книги / Методы оптимизации эксперимента в химической технологии
..pdf4" bxlXj *4" • • • +
квадратную матрицу
*>n |
1/a ^ ia |
• • • |
1/a ^ ife |
|
1/ a ^ a i |
^aa |
• • • |
1/a^afc |
(V.101) |
Д = |
|
|
|
|
Va*>fti Va^fca |
••• |
*fcfe |
_ |
|
в которой b ji = b/t/ . |
|
А.ц, ..., |
уравнения регрессии |
|
Для определения коэффициентов |
в каноническом виде (V.88) необходимо найти корни характеристиче ского полинова Рк ( А,) матрицы Д:
РЛ(Х) = |В~Х£|, |
(V.102) |
|||
где Е — единичная матрица, или |
|
|
|
|
Ьц-- |
X |
Vi ^12 |
|
v 2blft |
Va ^ai |
^аа— ^ |
|
V ,** |
|
Рн (Х) = |
|
|
|
(V.103) |
1/%Ьк1 |
Va^fca |
••• |
— * |
|
Ортогональное линейное преобразование для X координат задается |
||||
системой уравнений: |
|
|
|
|
* 1 = Юц (**— х и ) 4* rnlf (*2 — |
4- • • • 4- т 1к (х к — **,), |
|||
X t = mt l (*!— *u) + m„(x* — д^)4-... |
+/«2Л(Jffc — ***). |
|||
............................................................................................. |
|
|
|
(V. 104) |
* k = m*i (*i — *w) + т |
к% ( ь — я и ) 4- • - • 4- т кк (х к — **,). |
Коэффициенты т 1к являются решениями к систем однородных уравнений. Для к/ система будет иметь вид
(6ц — X|)mii4“ 1/a^ia«*la4- ••• 4“ Va Ь1к n*lh = О,
: |
: |
(V. 105) |
1/ * b k l m i 1 + |
1/ i bk t m t t -{' ... |
4-(&*fc — ^i)«»ik= 0. |
Так как решения уравнений лишь пропорциональны тем величинам Шц , которые необходимы для ортогонализации линейного преобразова ния (V.104), их пересчитывают, принимая во внимание условие орто гональности:
mJ,+m?2+ ...+ m ? ft= l , i = 1.2, |
, ft. |
(V.106) |
Вычислив коэффициенты уравнения регрессии в каноническом виде, тем самым определяют тип поверхности отклика. Тип поверхности отклика определяет стратегию поиска экстремума. Если поверхность от клика представляет собой эллиптический параболоид и Лп<0, Л^СО,
-X*
Рис. 3 9 . Гиперболы равного выхода |
Рис. 40. Поиск экстремума при наличии |
|
ограничений |
Корни полинома ^.i —-Ю,35, А.2 —-1,85. Уравнение в канонической форме
у—52,12 = 0.35 Х ?-1,85 Х^ .
Поверхность отклика —гиперболический параболоид. В сечениях поверхности отклика плоскостями у = const —гиперболы (рис. 39). В центре поверхности —минимакс. Линейное преобразование задается системой:
Хх = 0,920 хх + 0,39 *4,
Х4= —0,39 *!+ 0,92 х4.
Для определения максимальной степени разложения выходим из минимакса по оси X 1 (коэффициент канонической формы положительный), приравняв Х а нулю:
Увеличивая р, проверяем при этом выполнение условий xi =х*<2 . Максимальная величина степени разложения получилась равной 5 3 ,5 % (х\ = ±1,82; ха = ± 0 ,7 9 5 ).
При увеличении у до |
54% значение х\ > 2. |
В |
полученных оптимальных условиях |
||
(x i-+1,82; |
Х2 - + 2 ; |
хэ -+1,533; *4 -+0,795; * 5 - |
-2) |
и (лп----1,82; х2 - + 2 ; х з - +1,533; |
|
Х4 —-0,795; |
Х5 ——2) |
были |
поставлены контрольные |
опыты. Степень разложения полу |
чилась соответственно равной 55,8 и 53,7%. Таким образом, расхождения с расчетными лежат в пределах ошибки эксперимента (sy = V 4,466 = 2 ,1 ).
Если процесс описывается несколькими уравнениями регрессии, при ходится решать компромиссную, задачу —определять экстремальное значение одной функции отклика при ограничениях, накладываемых другими функциями отклика и границами области исследования (рис. 40). Пусть требуется найти экстремум функции y = f (xi, хк\ которая зависит от к переменных Xj(j = 1, ..., к \ связанных в свою очередь соотношениями
... ,*ь) = 0, и= 1, ... , m, т < k. |
(V. 109) |
Экстремум, который достигается функцией J{xv |
хк) с учетом вы |
полнения соотношений (V.109), обычно называется условным или от носительным. Аналитически эта задача поиска условного экстремума решается с применением множителей Лагранжа. Формально задачу
отыскания условного экстремума функции / можно свести к определе нию безусловного экстремума функции Лагранжа:
т |
|
|
Ф (X, X) = / (х) + ^ |
(*Ь |
(V. 11 0) |
и=1 |
|
|
рассматриваемой как функция к+ т переменных, где |
неопределен |
ные множители Лагранжа. Примером применения неопределенных мно жителей Лагранжа может служить решение такой компромиссной задачи. В широком диапазоне изменения параметров исследовали процесс кон версии нитрата кальция и фосфорной кислоты в твердый монокальцийфосфат и азотную кислоту в присутствии /2-бутилового спирта. Был реализован ротатабельный план второго порядка и получены уравнения регрессии вида:
ух = 60,9+ |
14,5 хх+ |
3,83 х3 — 4,р9 х4 |
+ 2,14 хАх3 |
+ |
2,71 ххх4+ |
|
+ 2 , 2 1 XiX6+ |
1,28 х2 х3 |
— 2,48 х3 х4 + 0 , 6 |
8 |
х* + 0 , 6 8 |
х ^ + 0 ,8 х§ , (V. 1 1 1 ) |
|
у2= 1,682 — 0,85 Xj + 0,2722 х3 + 0,062 х4 |
— 0,041 ххх4 |
— 0,034 х^б + |
||||
|
+ 0,032 х3х4—0,0235х§ — 0,015x2 f |
|
(V.112) |
где у\ —степень конверсии; yi —отношение питательных веществ в удоб рении в пересчете на Р20 5 и N (азот); —концентрация исходной фос форной кислоты; л^-продоложительность контакта; х3—норма фосфор ной кислоты в растворе; х4 —объемное отношение кислота: спирт; х5— температура конверсии.
С учетом ограничений на независимые переменные, накладываемых первой стадией процесса —кислотного разложения фосфатов: х, =-0,5; х5 = 0, и необходимостью работать с высокой производительностью х2 = 0 имеем:
у1 = 53,65 + 2 ,76хз + 5,45х4 — 2,48 ХдХ4 + 0,68 х^ , |
(V. 113) |
у2 = 2,112 + 0,2722хз+ 0,083 х4 + 0,032 х3 х4 — 0,0235х|—0,015x2. |
(V.114) |
На соотношения питательных веществ в удобрении по агробиологи ческим соображениям накладываются ограничения. Необходимо было получить удобрения с одним из следующих соотношений питательных веществ:
P2Oft * N = 1s1; P20 6: N = 1,5:1; P206«N = 2:1.
Причем предпочтительнее всего получить уравновешенное удобрение с соотношением 1:1. С применением неопределенных множителей Лагранжа решалась задача определения значений х£пт и х4опт, обеспечи вающих максимальную степень конверсии с ограничением по соотноше нию питательных веществ в удобрении. Функция Лагранжа имеет вид
Ф = У\~\~ X ( у2 — 2,112 — 0,2722 Х3 — 0 ,083х4— 0,032 ХзХ4+
+ 0,0235x2 + 0,015x2). |
(V. 115) |
Система уравнений для определения оптимальных режимов:
дФ
— = 2,76 — 2,48 х4 + А(— 0,2722 — 0,032 х4 + 2-0,0235 х3) = 0,
дх3
— = -.5,45 |
— 2,48 *3 + 2-0,68 х4 + Х(— 0,083— 0,032 *3 + |
|
дх4 |
|
|
|
+ 2-0,015 х4) = 0, |
(V.116) |
ЭФ Л |
|
|
— = i/a — 2,112 — 0,2722 *3 — 0,083 х4— 0,032 х3 х4+ |
|
|
|
+ 0,02354 + 0 ,015Л»= о. |
|
Система (V.116) |
решалась на ЦВМ при ограничениях на х3 и х4, |
|
накладываемых областью исследования: х3= ± а = ± 2 и х 4= ± а |
= ±2; |
1) у2= 1 :1; 2) у2= 1,5 :1; 3) у2= 2 :1. Оказалось, что внутри исследован ной области можно получить только удобрения с соотношением пита тельных веществ 1,5 :1 и 2 :1. В результате расчета имеем: у™*=72,63%
и у2= 2,03 |
при х3пт=0,7 и х^пт=-2,0; у™ах = 54,05% и у2 = 1,46 при |
х§пт = -1,7 |
их4опт =-2,0. |
При определении оптимальных условий процесса иногда возможна некоторая экстраполяция за границы области исследования. Во всех случаяхтребуется экспериментальная проверка найденных расчетом опти мальных условий процесса.
9. Функция желательности. Задачу оптимизации процессов, характе ризующихся несколькими откликами, обычно сводят к задаче оптимиза ции по одному критерию с ограничениями в виде равенств или нера венств. В зависимости от вида поверхности отклика и характера ограни чений для оптимизации предлагается использовать методы неопреде ленных множителей Лагранжа, линейного и нелинейного программиро вания, ридж-анализ и др. К недостаткам этих способов решения задачи оптимизации следует отнести вычислительные трудности. В частности, при описании поверхности отклика полиномами, второго порядка реше ние задачи на условный экстремум с применением неопределенных множителей Лагранжа приводит к необходимости решать систему не линейных уравнений. Поэтому одним из наиболее удачных способов решения задачи оптимизации процессов с большим количеством от кликов, является использование предложенной Харрингтоном в качестве обобщенного критерия оптимизации так называемой обобщенной функции желательности D. Для построения обобщенной функции желательности Р предлагается преобразовать измеренные значения откликов в безраз мерную шкалу желательности d. Построение шкалы желательности, которая устанавливает соотношение между значением отклика у и соот ветствующим ему значением d (частной функцией желательности), явля ется в своей основе субъективным, отражающим отношение исследова теля (потребителя) к отдельным откликам.
, Для построения шкалы желательности удобно использовать метод
-количественных оценок с интервалом значений желательности от нуля до единицы, хотя возможны и другие варианты шкалы. Значение d = 0
|
м образом получается частная функция желательности, |
||||
ес. |
дция задает ограничение сверху. Если для данного свой- |
||||
стве |
>ет двустороннее ограничение (рис. 41, 6), то |
||||
|
f |
0, |
у < f/mln |
и |
У > Утях |
|
d = \ |
|
|
|
(V. 119) |
|
1 |
1» |
Ут1п < У |
< |
Утах |
Всегда желательно, чтобы значение отклика находилось не только между пределами спецификации, но и на определенном расстоянии от них, чтобы противостоять присущим производственному процессу случайным колебаниям. Кроме того, довольно трудно бывает провести точную пограничную линию между приемлемой и неприемлемой про дукцией. Поэтому в общем случае преобразование у в d осуществляется по более сложным законам. Для двустороннего ограничения вида
У т \п ^У < Уmax
преобразование измеренного отклика у в шкалу d (рис. 42) производится при помощи выражения
d = exp [— (\y'\)n], |
(V. 120) |
где п —положительное число (0< л<°°), не обязательно целое;
У ‘ = |
2У — (Уmax + Ут\п) . |
(V. 121) |
|
— ~ |
у |
||
|
Утах — |
*/mln |
|
показатель степени п можно вычислить, если задать некоторому значе нию у значение d (предпочтительно в интервале 0,6<*/<0,9) по фор муле
<v -,22)
Задавая при помощи контрольной точки крутизну кривой желатель ности, можно учесть особую важность отдельных свойств; для них п будет иметь большее значение, и малому изменению свойства вблизи ограничивающих пределов будет соответствовать резкое изменение желательности. Показатель степени п определяет наклон кривой, и когда
п становится большим, кривая прибли |
й |
|
|
|
|
|
|
|||
жается к своей предельной форме (см. |
|
очень хорошее |
|
|
|
|||||
рис. 41,6): d = 0 вне пределов специфика |
|
|
хорошее |
|
|
|
||||
ции и d= 1,0 между этими пределами. |
|
|
|
|
|
|||||
Если нет |
спецификации, |
целесообразно |
- |
удовлетвори |
|
|
||||
дать статистическую оценку п по ряду |
|
тельное |
|
|
|
|||||
значений у и соответствующих d. |
- |
|
плохое |
У |
|
|
||||
Для |
односторонних |
ограничений |
|
|
|
|||||
|
очень |
/ |
|
|
|
|||||
вида у ^ у та х или у^Упйп более |
удобной |
|
плохое |
-1 |
о |
1 |
Л |
|||
формой преобразования^*/служит другая |
|
-J |
-2 |
1 |
2 у' |
|||||
экспоненциальная зависимость |
(рис. 43): |
|
|
|
|
Уmin(max) |
У |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
Рис. |
43. |
Функция |
желательности |
|||
d = exp [— exp (— у ') ] . |
(V. 123) |
для |
свойства, |
ограниченного с |
||||||
|
|
|
одной |
стороны |
|
В выражении (V.123) |
|
у' = Ь0 + Ь1у. |
(V. 124) |
Коэффициенты Ьо и Ь\ можно определить, если задать для двух значений свойства у соответствующие значения желательности d предпочтительно в интервале 0,2 < */<0,8.
Нелинейное преобразование у в у применяется, если данное свойство имеет особую важность; нарушение ограничивающих условий недопустимо, и малому изменению свойства вблизи ограничивающего предела соответствует резкое изменение желательности. Односторонняя спецификация наиболее часто встречается на практике.
Имея несколько откликов, преобразованных в шкалу d, можно при помощи арифметических операций скомбинировать из этих различных d некий обобщенный показатель желательности D. При этом, если какой-либо один отклик является абсолютно неудовлетво рительным, обобщенная функция желательности D должна быть рав на 0 независимо от уровня остальных откликов. Математическим выражением, отвечающим этим требованиям, служит среднее геометри ческое частных функций желательности, т. е.
(V* 125)
Очевидно, что если какое-либо одно d, =0, то соответствующее £>—0. Более того, на D сильно влияют именно наименьшие значения d{. В то же время D = 1 только тогда, когда все частные желатель ности —1(7—1,2,...,ф. Важно еще то, что (V.125) позволяет приме нить к частным желательностям и обобщенному показателю единый способ задания базовых отметок шкалы желательности, представленный в табл. 48, так как если d\ = di =...= dk =0,37, то и D =0,37 и т. д. С обоб щенной функцией желательности D можно проделывать все вычисли тельные операции, как и с любым откликом системы, можно исполь зовать D в роли критерия оптимизации при исследовании и оптими зации процесса (см. пример 6). Следует иметь в виду, что множество возможных значений D ограничено: 1. Очень эффективным оказалось применение обобщенной функции желательности при раз работке рецептур и технологии получения новых полимерных мате риалов.
Пример 5. Латинский куб второго порядка был применен при разработке композиции нового полимерного материала на основе полиэтилена высокого давления (см. с. 1 1 2 ). В качестве откликов были использованы: у\ —модуль упругости при изгибе, мПа; у2 — разрушающее напряжение при разрыве, мПа;уз —относительное удлинение при разрыве, %; D —обобщенная функция желательности. Покажем последовательность расчетов при определении D.
Р е ш е н и е . Для сравнительной оценки качества различных композиций обобщенную функцию желательности определяли по формуле
(V.126)
где d\, di и da —частные функции желательности.
Для построения частных функций желательности необходимо сначала установить преобразование измеренных свойств у в безразмерную равномерную шкалу у'. Ограни чения при этом носят характер у^ут 'т . Разрабатываемый материал должен удовлетво
рять заданным требованиям по трём показателям качества, которые предусматривают пригодность его к переработке и эксплуатации. Исходя из этих требований, были выбраны значения у\, у2 и уз, соответствующие двум базовым отметкам на шкале желательности (см. табл. 48).
Преобразование отклика у в частную функцию желательности имеет вид (V.123). Коэффициенты Ьо и Ь\ определялись по данным таблицы.
|
|
У, у мПа |
|
Уз , мПа |
Уз |
, % |
|
Значение свойств |
430 |
320 |
по |
60 |
2 0 0 |
1 0 0 |
|
Числовые отметки по шкале желатель |
|
|
|
|
|
0,63 |
|
ности d |
0,63 |
0 , 2 |
0,63 |
0 , 2 |
0 , 2 |
||
Подставим значения d в уравнение (V.123): |
|
|
|
|
|
|
|
0,63 =ехр [—ехр (— у')] и 0,2 = ехр [— ехр (— у')], |
|
(V.127) |
|||||
1/0,63 = 1,587 = ехр [ехр (—у')] |
и |
1/0,2 = 5 = ехр [ехр (—у')]. |
|
||||
Дважды логарифмируя выражения (V.127), получим |
|
|
|
|
|||
у' = In (In 1,587) |
и |
— у' = In (In 5), |
|
|
|||
ИЛИ |
и |
—у '= 0,326. |
|
|
(V. 128) |
||
— у' = —0,755 |
|
|
|||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
Ь0 + 430^ = 0,755, |
|
|
|
(V. 129) |
|||
b 0 + 320 = — 0,326. |
|
|
|
||||
|
|
|
|
||||
Решение системы (V.129) дает Ь\ —0,0098, Ьо —-3,445. |
|
|
|
|
|||
Таким образом, частная функция желательности имеет вид |
|
|
|||||
dx= ехр [— ехр (—3,445 + |
0,0098 уг)\. |
(V. 130) |
Аналогично получены частные функции желательности </г и Л:
d2= ехр [— ехр (— 1,45 + 0,02 у2)],
(V. 131)
d3= ехр [— ехр (— 1,25+ 0,01 у3)],
Для всех композиций (таблица) частные функции желательности можно определять по формулам (V.130), (V.131) или по рис. 44.
Н о м е р |
4 |
|
|
D |
Н о м е р |
|
d 2 |
d3 |
D |
к о м п о |
d 2 |
d3 |
к о м п о |
|
|||||
з и ц и и |
|
|
|
|
з и ц и и |
|
|
|
|
1 |
0,410 |
0,67 |
0,97 |
0,645 |
15 |
0,260 |
0,49 |
0,95 |
0,491 |
2 |
0,420 |
0,67 |
0,98 |
0,647 |
16 |
0,720 |
0,71 |
0,91 |
0,773 |
3 |
0,423 |
0,55 |
0,96 |
0,610 |
.17 |
0,850- |
0,62 |
0,29 |
0,535 |
4 |
0,730 |
0,75 |
0,96 |
0,810 |
18 |
0,630 |
0,78 |
0,93 |
0,768 |
5 |
0,419 |
0 ,6 8 |
0,97 |
0,650 |
19 |
0,930 |
0,57 |
0,17 |
0 , 2 1 0 |
6 |
0,270 |
0,63 |
0,97 |
0,550 |
2 0 |
0,930 |
0,72 |
0,07 |
0,350 |
7 |
0,640 |
0,53 |
0,97 |
0 ,6 8 6 |
2 1 |
0,890 |
0,52 |
0,64 |
0 ,6 6 8 |
8 |
0,370 |
0,71 |
0,98 |
0,638 |
2 2 |
0,917 |
0,64 |
0,06 |
0,430 |
9 |
•,371 |
0,71 |
0,97 |
0,638 |
23 |
0,790 |
0,45 |
0,08 |
0,304 |
1 0 |
0,740 |
0,63 |
0,92 |
0,759 |
24 |
0,760 |
0,64 |
0,30 |
0,530 |
1 1 |
0,720 |
0,53 |
0,73 |
0,650 |
25 |
0,930 |
0,53 |
0,08 |
0,340 |
1 2 |
0,760 |
0,31 |
0,24 |
0,381 |
26 |
0,920 |
0,57 |
0,17 |
0,445 |
13 |
0,780 |
0,55 |
0,93 |
0,732 |
27 |
0,870 |
0 ,6 8 |
0,71 |
0,749 |
14 |
0,860 |
0,58 |
0,17 |
0,440 |
|
|
|
|
|