книги / Методы математической физики и задачи гидроаэродинамики

Чтобы получить общее решение уравнения Бесселя и при целых V, нужно найти решение, которое было бы линейно неза­ висимо с функцией / п(х). Для получения такого решения вы­ берем в (4.42) произвольные постоянные С\, С2 следующим об­ разом:

		^	COS VJt		- I
		СгJ — ------------		sin vjt
			sin vit
Тогда	получаем	следующее		частное решение		уравнения		Бес
селя:
			cos	(*) — 7_v (*)				(4.45)
		N y(x) =		sin vjt
При v	нецелых	знаменатель		(4.45) отличен		от	нуля и дробь
(4.45)	имеет смысл. Кроме			того, поскольку		выражение		(4.45)
содержит функцию J			- y ( x ) при нецелых v линейно независимую
/ У(*), то при нецелых v функция N 4 ( x )					линейно		независима с
J y ( x ) .	Поэтому при нецелых v общее				решение уравнения			Бес­
селя можно написать в виде
			^ = С 1У,(л:)+ С 2Л/,,(л;),					(4.46)

где Сь С2— произвольные постоянные.

При v=n, где п — любое натуральное число или нуль, чис­ литель и знаменатель дроби в (4.45) обращаются в нуль:

cos n u l ft (Jf) J —д ( x )	( - 1)в / я ( * ) - ( - 1 ) я / п (* )	_ _ 0
sin лл	sin пЯ	0 *

T. e. при v = n функция Nv(x) не определена. Однако, как будет

показано ниже, предел этой функции Wm'Ny(x) существует. I V-*/!

Применяя правило Лопиталя, в результате ряда преобразова­ ний получаем

limW, (л:)=Иш	■^(cos ж / , - f _ v)			( _ 1)»|	дJ* ( - ! ) “■
	д .			я		d v
	-г— sin vrt
	dv
=*— JK(x) In X		2	л-1 (л — k — 1)1			(тГ“
Я	~2	я	*-о	kl
			■2
	/_1	1	ГГ'(* + 1) ,		Г (Я+* + !)]		(447)
	U

k\(n+k)l [Г(Л-И)

Г ( л + Л + 1) J '

Таким образом, мы можем доопределить функцию Ну(х) при v = n , положив

	jVn(;t)=-lim N H(jc)=lim					COS	(X ) — / _ ,		(A )
							sin vjt
		v->n		v-+n
	В частности, при я = 0		имеем
	JVo(*)=— /„(*) l n - f - —						(x/2 )2k		T'(k +	1)
						z<-*		(él)2	Г(* +	1) *
		ТС	Z	ТС
	В отличие от функции / я (х), функция Nn(x)							неограничена в ну­
	ле [см. (4.41) и (4.47)]:
	l i m / „ ( x ) = f * П Р И П				1	Н ш Л Г п ( а ' ) = о о , / 1 > 0 .
	*-»-о	[ 0 при п ^				х-*-о
	Поэтому функции /« (* ), Nn(x)				линейно независимы при любых

я^О и, следовательно, выражение (4.46) дает общее решение уравнения цилиндрических функций и при целых v.

Функцию Nv(x) называют цилиндрической функцией второго рода (порядка v) или функцией Бесселя второго рода. Ее назы­ вают также функцией Неймана.

Заметим, что так как Нш Nv(x) = о о при любых v, то в зада- x-vO

чах, в соответствии с физическим смыслом которых решение уравнения Бесселя должно быть ограничено в нуле, в выражении (4.46) полагают С2—0 и ищут решение в виде

ÿ = C 1/,(A ).

При решении ряда практических задач, связанных, в частности, с колебательными процессами, используют также следующие

.частные решения уравнения Бесселя:

Н<1)(x )= J ^ x )+ iN ^ (x ),

(4.48)

H i2){x)—J4 (х) — iN 4 (х).

Функции Н {} \ х ) %/ / S2>(AT) в одной и той же точке х принимают

комплексно-сопряженные значения и являются аналогом извест­ ных формул Эйлера

e'*= cosx-\-i sin х , erlx—cos x —l sin A*.

Функции N i^ W , H ^ (x ) называют цилиндрическими функция­

ми третьего рода (пбрядка v) или функциями Бесселя третьего рода. Их называют также функциями Ханкеля.

Цилиндрическая функция (функция Бесселя) первого рода имеет вид (4.39). Перепишем ее так:

/,(* )

ft-О

(х/2),2ft

(4.49)

ftlT(v + ft + I)

Продифференцируем это равенство по х, учитывая, что ряд (4.49) начинается со свободного члена и имеет лишь четные степени, получаем (суммирование начинается с й = 1, чему соответствует первая степень я)

	ft=l	(x/2j2k—I
d x		(ft— 1)1 Г (v 4-ft + 1)

Вводя новый индекс суммирования l = k —1, перепишем послед­ нее равенство в виде

7v	__ J _	у	/	w+i		(*/2)2f+1
d x х*	2V				/H (v + /+ 2 )
	*	V		( u t		W 2)2f
	r + l	é i			/!T(v + M -2)
или, учитывая соотношение			(4.49), в виде
				-х	v+l
	d x	х v			.V +	l
T . e.
	x d x				>+i		(4.50)
					.v+i	*

Таким образом, операция ---- состоящая в дифференцировании

	x d x
	I
по х с последующим умножением на — , будучи применена к
частному	повышает индекс на единицу и изменяет знак на

обратный. Ясно, что л-кратное применение операции-----, обозна-

				x d x
чаемое через &	приведет к следующему результату:
	\ x d x j	( - 1 )	я	Л +п
				^+п

Умножим теперь обе части равенства (4.39) на X*

JCV ,< * )= 2’ ÿ	(-1 )» — (xW4 '™	(4.51)
’	*1Г („+ *+ 1)

и результат продифференцируем по х. Имеем

—	x 'J ,= 2- Ÿ		k \T ( y + k )
d x	*	* *
		ft-О
	= х 2 у~1 У	(— l)ft	С */ 2 )2(v + ft-l)
	ft-О		k\ Г (v -f-k)

Учитывая (4.51), это равенство можно переписать так:

x'J4=	,
или
x d x	(4.52)

Как видим, операция —d , примененная к произведению X'Jv, xdx

понижает индекс этого произведения на единицу. Ясно, что л-кратное применение этой операции приводит к следующему равенству:

(— Y x'JH= x ' - nJ ^

\ x d x }

Из формул (4.50) и (4.52) можно получить важные следст­ вия. Применяя соотношение (4.50), имеем

(* -V v)'==—jr*Vv+1

или, выполняя дифференцирование,

—v x -vI/ t - f x~4J \ = —JC~V ,+I,

откуда

Л - Л +i.

(4.53)

Если теперь переписать формулу (4.52) в виде

{x4J4y = x 'J i - i

и выполнить дифференцирование

ч-j- X4J'4—JC’/ *—1»

^ = - ~ Л + Л - 1 .

(4.54)

Складывая формулы (4.53) и (4.54), придем к выражению, поз­ воляющему весьма просто вычислять производную цилиндриче­ ских функций

. (4.55)

Из этого выражения, в частности, следует, что

и так как J- \ — —/ ь то JQ ——/ L. Если теперь из (4.53) вычесть равенство (4.54), то придем к рекуррентному соотношению

Л +1(*)=2 — */,(*)—Л -iU ),	(4.56)
х

из которого следует, что все цилиндрические функции первого рода с натуральными индексами выражаются через /<)(*), <М*). В частности,

J2 (•^)== X J1 (^) J0 (^0*

В заключение отметим, что полученные здесь для цилиндри­ ческих функций первого рода соотношения (4.53), (4.54), равно как и их следствия (4.55), (4.56), остаются справедливыми и для цилиндрических функций второго и третьего рода. В этом легко убедиться, если воспользоваться представлением (4.45) и (4.48) для этих функций.

§ 4.5. ОРТОГОНАЛЬНОСТЬ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЯ ПЕРВОГО РОДА

Как было показано в § 4.2 [см. (4.24), (4.25)], уравнение

x 2y,,-\-xy,-\-Q?x2—v2)# = 0 ,			(4.57)
где Я, V — постоянные, с помощью подстановки ^—Хх приводит­
ся к уравнению цилиндрических функций
Р	as*	!Е -^ f+ (P - v*)ÿ=0.	(4.58)
		aç

Поскольку функция / v( | ) — частное решение уравнения (4.58), функция Jv{Kx) является частным решением уравнения (4.57), которое удобно переписать так (для этого обе его части разде-

d ( * - z 9 + ( x2* - - T ) ÿ= 0< dx

Таким образом, справедливы тождества

d	I	d г .. Л	, /.„	v2
dx	|*	J, ou o]+	k 2x —	j - j J,0 .x)= 0,

- t [х - ^ ] Л * х ) ] + ^ х - ^ у ^ х ) = 0 ,

в которых Я, р, Я=/=р— некоторые постоянные. Умножая первое тождество на 7V(рдс), второе — на 7V(Ях), вычитая второе из пер­ вого и интегрируя по JCв пределах от 0 до /, имеем

dJfax)

+(Я2—p2) J xJ't{\x )J^ x )d x = 0 .

0

Применив интегрирование по частям к первому интегралу, по­ лучаем

Г xJ4(рл)-р -У (Яде) —.* /, (кх)		dx	У, (р*)У +
L	dx		Jo

1

+a 2- P 2) J xJ^(kx)J4{^x)dx=0

иокончательно находим

i

( p 2— Я2) J xJ4{\x)J^x)dx=XkxJ^x)A(X x)—

о

— pxJjkx)JUpx)]o,		(4.59)
где штрих, как обычно, означает производную по аргументу		(Яде)
или (цх).
Так как, согласно (4.39),
	. (X/2)*+2*
• м * ) = 2 ( - D *	k\T(4 + k + 1) »
*=>о
то младшая степень х в разложении под интегралом (4.59)		рав­
на хх*х1,= х ъ +1.

Из курса математического анализа известно, что	Г хъ+х dx
	о

(несобственный, если 2 v + l< 0 ) сходится при 2 v + l > l , т. е. при v > — 1. Именно такие v и рассматриваются в дальнейшем (для большинства приложений представляет интерес случай v^O ).

В правой части (4.59) младшая степень х такова (v=5^0):

хх',х',~х= х ъ

и при — l < v < 0 и лг-Я) неограниченно возрастает. Поскольку, однако, интеграл (4.59) имеет смысл для любых v > — 1, для этих v должна иметь смысл и правая часть (4.59), на основании этого заключаем, что коэффициент при младшей степени х2» равен ну­ лю (непосредственная проверка подтверждает этот вывод).

Следующая по старшинству степень х под интегралом (4.59) имеет вид x2(v+1>и, очевидно,

lim JC2(V+1>=0, v > —	1.
JC-+Q
Отсюда следует, что правая часть (4.59)	при х = 0 обращается
в нуль (случай v = 0 не представляет исключения, так как при
v = 0 младшая степень х в правой части	(4.59) положительна и
равна двум).	(4.59) пределы х—
Подставляя в правую часть равенства
= 0 , х—1, перепишем его в виде

I				цЛШ) J",M l I
(ji2—X2) у xJ, ÇKx)]%(р*) dx=[U, (pl)J', (X/)-
о
или, полагая,	к—а/1,	р.= Р//, где	а, р, а # р — постоянные,— в
следующем виде:
( x J ^ - f x y ,	( ± d	x = - ^ r	[aJ4(Р) у;(а) -	РЛ (а) ^ (ВД.
				(4.60)

До настоящего момента числа A,, jx, а такжё и а, р были произ­ вольными постоянными. Пусть теперь а, р, а ^ Р — различные корни функции Бесселя / v(х), т. е.

Л <«>=о. Л (Р )= о

(существование у функций Бесселя бесконечного множества по­ ложительных корней будет установлено в § 4.6). Тогда из равен­ ства (4.60) получаем

I

J х У, ^-у- xj У,

d x —0

(4.61)

и тем самым установлена ортогональность функций Бесселя вида

У, Гу- х \ , У, f-y Jtj с весом х на сегменте [0, /].

Пусть, далее, а ^ р — корни уравнения

xJ\(x)-\-HJ4(x)—0, //= c o n s t> - 0 ,

(4.62)

называемого уравнением Дини (существование положительных корней этого уравнения также будет установлено в § 4.6). Пока­

жем, что функции У, » Уэ ( у - * ) ортогональны и в этом

случае (с весом х на сегменте [О, I] ).

В самом деле, записав два очевидных равенства

аУ; (а)+ ЯУ„ (а)=0, рУ;<Р)+ Я У, (р)=0,

умножив первое из них на / v(p), второе — на / v(a) и вычитая второе из первого, найдем

аУ, (р) У; ( а ) - рУ, (а) У; (Р)= 0 ,

что и требовалось [см. (4.60)] показать. Вычислим теперь интеграл

			I
			Г xJ\ ^у-x jd x ,
где а — любая		(положительная) постоянная. Замечая, что пра­
вая часть равенства			(4.60) при р = а имеет неопределенность ви­
да	и, используя правило Лопиталя, получаем
I	[Y *)		[о /, (Р) у, (а) - к (о) у; щ =
J
о
	= / 2iim	ГаУ; (Р) у; (а) —У, (а) У; (Р) — рУ, (а) J\ (р)1,
	P-W	J p L	J
т. e.
fxJ*			“У,(о)У;(°)].
’			(4.63)
Из уравнения Бесселя х2у"+ху'+ (х2—v2) y — 0 имеем
ху" =	—		у , т. е. справедливо тождество

х Г ( х ) = —J\{x)—\^x— j - j У, (*).

(4.64)

Полагая в (4.64) x = a и подставляя выражение

aJ'y(a)= —У;(а)— — ^ У ,( а )

в правую часть (4.63), имеем

;

п

J*7? { T x ) d x = j t [аУ»+(“-v)y-(o)]

или, окончательно, i

j	(-7-	[J ? «») + ( 1 —	л (“>] • <4-65)
0

В выражении (4.65) постоянная a — произвольная. Если же a — корень функции Jv(x), т. е. / v(a )= 0 , то выражение (4.65) упро­ щается и принимает вид

( ^ - ху х = ~ Г Ч а ) .	(4.66)
Учитывая соотношение (4.53), из которого следует,	что если

/ v(a )= 0 , то /'v( a ) = —/v+i(a), равенство (4.66)			можно записать
в виде
I
\ х Л , { ^ - х у х = ^ Р ^ { о . ) .			(4.67)
b
Объединяя формулы	(4.61), (4.66), (4.67), получаем
г	[ 0 при	а,

] j x J ’ ( т х ) J ' ( / x ) d x -

Y y ?<a> = T JUt<a> при р==а’

(4.68)

где а, р — положительные корни уравнения / v(jt)=0, v > —1.

'Пусть теперь a — корень уравнения Дини (4.62), т. е.

аУ ^ (а )+ ^ Л (а)= 0» Я > 0 .

Тогда, выражая отсюда /'v(a), подставляя в (4.65) и объединяя результат с формулой (4.61), будем иметь

О при	а,
• f - ( И -	Н\ г Л) А («> при р— а,
	(4.69)

где а, р — положительные корни уравнения Дини.

Установив факт ортогональности функций Бесселя первого рода, рассмотрим некоторые часто встречающиеся при решении задач математической физики разложения по функциям Бесселя. Пусть функция f(x) такова, что на сегменте [0, /] она предста­

вима в виде следующего ряда по функциям Бесселя:
/ (х)= 2		■	(4-7°)
ft-i	'	'	/

Здесь Ад — постоянные коэффициенты, аь. — положительные кор­ ни одного из уравнений

Jv(x)=0, х У' ( х ) ^ Н Уу(х), / / > О,

(4.71)

пронумерованные в порядке их возрастания, т. е. 0 < a i < a 2< . . . <

< сеа< ... . Умножая обе части равенства (4.70) на xJу	^	,
где ап— какой-либо фиксированный корень одного из	уравне­
ний (4.71), и интегрируя по х в пределах от 0 до /, получаем		(в

предположении, что ряд (4.70) допускает почленное интегриро­ вание, например равномерно сходится на [0 ,4 )

»	-	I
[ ХК (-у - xj / (х) d x =	2	ап |" xJ,	{ ^ ~ x) d x -
			(4.72)

Учитывая ортогональность функций Бесселя [см. формулы (4.68), (4.69)], заключаем, что при к ф п все интегралы в правой части (4.72) равны нулю и, следовательно,

t I

JXJ'	Х)^^ dX==а>пJxJ2'	Л)dx%
о	о

откуда (заменяя индекс п на k)

(4.73)