книги / Решение некоторых многоэкстремальных задач методом сужающихся окрестностей

Техническая задача состоит в том, чтобы выбрать такой порядок размещения лопаток на диске с постоянным угловым шагом, кото* рый давал бы значение суммарного небаланса, лежащее в допустимых пределах. Обычно эту задачу трактуют как задачу минимизации суммарного небаланса, а процесс ее решения прекращается как только получена достаточно точная балансировка. Однако, как нетрудно заметить, такая постановка не является корректной с ма­ тематической точки зрения, так как в действительности статичес­ кие моменты лопаток могут быть такими, что их, в принципе, нель­ зя разместить так, как того требует техническая задача. Поэтому данную 'задачу следует ставить следующим образом: определить такой порядок размещения лопаток на диске, при котором суммар­ ный небаланс был бы минимальным или не превышал бы некоторую заданную величину.

В настоящее время сформулированная задача решается на тур­ бинных заводах главным образом «вручную». При этом вследствие того, что число лопаток в одной ступени паровой турбины может

достигать двухсот, высококвалифицированный инженер		тратит на
«компоновку» ступени один-два рабочих дня	и при этом чаще всего
не добивается такой степени балансировки,	которую	дает пред­
лагаемый способ решения.

Вработе [5J предложен алгоритм решения задачи размещения лопаток, основанный на разложении в ряды Фурье. Этот метод дает хорошие результаты при условии, что распределение статических моментов отдельных лопаток близко к гауссову. Кроме того, метод, описанный в работе [5], эффективен лишь для небольшого числа лопаток (порядка 10—20). Такое количество лопаток характерно для гидротурбин.

Впаротурбостроении число лопаток значительно выше. Попытки распространить на паровые турбины метод работы (51 оказались неудачными. Использование «слепого» случайного поиска для урав­ новешивания лопаток, устанавливаемых на диски паровых турбин, также явилось не эффективным (соответствующий пример приведен далее).

При решении задачи о порядке размещения лопаток на диске па­ ровых турбин высокоэффективным оказался метод сужающихся окрестностей. Преимущества этого метода по сравнению со всеми остальными способами уравновешивания становятся тем нагляд­ нее, чем больше количество лопаток, устанавливаемых на диск.

Перейдем к математической постановке задачи уравновешивания. Суммарный небаланс ступени в предположении об идеальной сба­ лансированности диска определяется как квадратный корень из сум­ мы квадратов моментов отдельных лопаток относительно двух вза­ имно перпендикулярных осей.

Лопатка со статическим моментом М{, которая расположена под углом ф* к оси х, относительно оси х имеет момент Mt cos ф6, а относительно оси у — момент М( sin %. Считаем, что лопатки

121

устанавливаются по ободу диска с равным угловым шагом. Для п

2л

лопаток шаг равен ф = — .

Пусть лопатка со статическим моментом М( размещается с поряд­ ковым номером kt. Тогда соответствующий угол относительно оси

X

ф*/ =	2jikj	(4.1)
	п
Поэтому, если лопатки расположены в порядке [къ k2,		kn}, то
суммарный небаланс ступени определяется формулой
М = ^ Д М( cos j	| Д Mt sin ф*(j j '' .	(4.2)

Отсюда видно, что значение суммарного небаланса однозначно опре­ деляется перестановкой символов К = (ku k2, ..., kn).

Следовательно, небаланс М можно рассматривать как функцио­ нал, заданный в пространстве перестановок:

М = М l(klt

, kn)).

Практическая задача балансировки диска формулируется следую­ щим образом.

Задача 4.1. Найти какую-либо перестановку К = (ku k2, ..., kn), для которой функционал М, заданный соотношением (4.2), прини­ мает значение, не превосходящее фиксированного числа М*.

Идеализированная задача балансировки формулируется в сле­ дующей постановке.

Задача 4.2. Найти перестановку К0 = (&?, ...» kn), на кото­ рой функционал (4.2) принимает минимальное значение. Тогда при решении задачи 4.1 балансировки дисков турбин можно поступить следующим образом. По алгоритму 3.1 решаем задачу 4.2, но по­ иск лучшей перестановки прекращаем как только найдена переста­ новка, на которой функционал М принимает значение меньшее или равное /И*. Если же основной интерес представляет не решение практической задачи, а иллюстрация возможностей метода сужаю­ щихся окрестностей, то поиск по алгоритму 3.1 ведется до конца.

Заметим, что постановка практической задачи в форме задачи 4.2 не представляет интереса. Хотя можно поставить цель получе­ ния наилучшей возможной балансировки, а не такой балансировки, при которой М (К) < М*, но при этом следует учесть, что статичес­ кие моменты Mt отдельных лопаток измеряются с определенной точностью. Получение значений суммарного небаланса, меньших этой точности, очевидно, лишено практического значения.

На практике статические моменты лопаток измеряются на моментных весах с точностью до одной единицы моментных весов. Эта единица равна 5 г. Все приведенные ниже результаты измерений, относящиеся к рабочим колесам турбин, выражены в единицах мо­ ментных весов. При этом следует иметь в виду, что моментные весы

122

измеряют не абсолютную величину статического момента лопатки, а разность между статическим моментом данной лопатки и статичес­ ким моментом одной заранее фиксированной лопатки. Покажем, что это не влияет на вид функционала (4.2).

Обозначим момент фиксированной лопатки L. Тогда новый функ­ ционал имеет вид

М =	{	Д	~ L ) cos 4>*i]	+	[ ДW i —		L ) sin Ф*;] }		(4.3)
Преобразуем величину, стоящую в фигурных скобках:
-	^		"12	г	^		*j2
	2	(Mt — £)cos<pJ +			2	(Mi — L) sin		=
= 2 2		NM t ~	L) ( M > ~ L) (cos v u			i cos ф*, +	sin ф*/ sin ф*/)1 =
;=i ,=i

nn

=2 2 M‘M>(cos v*tcos Ф*/ + sin ф*( sin vtf) — i=i /=i

—

2 L

2 M

i 2 (cos Ф*/cos Ф*/ + sin

sin Ф*/) +

i=l

/=1

rc

n

/ л

\ 2

+ 22 2 (cos */cos*/+ sin */sin ft,)=

\£2

M i

cos *« +

L г=1

/=1

ф

ф

ф

ф

=1

ф /

\2

2

Af, cos<pft.

cos <p*. —

+

2

^ s i m M

— 2L

I=1

cosФ*/|

/=i

J

— sin Ф*г 2 sin Ф*/) +

L2

(Д

+

(Д

•

(4-4)

Вследствие того что К =

(klt

k2f

&„) — перестановка из n

сим­

волов,

2

C0S(Pfe/ =

S

c°S(Pt-

(4.5)

i=l

i=l

Воспользовавшись формулой

(4.1),

получим

2

с°5ф*, =

2

c o s - ? - .

(4-6)

1=1

(=1

п

Аналогично находим

2 sinft) = 2 sin^ -

•

(4.7)

<=|

1=1

п

Из формул конечного суммирования [67] следует, что

£

c“

^

= I ! sin~ r

=

°-

(4.8)

£=1

П

123

Из формул		(4.3) — (4.8)		получаем
		М =	М, cos <p*tj +		М, sin <р,
С учетом	формулы		(4.2)	находим,	что М = М. Таким		образом,
показано,	что значение суммарного				небаланса	не изменится, если
в формулу		(4.2) вместо		истинных	статических	моментов	М( под­

ставить разность между статическими моментами данной и некоторой фиксированной лопаток.

Для решения задачи 4.2 использовался метод сужающихся ок­ рестностей. Процедуры AIM, INPUT, OUTPUT и BORDER для данной задачи оформлены в виде программ TURBIN, INTURB, OUTTUR и BORTUR соответственно. Приведем тексты этих прог­ рамм.

SUBROUTINE TURBIN

С

с* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

с

СПРОГРАММА ПРЕДНАЗНАЧЕНА ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ НЕБАЛАНСА

СПО ЗАДАННОМУ ПОРЯДКУ СЛЕДОВАНИЯ ЛОПАТОК

С

СОПИСАНИЕ ПАРАМЕТРОВ:

СZ — СУММАРНЫЙ НЕБАЛАНС

С10 — ПОРЯДОК СЛЕДОВАНИЯ ЛОПАТОК

СМА - СТАТИЧЕСКИЕ МОМЕНТЫ ЛОПАТОК

С С - КОСИНУСЫ ПОСАДОЧНЫХ МЕСТ

СS — СИНУСЫ ПОСАДОЧНЫХ МЕСТ

С	*********************************************************************
с
с	COMMON			/INNE/ N	/MENE/ 110(300), 10(300)
	*/NEME/		Z (INTU/		C(300),S(300),MA(300)
	A1 =	0.	,
	A2 =	0.
	DO 1	I =	1,N
	К =	10(1)		MA(K)*C(I)
1	A1 =	A1 +
	AZ =	A2 +		MA(K)*S(I)
	Z =	SQRT		(A1*A1 +	A2*A2)

RETURN

END

SUBROUTINE INTURB

C

c*********************************************************************

СПРОГРАММА ПРЕДНАЗНАЧЕНА ДЛЯ ВВОДА

СИНФОРМАЦИИ О СТАТИЧЕСКИХ МОМЕНТАХ ЛОПАТОК

С И ВЫЧИСЛЕНИЯ СИНУСОВ И КОСИНУСОВ ПОСАДОЧНЫХ МЕСТ

С	*********************************************************************
с
с	COMMON /INNE/ N /INTU/ МА(ЗОО) /TURB/ C(300),S(300) /ADIN/ EPS
.
	DATA (PI = 3.141592)

124

READ 101,N

READ		105,EPS
READ		102,(MA(I),I= 1,N)
P =	2.*PI/N
DO 1		I = 1,N
В =	P*1
C(I) =		COS (B)

1S(I) = SIN (B) PRINT 106,EPS PRINT 103,N

PRINT 104,(I,MA(I),I = 1,N)

RETURN

101FORMAT (13)

102FORMAT (2014)

103FORMAT (//45X/HA ДИСК ТУРБИНЫ СТАВЯТСЯ', *'МОМЕНТЫ ЛОПАТОК7//41Х,'СТАТИЧЕСКИЕ',

2'МОМЕНТЫ ЛОПАТОК ЗАДАНЫ В ТАБЛИЦЕ') 104 FORMAT (8('А (',13/)= М 4/,',2Х ))

105FORMAT (F5.3)

106FORMAT (5Х, 'УДОВЛЕТВОРИТЕЛЬНОЕ ЗНАЧЕНИЕ РАВНО',F5.3) END

SUBROUTINE OUTTUR

n o o n n o o

*********************************************************************

ПРОГРАММА ПЕЧАТИ ЛУЧШЕГО РАСПОЛОЖЕНИЯ ЛОПАТОК

*********************************************************************

COMMON /INNE/ N /MENE/ KOR(300),III(300) /INTU/ МА(300) */KISE/ BZ

DIMENSION MB(300)

PRINT		106,BZ
DO 2 К =			1,N
j =	KOR(K)
2 MB(K) =		MA(J)
PRINT		101		1
KN = (N -			1)/16 +
DO 1	K «		1,KN
PRINT		102		1
I B =	(K -		1)*16+
I B =	I B +		15

PRINT	103,(1,1 * IB,IE)
PRINT	104,(KOR(I),	I =* IB,IE)
PRINT	105,(MB(I),I -	IB,IE)

1CONTINUE RETURN

101FORMAT (///46X ,'ТАБЛИЦА ЛУЧШЕГО РАСПОЛОЖЕНИЯ ЛОПАТОК'//)

102FORMAT///)

103FORMAT (IX/1HOMEP МЕСТА !Г,16(13/ !')) -

104FORMAT (IX,'Г НОМЕР ЛОПАТКИ !!',16( 13/ !'))

105FORMAT (IX,'! СТАТ. МОМЕНТ !!',16(13/1 '))

106FORMATS 5Х,'СУММАРНЫЙ НЕБАЛАНС PABEH',F10.4) END

SUBROUTINE BORTUR COMMON /SEВО/ ETA ETA=0.

RETURN END

m

							Т а б л и ц а	4.1
i	1	2	3	4	5	6	7	8
M i	19	—5	—36	49	2	22	12	37
i	9	10	11	12	13	14	15	16
M i	7	—24	20	—9	25	—26	—69	7
i	17	18	19	20	21	22	23	24
M i	5	2	—46	—40	—26	12	8	—11
i	25	26	27 ,	28	29	30	31	32
M t	48	—7	—18	7	13	3	5	—9
i	33	34	35	36	37	38	39	40
M i	—25	19	3	—10	3	—2	14	—10
i	41	42	43	44	45	46	47	48
M i	—4	17	—53	—38	—30	48	77	11
i	49	50	51	52	53	54	55	56
M i	— 14	30	—14	—9	11	—63	—4	16
i	57	58	59	60	61	62	63	64
M i	—26	—42	13	9	0	11	—31	—3
i	65	66	67	68	69	70	71	72
M i	—41	—18	42	—14	—30	6	17	22
i	73	74	75	76	77	78	79	80
M i	—16	—33	—28	17	5	0	—7	—2
i	81	82	83	84	85	86	87	88
M i	—55	—6	7	0	—9	—27	—6	29
i	89	90	91	92	93	94	95	96
M i	61	27	46	19	53	27	—26	—19

126

Рассмотрим следующую практическую задачу. Пусть на идеаль» но сбалансированный диск турбины нужно установить 96 лопаток, статические моменты которых приведены в табл. 4.1. Эти моменты измерены в единицах моментных весов. Необходимо получить такое размещение лопаток на диске, при котором суммарный небаланс не превышал бы одной единицы моментных весов.

Для исследования возможностей метода сужающихся окрестное» тей в различных модификациях поставим более общую задачу полу» чения минимального небаланса, т. е. вместо задачи 4.1 будем рас­

сматривать задачу 4.2. Приведем несколько вариантов	решения.
I вариант. Используем гипотезу о логнормальном	характере

.закона распределения. Программа LENGTH при этом выбирает чис­ ло бросков в серии равным 62. Лучшее значение небаланса, полу» ченное при работе этой программы, равно 37,82. Было просмотрено 72 значения функционала. Время работы программы LENGTH со­ ставило 2 с.

Пространство перестановок будем метризовать с помощью транспо­ зиционной метрики (глава вторая, § 6), а радиусы шаров уменьшать, пользуясь рядом Фибоначчи. Размещение с суммарным небалансом меньшим единицы, т. е. решение технической задачи, получено на 1428-м броске через 31,8 с после начала счета. Результаты приме­ нения метода сужающихся окрестностей при таком подходе приве­ дены в табл. 4.2. В ней, а также во всех последующих аналогичных таблицах графы «лучшее значение», «математическое ожидание» и «стандартное отклонение» относятся к рассматриваемой серии брос­ ков (в данном случае речь идет о 62 значениях функционала (4.2)), Графа «среднее по режиму» содержит математическое ожидание всех значений функционала, полученных при выборе перестановок из шара данного радиуса. Заметим, что общее время счета составило 43,4 с., всего было просмотрено 1736 значений функционала.

Лучший порядок размещения лопаток, соответствующий неба­ лансу 0,43, показан в табл. 4.3. При этом для наглядности приве­ дены не только номера лопаток, но и соответствующие статические моменты.

Отметим для сравнения, что лучший небаланс, полученный пос­ ле 1736 бросков случайного перебора, равен 5,82.

И вариант. Используем гипотезу о том, что закон распределе­ ния значений функционала является нормальным. В этом случае программа LENGTH выбирает число бросков в серии равным 56. Лучшее из просмотренных 60 значений функционала равно 27,87, время работы программы LENGTH составило около 2 с.

Метризуем пространство перестановок с помощью инверсной метрики (глава вторая, § 5), а радиусы шаров будем уменьшать вдвое. Решение технической задачи получено на 1247-м броске через 360 с после начала счета. Ход поиска при указанных условиях отра­ жен в табл. 4.4. Общее время счета равно 442 с, всего рассмотрено 1960 значений функционала. Лучший порядок следования лопа­ ток, при котором небаланс равен 0,02, представлен в табл. 4.5.

127

					Т	а б л и ц а 4.2
Ради ус	Л учш ее	зн а ­	Среднее по	М атематиче­	С тандартное	В ероятность
ш ара	чение в	серии	р еж и м у	ское о ж и д а ­	отклонение	улучш ений
				ние

89	38,56	234,45	120,78	0,051
89	20,64	218,02	104.11	0,049
	18,61	226,23	115,81	0,042
55		211,20
55	16,73	193,76	94,72	0,037
		202,48		0,029
34	12,16	214,12	122,48
34	25,51	213,80	101,93	0,045
34	26,98	210,26	98,34	0,019
		212,73
21	5,48	202,26	92,24	0,031
21	22,12	179,05	89,05	0,030
		190,65		0,076
13	19,79	168,58	84,38
13	33,24	140,02	81,44	0,033
		154,30		0,081
8	23,57	138,62	82,40
8	26,58	119,09	55,23	0,056
		128,85	51,94	0,084
5	13,34	99,69
5	16,13	98,65	49,95	0,073
		99,17
3	5,0	70,31	53,86	0,137
3	13,36	70,43	42,45	0,145
3	10,17	88,66	55,58	0,156
3	7,51	83,01	52,66	0,112
		78,10	54,04	0,173
2	5,93	69,05
2	2,36	65,78	50,66	0,146
		67,41
1	0,76	34,34	33,66	0,117
1	0,49	32,12	28,81	0,148
		33,23
1	0,49	36,30	29,97	0,179
1	0,43	54,04	53,31	0,202
1	1,63	36,47	30,82	0,163
		42,27

128

Лучший результат, полученный после 1960 вычислений по мето­ ду Монте-Карло, равен 7,59.

Приведем лучшие значения суммарного небаланса, полученные при использовании различных модификаций метода сужающихся окрестностей. Эти модификации соответствуют разным способам метризации пространства перестановок, различным способом изме­ нения радиуса и двум гипотезам о характере закона распределения.

Заметим, что указанные в табл. 4.6 и 4.7 данные получены усреднением результатов пяти различных расчетов по каждой моди­ фикации. Эти расчеты отличались друг от друга взводами датчика случайных чисел.

В табл. 4.6 приведены лучшие значения суммарного небаланса

в	случае гипотезы о	логнормальном характере при	62-х бросках
в	серии, а в табл. 4.7	— лучшие значения небаланса,	соответствую­

щие гипотезе о нормальном законе распределения при 56-ти бросках в серии.

Анализ табл. 4.6 и 4.7 позволяет дать следующие рекомендации по использованию метода сужающихся окрестностей для размеще­ ния лопаток на диске рабочего колеса турбины.

Следует выбирать гипотезу о нормальном характере закона рас­ пределения и транспозиционную метризацию пространства пере­ становок, а радиусы шаров необходимо уменьшать по формуле 3.63).

§2. Установка лопаток на диске турбины

сучетом технологических

ограничений

В приведенной в предыдущем параграфе постановке задачи раз­ мещения лопаток на диске турбины не учитываются некоторые осо­ бенности, связанные с изготовлением и испытанием турбин. Пере­ числим эти особенности, укажем на изменения, которые они вызы­ вают в постановке задачи, и на модификации, которые нужно ввести в соответствующие программы и алгоритмы.

Некоторые новые постановки характерны не только для задачи об установке лопаток. Соответствующие математические модели пред­ ставляют интерес и в других прикладных задачах.

Отметим прежде всего, что существует два основных способа установки лопаток на диск турбины, а именно: тангенциальная (или продольная) и аксиальная заводка.

При аксиальной заводке каждая лопатка устанавливается неза­ висимо от других на отдельное «посадочное место». При этом'способе установки лопаток могут появиться следующие ограничения. Запрещается устанавливать на соседние места такие лопатки, стати­ ческие моменты которых отличаются больше, чем на фиксированное число А. Это ограничение связано с прочностью конструкций. Если разность статических моментов соседних лопаток превышает Д , то напряжение на зубец, лежащий между этими лопатками, может

9

9—961

129

Номер места	1	2	3	4	5	6
Номер лопатки	48	53	26	85	79	62
Статический момент	11	11	—7	—9	—7	11
Номер места	17	18	19	20	21	22
Номер лопатки	4	16	76	35	44	69
Статический момент	49	7	17	3	—38	—30
Номер места	33	34	35	36	37	38
Номер лопатки	41	77	25	55	75	Д5
Статический момент	—4	5	48	—4	—28	—69
Номер места	49	50	51	52	53	54
Номер лопатки	96	22	54	47	46	51
Статический момент	— 19	12	—63	77	48	— 14
Номер места	65	66	67	68	69	70
Номер лопатки	59	67	52	84	73	61
Статический момент	13	42	—9	0	—16	0
Номер места	81	82	83	84	85	86
Номер лопатки	18	29	38	45	32	43
Статический момент	2	13	—2	—30	—9	—53

	Радиус	Л учш ее зн а­	С реднее по	М етематиче-	С тандартное	В ероятность
					отклонение	улучшений
	ш ара	чение в серии	реж им у	ское ож идание
	2280	11,17		224,24	124,86	0,044
	2280	32,08	205,98	187,73	95,73	0,033
	1140	38,09		189,74	108,12	0,049
	1140	8,18	200,58	211,43	98,37	0,019
	570	42,81		169,93	68,41	0,009
	570	21,37		167,17	88,76	0,037
	570	21,90	169,96	172,77	87,27	0,030
	285	19,89		112,02	52,42	0,024
	285	12,90		105,08	53,37	0,035
	285	2,15		101,71	66,11	0,066
	285	17,53	103,20	93,99	57,71	0,056
	142	5,52		75,42	36,95	0,024
	142	9,02		72,35	38,67	0,035
	142	5,91		72,91	43,37	0,051
	142	8,60	72,31	68,56	39,72	0,047
	71	10,34	46,33	50,30	28,39	0,045
	71	3,39		42,36	19,38	0,019

130