ее преобразования по Лапласу
	Фп(5) = 1<Р* (*)}",			(4.4)

107

где ф* (s) — преобразование Лапласа плотности распределения интервала вре­ мени между нагружениями.

Из соотношения (4.3) следует, что
Р (k, t) = Фк (0 - Ф,)+1 (t).	(4.5)

Подставляя соотношение (4.5) в формулу (4.2), получаем

F+(х, t) = 1+ S Фп (t) (F M - 1) \F {x)\« -1-

(4.6)

Так как-

®; w = - f *;<»)=- г

то вычисляя преобразование Лапласа от соотношения (4.6), полу­ чаем

К(* . s)-----( 1 + V	(F (x)~ 1 )|Г (х )|"-‘ |<p*(s)|»
V	iS	1 — ф* (s)
	1		(4.7)
	s	i — F (х)ф* (s)

В последнем равенстве использовано свойство суммы убыва­ ющей геометрической прогрессии. Соотношение (4,7) полностью решает задачу об определении функции распределения абсолют­ ного максимума для потоков статистически независимых воздей­ ствий.

Рассмотрим пример. Пусть			Ф (t) = 1 — e_f^,
где р — параметр	распределения.		Тогда
		Ф* (s) = р/(р + s),
	F+ (х, t) =		exp {— pi (1 — F (x))}.	(4.8)
Для больших X
	F+ ( x , t ) f * l - p t ( l - F ( x ) ) .			(4.9)
При F (х) = I — г - Хх		t) — exp (1 — gt exp (—Xx)}.
	F+ (х,
В этом случае для	больших	х

F.i (х, i) ^ 1 — pi exp (— Xx).

При произвольных законах распределения интервалов времени между нагружениями и интенсивностей нагружения точное вы­ числение распределения абсолютного максимума по формуле (4.7) затруднительно. Рассмотрим некоторые упрощающие приемы ра­ счета. Эффективное и достаточно точное решение этой задачи получаем, применяя метод В. В. Болотина, предложенный для стационарных процессов [7]. Заметим, что вероятность превыше­ ния воздействиями некоторого уровня за время t равна сумме вероятностей превышения этого уровня один, два и т. д. число раз:

оо

Р\х, *1 = Е Ph(x, t). k=\

108

Среднее число превышений этого уровня

оо

п (х , t) — £ kP(x, t). k=i

Отсюда следует, что для высокого уровня воздействий, когда вероятностями двойного, тройного и т. д. числа превышений можно пренебречь, имеем

Р(х	й » {		'	при	X<X,(t>
V ’	^	1	h(x,t)		при х х0 (t),
где дс0 (0 — корень уравнения		й (х,		() =	1 .

Для функции распределения абсолютного максимума полу­ чаем оценку

F+( x , t ) t t {	( 0 при		х < х 0			(4.10)
	I	,	• .	при	X > х0.
		1 — п (x,t)				v • '

Принимаем, что средняя частота превышений уменьшается при увеличении заданного уровня согласно функции распределе­ ния интенсивности воздействий.

Тогда

	F+(х, t) =	0 при х < х 0			(4.11)
		1 — Y	{1 — F (х)|	при х > х0,

где I — средний интервал времени между нагружениями.

Более точное выражение для п (х, t) получаем следующим образом. Поставим заданному импульсному потоку воздействий Xi (i = 1, 2, ...) в соответствие такой непрерывный процесс х (/), в котором каждому воздействию хг соответствовал бы один цикл нагружения процесса х (t) с амплитудой хг и чтобы его совместная плотность распределения с первой производной имела вид: f (х,

X) = / (х) f (X).

Среднее число превышений в единицу времени таким процес­ сом уровня X

о о

n(x) = f(x) I* xf(x)dx.	(4.12)
—ОО
Отсюда
■п{х) = п ( 0 ) Щ .	(4.13)

Подставляя соотношение (4.13) в формулу (4.10), получаем новую оценку для функции распределения абсолютного максимума процесса хг (i — 1, 2, ...). Интересно отметить, что для рассмотрен­ ного примера три оценки функции распределения абсолютного максимума [см. формулы (4.9), (4.11) и (4.10) ей (х), вычисленным по формуле (4.13) ] совпадают.

109

Другой путь упрощения формул для определения функции распределения абсолютного максимума процесса нагружения за­ ключается в замене значения п в формуле (4.1) на его среднее зна­ чение:

О О	О О	ОО
n ( t ) = £	kP(kT) = Б k {Ф;((0 -	Ф/г+1 (t)\ = £ Ф* (t).	(4.14)
k=0	k=r.O

Используя соотношения (1.10) и (1.12), получаем среднее число нагружений за время t в форме преобразования его по Лапласу;

> ( 0 .	=	1 2 ч>!(*) = |	■	(4.15)
Точность		использования оценки п ^	п в соотношении	(4.1)

можно оценить дисперсией числа нагружений. Вычислим эту

дисперсию:	_	_ ________
о 2п — п 2 — п 2 = п (п -}- 1) — п — п 2\
	ОО		<х>
£ F + T ) =	£	k (k )P (k ) =	£	А(Л+ ЖФЛТ’) -
	6=0		6=0
	— ®ft+i СП1 — 2 2			кФк (t)-,
			k=i
{ п (п +		1), s}* = -	2	kyl (s) =
			A=l

2ф* (s)

s ( l — <p*(s)}2 *

6=1

Третий прием, упрощающий вычисления, заключается в пере­ ходе к асимптотическим оценкам при t ->• о о . Согласно централь­ ной предельной теореме теории вероятностей сумма большого числа случайных величин, имеющих средние значения ? и”диспер­ сию а2, асимптотически нормальна и имеет среднее значение tit и дисперсию «а2, где п — число слагаемых. То есть для любого t

			t
lim Р \tn <	nf -I- tc r /n } =	-rL-	[ e~“a/a du = ф /л
n->-oo		У 2л J		и v !
Покажем теперь, что число нагружений за время t при t						оо
распределено по	нормальному закону		и имеет среднее значение
h — Ш и дисперсию ta2/t3, т. е.
lim P \ k c n \ = lim Р {/ е <		t t l +	'па V t j f 3 =	Ф 0 (п ).	(4 .1 6 )
Г-*оо	/ —vоо			v \ /	\	/

по