книги / Регулярные методы решения некорректно поставленных задач
..pdfгде L tu |
(i = 1, ..., n) |
- |
операторы, действующие из U в G, с об |
||||
ластями определения |
DLf 2 D. Легко видеть, что если множест |
||||||
во А выпукло и замкнуто |
в Еп, то таким же будет и множест |
||||||
во |
А*. |
Следовательно, |
однозначно |
определен вектор-параметр |
|||
а £ А *, для которого |
|
|
|
|
|||
|
inf |
|| а - |
а* \\с = |
|| я - |
в* Нс, |
|
|
|
а е л |
* |
|
|
|
|
|
где а* € Е„ |
- заданный |
пробный |
вектор-параметр, a Ik ||£ = |
||||
= |
(Сд, а ) , где С —квадратная положительно определенная матри |
ца, определяющая априорную цену потерь при выборе некоторого
вектор-параметра из А.
Предположим, что существует хотя бы один оператор Ь 0 с об
ластью |
определения D i o = D, подчиняющий L t (/ = 1, ... ,и), а |
также |
L о-сглаживающее семейство S$ (0 > 0). Определим в со |
ответствии с методом регуляризации функционал |
Фв[в]вРо(^1и6;4 ? ) + в11в-в* Нс, |
aGA, |
|
где а > 0 - параметр регуляризации, йь = S$u. |
||
Рассмотрим |
задачу отыскания таких |
векторов аа £ А, для |
которых |
|
|
inf Фа [д] |
= Факс*] = та . |
(10) |
а£ А
Те о р е м а 59. Если выполнены условия, сформулированные выше, м, кроме того, пространство G - линейное нормированное,
го здддчд ( 10) однозначно разрешима при всех а > 0.
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
В условиях теоремы функционал |
|||||
P c (Z, [ ; |
а ], g ) |
= IIL [иь ; д ] |
- £ || Q .является непрерывным и |
|||
выпуклым |
на А. Отсюда следует, что для любых д 1 и д 2 из А |
|||||
справедливо неравенство |
|
|
|
|
||
Цд1— д2 2 |
1 |
. 1 |
2 |
Гд! +д21 |
|
|
И ~ |
< ■!*«[«1] + 4 |
1л 1 - ф “ 1—i — J |
(11) |
Выберем последовательность {д5}, минимизирующую Ф<* [д] и такую, что
та < Фл[^] < т<х + 1/5, s оо.
Из неравенства (11), полагая в нем Д1 = as, a2 =as+p, р -лю бое
121
натуральное, выводим, что {д5} - фундаментальная и, следова
тельно, сходится. Из замкнутости и выпуклости А , а также непре
рывности Ф<* [а ] на А вытекает, что lim а5 = аа £ А и удовлетво-
|
|
|
|
|
|
s |
|
|
ряет (10). Теорема доказана. |
|
|
||||||
Т е о р е м а |
60. |
Пусть выполнены условия теоремы 59 и пара |
||||||
метр регуляризации а = а ( 6) выбран таким образом, что |
||||||||
1 |
|
|
2 |
п |
|
|
0, 8 ->0. |
|
------ (6 + |
| | / , Л - i , M | | F ) + a |
|
||||||
Vo" |
|
|
/ = 1 |
|
|
|
|
|
Тогда имеет место сходимость |
|
|
||||||
lim |
а |
- а, |
'а = яа (б)* |
|
|
|
||
5 - |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Имеем |
|
|
|||||
Фа Ы |
< |
Ф*[2], |
а > |
0, |
|
( 12) |
||
т. е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
\\aa - a mlie |
< ~ z \ \ L [ u b;a]--g\\G + IIа - лг* Нс |
< |
||||||
|
|
|
|
V л |
|
|
|
|
< - р г ( 5 + |
2 |
1 а , 1 1 | 1 / [ м б ] - ^ « | | с ) + | | д - а * |
ILc- |
|||||
V а |
|
|
1 -1 |
|
|
|
|
Полагая здесь а = а ( б ) , определенное теоремой, заключаем, что се мейство И = аа(Ь) является ограниченным. Более того,
lim |
\\a-a* \\с < II а - а* Нс |
(13) |
6 — |
0 |
|
Отсюда вытекает, что семейство а приближенных решений равно мерно ограничено по 6. Согласно теореме Больцано-Вейерштрасса выделим произвольную сходящуюся последовательность}ап)этого
семейства. Пусть |
lim ап = а. Из ( 12) следует, что L [й; Ъ ] |
= g, |
|
И— Оо |
|
т.е. а 6 А. Из |
(13) тогда вытекает, что а = а. Следовательно, |
|
lim \\а —а\\с - 0. Теорема доказана. |
|
|
6 - 0 |
|
|
Заметим, что |
не требовалось линейности операторов L, |
(/ = |
= 1, ..., п) . Более того, аналогичный результат справедлив и в том
122
случае, когда идентифицируемая модель не является линейной. Более подробный анализ методов решения задачи идентификации параметров сделан в работе автора [72].
§ 18. Свойства сглаживающих семейств операторов
1. Как было показано в § 17, задача вычисления значений неогра ниченного оператора L , заданного в нормированном пространст
ве U, неустойчива. Пусть U - H — гильбертово пространство и L : Я -►G —линейный замкнутый оператор с плотной в Я областью оп ределения D. Тогда, очевидно, существует сопряженный опера
тор L*. Пусть мЕ D, а элементы мЕ Я таковы, что || и- и\\н < 6. На основе решения вариационной задачи
inf Фа [н] = Фв [ иа ], иа Е D, USD
Фа ( м] = \ \ u - u \\н + U \\LU \\G |
( 1) |
строится линейный ограниченный оператор |
= (ctL*L + Е) " 1, ко |
торый обладает сглаживающими свойствами. Именно, при опреде ленном выборе параметра а = а (6) имеет место соотношение
Urn || LSau - Lu I! Q = 0. 6 - о
Из выражения для Sa видно, что сглаженные элементы аа =
при любом и принадлежат области определения оператора L*L , т.е. имеют определенный ’’запас’4гладкости. В связи с этим возникает
З а д а ч а . Указать все такие линейные операторы В , для которых
lim \\ В и а - Ви\ \ = 0, мЕЯд С D [ *l ,
при определенной зависимости параметра а = а (6), и выяснить ха рактер этой зависимости от спектральных свойств операторов В и L.
Решение этого вопроса весьма важно для практических примене ний метода, так как использование слишком ’’сильных” операто ров для построения семейств Sa (a > 0) приводит к излишнему ’’заглаживанию” исходной информации и потере так называемой ’’тонкой” структуры, очень важной при исследовании ряда физиче ских проблем. Дальнейшее изложение связано с решением указан ной задачи.
123
2. |
Пусть £ \ (0 < Х о < Х < ° ° ) - спектральное разложение опера |
тора L*L [131]. Тогда для любого и € D
\\Lu ||2 = / X(dE\u, и) < °о.
^0
Пусть у (X) (Х0 < X < °°) - произвольная непрерывная положи тельная функция. Обозначим через L ^ любой оператор, для кото рого
II Ь,,и II2 = / </>(X) (dEKu, и) < со, и GDLip = Dy.
^0
Справедлива
Л е м м а 30. Для того чтобы йа Е D^ при любом uGH, необ ходимо и достаточно, чтобы при а > 0
*(Х) |
|
(2) |
sup----------— |
|
|
х (1 + аХ2) |
|
|
Действительно, так как |
|
|
оо |
<ЛО ) |
|
Н М « “ II = f |
7, . ТТ № х « .и ). |
|
х0 |
(1 + аХ)2 |
|
ТО |
|
|
||I „ S J |2 =sup |
(1 + аХ)2 |
|
|
|
|
и для ограниченности оператора |
при а > 0 необходимо и до |
статочно, чтобы выполнялось соотношение (2).
Далее всюду предполагается, что условие леммы 30 выполнено.
Обозначим £ = и - и, |
|
|
Д ( а , 6 ;й)= |
sup |
|| Ь^йа - L^u ||, |
|
MU II <6 |
|
До (cc,u) = \\LypS aH |
- L ^ ||, |
|
Ai (ос, S) = |
sup |
|| L^Sa u - L ^ S ^ u ||, |
|
MU II <6 |
|
где Sa = (E + otL*L)~l (a > 0). Легко проверить справедливость соотношений
Д (а,6;н)<Д0 (a;w) +Д, (а, 5),
(3)
А { (а, 5 )< Д0 (а;и) +Д (а ,6 ;и).
124
Л е м м а |
31. |
|
|
|
||
lim |
До (а;й) = 0 |
V H EZ)^. |
||||
а -*• О |
|
|
|
|
|
|
Действительно, |
|
|
|
|||
, |
л ч |
г |
<*2 \ 2 <р(\) |
|
л л |
|
До (а; и) = |
f |
-- |
^ |
(dE\U, и). |
||
|
|
К |
(1 +аЛ)2 |
|
|
|
Так как и Е |
|
, то /° |
(X) (dEKи, и) < 00 и, следовательно, |
|||
lim |
/ |
ip(k)(dExU, M) = 0. |
||||
N -► 00 |
JV |
|
|
|
|
|
Так как |
|
|
|
|
|
|
Д5 ( a ; w) < a 2jV3 |
max |
|
</>(Х) + / <p(X)d(Zi\£, й), |
|||
|
|
|
|
< \ <N |
N |
то, используя предыдущее соотношение, легко устанавливаем тре
буемое. |
|
|
|
|
|
Следствием соотношений (3) и леммы 31 является |
|
||||
Т е о р е м а |
61. |
Для |
того чтобы выполнялось соотношение |
||
lim |
Д ( а , 6 ;м) = 0, м Е Д , , |
(4) |
|||
а, 6 |
О |
|
|
|
|
необходимо и достаточно, чтобы |
|
||||
lim |
, |
|
lim |
</>(Х)52 |
(5) |
Д 1(а, 6)= |
s u p ----------- — = 0. |
||||
а,б -> о |
|
а ,6 -> о \ (1 + аХ)2 |
|
||
З а м е ч а н и е . |
Пусть </>(X) = Ха (0 < а < 2) (этот случай доста |
точно часто встречается в приложениях). Тогда легко видеть, что
Ха |
1 |
sup |
CL~° (2 - о)2- ° о |
V (1 +<*Х)2 |
4 |
Условие (5) в этом случае имеет вид
<Га62 -+0, 8 ->0.
В частности, при а= 1 (т. e.L^ =L) условие (5) имеет вид
6
lim |
-' = 0. |
|
Of, 6 - ► |
О y f a |
|
Легко |
видеть, что условие lim |
— = 0 является достаточным |
|
6 -►о |
сс |
для выполнения (4) при любой допустимой функции у (X).
125
Т е о р е м а |
|
62. |
Пусть и Е Я: || и - |
и ||//< 5 , |
|
|
||||
lim |
sup || L^S^it - g\\c = 0, gEH. |
|
|
|||||||
<x,6 -►0 $ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7огдя u E D ^ |
|
и L^u- g. |
|
|
|
|
||||
Таким образом, по сходимости регуляризируюшего алгоритма |
||||||||||
можно судить о гладкости элемента м. |
|
|
|
|||||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . \\иа - и \\И-+0, когда а, 5 -*0 для лю |
||||||||||
бого и Е Н. Так |
как Ь ^йа ->g, то, используя замкнутость опера |
|||||||||
тора/,^, получаем и Е |
=g. Теорема доказана. |
|
||||||||
3. |
Легко |
видеть, что величины А (а, 6; |
и) и Д0 (а; |
и) зависят |
||||||
от выбора элемента и Е D^. Пусть множество М С Цр. Обозначим |
||||||||||
А (а, 5 ;/lf) = |
sup |
А (а, б;м), |
|
|
|
|
||||
|
|
|
й е м |
, |
|
|
|
|
||
Д0 (а;Л/) = |
|
sup |
A0 (a;w); |
|
|
|
|
|||
|
|
U G |
М |
|
|
|
|
|
|
|
легко показать, что |
|
|
|
|
|
|
||||
А (а, 6;Л/) < А0 (а;Л/) + А! (а, 6). |
|
|
(6) |
|||||||
Т е о р е м а |
63. Если a= a(5 ) >0таково,что |
lim А(а, 6; Л/ )=0, |
||||||||
го гяоге |
|
|
|
|
|
|
|
6 -> о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
lim |
Д0 (а;Л/) = 0. |
|
|
|
|
|
||||
6 -►о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если lim Ао (a; М) = 0, го существует такое а = а (6) ->0 (5 -*0), |
||||||||||
ск —*0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЧТО |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
А (а, 6;Л/) = 0. |
|
|
|
|
|
||||
6 -►о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . Действительно, |
|
|
||||||||
А (а, 6 ;М) > А (а, 0; М) = А0 (а;Л/). |
|
|
(7) |
|||||||
Отсюда следует первое утверждение. |
|
|
|
|||||||
Для |
доказательства |
второго |
утверждения |
достаточно выбрать |
||||||
а = a (5) -►О |
(6 ->0) так, чтобы |
lim |
5 |
|
|
|||||
— = 0. Тогда |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
6 -* о |
a |
|
|
lim |
A0 (a;M)=l im |
Ai (a, 5) = 0 |
|
|
|
|||||
6 —►о |
|
|
|
|
6 |
О |
|
|
|
|
и в силу (6) |
lim |
A (a, 5; М) = 0. Теорема доказана. |
|
|||||||
|
ь |
►о |
|
|
|
|
^ |
|
||
Л е м м а |
32. |
Если множество М = {и Е D^: \\ L^u || |
} , го |
|||||||
величина А (а, 5; |
Л/) > R. |
|
|
|
|
126
Д о к а з а т е л ь с т в о . Имеем
Д5(а;Л*)= sup |
«> |
а 2Л2 |
f |
—----- — </>(Л)(<//ГАм,м) = |
|
и е м К |
О+ а Х у |
|
а2 \ 2 |
R 2 = Л 3 |
|
= sup ----------- Г |
||
\ (1 +аХ)г |
|
|
Остается использовать (7).
Теорема 63 и лемма 32 показывают существенную разницу меж ду равномерной регуляризацией (на М) и регуляризацией в точке (теорема 61): для обеспечения сходимости Л (а, б; М) к нулю необходимо брать более узкие подмножества из области определе
ния оператора L |
В этом отношении весьма важна следующая |
Т е о р е м а 64. |
Пусть М = г { й Е Dv : || Ьфй || <R} 9 ф(к) - |
непрерывная положительная функция, удовлетворяющая условию
<р(к)
Иш |
ф(\) = 0. |
(8) |
Тогда |
Нш А0 (а; |
) = 0. |
а-■*О
До к а з а т е л ь с т в о . Имеем
До (а:Мф)= |
sup |
~ a2\ 2ip(k) |
(dHku,u)< |
|
|||
f |
— — —— |
|
|||||
|
|
и е Мф |
\ 0 |
(1 + а \ у |
|
|
|
<i nf |
I |
max |
|
<х2\ 2(р(\) |
у (X) |
) 7 |
|
I |
------------------- |
|
+ |
sup --------- |
l R2 -*0, а - * 0, |
||
/V |
| |
|
(1 + а \) 2ф (X) |
\ >. ыф( Х) |
\ |
||
в силу условия (8). Теорема доказана. |
|
||||||
Нетрудно видеть, что выполнение |
(8) также и необходимо для |
||||||
того, чтобы |
Ит |
Д0 (а; Мф) = 0. |
|
|
а-►О
§19. Оптимальность алгоритмов сглаживания
1. Пусть L - |
линейный замкнутый оператор, семейство Sa = |
= (Е + а/,* ! ) ”1 |
(а > 0), В - линейный оператор, действующий |
из Н в V и подчиненный оператору L. Тогда, очевидно, при опре |
деленном выборе зависимости а = а (б) справедливо соотношение
Ит || Вай |
- Ви || у = 0 |
VwG£), |
где Ва = BSa, |
м Е Я : II и - |
и ||//< б. Таким образом, для вычисле |
ния значения v = Ви при приближенном задании элемента и можно воспользоваться сглаживающим семейством Sa. Заметим, что опе ратор Ва определен на всем Н.
127
Пусть задан любой оператор Г, определенный на Я и действую щий в V (оператор Т не предполагается линейным). Тем самым задается метод (<алгоритм) вычисления приближений Ти к значе ниям Ви (и ED).
Обозначим
сов (6, Я; Т) = sup || Тй - Ви || к , |
|
где { = Й? - й, II £ II н < д , й е и я = { и е D: || Lu ||G |
. Оче |
видно, величина сов (5, Я; Г) характеризует ошибку при вычисле
нии значений оператора В на элементах множества UR при помо щи алгоритма Т. Далее рассматривается следующая
З а д а ч а . Найти такой алгоритм r opt, для которого
inf сов (5, R \ Т) - со (8 , R; Topt) . |
( 1) |
т |
|
Алгоритм :Topt, удовлетворяющий соотношению (1), назовем
оптимальным, а величину |
сов (5, R\ Topt) |
- оптимальной по |
грешностью вычисления значений оператора В на классе UR . |
||
Определим оценочную функцию |
|
|
wB (6f / 0 = sup||&i || у, |
и ED: ||и ||я < 6 , |
\\LU \\G <R. |
и |
|
|
Будем далее предполагать, что оператор В усиленно подчинен опе ратору L и что пространство V гильбертово. Следующая теорема дает оценку снизу оптимальной погрешности вычисления значе ний оператора Я*).
Т е о р е м а 65. При сделанных предположениях для любого алгоритма Т имеетместо соотношение
coB ( b , R: T) >uB (5, Я). |
(2) |
Д о к а з а т е л ь с т в о . В силу леммы 23 существует элемент
h Е D: |
|| h IIя< 6 , |
|| Lh ||G |
для которого сов (5, R) |
= || ВИ || у. |
|||||
Очевидно также, что (-И) |
Е D, о>в (6, Я) |
= || В(-И) || у. |
|
||||||
По определению величины оов (6, R; |
Т) |
имеем |
|
||||||
сов (5, R\T)> sup |
|| Ти - Ви || v > |
|
|
|
|||||
|
|
|
i и |
|
|
|
|
|
|
> max |
{ sup |
II Bh - |
T (И + £) || v , sup |
|| В (-/? )- T(-h + £) || у } , |
|||||
|
|
? |
|
|
|
i |
|
|
|
^ |
А |
А |
А |
А |
А |
А |
|
справедливы |
следующие |
где и - |
и = |
£, |
и Е UR , || £ ||// < 6. Но |
Доказательство этого утверждения использует прием, сообщенный ав тору А.Г. Марчуком.
128
легко проверяемые оценки |
|
|
|
|
||
sup |
|| Bh - Т (h + |
|| v ^ |
II |
~ Тв || у у |
||
£ |
|
|
|
|
|
|
sup |
|| В (-Л) - T(-h + ft |
|| к > |
|| В ( -К)-Тв || V9 |
|||
£ |
|
|
|
|
|
|
где в —нулевой элемент из Я. Следовательно, |
||||||
соя(6,Д ;Г ) > т а х |
{ ||Д й - 7 в ||к . |
II Bh + Тв ||у ) . |
||||
Так как 2Z?А = Bh - |
Тв + |
(5А + Г0), |
то, используя неравенство |
|||
треугольника, получаем |
|
|
|
|
||
2 || Bh || у < || Bh - |
Тв || у + || Bh + Г0 |
||к < |
||||
< 2 т а х ( ||Я й - Тв \\у> |
||Яй + Г 0 ||к), |
|||||
каким бы ни был элемент Тв. Таким образом, |
||||||
G>B (b,R;T)>\\Bh\\v = o>B (d,R) |
\fT. |
Теорема доказана.
З а м е ч а н и е 1. Нетрудно видеть, что теорема 65 остается верной и в более общих условиях. Именно, все пространства можно считать нормированными. Достаточно требовать лишь определен ности, т.е. конечности оценочной функции сов (6, R) при любых 6 и Я. В этом случае в качестве элемента А достаточно выбрать та кой допустимый элемент Ае ,для которого \\Bh€ ||^ > сов (6,Я) —е, где е > 0 произвольно. Основная схема доказательства при этом
сохраняется. |
|
З а м е ч а й - ие 2. Если оператор А ФЕ и |
= 0, т.е. рассматри |
вается задача вычислений значений оператора В на решениях сов местного операторного уравнения A u - f z приближенно заданной
правой частью / G F: Ц/ —/ ]\F <5, и если положить UR = { uED ^ : Аи = /, || Lu Нс < /? } , то аналогичный теореме 65 результат также остается справедливым. Мы не останавливаемся на этом вопросе из-за его тривиальности.
2. Построение и доказательство существования оптимального алгоритма TQvX в общем случае затруднительно. Однако при допол нительных условиях, наложенных ha оператор В (спектральная подобность его оператору L*L)y можно доказать, что при некотором специальном выборе параметра а = aopt оптимальный алгоритм
Topt = #<xopt [82], где семейство операторов |
определено выше. |
|
Естественно возникает |
|
|
3 а д а ч а. Найти квазиоптимальный алгоритм Tq opt |
(или оп |
|
тимальный по порядку), для которого погрешность |
|
|
со* (б, R \T q opt) = О ( сов (б, R) } . |
|
(3) |
9. В . А . М орозов |
129 |
Так как оптимальный алгоритм, очевидно, требует задания пол ной априорной количественной информации, т.е. величин 5 и R, то естественно искать квазиоптимальные алгоритмы, требующие при своей реализации минимальной априорной информации. Эта проб лема имеет, и притом неединственное, решение.
В самом деле, пусть параметр а = а (6) в сглаживающем семейст ве S a определен в соответствии с критерием р (теорема 58), т.е.
по принципу невязки. Пусть ид = |
и. Тогда II |
- и II#< 6 и, |
следовательно, |
|
|
\ \ и - и ь Ия < 26 . |
|
(4) |
С другой стороны, в силу свойств регуляризованных решений
имеем |
|
II «в - u \ \ H2 + a(S)\\Lu6 ||д < || м - м ||^ + а (5) || Lu ||^ |
< |
< 5 2 + а (5) || L U \\2G =|| иь -Й '||2/ + а ( 5 )||1 Й ||2;, |
|
т.е. \\Lub \\G < || Lu ||G <Я . Поэтому |
|
II Lub - L U \\G <2R. |
(5) |
Из оценок (4), (5) и определения оценочной функции сов (е, R) |
|
тогда следует, что |
|
\\вйв - В й \ \ у < 2 ь>в (6 , К ) 9 |
(6) |
т.е. алгоритм BSa (§), определяемый принципом невязки, являет ся оптимальным по порядку (т.е. квазиоптимальным). Нетрудно видеть, что оператор S5 = 5 а (5) является линейным, что весьма важно на практике.
Построим сглаживающий алгоритм |
на базе метода невязки. |
|
Пусть йь Е D —какое-нибудь решение вариационной задачи |
||
\\Lu6 ||G = |
inf_ \\LU \\g , D= { u e D : \ \ u - S \ \ H < 8 } . |
|
и е D |
|
|
Существование |
(а если ядро NL = {0} ,то и единственность) реше- |
|
А |
|
|
ния ыь этой задачи следует из доказанных в гл. 3 общих теорем. Положим иь = Slu. Тогда аналогично предыдущему \\Ьщ ||G < <||Z,H ||G </?, и, следовательно, \\Lub —Lu ||G <2R. Из неравенст-
А |
А |
25 и поэтому снова имеет место |
ва треугольника || |
—м ||//< |
|
оценка (6). |
|
|
Построим сглаживающий алгоритм S% на базе метода квазире |
||
шений. Пусть йд Е D — решение (очевидно, единственное) задачи |
||
inf II и - й\\н = || иь - й \\И, |
U GUr = {veD :\\Lv\\G < R } . |
|
и |
|
|
130