книги / Методы математической физики и задачи гидроаэродинамики

Для решения рассматриваемой задачи удобно перейти к цилинд­ рическим координатам г, <р,-лс. В силу осевой симметрии решение

не зависит от tp: и(у, z, t)= u (r,

t),

где

r = V y 2-\-zl. Тогда

д и __ _ д и _

_У_ .

д2и

_

д'*и (

у

\ 2

■

да

(

I_____у^_

ду

дг

ду

дг

г 1

ду2

~~

dr*

[

г

)

~*

дг

[

г

гз ) •

Аналогично имеем

£2

д2а

_

дЫ

f

z

\ 2

t

du

М

дг'2

дгз

\

г

)

дг

\ г

ГЗ ) •

Поэтому A u= uVy+u2Zпринимает вид

Аи =

д'2и

1

ди

~дг2

~ ~ д 7

1

а уравнение

(4.99) — следующий вид:

dt

\д г 2

^

г

дг

J t t = t i

(г, t)

(4.100)

и должно решаться при начально-краевых условиях

я (г ,0 )= 0 ,

u { a j ) = 0,

(4.101)

где краевое условие соответствует прилипанию вязкой жидкости к неподвижным твердым стенкам трубы.

Следуя общему приему решения неоднородных линейных уравнений, описанному в § 3.1, рассмотрим вначале задачу, ана­ логичную (4.100), (4.101), но с однородным уравнением и не­ однородным начальным условием

№ _	( dW	,	1	dW \
dt	Ч дг2	+	г	дг ) ’	(4.102)
Г ( г ,0 ) = ? ( г ) ,		W ( a , t ) = 0,

где ф(г) — произвольная непрерывная функция. Будем решать задачу (4.102) методом разделения переменных, т. е. искать част­ ные решения уравнения (4.102) вида

W (r,t)=R{r)T{t),

(4.103)

удовлетворяющие только краевым условиям (4.102). Подстав­ ляя выражение (4.103) в уравнение (4.102), имеем

/? r= v r(tf" + — Я'),		чТ	R	-^ - = - х ,
\	г }			г R
где %— постоянная. Отсюда получаем
	7,'-fvX7,= 0 ;			(4.104)
	Д " + - 7 « '+ * Я = 0 .			(4.105)

Подставляя далее выражение (4.103) в краевое условие (4.102), имеем

R { a ) = 0.			(4.106)
Как видим, для функции R(r) получена задача			на собствен­
ные значения (4.105), (4.106). Уравнение		(4.105) можно перепи­
сать так:
r2R " + rR '+ \r2R = 0 ,			(4.107)
откуда видно, что при Я>0	оно совпадает с уравнением (4.57)
при v==0 и, следовательно,	имеет	общее	решение R =
*= CiJQ(\/Tr) +C 2Nо	Поскольку	функция	NQ (т ^ г ) на

оси цилиндра г— 0 обращается в бесконечность, следует поло­ жить С2= 0 и принять R в виде (отбрасывая несущественный для собственной функции, постоянный множитель)

R ( r ) = J 0(V \r).

Удовлетворяя краевому условию (4.106), приходим к уравнению /о (Via) = 0 , откуда, обозначая через ап, п— 1, 2,..., положитель­ ные корни функции Бесселя JQ{X), пронумерованные в порядке их возрастания, получим V~Tna = а п. Итак, собственные числа и собственные функции задач (4.105), (4.106) имеют вид

/г» ('-)= /0( - 7 ' ф

(4.108)

При Л=А,П уравнение (4.104) перепишется так: Т'п+уХпТп—0

и имеет	общее решение 7’п= С п ехр(—vXnt),	поэтому [см.
(4.103)]
	№'я( г .О = С Л ( - ^ - ^ е - * х» ‘.	(4.109)

Отметим, что если бы в уравнении (4.107) было выбрано Я<0, то ограниченными решениями этого уравнения явились бы функ­

ции /о (У — Хг), с помощью которых нельзя было бы удовлетво­

рить краевому условию (4.106), так как модифицированные функции Бесселя IQ(X) не имеют вещественных корней (см. § 4.7).

Вернемся к решениям (4.109). В силу линейности и однород­ ности уравнения и краевых условий (4.102) ряд, составленный из

^ ( r , O = 2 c „ / 0(i M e - ,V ,

(4.110)

/1»1

формально удовлетворяет уравнению и краевому условию функций (4.109)

(4.102). Остается	удовлетворить		начальному	условию	(4.102).
Подставляя ряд	(4.110)	в это начальное		условие,	полу­
чаем
	2 ^	o f —	Г) = ,Р(Г).

Этот ряд представляет собой ряд Фурье — Бесселя для функции ф(г) и его коэффициенты определяются формулами (4.74)

			а
	С .=--------------1гУ0 l ^ - ) 9ir)dr,								(4.111)
		«2/î(Œrt)	J’	'	Л	'
где учтено,	что /< /(* )= —Л (*). Итак,					решение задачи			(4.102)
найдено в виде ряда		(4.110),	(4.111).		между			решениями	задач
Как следует из формулы			(3.10),
(4.100), (4.101) и (4.102) существует связь
		t
	» ( г , / ) = | Г ( г , ( - г , / ) Л ,								(4.112)
где H7(r, t,	ср)— решение (4.110), (4.111)						задачи (4.102), в кото­
ром коэффициенты Сп зависят от ф (г)= /. Очевидно, что
	W (r,t- x ,< р ) = 2			'		'			(4.113)
		«=1
где
									(4.114)
Интеграл (4.114) легко вычислить с помощью формулы									(4.60),
в которой	следует	положить		v = 0 ,		{3=0,		а = а п, /= я , х—г,
/ о ( а „ ) = 0 , / 0 ( 0 ) = 1 :
					aVi («л)			t
						ап
причем вновь учтено, что /</(х) = —J\(x). Следовательно,
		с п-------- У—							(4.115)
			а л/ 1 (®л)
Подставим	теперь	функцию		(4.113)		в	интеграл (4.112). По­
лучим

Так как

о

I

то, учитывая выражение (4.15) для С п и (4.108) для Х п , полу­

чаем

и(г,0=-^И >(г,0)-ф (г,/)1,	(4.116)
V
где
	(4.117)
Выражение (4.116), (4.117) дает искомое решение	задачи
(4.100), (4.101). При t - + - o o из него следует, что
в (г, оо)= - ^ 2 1 ф (г, 0).	(4.118)
V

Можно ожидать, что, как и в задаче о течении вязкой жидкости между плоскими стенками, рассмотренной в § 3.3, влияние вяз­ кости приведет асимптотически течение в трубе к режиму, соот­ ветствующему стационарному (на интервале времени — <х>< / <

<+ ° о ) перепаду давления pi—р2. Решение us соответствующей

стационарной задачи

легко получить, переписав уравнение (4.119) в виде

J ___ d	/ d a s		f
г d r	\	d r j	v
и последовательно интегрируя		его с	учетом краевых условий
(4.119). Имеем
			(4.120)

Следовательно [см. (4.118)], можно ожидать, что

или

^ • 0 ) = т ( 1- 1 г ) -

<4-12I>

Вычисления показывают, что действительно сумма ряда (4.117) при * = 0 равна величине (4.121):

т. е. с течением времени влияние вязкости приводит нестационар­ ное распределение (4.116), (4.117) скоростей в трубе к стацио­ нарному распределению (4.120).

ГЛАВА 5

НАЧАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ И УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

f 5.1. РЕДУКЦИЯ ПОЛНОСТЬЮ НЕОДНОРОДНОЙ НАЧАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ. МЕТОД ДЮАМЕЛЯ ДЛЯ НЕОДНОРОДНОГО УРАВНЕНИЯ.

ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ. ФОРМУЛЫ ДАЛАМБЕРА, КИРХГОФА, ПУАССОНА

Рассмотрим в полупространстве/?^1	{х— (х\,... хп) œ R*,
/> 0 } линейное уравнение (3.1) относительно и(х, t)
M u = L u + f	(5.1)

и для него задачу Коши с начальными условиями в /?п в момент

/ = 0 :

и |/=о==фо(*^)» ^ l/—o:=<jPi(*^)» • * • » М/™о *Ра—1 (^)* (5.1 )

где k — порядок оператора М дифференцирования по времени t. В силу линейности операторов М и L решение и полностью неоднородной задачи (5.1), (5.1') представимо в виде суммы v + w решений двух задач с неоднородностью либо только в на­

чальных условиях, либо только в уравнении

M v —Lo%

Т>]/-0=?0» ...»	Uo = cP*-iî	(5.2)
Mw=Lw-\- / ,
w |,- o = ... ==w(,*_I) L .0= 0.		(5.3)

'Аналогично тому как в § 3.1 начально-краевая задача типа Б в (3.5) сводилась к задаче типа А, можно показать, что решение

задачи (5.3) представимо в виде

t
w ( x ,t) = ^ z (JC, t —t, t) dt,		(5.4)
о
где z(x, t, T) — решение задачи
Mz==Lz,		(5.5),
Z |,.O=...2<*-2>|,_O= 0,	2'*-» |(, 0 = f { X , T).
Нахождение решения задачи (5.3)	в виде интеграла (5.4)	от ре­

шения задачи (5.5) называется методом Дюамеля.

Перейдем к выводу формул, позволяющих найти решение за­ дачи Коши для волнового уравнения в полупространстве R+n+l

при п— 1, 2, 3.	колебаниях бесконечной
Рассмотрим задачу о свободных
струны
ин= а 2ихх в Æ ^={ — о о < JC< + оо, / > 0 } ,
tt|/=o=<pU)> tit \t ~о=ф (лО »	(5.6)
	— o o < j c < - f . œ ,

(т. е. задачу Коши для волнового уравнения в случае п = 1). Найдем сначала общее решение уравнения utt—a2uxx— 0. Для

этого выполним в уравнении замену переменных, взяв за новые' координатные линии характеристики. Уравнение характеристик, согласно (1.18), имеет вид

dx2—a2dt2—0.

Его общими интегралами (определяющими характеристики) яв­ ляются

x —a t—Ci и х —a t = c 2.

Положим

\ = x —at, 7 |= jc —[-at, и{х, t ) = u ($, т\).

(5.7)

Выполним замену переменных (5.7) в уравнении (5.6). Имеем

да	да .				.	,	да
— =	—	( —а) А-------а,
dt	dç				J	'	д-ri			d'là
дЫ	д*и		2		,	0	дРи ,	л2\ I
------- =	--------а 2			4	- 2		----------{ — CL1)		4 -	Л2,
d/2	ag2				‘		dÇdi}		1	dTj2
да	да		f	да
дх	dt			дП		д2U		d2а
а	д*и
д х 2	д£2					dçàq		dip

u „ - a 2uJCX= - 4 a 2 дЫ

и окончательно	0. Интегрируя последнее уравнение, полу­
чим

где f, g произвольные дважды непрерывно дифференцируемые

функции. Возвращаясь к переменным х, tf получим общее реше­ ние

u ( X tt) = f (x — at)-\-g(x-\- at).

(5.8)

Выберем теперь функции /, g так, чтобы и(х, t) удовлетворяло начальным условиям (5.6). Имеем

/(•*)+£(*)=<?(*)>

(5.9)

— аГ ( х ) (л:)=ф (х).

Интегрируя второе из этих равенств в пределах от Хо до х , по­

лучим

- / ( x ) + g ( x ) = - L			Г 4 t t ) d l - f ( x 0)+ g (x 0).			(5.10)
			Хо
Из (5.9) и (5.10)	находим	X
/ ( • * ) = Ÿ	Ï (•*) -	j	ф«) rfî + - £ - 1 / ц ,) - g (V I .
		Хо
1		x	t ( E ) d Ç + Ÿ [ - /U 0)+ gU -0)I.
ё ( х ) = ~ < ? ( х ) + - ± .		j
		X 0
Учитывая эти выражения, из равенства (5.8)					получим
			х —at
u ( x ,t ) = ± - f ( x - a t ) — JL Г				ф ({)^ +	- |- ?(л :+ аО +
			Хо	♦<««
	+ ~ L		х+ аJ/
И Л И			Хо
				+ J L	Г #Й)Л.	(5.11)
				x —at

Отметим физический смысл решений u\=*f(x—at) и «2—

—gix+at), сумма которых составляет общее решение (5.8).

4—288

97

Пусть *о — пересечение характеристики 1\: х—a t= x 0 с осью Ох.

На этой характёристике ui\il—f(xo) =	const, откуда следует, что
в момент времени t смещение щ[х,	t) точки струны х —хоЛ-at

равно смещению щ(х0, Q)=f(xo) точки струны хо в начальный момент времени t—0. Это означает, что начальное возмущение f(xо) распространяется в положительном направлении оси Ох по

закону Xo+at, т. е. с постоянной скоростью		d x	= а .	Функцию
		—
«1= f ( x —at)	называют прямой волной.	dt
Проводя	аналогичные рассуждения для	функции		«2= g ( * +

Л-at), получаем, что она описывает распространение начальных возмущений в отрицательном направлении оси Ох со скоростью а. Функцию Ü2= g (x + a t) называют обратной волной. Представле­

ние (5.11) решения задачи Коши (5.6) в виде суммы двух бегу­ щих волн (прямой и обратной) называют формулой Даламбера.

В случае вынужденных колебаний бесконечной струны выра­ жение (5.11) нужно сложить с решением задачи

w tt=ahs)xx-\- f(x ,t), w \t-o= w t П—o = 0 ,

t

которое согласно методу Дюамеля равно интегралуJ г (х, t—т,т) X

Х^т от решения задачи

z tt—a2zX X *

2 | / - о = 0 , z , 1/ - о = / ( * , * ) ,

т. е. имеет вид

t x+ a (t—т)
w (х , t) — _i_ f dx |	f ( \ , x ) d b
2а

Окончательно решение задачи Коши

utt= a 2U xx+ f(xJ),

u \t - o = 4 (x), ut \t+o=ÿ(x)

имеет вид

	в (л , 0 = - Ц * - д<>+Д-<*--12й	x+ at
		+ - t J ♦ « > * +
	2
		x - a t
	x + a (t —i)	(5.12)
	dx

0 x-a(t-x)

Выведем теперь формулу Кирхгофа для решения задачи Коши для волнового уравнения относительно и(х, у, z, t)

U(t О, {Ихх~\~ ttyy	(X, y, Z) £5	^ > 0 ,
и|/-о=<р(*,у«2),		(5.13)
|/_о=ф(.х, y, z).

Всилу линейности задачи (5.13) ее решение можно представить

ввиде суммы v + w решений следующих задач:

(1) rutt= a ? k a	(2) w tt= a ? k w ,
х»|/-о=0,	w |/=.о=ср,	(5.14)
Vt\t~o='f,	й;/ |/=о=0.

Задача (2) может быть сведена к задаче (1). Действительно, по-

др

лагая W = - T—, где р — решение задачи dt

ptt—a?kp,

p \t-о= 0, л1/-о=«р,

имеем

	V a=P ut= —	(а2Д/0 =	^2Д	j = àhû,
® |/-о = Л |/-о = ? ,		ге;1/^о=АИ /“0= Д 2Д/?^-о=0 ,
так как р| *в0= 0 .
Непосредственной подстановкой убедимся в том, что решение
первой из задач (5.14) имеет вид
	т > (х ,# ,г ,0 = — Ц -		f f	(5.15)
		АлйЧ	J J
		at
где S xa f ' z	— сфера радиуса at с центром в точке (х* у, z). Для

этого предварительно преобразуем интеграл по сфере перемен­ ного радиуса at в интеграл по сфере единичного радиуса.

Обозначим соответственно через ро и р радиусы-векторы то­

чек (х, у, z) и	(g, ri, %€== Sfry>z) (рис. 5.1).
Положим е =	- р	cos a -f-у cos р-}-k cos Y*	Тогда
	I Р - Pol
		£=x-|-ûtf cos а,
		Tj=#-|-Æ/cosa,	(5.16)
		ï , - z ~\-at cos а.

Пусть dsi — элемент площади сферы SJ0»0*0)'		единичного радиу­
са с центром в начале*координат, Тогда d s =		(at)2dsxи
v ( x , y , z j )	J Л(л*4-#£ cos а, у ± at cos z a t cosy)ds,
	5(0,0,0)
		(5.17)
Найдем vu и Av. Имеем

I f $(;t-f-alcosa, ^-f-aïcosptZ-l-a/cos'Y^s-b

4я 5(0,0,0)

ff

‘ 4я JJ \d t ~/n n n\ 5(0,0,0)

1

cos a + -^-cos fH—— cosy)			flfSj.
dr\	de	/ (£.4,0	(5.18)

»

Возвращаясь к интегралам по сфере S<*'V>Z)

и применяя фор­

мулу Остроградского—Гаусса, полу-

чим

V{x,y,z)Ш

Anat

at

t

4nat

где J ( / ) =

Щ

Aj.4,tWK.

If ( X , y , Z )

at

— шар радиуса at с центром в точке

(*, У» z);

At,v,z— оператор Лапласа

Далее имеем

по переменным |,

т], £.

_

1

, 1

I

,

1

â/(t)

Vtt=---- vA---- •о*-------- J (t)'-------—

- —

12

*

t* 1

4яа/A«/»/2 4

'

4яд/

dt

1

1

r

■v

— iM— — -/(O l— -r-*— ■/(< ) +

t

'

4nat

J

4я а /2

+ i k r

î î

Дм-''№ :

s(x>y>z)

at

5(0.0,0)Я Н =

bX,yV

^x,y,z

1

ЯH='

ъуА

4я

4яд2/

S(x,y,z)

at