книги / Регулярные методы решения некорректно поставленных задач
..pdfданы их приближения / и g такие, что
I I I I I - ^HG < г'
где величины б и т характеризуют точность приближений этих эле
ментов. Заметим, что элемент / не обязан удовлетворять условию разрешимости основной задачи и, следовательно, может быть лю бым элементом бокрестности элемента / .
Обозначим для краткости решение регуляризованной задачи ( 1) § 2 при / = / , g = g и фиксированных значениях остальных пара метров через иа. Согласно теореме 2 элементы йа € D определены однозначно при всех а > 0, и в соответствии с теоремой 4 выпол няется вариационное неравенство
(Лиа - / A(W - U<X))F +
+ a(Lua - g , L ( w - u a))G > 0 VH’E A |
( 1) |
Аналогичное неравенство запишем для регуляризованных реше ний иа :
{Аиа - / |
i4(w-Me ))F |
+ |
|
|
|
||
+ a^Lu^-g, |
L(p - |
wa))G > О |
VuGD. |
|
(2) |
||
Положим vv |
= |
в |
( 1), |
v = |
в (2) и сложим оба неравенства. |
||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
l “e - «ala < |
|
|
- Ua))p +a(g -g, L(ua - Ua))G. |
(3) |
|||
Из полученной оценки вытекает |
|
|
|
||||
Т е о р е м а |
9. Для уклонений |
от иа справедливы оценки |
|
||||
\\Аиа - A u a \\G <: 5+ |
у/ат, |
II Lua - L u a \\G < |
81у/a +т. |
(4) |
|||
Действительно, применяя неравенство Коши - |
Буняковского, |
||||||
а также неравенство |
аЪ < {а2 + Ъ2)/2, получаем из (3) |
|
|||||
I йа - иа\1< б2 + аг2. |
|
|
|
||||
Отсюда следуют оценки (4). Теорема доказана. |
|
|
|||||
З а м е ч а н и е . При |
малых |
значениях параметра регуляриза |
ции а возмущенное р.р. более благоприятным образом зависит от возмущений элемента g , чем от возмущений элемента / .
Из теоремы сходимости р.р. 3 и теоремы 9 вытекает
Т е о р е м а |
10. Пусть параметр регуляризации а положителен, |
|
д/у/а -►0. |
б .а ^ О . |
(5) |
7Ъгс)я |ма —и\~* 0 при |
5 ,г,а - ^ 0 . |
31
З а м е ч а н и е 1. Условие (5) является достаточным для схо димости возмущенных р.р. к решению основной задачи и. Далее, при изучении задачи вычисления значений неограниченного опера тора (гл. 4) будет показано, что оно необходимо для указанной сходимости.
З а м е ч а н и е 2. Пусть выполнены условия теоремы 7. Тогда уклонения р.р. от решения основной задачи по операторам А и L оцениваются следующим образом:
l A u a - A u ^ p ^ 2а 11.у1/ / +6 + х/оГт,
IIL UQI —Lu IIG ^ V e ^ УIIp + 8/ x/cT* + T.
Находя a 0 из условия
ao = argmin(x/a + b/y/a ), |
(6) |
получаем a0 = 6. Соответствующие оценки при этом принимают вид
\\Аиа^ —A u i p ^ 2II vil^>6 + т\/б~ + 6 .
II |
- Lu IIQ ^ |
( II |
|
(7) |
H/r + 1)>/б” + r. |
||||
З а м е ч а н и е |
3. Пусть выполнены условия теоремы 8. Тогда |
|||
аналогично предыдущему случаю имеем |
||||
II Lua |
—Lu\\(j ^ |
aCj |
+ 5 l\fot |
+ r, |
I\Aua - A u llf.< |
otC2 + a 3/2C, |
+5 + V a r , |
||
где Ci - |
\\Lh\\G, |
Сг = \\Ah\\F. Найдем |
||
|
/ а |
|
|
(8) |
a 0 = argmin I — + |
|
|||
|
( |
|
|
|
Очевидно, а 0 - 62/3. При этом значении параметра регуляризации получаем следующие оценки погрешности:
IUi7„o - A u lif.< |
5 Ci + 52/3C2 +5 + 6 1/3r, |
(9) |
|
II Luau - Lula < |
С |62/3 +S2/3 + T. |
||
|
Способ выбора параметра регуляризации ot0 из условий, анало гичных (6) и (8), называется принципом минимума мажорантных оценок. Легко видеть, что этот принцип дает простейшие достаточ ные условия сходимости возмущенных р.р. к решению основной задачи и дает оценки точности этих приближений.
2.Рассмотрим случай, когда приближенно заданы не только
элементы / и g, но и операторы А и L. Именно, считаем, что на
DAL заданы линейные операторы А и Z, действующие в F и G соответственно и совокупно замкнутые на множестве D. Пусть
32
выполняются следующие условия аппроксимации операторов А и L : для любого и £ D
IIЛи - |
A U \\F < h\ и |, |
|
||
IIZM - |
LM!G |
<t\u\9 h,t+ 0. |
(10) |
|
Л е м м а 4. |
Яусгь |
|и |£ , = |Ли11£ + \\Lu\\G, |
и € DAL. Тогда |
|
при достаточно малых h u t имеют место оценки |
|
|||
(1 - е ) | u - v \ h t < \ u - v \ < |
|
|||
< (1 + e)|w -i> U , |
V u .veD , |
(11) |
||
где 0 < |
e = e(tt h) -> 0 при h9t-+ 0. |
|
||
Доказательство оценок (11) элементарно. |
|
|||
С л е д с т в и е . При достаточно малых h u t |
операторы А и L |
удовлетворяют условию дополнительности, т.е. существует посто янная у > 0, не зависящая O T U ED и такая, что
\ u - v \ l t > 7211и-Ы1д> VM, I; ЕЯ.
Из предыдущего следует, что если в функционале Фа [и] поло жить / = / , g = g, А = A, L = L , то все условия теоремы 2 о су ществовании и единственности р.р. будут выполнены. Обозначим их через иа и оценим отклонения значений операторов А и L на
элементах |
от их значений на элементах |
иа : |
Запишем вариационное неравенство Эйлера для |
||
0 4 ^ - / M ( n - ^ ) ) F + |
|
|
+ <x(lffa - g , L ( v - u a))G > 0 Vn€£>. |
(12) |
Положим w = в соотношении (1), и = иа в (12) и сложим полученные неравенства. Вводя обозначение г - иа - иа, после некоторых элементарных преобразовамш получаем
IlizIl^ + allZzll*, <
< (Aua - f , (А —A )z)F + ((А - A )u a,Az)F +
+ a[(Lua - g , (.L - L ) Z )G + ((L - L ) u a,Lz)G) ■
Применяя неравенство Коши—Буняковского, условия аппрокси мации (10) и воспользовавшись (11), получаем
iAzijr + allZzll^ < h [ lA u a - / lF (l + е) + I ua | +
+ a tlL u a - £ llc (l +e) + a^|Ma |] |z |ftf
3. B.A. Морозов |
33 |
и, следовательно, |
|
|
|
|
|
||
\иа - и а \< |
(i |
+ e)i^h + |
^ j[ \\A u a - / l l F (l +e)+ |
|2 а |] + |
|||
+ r(l |
+ е) (1 + а )[Ш й а - £ 1 С(1 +е)+ |
|2а1]. |
(13) |
||||
Оценим величины, стоящие в квадратных скобках: |
|||||||
II Аиа |
< |
jiA + IIАйа - Aullp + б, |
(14) |
||||
II Lua -g\lG < |
vL + II Lua - Lul\G + r; |
|
(15) |
||||
liл |
были определены ранее. Д ля |ма | имеем |
|
|||||
Iw J |
< I иа - й | |
+ | 2 |. |
|
|
(16) |
||
Следствием теоремы 10 и оценок (13)-(16) является |
|||||||
Т е о р е м а |
11. Пусть |
выполнены |
условия |
аппроксимации |
|||
(10) и операторы А , L совокупно замкнуты на D. Если выпол |
|||||||
няется условие согласования |
|
|
|||||
(б/VcT + Л/а)“>0, |
б, Л, «■►О, |
|
(17) |
||||
то |
|
|
|
|
|
|
|
lim |
\иа - й | = 0, |
а = (5,т, h, t). |
|
|
|||
а-*О |
|
|
|
|
|
|
|
3. Условие согласования (17) накладывает определенные огра ничения на выбор параметра регуляризации а как функциц возму щений элемента / и оператора А. Что касается возмущений эле мента g и Оператора L , то согласование параметра регуляризации с ними не является необходимым. Это обстоятельство можно использовать при математической постановке исходной задачи. В частности, постановка ее в форме вычисления значений опера
тора может оказаться по этой причине более |
целесообразной, чем |
в форме решения операторного уравнения |
(следует отметить, |
что ряд задач, например дифференцирование, может быть сформу лирован как в одной, так и другой форме; более того, ряд спе циальных операторных уравнений, например уравнение Абеля, допускает обращение, т.е. известен обратный оператор А ~ \ и, следовательно, задача решения уравнения Аи - f может быть пе реформулирована как задача вычисления соответствующего неограниченного оператора L = А ~1).
4. Пусть vL = 0 в основной задаче. Как уже отмечалось в след
ствии к теореме 6, тогда р.р. |
|
а > 0. |
(18) |
В рассматриваемом случае ряд утверждений, доказанных выше, существенно уточняется.
34
Именно, оценки (4) принимают вид |
|
|
|
|||
IILua - LU\\G < 6/\/аГ + т, |
IIАйа - Hz/llF < |
6 + \/сГт, |
(19) |
|||
и, следовательно, |
|
|
|
|
|
|
| UQ. - и | < 5 + т + \/а т + 5 /\[OL. |
|
|
(20) |
|||
При а = 1 имеем |
|
|
|
|
|
|
II Lua - LU\\Q < б + 7. |
II ИЙа - AuW F < 6 + 7 . |
|
|
|||
Оценки (13) ~ (16) также значительно упрощаются. |
|
|
||||
Полагая а = 1, имеем |
|
|
|
|
|
|
I йа -- йа\< |
2/f(1 + € )[Ы м а - / l l F (l + е)+ I ма |] |
+ |
|
|||
+ 2(1+ e)f[ II Lua -g\\G(\ + e )+ |w a |], |
|
|
(21) |
|||
II Aua - / llF < iiA + 26 1-r, |
llii* - £ llc < |
2т + б. |
|
|||
Из оценок (Iе») —(2l> вытекает |
|
|
|
|||
Т е о р е м а |
12. Пусть |
vL |
= 0 . Тогда при |
ot = |
I справедлива |
|
оценка точности р.р. |
|
|
|
|
|
|
| иа - и | = 0(8 + h + г + Г). |
|
|
|
(22) |
Условия теоремы выполняются для корректно поставленных задач, записанных в форме (9) § I .
Оценка (22) носит характер, аналогичный оценкам точности при приближенном решении корректных задач.
§5. Аппроксимация допустимого множества. Выбор базиса
I. Пусть о = 0, т.е. все данные точны. Рассмотрим вопрос о влиянии на точность приближения регуляризованными решениями основной задачи в случае аппроксимации допустимого множе ства D. Пространство Я считаем сепарабельным.
Зададим в Я семейство конечномерных линейных подпро странств Sn (// = I, 2,. . .) . Назовем семейство {£„} аппроксими рующим, если:
1) Sn С DA L |
при любом натуральном |
п (DAJJ = [)Л П |
2) для любого |
i/E DAL |
|
inf | и - у| |
0, п -►°°. |
( I ) |
vt-Sn |
|
|
В качестве множеств, аппроксимирующих /9, рассмотрим мно жества
D „={w'EZ): inf | и 1> |= |г /'- и |} ,
и -о
3* |
35 |
где и G S n . Корректность этого определения вытекает из следую щего утверждения.
Л е м м а |
5. Для любого v Е |
Sn существует единственный |
элемент PQV Е D, для которого |
|
|
inf | и - |
v\ = \PDv - и\. |
(2) |
«ED |
|
|
Доказательство леммы можно провести по той же схеме, что и доказательство теоремы 2 о существовании и единственности р.р., поэтому оно не приводится.
Задача (2) определяет оператор проецирования |
PD) заданный |
|
на всем пространстве Sn9 с областью значенийDn =PD(Sn) . |
||
Л е м м а 6. Пусть и Е D - любой элемент, е > |
0 - произволь |
|
ное число. Существует п0(е\ и) такое, что для |
всех п > п0 най |
|
дется элемент ип Е Dn, для которого | и - ип | < |
е. |
|
Эта лемма показывает, что множество Dn обладает определен ными аппроксимативными свойствами по отношению к множе
ству D. |
|
|
|
|
|
найдутся п0(е; и) и элемент |
|||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
В силу |
(1) |
|||||||
v„ Е Sn |
(п > п0) такие, |
что | и |
- |
v„\ < |
е (п > |
п0) . Так как |
|||
IP o vn - |
и\ |
< \ип - |
и\ |
< е, |
то, |
очевидно, можно положить |
|||
w* = PD v'n- |
7. Операторы А и L |
совокупно замкнуты на мно |
|||||||
Л е м м а |
|||||||||
жествах Dn (п= 1 ,2 ,... ) . |
|
|
|
|
|
|
|||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Действительно, |
пусть |
последователь |
||||||
ность элементов uk Е Dn (Л = 1 , 2 , . . . ) такова, что |
|
|
|||||||
uk -+u0, |
Аик ~*fo, |
Luk -*g0, |
к -+<*>. |
|
|
(3) |
|||
В силу совокупной замкнутости операторов А |
и |
L на D из |
|||||||
приведенных соотношений следует: и0 Е D, |
Ди0 = /о , |
£ и 0 = £0- |
Таким образом, надо доказать лишь, что и0 Е Dn. Так как Е Z>„,
то найдутся элементы |
vk G |
такие, что |
ик ~ PD Vk> |
2 , . . . |
|
Этим условием элементы и* определяются, вообще говоря, неод нозначно. Поэтому определим оператор проецирования Qn на подпространство Sn следующим образом:
\Q „ v - v\= inf \ y - v \ , v e D AL. у €=Sn
Возьмем в качестве элементов vk проекции элементов ик на под пространство Sn> т.е. vk = Qnuk. Известно (см. далее лемму 9), что оператор проецирования на подпространство является непре рывным. Поэтому, переходя к пределу по к , получаем существо вание элемента v0 = QnUo. Это соотношение влечет равенство Wo =PD VO-
36
Т е о р е м а 13. Вариационная |
задача: найти элемент и& Е Dn |
так, чтобы |
|
inf Фа [и]=Ф л К ] > |
(4) |
uE:Dn |
|
имеет решение, и притом единственное.
Доказательство следует доказательству теоремы 2 существо вания и единственности р.р. При этом надо учесть, что роль DAL играет подпространство S n, а роль множества —множество Dn.
Аналогично |
предыдущему |
устанавливаем: чтобы |
элемент |
и£ Е Dn был |
решением (4), |
необходимо и достаточно |
выпол |
нение для любого w Е Dn вариационного неравенства Эйлера:
{Аиа A ( w - u ”))F + |
|
+ a (Iw 2 - g , L(W - U2))G >0 VwGDn. |
(5) |
Для оценки уклонения элементов и£ от регуляризованных ре шений иа положим v = и£ в вариационном неравенстве (1) § 3,
w = н>2 = Р ойпиа в неравенстве |
(5) и сложим оба неравенства. |
||
После несложных преобразований получаем оценку |
|
||
\иа - и ^ \ 1 ^ |
\\А(йа - UV )\\2F + allZ,(wa - и ^ )\\2с |
< |
|
< 04w" |
Л(ма - < ) ) F |
- g , L(ua - |
W2 ))g . |
Преобразовывая очевидным образом ее правую часть и применяя неравенство Коши —Буняковского, получаем
\иа |
|
(I\A(u* - w a )llF + I\Aua - f \ \ F)\\A(ua - wJJ)llF + |
||
+ а(1Щи" -иа)\G + IILua -glG)lL{ua - w^)\\G . |
||||
Используя элементарное неравенство аЪ < |
(а2 + |
Ь2)/ 2, имеем |
||
\й<х - |
W «la< |
\йа - VV^Ia +2llAwa - / l l F M(Ma - |
wJJ)llF + |
|
+ 2 e l L f i e - g l G I I ( 2 e - w S ) l G . |
|
(6) |
||
Заметим, что в лемме 6 можно взять элемент ип = PD QUU- Тогда |
||||
в силу |
этой леммы lim \и - ип \ = 0 |
VM Е /). Аналогично |
||
|
|
П-+оо |
|
|
lim I йа —w£l |
= 0, и поэтому справедлива |
|
|
|
п-+°° |
|
14. Пусть параметр регуляризации |
а = а(п) > 0 |
|
Т е о р е м а |
||||
выбран так, чго выполнено условие |
|
|
||
‘ \иа —Qnиа | |
|
( 7) |
||
hm ------------------ |
|
|||
п-> °° |
а(я) |
|
|
|
37
Тогда при ип=
Игл | ип - i / | = 0, |
(8) |
где и - решение основной задачи.
Эта теорема показывает принципиальную возможность построе ния приближений к решению основной задачи на базе минимиза ции функционала Фа [и] на множестве Dn.
Нетрудно показать, что задача минимизации Фа [и] на Dn сво дится к конечномерной задаче выпуклого программирования и, следовательно, может быть эффективно решена соответствую щими методами [119]
Аналогичное утверждение можно доказать и при условии, что элементы / , g и операторы А и L возмущены. В частности, пусть
и£ ~ решение задачи (4) при возмущении указанных параметров
втом смысле, как это определялось выше.
Те о р е м а 15. Пусть параметр ot = ot(5, /7) согласован с Ь и //, как это требуется в теореме И. Тогда справедливы следующие предельные соотношения:
lim |
lim |
| и” |
- и | = 0, |
о = (6, т, h, t) |
(9) |
о-*0 |
|
|
|
|
|
2. |
Условие |
согласования (7) трудно |
проверять на практике, |
||
так как |
оно |
зависит от |
р.р. иа. Рассмотрим частный, но важный |
случай vL =0. Тогда иа =й и соотношения (6) принимают вид
|
|
( 10) |
Итак, |
скорость |
стремления приближений и” (при а = 1 ) крещ е |
Л |
задачи полностью определяется скоростью стрем |
|
нию и |
основной |
ления элементов //„, т.е. свойствами решения основной задачи и аппроксимирующих пространств Sn (/? = 1 , 2 , . . . ) .
Далее предположим, что известны /*„ 0 такие, что
\ u - Q „ u \< r „ . /7 = 1 .2 ,... |
(П) |
|
Тогда справедлива |
|
|
Л е м м а |
8. Если известна оценка (1 Г), то |
|
. А А |
гп, |
( 12) |
| и - ип | < |
где йп =PDQ„u.
38
Доказательство леммы 8 опирается на следующую лемму : Л е м м а 9. Для любых и%v ^ D AL справедлива оценка
\PDU- PDV\< \ и - v\, |
(13) |
т.е. оператор PD - сжимающий.
Действительно, как нетрудно показать, чтобы элемент PD U £ D был решением задачи (2), необходимо и достаточно выполнение неравенства Эйлера:
(APD U - Ли, A(z ~ P D U ))F +
+ {LPD U - Lu%L(z - PDu))a > 0 |
Vz G D. |
(14) |
Запишем аналогичное неравенство для элементов PDV (V Е DAL У |
||
(АРо v - А и, А (и - Ро u))F + |
|
|
+ (LPD v - Lv, L(\v - PDv))G > 0 |
VwGD. |
(15) |
Полагая z = PDv в (14), w = PD u |
в (15) и складывая получен |
|
ные неравенства, имеем |
|
|
I PD*U - PD v 12 ^ |
|
|
< (A(PD U ~ Ppv). A(v - u )) F + (L(PDu - PDv), |
L (v - u ) ) a . |
Применяя здесь неравенство Коши-Буняковского, имеем (13). Лемма 9 доказана.
Замечая, что U =PQU, |
и используя |
условие |
(11), |
получаем |
||||||||
(12). Лемма 8 доказана. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Заметим, что мы получили |
оценку |
точности |
аппроксимации |
|||||||||
|
А |
|
|
/\ |
|
|
|
|
|
|
точность |
|
элемента и элементом ип из множества и п, зная лишь |
||||||||||||
его аппроксимации на подпространствах Sn. Это |
тем |
более важ |
||||||||||
но, что оценка |
не зависит от природы |
элементов |
множества D и |
|||||||||
самого этого множества. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Следствием приведенных рассуждений и оценки (10) является |
||||||||||||
Т е о р е м а |
|
16. Пусть vL = 0 |
и аппроксимирующие простран |
|||||||||
ства Sn таковы, |
что для |
решения и |
основной задачи |
известна |
||||||||
оценка |
точности аппроксимации |
(11). Тогда для отклонения р.р. |
||||||||||
На (при |
а = 1 ) |
отрешения основной задачи справедлива |
оценка |
|||||||||
точности |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\и - и£ | < |
r n + V 2 IIА ГУ 2. |
|
|
|
|
|
|
(16) |
||||
З а м е ч а н и е . |
Если наряду |
с |
= 0 также и |
^ |
=0, |
т.е.ос |
||||||
новная задача совместна, то из (16) следует лучшая оценка: |
|
|||||||||||
\и - и £ \ < |
гИу |
л = 1 ,2 ,----- |
|
|
|
|
|
|
|
т.е. скорость сходимости приближенных решений и£ к элементу
39
и определяется точностью аппроксимации элемента и элементами подпространства S n.
3. Обратим внимание на следующее обстоятельство. В случае vL - 0 основная задача сводится к отысканию решения операторно го уравнения
Lu=g |
(17) |
при условии |
|
и е и г, |
(18) |
которое можно трактовать как обобщенное ’’граничное” условие. При существовании (единственного) решения и, удовлетворяю
щего ’’граничным” условиям (18) и уравнению (17), ранее бы ло показано, что задача отыскания этого решения сводится к ми нимизации функционала
Ф[м] = \\Аи - f\\F + II Lu -g^Q, u€D.
Замечательной особенностью здесь является то, что мы мини мизируем функционал Ф[м], не заботясь, вообще говоря, об удов летворении элементами множества D ’’граничных” условий (18). Это же обстоятельство нашло отражение в том, что аппроксими рующие подпространства S n удовлетворяют лишь весьма общим
условиям полноты (I), |
что |
позволяет |
строить подпространства |
|||||
Sn как линейные оболочки |
линейно |
независимых |
элементов |
|||||
со", со",. • - , <^п , со" Е D, не удовлетворяющих ’’граничным” усло |
||||||||
виям (18). Это |
существенно |
облегчает процесс |
построения |
|||||
аппроксимирующих подпространств. |
|
|
|
|||||
Аналогичная |
|
рассмотренной ситуация имеет место |
и в общем |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
А |
|
случае при нахождении регуляризованных решении иа путем ми |
||||||||
нимизации функционала Фа [и] на множестве D. |
|
|||||||
Продемонстрируем изложенное примером. |
|
|||||||
П р и м е р . |
Пусть пространство Н |
= |
[а, Ь] наделено нор |
|||||
мой |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d nu |
|
|
I02 |
|
|
|
w00 |
|
Ас" |
|
|
|
|
|
а оператор Л о , |
действующий из |
в |
L 2, имеет вид |
|
||||
|
ь |
|
|
а < х < Ь 9 |
|
|
||
Л0м = /* < а\5)1/«)</{, |
|
|
||||||
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
где ядро к(х, |) |
квадратично суммируемо по Лебегу: |
|
||||||
/ |
/ к2(.х, %)dxd% < |
|
|
|
|
|
||
а |
а |
|
|
|
|
|
|
|
40