книги / Математические модели элементов интегральной электроники

h = i (0 ) -		l /р +	ь	+	е {dE/dt)]x=Xi,
h =	- [(djp/d x )+ g g - | _ q {dp!dt)\I=x^							Xim,
h i- з =	/ ( ° ) -	[ / P +	b	+	e (dE/df)}		t,
h l - > = - Ш /д х ) +				qg +		q {dp!dt)]x=Xj_i + ( i U / / 4 .
/•/-• =	/ (■*«) ~	I/P+		/<• +	•
fm -з =	1W ~ [/P+			/» +	«(d£/^)] t=tM_,,			(2.52)
/ии-s =	JJ		( — +2Д**+1)+Я„ [«(О)] -
	S	'				'
			— ^		[п(Хб)1
fu ,- < = ^				+		+ 5 в [ „ ( * ) ] _
	s		x			y
		— tn [n (JC6)].

Эти уравнения могут быть записаны в векторной форме

i7 (Б, S) — Я (dXjdt) = 0,

(2.53)

где 5 — двумерный вектор управляющих воздействий на границах структуры, например, [Яэ, UK], |7Э, /к],

[Уэ» Сц], [Яэ, Ук],	£ == [Я1, р%, Е2уPi)		_j , Cl, С2].
Следует отметить, что для		случая 5 =	[U3t UK\ S2M_2=
= С, = У9 и	==С2 = Ук,	а для случая 5 = [Уэ, Ук]
^2^1_2"==Us и ^2М_ 1= UK и т. д. Поскольку			производные по
времени не входят в граничные условия			(2.47) и (2.48)

и вследствие этого не входят в два последних уравнения

системы (2.52), квадратная		матрица Я	(размером
2М—1) имеет вид
Я =	^2Л*-3	^ »
	0	0
где /гдг-з — единичная	квадратная матрица		размером
2М—3.

Пространственные производные в уравнениях (2.52) заменяют конечно-разностными соотношениями. Тогда получаем систему обыкновенных нелинейных дифферен­ циальных уравнений порядка 2М—1. Численное интег­ рирование этой системы может быть осуществлено мето­ дом, рассмотренным нами ранее, или одним из методов, описанным в [11—13].

Метод, в котором каждая пространственная ячейка описывается двумя переменными р и Е, сводится к ре­ шению системы уравнений, порядок которой равен 2М, и при одном и том же числе разбиений структуры по сравнению с ранее рассмотренным методом позволяет на */з сократить порядок системы разностных уравнений и в 2—3 раза затраты машинного времени и объем памя­ ти ЭЦВМ [16].

Недостатком метода являются очень широкие преде­ лы изменения переменных р и Еу что создает дополни­ тельные трудности при разработке программы.

Расчет статических режимов. Электрические характе­ ристики полупроводниковых структур, описываемых раз­ ностными уравнениями (2.24) —(2.28) или (2.52), могут быть, вообще говоря, получены численным интегрирова­ нием этих уравнений. Однако расчет статических режи­ мов является, как правило, самостоятельной задачей, для решения которой целесообразно использовать более простые и эффективные численные методы.

Формулировка задачи может быть получена из об­ щей системы уравнений, если правые части уравнений непрерывности для дырок (2.5) и электронов (2.6) и уравнения для тока смещения (2.3) положить равными

нулю. Используя	метод конечных разностей,	получим
систему нелинейных алгебраических уравнений вида
Ь	Eni 01, 02, ...» 0т) = 0	(2.54)
при i= 1, 2, ..., п
или в векторной форме
	F & 0) = 0 ,	(2.55)

где | — вектор, компонентами которого являются значе­ ния переменных для точек разбиения структуры, напри­ мер, [фр, фп, ф] или [р, £]; 0 — вектор параметров, вхо­ дящих в выражения (2.1) —(2.18). К ним, в частности, относятся Тр, тп, м-р, Цл, параметры распределения при­ меси N(x), внешние управляющие воздействия £/э, £Л<,

/ э>/ к и т. д. Граничные условия для (2.55) при различ­ ных управляющих воздействиях задаются выражениями (2.13) —(2.23) или (2.29) —(2.33).

Общая итерационная схема численного расчета ста­ тических режимов в одномерных транзисторных струк­ турах, описываемых системой уравнений (2.1) — (2.7), была предложена Гуммелем [17]. За независимые пере­ менные выбраны электростатический потенциал <р и квазипотенциалы Ферми фр и <рп. При заданных смеще­ ниях на переходах Un п UKпеременные фр и (рЛ следую­ щим образом *) связаны с электростатическим потенциа­ лом <р:

Г?п(хУ I*) *]I _ ехр(IUB/ъ) —ехр(£/х/?г)

ехр L

J

Ак

ехр[— у (Х)/уг]

d\

qniDn (X)

(2.56)

X

на интервале

1— ехр[— Уэ/?;]

ехр

(Л)/<?г]

X

d\

qniDp (К)

О ехр[у (к)/чт]

dl,

(2.57)

х

$

qmDp (А.)

на интервале

Г ,„ ы

1

] — ехр I— Ук/?г]

ехр [у (Х)/<?г1

^

,

ехр

В

Д

—

^

-------------------------- Г

т 0 р щ

+

L

J

f

ехр [? (Л)/у7 ] ^

J

J

Я‘ПОр (Л)

*

+ ехр[ - 1 г }

(2.58)

*)

Формулы

(2.56) — (2.58)

не учитывают генерацшо-рекомбииа-

цшо носителей

заряДа. Соответствующие

формулы с учетом

этих

эффектов

приведены

в [17].

Выражения (2.56)—<(2.58) зависят от электростати­ ческого потенциала ф. Распределение потенциала фопи­ сывается уравнением Пуассона, т. е. нелинейным диф­ ференциальным уравнением второго порядка. Схема ре­ шения линеаризованного уравнения Пуассона, предло­ женная Гуммелем, основана на предположении, что на­ чальное приближение потенциала ф(°)(;е) достаточно близко к точному. Тогда правая часть (2.7) может быть представлена в виде ряда Тейлора относительно разно­ сти бф(я) между начальным приближением и точным решением

89 = «Рточн — 9(о)-

(2.59)

Пренебрегая членами второго и более высоких порядков, получаем линейное дифференциальное уравнение отно­ сительно поправки бф^л;):

d? (3<р)	£-[Р{х)-\-п(х)] 8<Р	'Ф (8?)	ф(о) +
dx2		dxа
	+ - f [ j * w - « ( * ) + *	M i l , . , -	(2.60)

Из граничных условий (2.16) следует, что

8у (0) = 89(*к) = 0.

Иопользуя трехточечную формулу для записи производ­ ных в виде конечных разностей, левую часть (2.60) мож­ но представить в виде трехдиагональной матрицы Т. Тогда система разностных уравнений в матричной форме может быть записана как Т бф=В, где бф и

В—

— представляют собой векторы-столбцы.

Уточненное значение электростатического потенциала

ф(|)=ф(.) + [Т"*В]?(с).

(2.61)

Итерационная процедура Гуммеля (рис. 2.5) заключа­ ется в следующем:

64

—на основе упрощенной теории задается начальное распределение электростатического потенциала ф«>>(*);

—из уравнений (2.66) —(2.58) с соответствующими граничными условиями находится распределение фр<°)(;с)

иФп(0)(*);

—найденные распределения фр(°)(л:) и фп(0)(*) ис­ пользуются для решения линеаризованногоуравнения Пуассона (2.60), которое дает уточненное распределение электростатического потенциала ф(1)(я);

—для нового распределения ф(1)(х) из уравнений

(2.56) —(2.58) определяются новые значения фР(1)(х) и фп(1>(*) и т. д.

Рис. 2.5. Итерационная схема Гуммеля.

Итерационный процесс повторяется до тех пор, .пока изменение на каждом последующем шаге по сравнению с предыдущим не достигнет заданной величины е опре­ деляющей точность.

Начальное приближение ф(°>(х) определяется из упро­ щенной теории в предположении, что примесь полностью ионизирована и заряд подвижных носитеяей в обла­ стях р—n-переходов равен нулю. Распределение ф(°>(х) в областях р—/г-переходов находится из решения сле­ дующей системы уравнений:

^ x N (x )d x = -J-	— X*	dxd<f>
	X,
+ ¥ r ln ^ y p o	- U	(2.63)
	)■

где Xi и Xz — координаты границ области p — «-перехо­

да соответственно с л- и p-областями					полупроводника;
V — внешнее	напряжение,		приложенное к			р—«-пере­
ходу;
J L I	idN/dx)	1	iL l	—0		ДС, (2.64)
dx	?T *W	w	dx W	?T	N( x)

В квазинейтральных областях за пределами р — «-пере­ ходов ф<°>(я) описывается уравнением

		(dN/dx)	(2.65)
	dx	^ т N {х)
	Рассмотренный метод решения основных уравнений
	полупроводника легко	алгоритмически реализуется на

ЭЦВМ, но обеспечивает сходимость лишь при достаточ­ но точном задании начального приближения*). Кроме того, в приведенной математической формулировке он

пригоден до отрицательных	обратных смещений на
р — «-переходах не более 1	В. -Ограничения вызваны

переполнением разрядной сетки ЭЦВМ при отрицатель­ ных смещениях более 1 В. Это ограничение можно устра­ нить, если разделить диапазон изменения электростати­ ческого потенциала на ряд подынтервалов таким обра­ зом, чтобы на каждом интервале выполнялось условие

где Км — параметр	ЭЦВМ,	ограничивающий макси­
мальное число в	процессе	вычислений величиной

ехр (±Км) [18].

Метод Гуммеля с успехом используется для расчета статических характеристик одномерных полупроводни­ ковых структур, работающих при низком уровне инжек­ ции [20, 21].

В структурах с мелким диффузионным профилем да­ же при умеренных уровнях тока возникают высокие плотности тока, а следовательно, и высокие уровни ии-

*> Подробное исследование сходимости метода Гуммеля прове­ дено в работе [19].

жекции. Начальное приближение, вычисленное по фор­ мулам (2.62)—(2.65), оказывается неточным, и метод Гуммеля дает, как правило, неудовлетворительные ре­ зультаты.

В этих случаях для расчета структуры, описываемой системой уравнений (2.54), эффективным является ме­ тод продолжения решения по параметру в сочетании с методом Иыотона — Рафсона [14, 22], который позво­ ляет решить проблему выбора начального приближения.

Решение начинается с идеализированной (например, равномерно-легированной) структуры с набором пара­ метров 0<°), распределение переменных |<°> для которой тривиально. Итерационный процесс содержит два цик­ ла: внешний — по параметрам 0 и внутренний — по пе­ ременным g.

Внешний цикл осуществляется по схеме

0(*Нм)==0(А)_|_ДО(А)< (2.66)

Приращения параметров Д0М задаются таким образом, чтобы через определенное количество шагов получить реальную структуру. На каждом шаге внешнего цикла приближение переменных уточняется по формуле

SC*+.)=5(*)4-^.|iW Aew.

(2.67)

Величина dg/d0 определяется из решения системы ли­ нейных уравнений

(2 .6 S )

Затем для вектора параметров 0№+*) и уточненных по формуле (2.67) начальных условий g(ft+1) решается систе­ ма уравнений (2.54). Для этой цели организуется внут­ ренний цикл. Последовательные приближения к реше­ нию внутри этого цикла определяются с помощью ме­ тода Ньютона — Рафсона

= 5 И - f (5И, ,« > ,[ £ ] ■ ' |

(2.69)

Схема рассмотренного алгоритма приведена на рис. 2.6.

Рассмотренный метод проиллюстрируем на примере расчета на­ чального распределения <p<°J(x) в транзисторной структуре рис. 2.2, профиль примеси в которойописывается выражением

N (* ) = W s,erfc (x / G ,) — NS2e T * la'*+ NK,

(2.70)

при

где £?i=0,088	мкм;	6 2=0,115 мкм, *„=5	мкм; M si= l-1 0 21 см~9;
^ 52= 2,5 -1019	см-3;	JVK=i2,5*1015 см~3. Для	простоты положим, что

напряжения, приложенные к р—/г-переходам, равны нулю Uj='UK = = 0 . В качестве варьируемых параметров 0 выберем величины по­ верхностных концентраций, входящих в выражение для профиля примеси (2.70) Q—[NSu /Vs2].

Рис. 2.6. Схема алгоритма расчета статических режимов.

Расчет начинается для равномерно-легированной структуры

NM (х) = NK(Л^> = ЛГК, < 2>= NK).

Распределение потенциала 9^°) (х) в равиомерио-легированной струк­ туре описывается выражением

(р<о) (*) = «рг in (дг(0)

= «рг1п (NK/щ).

Рис. 2.7. Распределения электростатического потенциала (а) и фор­ ма профиля примеси в транзисторной структуре (б) на различных шагах итерационного процесса по параметрам Nsi и Ns2:

1)	начальное	приближение профиля			WS1~2,5 • Ю15 см-3,		ATS2—2,5 • 1Q15		см-1;
2,	3, 4 — профили с			промежуточными		значениями NSI	и NSi:	2)	—
-1,6 • 1018 см-3,			tfS2-2,5 • Ю17 см-3;		3) JVs,-4-1019 см-3,		WS2- 2,5 • 1G1*		см-3;
4)	A^S1 —«1,44 *10so		CM- 8,	Wfi2-6,3 • 1018	CM- 3;	5) профиль реальной		структуры
WS1-1021 см-3,		WS2-2,5 • 10‘9 см-8.

	N ^ +l) = N ^ A 9, Л ^ +1)= Л ^ Д к.	(2.71)
где Дэ =	у / Nsl/NK\ Дк = "УNS2/Nk; т = 20 — 50 количество шагов.
Для	структуры с параметрами N ^ 1* и iV^2+1) и начальным при­
ближением у(«) (х) решается система уравнении (2.54)		и по формулам

(2.67) — (2.69) вычисляется новое распределение потенциала tptf+O (х). Затем параметры и Nj^~^ снова изменяются по схеме (2.71)

и т. д. Процесс повторяется до тех пор, пока расчетные поверхно­ стные, концентрации нс достигнут заданных значений N si = 1021 см-3 и Ns2 = 2 ,5 -1019 см-3. На рис. (2.7 приведены распределения электро­ статического потенциала ф(л) при 'U3—0 и £/к= 0 , соответствующие профилям распределения примеси с промежуточными значениями

параметров 4 ? и 4 У .

При ненулевых управляющих воздействиях U0 и U« (или / 0, /к) вектор параметров Q= [NSit flsz, <Uo, Vи] и расчет осуществляется в последовательности, рассмотренной выше. За начальное прибли­ жение вектора параметров выбирается вектор Q(°)=[JV1{, NUt 0, 0].

Из рассмотренного примера видно, что проблема вы­ бора начального приближения переменных |<°> решается в данном методе автоматически за счет организации цикла по параметрам 0.

Результаты расчета статических характеристик одно­ мерной транзисторной структуры с профилем примеси (2.70) приведены на рис.

2.8—2.11. На рис. 2.8 по­ казаны внутренние рас­ пределения квазипотен­ циалов Ферми и электро­ статического потенциала.

Рис. 2.8. Распределения квазипо­ тенциалов Ферми для дырок <рР и электронов фп и электростатиче­ ского потенциала ф в транзистор­ ной структуре (2.70) при С/э= = —0,6 В, Uл=5 В.

Следует отметить, что распределения электро­ статического потенциала <р(я), полученные для различных значений внешних смещений, могут быть с успехом использо­ ваны для анализа ряда

.физических эффектов в транзисторных структу­ рах. Так, при увеличении напряжения или тока эмиттерного р — я-перехо- да при постоянном сме-