книги / Методы математической физики и задачи гидроаэродинамики

Интеграл в знаменателе дроби (4.73) определяется одной из фор­ мул (4.68) или (4.69), в зависимости от того, корнями какого из уравнений (4.71) являются числа ал.

Так, если ал — корни функции / v(x), то		на основании	(4.68)
формулу	(4.73) можно переписать в виде
	I
ак==	/2/^(0 )~	£ = 1 > 2 ,3 ,....	(4.74)

Если же ал — корни уравнения Дини, то формула (4.73) прини­ мает следующий вид^

	аА—	2	--------Гл-Л	(x)tix. . (4.75)
		т —v2
	/ 2/1 +		7v(aft) 'g
		2
	■(	ак
	Ряд (4.70) с коэффициентами (4.74) называют			рядом Фурье —

Бесселя, а тот же ряд с коэффициентами (4.75) — рядом Дина — Бесселя. Ряды Фурье — Бесселя и Дини — Бесселя получены фор­ мально. Приведем без доказательства некоторые достаточные ус­

ловия разложимости функции f(x) в эти ряды,		ограничиваясь
случаем v^O ,	0, наиболее распространенным в приложениях.
Т е о р е м а .	Если f — непрерывная кусочно-гладкая функция
на сегменте [0, /] и v^O , то ряд Фурье — Бесселя		(4.70), (4.74)

сходится на интервале (О, I) к функции f(x). На конце х = 0 сег­

мента	[0, /] ряд сходится к f (0)			при v = 0 и сходится к нулю при
v > 0	так как при v > 0		члены ряда обращаются в нуль в точке
х = 0 ) . На конце х—1 ряд сходится к нулю при						любых v^>0,
так как
		• Ч - lH L		=	y’(a*) = 0 '
поскольку аь — корень функции U (х).
Т е о р е м а .		Если f (x) — непрерывная кусочно-гладкая функ­
ция на сегменте [0, /] и v^O , Н^О, то при v-f Я > 0						ряд Дйни —
Бесселя (4.70),		(4.75)	сходится на интервале [0,			/] к функции
f(x).				/]	ряд сходится к f (0) при v = 0
На конце х = 0 сегмента [0,
и сходится к нулю при v> 0 .				Я = 0, особый. Оказывается, для
Случай V+H—0, т. е. v = 0 ,

того чтобы последняя теорема была справедлива и в этом случае, к ряду Дини — Бесселя (4.70), (4.75) нужно добавить постоян­ ную, в результате ряд принимает вид

/(*)= ао+|;а Л (-^ - x'j

(4.76)

(добавление постоянной До эквивалентно добавлению 1.к систе­

ме функций У,		3» — • Тот факт, что единица ор­
тогональна функциям	У0	x j . т. е.
I
^xJ0 ^ j - x j d x = 0, £ = 1 ,2 ,: ..,			(4.77)
О
немедленно следует из равенства (4.60), если в			нем положить
v = 0 , Р = 0, /'о (а )= 0 ,	а ^ О	и учесть, что / о(0) =	1.)

Для получения формулы, определяющей коэффициент д0, по­ ступим следующим образом: умножим обе части равенства (4.76) на х и результат проинтегрируем в пределах от 0 до /. Получа­ ем

с**

=з 0 \хс1х-\-Уа.ь

«у

или, учитывая (4.77),

ао	J x f (■*)d x -	(4.78)
	о

Изложенное приводит к следующей теореме.

Т ео р ем а . Если f (х) — непрерывная кусочно-гладкая функ­

ция на [0,	/] и v = 0 , И — 0 (т. е. v + H = 0),	то ряд Дини — Бес­
селя (4.76)	с коэффициентами (4.75), (4.78)	сходится на сегмен­
те [0, /] к функции f(x).

§ 4.6. КОРНИ ФУНКЦИЙ БЕССЕЛЯ И УРАВНЕНИЯ ДИНИ

Для того чтобы убедиться в существовании положительных корней у функций Бесселя и уравнения Дини (4.62), воспользу­ емся асимптотическим представлением функций Бесселя, т. е. их представлением при больших положительных значениях ар­ гумента. Для получения асимптотического представления осуще­ ствим в уравнении Бесселя

х2у"-\-ху'-\-(х2—V2) у =	0	(4.79)
подстановку
y —tïv,		(4.80)
где г/=V (х) — новая искомая функция,	и = и (х) — известная
функция, которая будет выбрана ниже.	Подставляя	(4.80) в

82

(4.79), получаем

л;2(и"г>-|-2u'v' - f + J C + « T ir) + ( JC®— v2)*w>=0

или

«'Ч2^+т У Ц ^+т ^+1-^)*=°- <4-8i>

Выберем теперь и(х) так, чтобы коэффициент при vr обратился в нуль

2.“L-|~L=o.

иX

Решая это дифференциальное уравнение, получаем

2 In и -J-lnх —2In С, u=C fofх.

Полагая постоянную интегрирования С = 1, имеем

				u = \ f - / х\		(4.82)
так как и = х ~ 1Г2, и' =				— -	х ~^2, и"=-^-х~5/2 и, следователь-
				2	4
но,	и'	1	и"	3		подстановки вы-
	-----=	-------- ,	------=	------ , то в результате

и2х и 4x2

ражения (4.82) в уравнение (4.81) последнее принимает вид

v " + Q (x )v = 0 , Q{x)— X- —- — (-1.

(4.83)

Итак, преобразование

y=vlyTx

' (4.84)

приводит уравнение Бесселя (4.79) к виду (4.83). Из выражения (4.83) видно, что при достаточно больших х>0 коэффициент Q(x) сколь угодно мало отличается от 1, а уравнение (4.83) — от уравнения

v"-j-v=0,

которое имеет общее решение

*u=Y0 sin (лг+80),

причем

v f= y 0cos(x+b0),

где YO» ôo — произвольные постоянные. Поэтому можно ожидать, что при достаточно больших х решения уравнения (4.83) описы­ ваются функцией

v = y 0sin (л:+ ÔQ)+ а C-«).

(4.85)

83

где а(х) — бесконечно малая при	х-
этой функции имеет вид
-о' = Yo cos (л* +	80)+(3 (*),	(4.86)

где р(х)— также бесконечно малая при х-*-оо. Но тогда, как следует из формул (4.84), (4.85), решение уравнения Бесселя при больших х>0 должны выражаться соотношением

y = y Y

sin < * + so > + - ^ § - .

(4.87)

показывающим, что при больших х > 0 , когда а{х)х~х12^ 0 ,

любые

решения уравнения

Бес­

\

селя

имеют вид затухаю­

щих

гармоник

и

облада­

ют, следовательно,

беско­

0,3

нечным

(счетным)

мно­

жеством

положительных

ч

\ V

Ы/

\х У 1

ю\Х -

корней (на рис. 4.2 изо­

бражены

графики

функ­

- 0,2

15

- 0,0

V

ций

/„(*),

Ji{x),

Nо(х),

- 0,6

Nt(x)).

- 0,6

Эти качественные рас­

суждения

можно

строго

- 1,0

обосновать и подтвердить

правильность

асимптоти­

ческого

представления

(4.87), что позволяет оце­

нить порядок

бесконечно

малой

а(х) и,

следова­

тельно,

погрешность, до­

пускаемую

при

замене

точной

формулы

(4.87)

приближенной

У= ~у=^ sin (* + 8о)'

Известные

оценки

[1]

по­

казывают,

что

бесконеч­

но малые

а{х),

р(л:)

в

имеют порядок \fx при х

-оо, т. е.

формулах

(4.85),

(4.86)

Urn .

const ф Б,

lim

-E ifl =

const ф О

\lX

X-Voo

l/х

г

или а(х)— 0(\!х), р ( х ) = 0 ( l/х)

при *-»-оо. Таким образом,

,,__

Yo

s,n (ЛГ-|-8о)+ О

у - у

т

Ряд (4.38), определяющий функции Бесселя, сходится не только при любых действительных х, но и при любых комплекс­ ных х (см. теорему Абеля), т. е. функции Бесселя, определены при любых комплексных значениях аргумента (за исключением, быть может, нуля, если р <0). Поэтому возникает вопрос: не имеют ли функции Бесселя комплексных или чисто мнимых кор­ ней?

Легко убедиться в том, что функции Бесселя первого рода Jv{x)f при — 1 комплексных корней не имеют. Действительно, в силу вещественности коэффициентов ряда (4.38), определяю­ щего функцию /v(x), комплексные корни уравнения / v(x )= 0 могут быть только_сопряженными, т. е. если а= а -И ‘&— корень

функции / У(*), то а = a —ib также ее корень. Но тогда условие ортогональности (4.61), полученное для $фа, р2—а2= 0, v > — 1

в случае р=а, а ф 0, Ьф0 (и, следовательно, р2—а^О )	прини­
мает вид
I
j JCУ, f - y х) У, (-j-x) d x = 0 -	(4.88)
О

Под интегралом стоит произведение сопряженных величин, т. е. неотрицательная функция

> 0 ,

поэтому интеграл (4.88) строго положителен, в то время как он должен быть равен нулю. Это противоречие показывает, что лю­ бая функция /у(х) при v > — 1 не имеет комплексных корней. Не имеют функции Jv(x) при v > — 1 и чисто мнимых корней (усло­ вие ортогональности (4.88) теперь использовать нельзя, так как правая часть формулы (4.60), из которой оно получено, при корнях a=ib, р = —ib, а2= р 2= —b2 принимает вид неопределен­

ности		Действительно, если a= ib, ЬФ0 — корень функции
/у (*), то,	полагая в выражении		(4.39)	x—ib		и замечая,	что
(— l)*t2ft= l , получаем
		т +п	1Ь\'		»	( - Г
					у	1 2 /
	ft-0	Л !Г(у+£ + 1)	2	)	Д	*!r(v + *+'l)	‘
						(4.89)

Поскольку правый ряд (4.89) состоит только из положительных чисел (при v > — 1 аргумент Г-функции fe + v + l> 0 для всех k=> = 0 , 1, 2, ...), его сумма положительна и, следовательно, равен­ ство Jv{ib) = 0 невозможно.

Итак, любая функция Jv (x) при v > — 1 имеет только вещест­ венные корни (бесконечное счетное множество вещественных по­ ложительных корней).

Перейдем теперь к исследованию корней уравнения Дини:

xJ\{x)-\-HJ^{x)—0, //= c o n s t > 0 .

(4.90)

Перепишем его так:

z ( x ) = —И , z(x) =

.

(4.91)

Найдем производную z' (х) :

, * / / ; + /

gT______у *____ у *_____

/J 2v

и подставим в нее выражение для / v" из уравнения Бесселя лг2-ч2

ДГ2

В результате получаем
	(ЛГ2 - у 2 ) /; + ^ / ; >
*'(*) =		»
	x i \
откуда видно, что при любом х > |v|		производная г'(х) < 0 .
Пусть теперь p > a > |v | — два смежных положительных кор­
ня функции /v(x). Из выражения		(4.91), учитывая знак произ­
водной z' (х), имеем
lim z ( x ) = - {-оо, lim z { x ) = — oo.
jr-Kt+O	x-»-P—0
Так как производная zr (x) всюду отрицательная, то функция
z(x) монотонно убывает на интервале (а, р) от + о о			до — оо и,
следовательно, в некоторой	точке	х = х 0 принимает	значение

(—Я ), т. е. уравнение (4.91), а, значит, и (4.90), имеет ровно один положительный корень, лежащий между смежными поло­ жительными корнями функция /v(*). Тем самым установлено, что уравнение Дини имеет бесконечное счетное множество по­ ложительных корней.

Как и функции / v(x), уравнение Дини при v > — 1 не имеет комплексных корней, в чем легко убедиться с помощью соотно­ шения (4.88). Не имеет уравнение Дини и чисто мнимых корней, если только v + Я ^ О . Действительно, используя разложение (4.39), уравнение Дини можно привести к виду

(у + Я -f- 2k) (лг/2)v+2ft

2 < - « * *-о

откуда,.полагая x=ib, Ь ф 0, приходим к уравнению

у	(у + Я + 2k) ( Ы 2 у +2к _	(4.92)

А ! Г ( у + * + 1)

Поскольку при v + tf^ O , v > — 1, все слагаемые в левой части (4.92) положительны (за исключением первого слагаемого, об­ ращающегося в нуль при v + tf= 0 , k=Q) равенство (4.92) не­ возможно.

§4.7. МОДИФИЦИРОВАННЫЕ ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ

В приложениях наряду с уравнением Бесселя встречается и «похожее» на него уравнение (модифицированное уравнение Бесселя)

x Y + x y ' - ( x 2+ ^ ) у = 0.

(4.93)

Будем искать решение этого уравнения с помощью ряда (4.28), который исподьзовался для получения решений уравнения Бес­ селя. Подставляя ряд (4.28) в уравнение (4.93) и повторяя те же выкладки, что и выше [см. (4.29) — (4.33)], придем вместо формулы (4.33) к соотношению, отличающемуся только знаком

	а2к— '	#2fc—2	k— 1 ,2 ,3 ,....
		Ш (р + к)

Следовательно, в формулах (4.34), (4.35) будет отсутствовать множитель (— 1)А и решения Iv{x), I-v(x) уравнения (4.93) име­ ют вид рядов (4.39), (4.40), но без множителя (—l) ft:

		(* /2)v+2ft
	л с * > - 2	(4.94)
		£!Г (у+ й + 1)
	ft=-0

(лг/2)—v+2fr

(4.95)

ft~0 * ! Г ( — v + k + 1)

При V нецелых аргумент Г-функции в формулах (4.94), (4.95) также нецелый и, следовательно, Г-функция в бесконечность не обращается. Это означает, что при v нецелых ряды (4.94), (4.95) начинаются с различных степеней х и, следовательно, функции Iv(x), I-v{x) при нецелых v линейно независимы (их отношение не есть тождественная постоянная). Поэтому при v нецелых об­ щее решение уравнения (4.93) можно записать в виде

?(х),

(4.96)

где Ci, Сг — произвольные постоянные.

При v целом (v —n, п = 1, 2, ...), повторяя приведенные выше рассуждения, приходим к равенству (4.44), но без множителя

(— 1)":

1 - „ ( Х ) = 1 п ( Х \

т. е. функции 1-п(х), 1п(х) линейно зависимы (совпадают). По­ этому при целых v(v=rt, n = 0 , 1, 2,...) выражение (4.96) не дает уже общего решения уравнения (4.93).

Для того чтобы найти решение уравнения (4.93), линейно независимое с /„ (х), положим в формуле (4.96)

я	л
2 sin vя * С2	2 sin \ я

Тогда-получим следующее частное решение уравнения (4.93):

К , (х)

sin мл

При нецелых v функция /Cv(*) имеет смысл (знаменатель отли­ чен от нуля) и линейно независима с /V(JC), так как содержит функцию I~v(x). Следовательно, при нецелых v общее решение уравнения (4.93) можно записать в виде

У—Cj/, (X )-\-C<LK,, (х ),	(4.97)
где Сь С2 — произвольные постоянные.	не опреде­
При целых v (v = n , п = 0, 1, 2, ...) функция Kv(x)

лена (числитель и знаменатель обращаются в нуль). Доопреде-

делим функцию К„(х)	при целых v, полагая
„ , v ..	„ . . ..	л	(х)
Кп(х)=\т КАх)=Ьт --------2__-----2-----.,
	тt+n	*	sin vrt

Раскрывая неопределенность по правилу Лопиталя, получаем

д

		(J y	V	“ “V		Ч'		dl_	dl
К п( х ) = Y		—	( /		- * ■ )				__\
		lim	à .					~lh
									1 —я
		—г— Sin ЧЛ
			dv
В результате вычислений можно получить выражение
к . ( * ) - ( -	1 г +v . u ) 1пт				+	т 2	( - в»		( 4 - ) " " ^ +
						k	о
I__!_ У ' ' 2 I						Г Г* (А + 1)		. Г ' ( А + п + 1) 1
"Г	2	Д *!(» + *)!				L Г(А + 1) i ’ r ( 4 + n			+ l)J

							/ л:	\ »	Г'(* + 0
АГо (■*)—		/о (*^) у			~1~2		( Т	)
							(Л!)2Г(Л + 1)
						й=»0
Функции /„(*)	ограничены в нуле [см. (4.94)], а функции Кп(х)
неограничены	[см. выражение для Кп{*)> /Со(■»-)]:
Нш /Л(л )= (		*	П^И П		^ ;	lim Кп(х)=со,				0.
дг-о	[	0	при		1	х-*0.
Поэтому функции 1п(х),				Кп(х)	линейно независимы при любых
« ^ 0 , и, следовательно,				выражение			(4.97)		дает общее	решение
уравнения (4.93) и при целых v, v = 0 ,							1, 2 ,....

Уравнение (4.93) называют модифицированным уравнением цилиндрических функций (модифицированным уравнением Бес­ селя). Функции 7v(x), Kv(x) называют модифицированными ци­ линдрическими функциями (модифицированными функциями Бесселя) соответственно первого, второго рода (рис. 4.3). За­ метим, что в задачах, согласно физическому смыслу которых ре­ шение уравнения (4.93) должно быть ограничено в нуле, в выра­

жении (4.97) следует положить С г= 0 (так как lim Kv(x) = do

X-+Q

при любых v) и искать решение задачи в виде y=C \Iv(x). Иначе обстоит дело с внешними задачами, в которых решение уравне­ ния (4.93) должно быть ограничено на бесконечности. Как сле­ дует из асимптотических представлений

'.™ = w Мт)]* *-<^ ¥[1+0(т)]'

верны предельные соотношения
И ш /,(л:)=оо,	Iim/Cv(-*)=0	(4.98)
X-*-—	X

(первое из равенств (4.98) очевидно, поскольку члены ряда (4.94) при х-»-оо неограниченно возрастают и имеют одинаковый

знак). Поэтому для получения ограниченного на бесконечности решения уравнения (4.93) в выражении (4.97) следует положить C i= 0 и искать решение соответствующей задачи в виде у=*

=C2Kv (я) •

Взаключение отметим, что, как следует из выражения

д ÿ	(*/2)ц
	А ! Г (v + А + 1) ’

функция 1у{х) при v > — 1 не может иметь вещественных корней (все слагаемые ряда о положительны), за исключением, быть может, точки х = 0 . Исходя из сказанного о корнях функций Jv(x) (см. § 4.6) и учитывая легко проверяемую связь

можно утверждать, что все корни функции Iv(x) при v > — 1 чис­ то мнимые. В § 4.8, 6.5, 7.5, 7.6 рассмотрено несколько задач на применение функций Бесселя.

§4.8. ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ

ВЦИЛИНДРЕ КОНЕЧНОЙ ДЛИНЫ

Пусть в круглом цилиндре конечной длины h и радиуса а, ось которого мы примем за ось Ох, находится в состоянии покоя вязкая жидкость (рис. 4.4). В момент ? = 0 внезапно на торцах цилиндра создается перепад давле­ ния р\—Рг>0, который в дальней­ шем сохраняется постоянным. Тре­

	буется определить возникающее в
	жидкости поле скоростей.
	Принимая	движение жидкости
	прямолинейным,		а градиент давле­
Рис. 4.4	ния постоянным
	d p	_	Р2 — Р1
	дх		h

можно воспользоваться уравнением (3.38), описывающим пря­ молинейные движения вязкой жидкости

-~ -= 7 Д я - f / , u = u (y ,z,t),

(4.99)

где

	1	др	—— — = Const.
	р	дх
			рА