книги / Скоростное деформирование конструкционных материалов

+ c K		+ f , + i + K _ i . /+ * ) j
					/ + ± + C i . . , + ± +
+ ' ( w ; + j . ( + r c						i , , i |
	если		x = c t> 0,			x — e t c 0;		(8.11)
vz — (vz)n., l	i i		т	=	T" I	i ,	если	x - c i > 0 ;
M -	2 • / -I- 2				t + у		7 + T
Vz = (Vz)n_\_	J_,	+	T	=	Tn i	1 ,	если	* + c /< 0 .
1	2 ’ 7		2			~~ 2‘ T	’ 7

Подставляя (8.7) — (8.11) в (8.6) и обозначив полученные величины

через	k = 1, 2, ..., 6, получим
	C	i -	f i -	(8. 12)
Аналогично определяются		величины (Й)" + Т Л = 1.......6; i =
= 1, 2,	..., М; / = 1 ,2 .......L — 1.		В этом случае решается следую­

щая одномерная задача о распаде произвольного разрыва в линейно­ упругой среде: в плоскости t, х в момент времени t = 0 заданы сле­ дующие величины:

°‘ = K + - L . / + 2- ’
	2 ’	' т	2
«г = («г)" 1	. ,	1 »
‘-I- 2	• '+ 2
II	т	т
^ = K + - L , I - L '
+ 2	’ 7	2

^	=	К	+ ±		, + j_>
			+ 2 ’		7 + 2
т =	т"	1		1	,	X> 0,
	£+т* 7+ т
ог = {аг)п ,				’	7	1 ,
			2			2
т = т"		1	7	1		Л' < 0.
	*+ 2 •			2

Требуется найти функции ц2, vr, <JZ т при / > 0, —ОО < X С < + оо. Ввиду очевидности дальнейших преобразований они не приводятся.

„ + JL		п+ _!_
Для определения величин ($)	i	(/з). i2 . в ячейках, ле-
* +	Т * 7	, + Т * 7

жащих на границе расчетной области, используются известные в за­ даче граничные условия. Опуская промежуточные выкладки, выпи­ шем окончательные выражения:

/ = 0, t = l , 2 ......... М - 1 (z = 0, 0 < г < /?а);

, = < < + ■ . . 4 . +

241

( Ч

+

4

- .

о

='*

2 K

+

4V -'

i

+

(° z)" +

т"

1

п + Т

л

I Т = 0;

л

< 4 + i . = 0 '

*+-5-. 0

>'.-4

- » = 0 '

Т(+т -

1 =

М !,

/ =

0,

1 ,2 ,

. . . .

L

—

1,

(г =

#1,

о <

z <

# i ) ;

п+4-

' + т

ГЧ . / + -5*

' Т

- сх

1

II

/ + -а-

"+ т

1 =

0;

< ч , , . ; + ± = ° ’

/ _ 1 »

i = 0 , 1 , 2

Ма — 1,

(z = //, +

*/,,,

0 < r < R ,)

( ч + { , , = к + ± .

t , _ ± ;

н

+7 . , , = к + ' , , _ , - ( Ч + '

Л+ т

=

0,

« + Т

=

0.

(ff2)

I2

x

1

VZ/i+ 4-. L,

*•+4-.

Д л я расчета точек, лежащих на оси симметрии, принимается: Vr = 0, т — 0. Расчетные формулы имеют вид:

о

1

(г = 0, 0 < Z < H X + H 2)

х 2 1 = 0 ; 0 ./+ 4 -

= « 1 .	; + х>	(Ч . / + 4- = ^ Т * / + т
2 ’	2

Выписанных выше соотношений достаточно, чтобы по известным в момент времени t = п А/ значениям

К	+±. , 4 ’	K V -i-. /+4-’	К + 4 - . ,+
К	+4, /+ i->	(аф)"+-|-. /+4-’	т"+4- /+■

242

вычислить те же величины

В момент времени t' = (п + 1) At при i = О, 1, .... М2 — 1, / =

=О, 1, 2, .... L2 — 1.

Покажем, что представленная выше разностная схема устойчива,

если выполняются условия

В пространстве сеточных вектор-функций

Рц={(Рг)и. (Vzhj, (or)tj> (Ъ)и> К Ь > ъц\

введем норму

I Р |2 = 2 S \.{Vrfij + (V zfij + (ffr)i/ — (G zfij -Г (СГфf i j -+- T f/].

*/

Для устойчивости разностной схемы достаточно показать, что норма сеточной вектор-функции FtJ в момент времени f = (п 1) А/ не превосходит нормы Fti в момент времени t = n-At. Уравнение (7.10) можно записать в виде

Выражения в фигурных скобках можно рассматривать как одномер­ ные разностные операторы Нг и Нгу действующие в пространствах г, t и г, t соответственно. Перепишем последнее выражение, исполь­ зуя операторы Нг и Нг\

Из этого выражения следует, что разностная схема будет устойчива, если

1 - АЦА1ГAt/Atz> 0 ,

1 HrI< 1,

I Н21< 1.

Следовательно, вопрос об устойчивости двумерной разностной схемы сводится к исследованию устойчивости «одномерных» разностных схем, определяемых операторами Нг и Нг.

243

Запишем одномерную разностную схему, определяемую операто­ ром Нг, в переменных vr, vZ) аг, а2, оф, т:

(о,)?+‘ =	ы ? +	4 г	t w + i	-	+	(!'г)‘+| ~		2 (tv)?+	(£V)“- |J;
(»,)7+1 =	(«,)? +	-| ‘f	[т?+1 -	т?_| + 2 (Ы			“+1 -	2 ы ? +	(о .)? -|)];
(a,)!+l = (ft,У! + 4^- [(»г)7+1 - («г)? +						М ж -		2Ы? + (0Г)?_,];
(®г)”+1 = Ы? + 4 г Ы7+1 -					(»,)?-. + Ы?+. -			2(о,)7 + Ы?_,) х
			х (1 - 2С2);
Ы ?+ ' = (оф)“ + 4 r			[(»,)?+, - (о,)?-. +			Ы7+. -		2 (а,)! +	М ? -.] х
			X (1 — 2С2);
.я-И ___я I		ST "	/*>2 I / \Я		/ \Я	I	^H -l	г	—I
t — Т , -j			С (l'z )j - f 1		1	" Г

Устойчивость полученной разностной схемы будет обеспечена при выполнении условия Д/2 < hx. Аналогично устанавливается устойчивость «одномерной» разностной схемы, определяемой опера­ тором Hz : Atz < h.

Окончательно достаточное условие устойчивости разностной схемы можно записать следующим образом:

u , < h , A t , < k .

8.4. МЕТОД ЛАКСА—ВЕНДРОФФА

Схема числового расчета динамических задач, предложенная П. Лаксом и Б. Вендроффом, широко используется для решения задач газовой динамики и твердого деформируемого тела как для ма­ лых, так и для больших деформаций. Для случая малых деформа­ ций схема Лакса—Вендроффа существенно упрощается и становится весьма удобной для расчета упругопластических течений в твердых телах.

Схема Лакса—Вендроффа весьма эффективна при решении ги­

перболических систем,	записанных в дивергентной	форме:
™ . +	^ - L ( W ) + - ! L M (W)=*0.	(8.13)

Решение в момент времени (п + 1) At, где At — шаг по времени, ищется в виде ряда Тейлора по степеням At

w i t ' = W1I + +

<814>

где А =1! w H ’ В = II1 W7 I ~ матРиДа Якоби.

244

Для уравнений теории упругости н пластичности с малыми де­ формациями матрицы А и В — постоянные, так что схема (8.14) существенно упрощается.

Рассмотрим далее метод Лакса—Вендроффа применительно к ре­ шению осесимметричных задач. Пусть в области В введена равно­ мерная сетка В п с шагом по пространственным переменным h и вре­

мени Дt. Пусть			Гл — множество		граничных точек сетки (?л, W =
= {IP,	W2, ....		IP} — вектор, компоненты			которого	равны	W1 =
= ur,	W2 = иг,		Wz = р,	=	е2, W5 =	е, W* =	еф, Р 7	=	<о.
Пусть	W	—	значения		W в узлах сетки г = /Л,г=			/А,	вмомен
времени / =		/г-Д/, п = 1,2,		.... W. Примем в качестве нормы сеточ­
ных функций, определенных				на Bh, следующее выражение
			|| W ||/, =	max	max \W n\.			(8.15)
				h < N	i, j £ Bh

Для определения приближенного решения сформулированной выше краевой задачи воспользуемся следующим методом. Рассмот­ рим вопрос о сходимости по норме (8.15) приближенного решения к точному решению краевой задачи. Запишем полную систему урав­ нений движения среды в следующей форме

d\V ,	л 3W ,	„ dw , ,	Л	(Л
-ЗГ +	Л - д Г + В -аГ "<-/ =		0.	(8.16)
где А и В — известные матрицы,		зависящие от вектора		W. На оси

симметрии при /' = 0 0 < z < t f 1 + / / 2 выполняются условия иГ = = т = 0. Условие т = 0 эквивалентно е = 0 и из (8.16) можно по­ лучить диг1дг = 0. Предполагая, что иг имеет вторую производную

по г при г = 0, нетрудно показать, что для		осесимметричных дви­
жений должно выполняться	равенство
^	= 0 при г = 0.	(8.17)

С учетом (8.17) получим дополнительные условия на оси симме­ трии r = 0 0 < z < : t f i - j -# 2

dp

_

dez

_

деф

__

да)

__ п

(8.18)

дг

~

дг

~

дг

~

дг

~

Нетрудно видеть, что т = 0 во всех точках,

принадлежащих

ГЛ.

Определим

значения

векторной

функции

W при

г =

0,

№7/,

/ = 1, 2

п =

1,

2, ...,

N, следующим

образом

W'!j

=

Последнее равенство аппроксимирует (8.9) с первым порядком по А

и I W'ij | = | W$j | для любого п <		N, /	=	1, 2,	...,	J. Во			внутренних
точках сетки Bh значения векторной функции					W определяются по
формуле
Wl+I = - L О П н . , +	w	u . , +	П	ж	+	г	/	.	-
- [А («7?+,., - W U . /) +	В	( П	-	« 7	7	,	-		/"Д(. (8.19)

245

Покажем, что (8.19) аппроксимирует любое решение системы дифференциальных уравнений (8.16) с первым порядком. Подставим решение (8.19) W в (8.16) и воспользуемся формулой Тейлора

W t i - - 5 - ( # ? + .. / + W U . , + # ? . / + 1 + W1,										+
+ г м + [а (#?+,., -					, ) +		в (# г . /+. -	т	.	4 г =
= 4 * (-г + л - з г + в - 1 Г + / ; + - 5 Г — -
i ал2	^	\	/г2	_	д*\У	А/2	[ д2ЦУ	d*W \		h2 .
	аг2	/	4	~	а/2	2	\ аг2	а^2	/	4 “■
			+ о(Д*2) + о (П							(8.20)

Из (8.20) следует справедливость утверждения. Для случая постоян­ ных матриц А и В и / = 0 для выполнения необходимого условия устойчивости Неймана достаточно, чтобы h и At удовлетворяли ра­ венству

\f2ciAt	< 1.	(8.21)
h

Для определения значений Wfi в граничных точках сетки Bh воспользуемся граничными условиями т = 0 и ап = 0, где оп — напряжение по нормали.

Приведем формулы, позволяющие вычислить Wq на боковой по­ верхности цилиндрических пластин: г = R lt 0 < z < г = /?, ff1 < z < H 1 + H t .

И7"4}1= - f (2Г?., +	W1. ;+| +		Г	Г .	- л ( г ?,, -		W U . ,) • £ -
- В ( п ж		-	Г?.		+ ГД/.				(8.22)
Чтобы удовлетворить	граничным			условиям,-		полагаем		e«+i = О,
а значение pjH:1 находим из равенства									’'
Ъг (Р) =	0Г(р,	(ег)?+!, О, (еф)"+у) = 0.							(8.23)
В точках z = 0, г = R lt z = Я, г = « 2, г =						Я , +	Я2. /- =		ре-
шение краевой задачи должно			удовлетворять			граничным		условиям
	or = az = т =				0.
Чтобы удовлетворить	этим	условиям,			полагаем e"+i = 0.				Опреде-
лив (и,)йИ, (иг) 1 + (еф)Г/',		0)?+',		значения pf+‘,			(ej)f+‘		найдем
из системы уравнений
|	Or (р»	6z> 0 (вф)^1) = 0
1	ъ (р ,	Sz,	0,	(еф) ? л = 0 .

246

Аналогично площадь нижнего треугольника

(Ль)" = & fa ~ ri) + z4 Оri ~ г%) + *i (г2 - г4)]п/2.

Для вычисления Ва, заметаемого верхним треугольником ячейки при вращении вокруг оси симметрии Ог, проинтегрируем элемент объема в цилиндрических координатах

Ва = | rdrdzdy = 2л J	rdrdz = 2я	Ад J rdrdz.
		Аа
Величина (1IAa) \ г dr dz представляет собой усреднение коорди-
Аа
наты г по площади треугольника,	т. е. г — координату его центра

тяжести, совпадающего, очевидно, с точкой пересечения медиан тре­ угольника, которая в свою'очередь имеет координату г = (г2 + г3 -f + г4)/3. Таким образом,

Ва = (2я/3) [(г2 гэ -(- г4) Аа]п.

Аналогично объем, заметаемый нижним треугольником ячейки, есть

Впь =(2и/3)[(г1-{-гъ-\-г4)А ь)п.

Поэтому объем (£){», ячейки Г в момент п At есть

№ ' = {Ва)п + Вь) \

Относительный объем ячейки V" вычисляется как

V"' = (р°/р)"'.

где р° — начальная площадь материала ячейки; р'1 = Мг/(В)" — текущая плотность материала в момент п A/; M lt = р° (£)f, — масса ячейки, не изменяющаяся со временем.

Для построения разностных аналогов частных производных по координатам воспользуемся формулой Грина

jP(T, z)<k+ Q<r, *)dr=JJ ( - |--- %)drdz,

d D D

где справа интеграл берется на некоторой области D, а слева — по ее границе dD.

Пусть функция Р (г, z) задана в узлах сетки. Выберем в каче­ стве области D ячейку Г расчетной сетки и положим Q = 0. По тео­ реме о среднем

t *

D

где(|, ^ — некоторая точка ячейки Г. Будем считать, что значе­ ние дР (|, т])/дг близко к значению дР/дг в центре ячейки. Интеграл —

\ Р dz разобьем на четыре интеграла вдоль сторон ячейки

dD	[2	3	4	1
	f P d z + \ P d z + \ P d z + \ P d z
248	1	2	3	4

- ~ r K a" ~ r ) l. + ( a" 4 - ) 2. + ( ° " i r ) 3. +									( CT~ 4	")«'J" :
P//f “	4	|[(0 ,r	Офф)		I' “H I(CT„		СГфф) ,4 /A f]3'
+	[(®rr — вщ)А1М\з- +				[ ( o „ -		® ф ф )
Пользуясь соотношениями				(8.25) — (8.29)			для	скоростей		деформа­
ций, получим следующие конечноразностные соотношения
(e„)i-+1/2 = (* ,I d r p '1* = -					|[(»г)г - Ы ,] (г3 - г,) -
	-	[Ы з -	(»r)]i («а -		г4)('‘+,/2/2-47-+1'2;
Ы Р ' ,г = {dvjdz)pw = {[(о,)2 -						(нг)4) (r3 -			п) -
	-	[(»г)з -	fe)il h -		г,)) а+‘‘г/2 А р ''г:					(8.29)
2 (е„)?.+|/2 =		(даг/дг + dojdrp** = ([(ог)2 -						(ty)4] (г, - г,) -
1(Иг)з		(Or)ll (Т’г		Т4)	[(о*)2	(»г)4](з3 — 2j) -(-
	+	[(»Л -	(ог)|] (* -		г4)Г+,/2/244"+|/2
Здесь д4л+1/2 = (Л"+1 +			Ап)/2 — средняя				площадь		ячейки за вре­
мя At.
Компонента ёфф тензора				скоростей деформаций					вычисляется из

уравнения неразрывности, чем достигается точное выполнение за­ кона сохранения массы

	(ёФф) ^ ,/2 = [ ^	- ё	„ - 4	гг)?;и/2;
(V7K)?tl/2 At = (ДVIV)PW =			[ ( Г +1- Г ) /К п+'/2],.,		(8.30)
где V,f,+|/2 =	(Vn+l 4. Vn)1 /2 — средний относительный объем ячейки
за At.
По соотношениям (8.29) и (8.30) вычисляются приращения де­
формаций за	время At:
	(Де„)?.+|'2 =	(е„)?.+1,2Д<,
	(Де»)1^'/2 =	(егг)?Я«Д/,			(8.31)
	(Де„) = (e„)?.+1/2 At,
	(Дефф)!'+|/2 = (AV/V -		Де„ -	Дегг)1'.+|/2.

Приращения девиатора тензора напряжений внутри зоны упру­ гости в пространстве девиаторов, ограниченной поверхностью теку­

чести Мизеса	= 2Y%	вычисляются по упругому			закону
(з„)Г-+1 =	(s„)r. +	2С[Де„ -	ДУ/ЗУ]"+|/2 +	(8„)|!,
(s„)|’,+1 =	(s«)f. +	20 [Де« -	ДУ/К1?.+|/2 +	(6„)?-,
(«фф)Г-+‘ = (Зфф)?- + 20 [Двфф - ДУ/У]?.+|/2,					(8.32)
	= (Srz)i’ "1“ 2G(Дега)?-+!/2 -|- (8»)i'-

Здесь 6„, 6Я1 6rz — поправки^ на’^поворот.

2 5 0