книги / Математические модели элементов интегральной электроники
..pdfра. Это соотношение получено путем интегрирования уравнений переноса тока и непрерывности без аппрокси маций низкого уровня инжекции. Благодаря тому, что в модели используется интегральный параметр —заряд в базе, удается учесть эффект модуляции проводимости базы, эффект Эрли, зависимость параметров р2у и /г от режима и ряд других эффектов.
Рис. 3.9. Структура |
мтегрального транзистора с изолирующим |
р—«-переходом. |
|
Модель IBIS |
является развитием модели Эберса — |
Молла для двумерны,х транзисторных структур. Модель позволяет учесть эффекты вытеснения тока эмиттера, бо ковой инжекции эмиттера, поверхностные явления и влияние пассивных областей базы и коллектора.
В заключение следует сказать, что, по-видимому, наи более успешно для машинного проектирования совре менных ИС использование моделей Гуммеля — Пуна и IBIS; в то же время ни одна из известных моделей не решает проблему полностью, поэтому непрерывные по иски в этом направлении и в будущем неизбежны.
Модифицированная модель Эберса — Молла. Рассмо
трим |
интегральный |
транзистор |
(рис. 3.9). В его струк |
туре |
можно выделить два |
транзистора: основной |
|
п—р—и-транзистор |
и паразитный р—п—р-транзистор. |
Эмиттерным переходом паразитного транзистора являет ся коллекторный переход основного транзистора, а кол лекторным служит изолирующий р—д-переход.
Поскольку изолирующий переход смещен в обратном направлении, активному режиму работы основного п—р—/i-транзистора соответствует режим отсечки пара зитного и влиянием последнего молено пренебречь. Когда основной транзистор находится в режиме насыщения, паразитный транзистор работает в активном режиме и его надо учитывать.
I l l
В настоящее время имеются две распространенные разновидности модели Эберса—Молла: инжекционная и передаточная. С математической точки зрения обе они идентичны. Разница состоит в том, какие токи выбраны в качестве основных (через основные токи выражаются все другие токи прибора). Ниже будет показано, что благодаря более удачному выбору основных токов пере даточная разновидность модели является более простой с точки зрения использования в программах анализа
ИС.
Инжекционная модель представляет собой общеизве стную модель Эберса—Молла, в которой основными то ками являются токи диодов, моделирующих р—л-пере- ходы. Токи, инжектируемые р—л-переходами, являются экспоненциальными функциями напряжений на перехо дах
/ '| = |
/ь [е х р (Ц /т^ )--1 ]. |
(3.22) |
где £=Э, /(, /7; |
— обратный тепловой ток соответст |
|
вующего перехода; |
/л^— масштабный |
коэффициент, |
учитывающий отклонение вольт-амперной характеристи ки р—л-перехода от идеального закона. Как правило,
[24].
В режиме переключения через каждый р—л-переход помимо статических токов протекают токи, обусловлен ные барьерной и диффузионной емкостями. Барьерная емкость нелинейно зависит от напряжения и прибли женно описывается выражением
(3.23)
где С0 бар— барьерная емкость р— л-перехода при нуле вом смещении {U—0); С0, 0 — параметры, определяемые из условия наилучшего согласования экспериментальной зависимости Ccap=f(U) с величинами емкостей, рассчи танными по формуле (3.23). Диффузионная емкость за висит от тока 1\, инжектируемого р—л-переходом.
В случае, если коэффициент передачи по току аппрокси
мируется однополюсной функцией частоты а —Гдгтттт--,
выражение для диффузионной емкости имеет вид |
|
сЕа„ф= 1\ 1т у М * > |
(3.24) |
|
где fa—характеристическая частота, связанная о пре
дельной частотой прибора.
В матричном виде система уравнений, описывающих
токи через |
выводы |
интегрального |
транзистора, |
имеет |
|||||
вид |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
I э |
|
1 |
|
- и/ |
|
1'э |
|
|
In — 1к |
= |
— a.v |
I |
|
— V |
/'к |
+ |
||
- I n |
|
0 |
|
— *PN |
1 |
V п |
|
||
Сэ |
о |
0 |
JilUs |
*7э |
0 |
о |
Us |
|
|
dt |
|
|
|||||||
+ 0 |
Ск |
0 |
dUK |
0 |
Лу!< о |
и* |
(3.25) |
||
dt |
+ |
||||||||
0 |
0 |
Сп |
dUu |
0 |
0 |
iCl |
Un |
|
|
dt |
|
|
|||||||
переходов |
Сэ, |
Ci^ и |
Сц |
в |
] |
|
|
представляют собой суммы барьерных и диффузионных составляющих.
Эквивалентная электрическая схема, соответствую щая системе уравнений (3.25), приведена на рис. 3.10.
Ток между любыми соседними выводами эквива лентной схемы складывается из токов диода, модели рующего инжекцию р—«-перехода; генератора, управ ляемого напряжениями на соседних р—«-перехода^; нелинейной емкости, шунтирующей переход; утечки.
Б передаточной модели Эберса — Молла в качестве основных токов используются токи, собираемые р—«-пе реходами. Эти токи в эквивалентной схеме моделируют ся генераторами тока *).
Ток, который передается из эмиттера в базу и соби рается коллектором, описывается следующим выраже
нием: |
|
/ „ = / s [exp(t/s/?r) - l ] . |
(3.26) |
Аналогично записывается выражение для тока, который передается из коллектора через базу в эмиттер:
/, = / 5[ехр(£/к/?г) - 1 ] , |
(3.27) |
где Is — ток «отсечки».
В дальнейшем рассматривается обычная п—р—«-транзистор ная структура. В случае необходимости приведенны выражения мо гут быть распространенына интегральнуюп—р—п—р-структуру.
Из (3.26) и (3.27) видно, что основные токи переда точной модели описываются выражениями с одним па раметром /5, требующим измерений. Для описания основных токов инжекционной разновидности модели необходимо измерить четыре параметра /оо» Л<о, т э>
Рис. 3.10. Эквивалентная схема интегрального транзистора с изоли рующим р—«-переходом для режима большого сигнала.
В цепь базы транзистора ответвляется ток
|
л=(/*/РдЖ УР/). |
(3.28) |
где |
и (3/ — нормальный и инверсный |
коэффициенты |
передачи в схеме включения с общим эмиттером. Токи через выводы эмиттера и коллектора имеют вид
/э = - ( ! + ! / № - К / . |
(3.29) |
(1 + 1/[5;) /г |
(3.30) |
Эквивалентная схема передаточной модели Эберса—
Молла, |
соответствующая уравнениям |
(3.26) —(3.30), |
приведена на рис. 3.11. |
р—л-перехо- |
|
В динамическом режиме параллельно |
||
дам в |
эквивалентную схему рис. 3.11 |
подключаются |
114
барьерные и диффузионные емкости. Барьерные емко сти зависят от напряжений на переходах по формуле (3.23) и по сравнению с инжекционным вариантом мо дели и не имеют никаких отличий.
Диффузионные емкости зависят от основных токов по следующим формулам:
п |
X, v № v + A s ) |
п |
xl ( f l + l s ) |
, |
Оэдиф — |
----------- ~ ---------- |
I Ькдиф — |
----------” |
где хN, хI — диффузионные постоянные времени в нор мальном и инверсном включении.
Рис. 3.11. Эквивалентная схема передаточной модели Эберса— Молла.
Отметим, что постоянные времени tjv и tj характери зуют инерционность процессов передачи зарядов неос новных носителей от одного перехода к другому, в то время как постоянные времени t aN и *са/ инжекционно-
го варианта характеризуют инерционность не только процессов передачи носителей заряда, но и процессов их рекомбинации у соответствующих переходов.
Сравнивая инжекциониый и передаточный варианты модели Эберса —Молла, можно сделать вывод, что пе редаточная модель более удобна для использования
впрограммах анализа ИС по следующим причинам.
1.Вольт-амперные характеристики нелинейных эле ментов передаточного варианта модели описываются меньшим числом параметров, для определения которых
требуется меньшее количество измерений.
2. Использование постоянных времени TV и т7 при анализе динамических режимов является более предпочти-
тельным, чем TaV,xe/f поскольку, как показали экспери
ментальные исследования [45], параметры тN, tj, во-пер- рых, зависят от режима в гораздо меньшей степени, чем
?aV > \ i > и, во-вторых, имеют гораздо меньший раз брос значений от прибора к прибору, что повышает до стоверность результатов измерений.
В ряде случаев модель Эберса — Молла нуждается в усовершенствовании. Оказывается необходимым учи тывать сопротивления диффузионных областей гээ, Гбб, гКн, /пп. сопротивления утечки обратиосмещенных р—л- переходов Л у э, Лук, Л уп, токовые и частотные зависи мости коэффициентов усиления по току, модуляцию ши рины базы, лавинное умножение носителей в р—«-пере ходе, влияние внешних воздействующих факторов (температуры, радиации, рентгеновского излучения и др.) В инжекционном и передаточном вариантах мо дели перечисленные эффекты учитываются одинаково. Сопротивления диффузионных областей и утечек р—л- переходов учитываются подключением соответствующих
соппотивлений |
в эквивалентную схему, а |
остальные |
эффекты — с |
помощью аппроксимирующих |
зависимо |
стей. |
|
|
При работе транзистора в режиме большого сигнала имеет место сильная нелинейная токовая зависимость коэффициентов передачи тока в схеме с общим эмиттером (5, а следовательно, и коэффициен тов а. входящих в матричное уравнение {рис. 3.12). В модифициро ванных моделях Эберса — Молла используются эмпирические зави симости коэффициентов р от тока, представленные в той или иной форме.
Так, в модели, которая применяется в программе анализа элек тронных схем общего назначения NET-1 [25]. выбран степенной ряд относительно напряжений на р—и-переходах:
Pyv = |
4 “ |
4 - |
*4* Яз£/Зэ» Р/ = Ьо |
bit/к 4~ М /* * 4~ Ьз1/*к . |
(3.31)
В программе ПАРИС [26] в модели транзистора 'используются значе ния р, выраженные через токи:
Р - Ро \ d 0 4 - <*,/' 4 - d 2 (/')* 4 - di ( / ') 8 4 - d , (/')4 j, |
( з .32) |
В модели транзистора для программы SYSCAP [27] значение 6^ вы числяется по формуле
h = BN № |
/'э)< 4" В г (log /'д)8 4- В з (log / ' э)г + |
|
|
+ B*(lo*/'.) + AL |
(3.33) |
где В я — максимальное значение Р у .
В модели интегрального транзистора, описанной в [28, 29], используется аппроксимация экспериментально снятых зависимостей
от тока функциями вида
Р (/г) = A (J’)°exp (С1‘). |
(3.34) |
где /' — ток, инжектируемый соответствующим р -п -переходом. Коэффициенты усиления но току в схеме включения с ОБ в мо
дели фирмы Маркони [30] аппроксимируются эмпирическими выра жениями
*/V = |
+ |
aJ= И / + &I |
V'KfCj)]~K |
|
|
|
(3.35) |
Рис. 3.12. Зависимость коэффициентов передачи по току интеграль ного транзистора от величины токов через соответствующие р—/t-пе реходы:
------------ результаты аппроксимации функциями вида Р~Л (/')в ехр(С/').
Выражения (3.31)— (3.35) обеспечивают примерно одинаковую точность аппроксимации коэффициентов 0. Параметры этих выра жений определяются в результате обработки экспериментальных дан ных по методу наименьших квадратов. В некоторые модели, напри мер CIRCUS [31], зависимости от тока вводятся в виде таблиц, по лученных при измерениях.
Модуляция ширины базы обусловливает зависимость коэффи циента а Л- от напряжения на коллекторном р—л-переходе, след ствием чего являются дополнительная конечная проводимость, вно симая в выходную цепь транзистора, что влияет на форму выходных характеристик (рис. 3.13), и отрицательная обратная связь между выходной и входной цепями транзистора, определяющая сдвиг вы ходных характеристик. Для транзисторов с достаточно тонкой базой
Рис. 3.13. Выходные характеристики |
интегрального транзистора, смо |
||
делированные |
на ЭЦВМ с учетом ( |
--------- ) и без учета (----------- |
) |
зависимости |
от напряжения на коллекторном переходе. |
|
|
Кружками обозначены результаты эксперимента. |
|
зависимость коэффициента а^г от напряжения на коллекторном пе реходе учитывается в виде [28, 29]
|
аЛГ(^к) = aN(^к) £1+ рдг (£/к) |
^ |
J • |
(3-36) |
где |
= (<pr/№) {dWfdUK); № — ширина базы; |
UK— напряжение на |
||
коллекторном переходе, при котором измеряется |
коэффициент сцу. |
118
Отрицательная обратная связь между выходной и входной цепями транзистора учитывается в эквивалентной схеме рис. ЗЛО включением генератора напряжения pcct/к* Фактор обратной связи м<с =
dUs
dUK /9=const определяется соотношени
Нос——ЯкШэ.
Достаточно простой способ учета эффекта Эрлн предложен в ра
боте [32]: |
|
= Р И 0 ) + lUufUN), |
(3.37) |
где pjv (0) — коэффициент усиления по току при нулевом напряжении на переходе коллектор — база; £/л* — постоянная величина, не зави сящая от тока, напряжения или температуры. Методика измерении этой величины изложена в § 3.4.
Лавинное умножение носителей тока учитывается в модели
дением коэффициентов умножения MN и Mj\ |
|
«N № ) = aviWlV, в/ (Us) = aJMJ. |
(3.38) |
Зависимость коэффициентов Mjv н Mj от приложенных напряжений Uu а и Uс о описывается простыми полуэмпирическнми соотноше ниями
MN |
«iV |
1---(l/б э /и э прсб) J4 |
(3.39) |
1 (i/к Э/ и к прсб) |
|
где п# и tit — показатели, зависящие от материала, градиентов кон
центрации примеси |
и |
конфигураций |
р—/i-переходов и лежащие |
в пределах от 1,5 до |
7 [33]. |
|
|
При малых временах переключения, соизмеримых с постоянной |
|||
времени транзистора та, |
существенную |
роль играет собственная за |
держка переходных характеристик коэффициентов передачи по то ку /3. Эта задержка может быть учтена в модели, если коэффициен ты а в системе уравнений (3.25) определяются в процессе интегри рования дифференциального уравнения вида [40]
da-tt |
, ( |
\ , |
1 |
<Юъ\ |
°/у(0) |
|
(3.40) |
di |
Д |
hu + |
т#т |
dt j “" ~ |
|
|
|
|
|
|
|||||
что эквивалентно |
использованию |
двухполюсн |
аппроксимации |
||||
в комплексной частотной области. |
|
|
|
|
|||
При временах переключения, удовлетворяющих условию *>та |
|||||||
величину задержки /злкоэффициента aN(t) |
можно |
считать |
почти |
||||
неизменной и интегрировать |
(3.40) |
не нужно. |
Выражение для |
доли |
тока коллектора, обусловленной передачей тока, инжектированного эмиттером через базу, преобразуется к виду
0 |
при t < |
t3N, |
V » |
|
(3.41) |
{ аы(0) /э. ( ъ л ( т |
— 1) при / > |
Д . |
В комплексной частотной области выражение (3.41) соответствует аппроксимации коэффициента а*? выражением (3.2).
Выражения вида |
(3.40) и (3.41) могут быть записаны |
не только для |
a JV(/), но и для |
всех других коэффициентов передачи |
по току, вхо |
дящих в систему уравнений (3.25). Значения параметров модели могут существенно изменяться при воздействии на транзистор темпе
ратуры или радиации. |
и температурного по |
Изменения обратного теплового тока |
тенциала фт р—л-перехода в зависимости от температуры Г учиты ваются по следующим формулам:
't o Р 7> = |
't o (7-.) ( - Й Т ^ Р |
[ i r |
( 7 7 - 7 7 ) ] ’ |
<3 42) |
|
«Ро Vi) = |
«р0 (Го) - |
/Сф (Г/ - |
Го), |
*r = kTi/q, |
(3.43) |
где /с = 1.37-10- 23 |
Дж/град — постоянная |
Больцмана; q = |
1,6 X |
||
ХЮ-|9 К — заряд электрона; |
Го= 2 7 3 |
К — температура абсолютного |
нуля; фс(Г0) — ширина запрещенной зоны при температуре абсолют
ного нуля |
(1,11 В для кремния и 0,67 В |
для германия); |
— темпе |
||
ратурный |
коэффициент, равный |
3-10 |
-4 В/град |
для |
кремния и |
4-10"4 В/град для германия; Г3-— температура р—л-перехода, К. |
|||||
Температура р—л-перехода |
Tj складывается |
из |
температуры |
окружающей среды Г и температуры нагрева р—л-перехода за счет рассеяния мощности в транзисторе:
Г/ = Г + (£ /э/э + г/к/к) BT h
где 0Tj- — тепловое сопротивление между р—л-переходом и окру жающей средой. Для кремниевых л—р—л-транзнсторов 0rj= 2O — 400 град/Вт.
Зависимость коэффициентов передачи по току р от температуры аппроксимируется эмпирическими зависимостями. В программе SLIC [2], например, используется выражение
PATW S , и к , T ) = t N (/'э, с/к,. Го) [1 + у ,Д Г + > (АТ1)2]-
Типичные значения температурных коэффициентов для кремниевых
интегральных |
транзисторов yi = 6,7-10”3 |
1/град; |
у2 = |
— 3,6 X |
||
Х10-5 1/град2. |
|
|
|
|
||
|
Зависимость барьерной емкости р—л-перехода от температуры |
|||||
описывается следующей формулой [64]: |
|
|
|
|||
где |
q |
(Uv Т) =с6 (£/6.Г.)(Г /Г .)\хр [Ьг [Т _г„)]. |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
Ь, |
У о И - t / о* (7.) |
л |
|
|
|
|
иг + и<ь1Го) |
Ьг = д( 1 — В^); |
е = ( 2 — |
3 ) ‘ 1 0 - 4 |
1 / г р а д |
||
|
V * |
|
|
|
для Si и Ge. U0^ и 0^ имеют тот же смысл, что и в формуле (3.23).
Воздействие радиации вызывает изменение таких параметров мо дели транзистора, как обратные тепловые токи / 0^‘ коэффициенты
передачи по току tp, омические сопротивления диффузионных слоев r ^t постоянные времени транзистора та#