книги / Теория и расчет электронных пучков

дентричными цилиндрами, пересекаются через каждые'

127° (180°/j/2) (рис. 4.9). Эта фокусирующая система ши­ роко известна и была уже использована. Обычно, однако,

отклоняющие	поля		используются	в первую		очередь для
отклонения,	как,	например, в электроннолучевых трубках,
и в этом случае		фокусировка, сопровождающая отклоне­
ние, представляет			собой серьезный дефект.			Мы	видим,
				что фокусирующее дей­
				ствие	растет		пропор­
				ционально		квадрату
				углового		отклонения,
				так	что электрическое
				отклонение		становится
				все более нежелатель­
				ным, например			в элек­
				троннолучевой			трубке,
				по мере увеличения от­
				ношения диаметра				эк­
				рана	к длине.
				Допустим,			что	на
				некотором		расстоянии
Рис. 4.9. Траектории		электронов в на­		L должно		получаться
правленном наружу		радиальном элект­		полное отклонение, рав­
рическом поле фокусируются при				ное 0. Какова			должна
угле в		127°.		быть форма отклоняю­

щего поля, которая дает наименьшее фокусирующее дей­ ствие?

Мы должны, конечно, сделать cos <р= 1, т. е. электри­ ческое поле сделать нормальным к электронным траекто­ риям. Обычно именно так, по существу, и бывает. Кроме того, отклонение получается интегрированием dbjds по s, в то время как ошибка отклонения S0 получается интег­ рированием (dbjds)2 по 5. Для данного среднего значения величины квадрат этого значения будет наименьшим, если величина постоянна. Следовательно, наименьшая ошибка отклонения будет получаться с однородным полем, нор­ мальным к направлению движения и действующим на рас­

стоянии L та^, что ddjds =		QjL.	Выражая	ошибку откло­
нения через фокальную длину f,			получим	из (4.47)
	J _ __262_			(4.48)
	f	L '
Расфокусирование	при	больших угловых откло­
нениях для магнитного	отклонения обычно значительно

52

Рис: 4.10. Диаграмма, иллюст­ рирующая закон Снеллиуса.

меньше, чем для электрического отклонения. Однако когда перекрываются магнитные отклоняющие и фоку­ сирующие поля, то могут иметь место значительные и сложные аберрации.

Кроме расфокусирования пучка из-за отклонения, суще­ ствует другой отклоняющий дефект, который может быть очень неприятным; это — нелинейное отношение между отклоняющим напряжением или током и линейным или угловым отклонением пучка. Когда напряжение изме­ няется только на одной из двух симметричных отклоня­ ющих электрических пластин, то пучок ускоряется, когда пластина будет положительной, и замедляется, когда пла­ стина будет отрицательной. Таким образом, при положи­ тельных напряжениях отклонение будет меньшим, чем при отрицательных. Этот недостаток в симметрии не имеет места, конечно, при двухтактном электрическом отклонении или в случае магнитного отклонения.

4.6. ПОКАЗАТЕЛЬ ПРЕЛОМЛЕНИЯ В ЧИСТО ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ПОЛЯХ

Вообразим, что электрон проходит из области с по­ тенциалом U] относительно катода через плоскую гра­ ницу в область с потенциалом U2 относительно катода

А-----А---------------		_ д. Кулонов
		метр2
V - V ' h h	| V '= o / f

+*+ + +•+ + + + + + + + + + + + + +

Кумир!

м ет р2

Рис. 4.11. Двойной заряженный слой создает неоднородность по­ тенциала и, следовательно, изме­ няет показатель преломления.

(рис. 4.10). Физически та­ кую границу можно создать двойным заряженным слоем, как показано на рис. 4.11.

На этой плоской границе изменяется нормальная к ней компонента скорости электрона, но параллельная к пло­ скости компонента остается неизменной. Выражая элек­ тронные скорости через напряжения U, запишем послед­

53

нее условие (непрерывность параллельных компонент) в виде

	у	2Y)£7J sin	= v 2 r {U2sin 02,	(4.49)
		sin 0^__уЛ/2
		sin 02	V V X
Здесь	и 02 являются углами между траекториями				элек­
тронов	в областях 1 и 2 и нормалью к поверхности				раз­
дела. Мы узнаём		в (4.49)	закон Снеллиуса	и видим, что

в электронной оптике квадратный корень из напряжения относительно катода можно трактовать как показатель преломления. Все правила, касающиеся коэффициента преломления в оптических системах, могут прилагаться

также и к электроннооптическим	системам,	за и с к л ю ­
ч е ние м того, что в среде	с большим	показателем

преломления электроны движутся быстрее, а световые волны — медленнее. Это ведет к такому важному разли­ чию, что все световые лучи проходят расстояние от одного фокуса к другому за одно и то же время, а элек­ троны проходят то же расстояние за разные отрезки вре­ мени.

4.7. ТЕОРЕМА ЛИУВИЛЛЯ

Теорема Лиувилля является важной теоремой статисти­ ческой механики; в этой книге она используется только в гл. 8. (Вывод этой теоремы включен для тех, кто сом­ невается в ее правильности).

Допустим, что поток электронов двигается через элек­ трические и магнитные поля. Теорема Лиувилля гласит, что если мы следуем за электроном при его движении, то

число других		электронов в окружающем				этот	электрон
элементе объема dx dy dz,				скорости	которых		заключены
в интервале dx dy dz около				мгновенной		скорости элек­
трона	х, у , -г,	постоянно (предполагается				при	этом, что
произведение		dx dy dz dx dy dz постоянно). Координаты
x , у ,	JC, у,	z ,	являются	координатами		шестимерного
пространства,			называемого	ф а з о в ы м		п р о с т р а н ­
ст вом. Величина dx dy dz dx dy dz					является		элементар­
ным о б ъ е м о м			в фазовом	пространстве.		Если мы обо­
значим	число	электронов в единичном объеме					фазового

пространства через т, то тогда число электронов dN, на­

ходящихся в области пространства и скорости	dx dy dz
dx dy dz, равно	(4.50)
dN = tdx dy dz dx dy dz.

54

Теорема Лиувилля гласит,	что т	остается постоянным в
окрестности любого электрона при его движении			вдоль
электронного потока.
Рассмотрим электронный пучок, проходящий через ма­
ленький куб dx dy dz. Мы	будем	рассматривать	только
те электроны, скорости которых		лежат в узком	интер­

вале dx dy dz около скорости х, у, z и для которых мы можем считать, что все они имеют одинаковые компо­

ненты скорости, х, у , z. Темп (rate), каким электроны влетают в куб через площадку dy dz при х, дается вы­ ражением скорости в направлении х, умноженной на плот­ ность и на элемент поверхности dy dz

(эг)	=	^ г)\х	dz.	(4.51)
Изменение N	со временем t	представлено		в виде ча-
стнои произзоднои по времени щ-, ибо			оно	относится к

электронам с определенной скоростью, пересекающим

фиксированную	поверхность (т.		е. х, у,	г, х, у, 2 посто­
янны, a t меняется).		Темп,	каким	электроны по­
кидают сторону куба при x-\-dx, равен
(дт)	= [х (х dx dy dz)]x^ dx dy dz.				(4.52)
Теперь X T может	меняться с x,		но dx dy dz есть		лишь

произвольная постоянная области, элементарной скорости.

Таким	образом,	разница между (4.51) и (4.52) и составляет
темп,	каким электроны накапливаются в объеме dx dy dz
б л а г о д а р я		д в и ж е н и ю	в н а п р а в л е н и и х.

В дифференциальной форме этот темп накопления прини­

мает	вид
	— дх ( хт) dx dy dz dx dy dz.	(4.53)
Подобным же образом темпы накопления,		обусловлен­
ные	движением в направлениях у и г , равны соответ­
ственно
	— оу (У*) dx dy dz dx dy dz,
	— ~ (2 x)dx dy dz dx dy dz.	(4.54)

53

Наконец, мы интересуемся накоплением электронов не только в области dx dy dz, а в единице фазового про­

странства dx dy dz dx dy dz. По аналогии с (4.52) и (4.53) имеем для других темпов накопления

—Y

(xx)dx dy dz dx dy dz и т.

д.

(4.55)

Здесь

х — темп

изменения

скорости

со

временем

так

же, как

в

(4.53) х является

скоростью

изменения

рас­

стояния

со

временем.

Суммируя все темпы увеличения числа электронов в эле­

ментарном объеме

фазового пространства, получаем

Г

=

“ [ й

+ й

Й

+

dix

(**) +

-(--г

{yt)

f- -Д:

(гг) 1

dx dy dz dx dy dz.

(4.56)

dy

dz

J

Если

мы разделим dNjdt

на dx dy dz

dx

dy dz, то полу»

чим

просто

dzjdt, т.

e. темп

изменения

во времени

плотности электронов в точке. Проведем, далее, операции, указанные в правой части уравнения (4.56). Сделав это и перенеся некоторые члены в левую часть, получаем

dz I / • dx , • дт ,	• dx		, ••	dr	,	••	dr	,	•• dz \
d t + ( * т Л У т > + г ъ + * ^ + > ^ + г тг ) =
d x	d y	+	d z	+	d x	+	dy		dz	(4.57)
= - 4 - £ +	d y		dz		-		■^4-
				1	dx	1 dy		1 dz

Левая часть представляет собой полную производную ве­ личины т по времени, т. е. темп изменения т в системе координат, двигающейся с электроном. Она состоит из чле­ на, выражающего изменение плотности в фиксированном по­ ложении, обусловленное изменением т о л ь к о времени,

dxjdt, из членов х-дт/дх и т. д., выражающих изменение плотности, происходящее благодаря изменению положе­

ния во времени, и членов х dxjdx и т. д., выражающих из­ менение плотности, происходящее благодаря изменению скорости со временем. Правая часть равна нулю. Напри­ мер, если мы считаем, что все величины, кроме х, посто­

янны (пусть, например, х, у, z, у и z будут постоянны­

ми), и изменяем только х%то, по определению, х не дол­ жно меняться.

56

Следовательно, дх/дх так же, как ду/ду и dz/dz, равно

нулю. То, что дх/дх и т. д. равны нулю, не столь очевидно, но уравнения движения (2.8) — (2.10) показывают, что эти величины равны нулю, ибо мы видим, что в то время как

х зависит от х, у, 2 (так как Е и Н изменяются с изме­

нением	х, у и	z), у	и г, х	не зависят от х.	Следова­
тельно,	дх/дх,	ду/ду	и dzjdz	равны нулю. Итак, мы имеем
			Л = 0 .		(4.58)

Плотность электронов в фазовом пространстве в окрест­ ности данного электрона не меняется при движении элек­ трона вдоль потока.

Вывод, приведенный .выше, (применим для любых элек­ трических и магнитных полей, постоянных или флюктуирую­ щих, которые не зависят от положения электронов. Если учи­ тывать силы, действующие (между электронами, то -необхо­ димо использовать более многомерное фазовое (простран­ ство, в котором три пространственные и три скоростные координаты к а ж д о г о э л е к т р о н а играют роль частных измерений.

В этом фазовом пространстве положения и скорости всех электронов определяются одной точкой. Таким образом, дан­ ная система начальных условий определяется одной данной точкой, и история этой системы, начиная с этих начальных условий, описывается движением этой одной точки через многомерное фазовое пространство. Вообразим большое чис­ ло идентичных систем, пускаемых одновременно * с различ­ ными начальными условиями, т. е. в различных точках фазо­ вого пространства!. Истории этих систем будут представлены движениями различных точек в фазовом пространстве. Тео­ рема Лиувилля говорит, что плотность этих точек вокруг любой -одной точки остается постоянной во времени.

ЗАДАЧИ

1. В «магнетроне староготипа рабочая частота находится около циклотронной частоты и рабочее напряжение близко к напряжению отсечки. Желательно построить магнетрон на частоту 9 000 Мгц (длина волны 3,3 см) . Каким должно

* Можно также представить, что одна и та же система стартует повторно -с различными граничными условиями и в каждом случае за время в фазовом пространстве принимается время, отсчитываемое после старта системы.

57

быть (магнитное поле? Если диаметр нити) равен 0,005 дюйма (0,508 мм), 1каким должен быть диаметр .анода для рабо­ чего напряжения, равного'1000 в?

2. Какова форма двухразмерной теоремы Буша (нет из­ менений поля в направлении г, симметрия относительно оси х) ?

3.Предположим, что пучок электроннолучевой трубки из вадачи 2, гл. 3 имеет у отклоняющих пластин ширину Vs дюйма (3,18 мм) и фокусируется на экран, когда не от­ клонен. Пусть экран будет плоским. Насколько расширится пятно на экране из-за расфокусировки, вызванной отклоне­ нием, при отклонении пятна к краю экрана?

4.Используя показанные на рис. 4.7 электроды вместо обычных параллельных пластин и сетки, можно получить высокую частоту колебании. Положительный электрод на) рис. 4.7 [уравнение (4.29)] должен иметь в центре отверстие 1/1о дюйма (2,54 мм). Отрицательные электроды должны быть разделены на расстояние 0,1414 дюйма (3,59 мм). Ка­ кое полное напряжение нужно приложить между положи­ тельным и отрицательным электродами/чтобы получить ча­ стоту 3 000 Мгц? Каким должно быть магнитное поле, чтобы ограничивать электроны?

5.Покажите, что пересечения близких к круговым тра­

екторий на рис. 4.9 отстоит друг от друга на (180/У 2) гра­ дусов.

ГЛАВА ПЯТАЯ

НЕКОТОРЫЕ ТИПИЧНЫЕ ЗАДАЧИ

Хотя электронная оптика чаше имеет дело с аксиальносимметричными системами и электронными траекториями, близкими к оси, многие из практических систем не входят в этот класс. Так, целый ряд практических вопросов лучше решается особыми методами. Теперь, когда изложены не­ которые сведения, касающиеся движения электронов, можно рассмотреть ряд задач и познакомиться с методами их ре-

Ш0НИЯ.

5.1. РЕШ ЕНИЕ ПУТЕМ НАБЛЮ ДЕНИЯ

Интересный пример решения задачи электронной фоку­ сировки путем наблюдения дают два типа фотоэлектронного умножителя.

Трудность в построении многокаскадного умножителя за­ ключается в расположении серии вторично-эмиттирующих поверхностей с последовательно повышающимся напряже­ нием таким образом, чтобы электроны, вышедшие с одной

поверхности, попадали на	следующую в о б л а с т и , г де
г р а д и е н т н а п р а в л е н	от п о в е р х н о с т и (чтобы

полученные вторичные электроны могли покинуть поверх­ ность); эти вторичные электроны должны попасть в соот­ ветствующую область на следующей поверхности и т. д.

Удовлетворительное решение такой задачи дано Зворы­ киным в его умножителе с магнитной фокусировкой [1], по­ казанном на рис. 5.1.

Расположенные рядом эмиттеры имеют потенциалы О, (/, 2U, 3U и т. д. Ускоряющие пластины, расположенные напротив первых, создают градиент, направленный от каж­ дой эмиттирующей поверхности так, что любой вторичноэмиттированный электрон может покинуть пластину, с ко-

59

торой он эмиттирован. Чтобы направить электроны, вы­ шедшие из одной пластины, к следующей, используется магнитное поле, перпендикулярное к плоскости .рисунка, ко­ торое искривляет электронные траектории, как показано на рисунке. Движение электронов здесь подобно, но не пол­ ностью совпадает с циклоидальным движением электронов, рассмотренным в § 3.3. Из рассмотрения совершенно оче­ видно следует, что, несмотря на форму или расположение пластин, магнитное поле можно подобрать таким, что меж-

Падаю щ ий свет

Градиент

по т е н ц и а л у

т ж z p '

Электронные траектории

Рис. 5.1. В умножителе Зворыкина с магнитной фо­ кусировкой электронные траектории изгибаются магнитным полем так, что приближаются к элек­ тродам против силы электрического поля.

ду пластинами точно уложится длина одного прыжка. Так как каждый первичный электрон выбивает 3 или 4 вторич­ ных, то фокусировка будет ухудшаться, препятствуя работе магнитного умножителя Зворыкина.

Магнитный умножитель для удовлетворительной работы требует тщательного подбора поля и контроля напряжения. Желательно исключить магнитную фокусировку и приме­ нять чисто электрическую. При! этом существенная труд­ ность 'Состоит !в направлении электронов посредством элек­ трического поля к поверхности, у которой градиент направлен от нее. При магнитной фокусировке электронные траекто­ рии могут быть загнуты по направлению к такой поверхно­ сти, но в чисто электрическом поле траектории должны искривляться от эмиттирующей поверхности при приближе­ нии к ней.

Эта задача была решена * непосредственной проверкой, в частности построением нескольких маленьких коробочек, показанных на рис. 5.2. Каждая коробка имеет одну откры­ тую сторону, обращенную к коробке с более высоким потен­ циалом, другая сторона, затянутая сеткой, обращена к ко­

* Снайдер, Патент США 2163966, Шокли, Патент США 2245614.

60

робке с более низким потенциалом. Сетка позволяет элек­ тронам пройти из коробки с низким потенциалом в коробку с высоким потенциалом, но препятствует созданию в короб­ ке с низким потенциалом задерживающего поля со стороны

Рис. 5.2. В этом умножителе с электрической фокусировкой применение сеток обеспечивает положительное направление градиента элект­ рического поля у эмиттирующих поверхностей.

коробки с большим потенциалом. Открытая сторона позво­ ляет электронам выйти из коробки и в следующей коробке с более высоким потенциалом создать ускоряющее поле у поверхности, обеспечивающее выход вторичных электро­ нов.

5.2. РЕЗИНОВАЯ М ОДЕЛЬ

Нужно обладать большой изобретательностью, чтобы ре­ шать задачи электронной фокусировки только наблюдением. В поисках электрической фокусировки в умножителях без сеток' понадобилось рассмотреть некоторые другие прибли­ жения. В двух примерах была применена резиновая модель.

Рассмотрим горизонтальную мембрану, равномерно на­ тянутую во всех направлениях. Если эту мембрану выгнуть в различных точках, но настолько, чтобы был мал наклон

61