книги / Многомерный анализ и дискретные модели

§ 3]	ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ И АППРОКСИМАЦИЯ					. 171
Для полного оправдания использованного определе­
ния следовало бы		проверить, что	всякая	1-форма		<о,
•компоненты которой удовлетворяют равенствам					(24)	при
g =; 0	и условиям	(25)«, является	решением		в описан­
ном смысле. Зто действительно так. щ				к	установлению
3.5.	Ступенчатые функции. Переходя

связи между вышеприведенными чисто комбинаторными рассмотрениями и континуальными объектами, реализу­ ем схему, аналогичную приведенной-'в § 1, гл. 0.

Пусть область Q а К2'— прямоугольник									с вершинами
(аи	bi),	(а2,	bi),		(аи	Ь2),	(а2, Ь2), заданными				свои­
ми	декартовыми			координатами			0 <	d\ < аг,	0 < Ъ\ < Ь2.
Введем^ масштаб				h,	полагая h = iV_1(a2 —ai) =					M~l (b2 —
— bi).		Рассмотрим			разбиение			плоскости		прямыми
х =	аг rb ph,		y = b\ + qh,			Р,	2 = 0, ±1, =Ь2,			.. .,	(31)
и обозначим			xktS	точку		пересечения прямых				(31)	при
р = к, q = 5.			Обозначим			Ум открытый квадрат, ограни­
ченный		прямыми		р = к,		тft,	q = s, т5. Интервалы на
прямых		(31)	с конечными точками ям , ХгАл,							#м , ям -8
обозначим			e\iS. Введенные				геометрические			объекты
отождествим			с рассматривавшимися комбинаторными и

£2 отождествим с У. Отметим, что тем самым мы фик­

сируем о р и е н т а ц и ю О?2.		заданной
Каждой форме	<реЯ?, ш ^ Я 1, г\ ^ Я 2,
на соответствующей	дискретной структуре (на	комплек­

се К (2), сопряженном с ©(2)), сопоставим ступенчатую функцию (пару функций для й)=(и, у)), полагая, что н р и ^ , у е 7 м

<ph(x, у) = <рм , иА(аг, У ) = и м ,

лМ*, У)= ЛмОпределенные таким образом ступенчатые функции бу­ дем рассматривать в Q (или в V) как элементы гиль­

бертовых пространств р = 0, 1, 2, функций (форм) с суммируемым квадратом. Очевидно, что

| фл, ОН1= А | ср-, Я01

и аналогичные соотношения между; нормами справед­ ливы для <о\ rf. Определим над введенными функциями разностные операторы, полагая

Л*фл(х, у) = Ы 1[фл(ж + h, у) — <ph(x, у)],

Aytfh (х; у) = ЬГ1[срл (ж, у + К) — фл(ж, у)],

1 72	МОДЕЛЬ ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА			[ГЛ. III
и аналогично		для uh, vh, if 1. Операторы	эти	определены»
разумеется,	в	о т к р ы т ы х квадратах	Ум .	В дальней-,

шем это всегда подразумевается, хотя явно не огова­

ривается.	действие на ступенчатые формы <pft, со\
Определим
rjft разностных	операторов, d*, 6 \ заменяя частные про­

изводные Dx, Dy, входящие в d, б в континуальном слу­ чае (ср. запись (1 ) уравнений (3)), соответствующими

разностными операторами А%, Ар.

У т в е р ж д е н и е 7. Если для дискретных форм, за­ данных над описанной -структурой, выполняются равен­ ства вида

Ыв == d(p, hr\ *=* do, Асо •== бц, Aq> = бсо,

то для построенных по указанному правилу ступенча­ тых функций <р\ оД r\h выполняются (уже без множи­

теля h) поточечно		соответствующие равенства,			содержа­
щие операторы'dh, б\			Пусть,	например,	A o^dq).
Д о к а з а т е л ь с т в о .
Это означает, что при ж,			y ^ V h>9 выполнено		равенство
huh(x,	у) = Аим = q)tM — <РмНо тогда одновременно для
я,	будем	иметь	uh(x,	i/)= A- 1 [q)fc(a? + А, у) —

- фл(^ у)]- Проверка в остальных случаях аналогична. ■

Определим теперь обратный процесс: сопоставление континуальному объекту дискретного. Пусть f(x9 у) — функция точки, заданная над некоторой совокупностью квадратов Vk>s. Сопоставим / ступенчатую функцию Д полагая

f h(x,y) = ti~2 f f{x,y)dxdy при х, p e F i >s. (32) Vk,t

Если / определяла 0-форму — элемент Н°, или компо­ ненту элемента И1, или элемент Ш2, можем сопоставить ей соответствующий дискретный объект, приписывая

значение f точке xht8, одному из интервалов e\i8, e\t&или элементу 7М. Описанную процедуру' назовем дискрети­ зацией.

Утверждение 7 и правило (32) позволяют сформули­ ровать и проверить приводимую ниже теорему 5. Ре­ зультаты подобного типа лежат в основе построения ап­ проксимаций решений интересующих нас задач.

§ 31	ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ И АППРОКСИМАЦИЯ			173
	Введем обозначение
	1<р, эгТ - 2 2	Г(Д*фм)2 + (а8фа,.)2] = Iфл, w \\		(33)
	Ь—§i=0
где	слева — дискретная форма,		а справа — ступенчатая
функция.
	Для проверки естественности введения подобным об­
разом норм Ж, W		достаточно	умножить и разделить

средний член на Ь? (что использует специфику двумер­ ного случая). Поскольку суммирование ведется от Л = О,

5 = 0, дополнительные		члены, входящие в (17), учтены.
Т е о р е м а	5. Пусть ступенчатая^ функция g* — ди­
скретизация	g e H ° .	Тогда задача Дирихле для урав­

нения

	=	(34)
е V однозначно разрешима и для решения ф* выпол­
нено неравенство
|ф \ И '|< 4 г ,! Н ‘Ч.		(35)
Д о к а з а т е л ь с т в о .	Под решением задачи	Дирих­
ле для (34) понимается	ступенчатая функция	ф \ по-

,строенная по дискретной форме ф — решению соответ­ ствующей задачи для уравнения

бd<p = h2g,

где 4 — 0 -форма,	определяемая				ступенчатой		функцией
а множитель	Ть2	соответствует				переходу	от d \	8h
к d, б.	разрешимость			следует из теоремы				1.
Однозначная
Из (14), (17), полагая г[) =			ф, получим
I ф, w I2 <	ъ?12	gh,m<s I <			| / ,	IH®11 фк, 1Н° I.		(36)
	I hts		I
Но
Ф*.« =	2	Дрфр,а) < А			2'г(Арфр,*)2
	Р—0		/		Р=о
и, суммируя ПО Л,
	2 ф £ ,«< № 2			(Арфр.,)2.
	к		Р=0

174	МОДЕЛЬ ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА		[ГЛ. I II
Суммируя	по s и разделив на N2—А”2, получим
	| ф, и° |2< 2	1 (Д*Фм)2 < |срл, W |а.	(37)
	s	k=0
Получение оценки
	|^,1Н»|<с|*,Н»|		(38)
не представляет труда. Из (33), (36), (37),			(38) сле­
дует (35). в

Аналогичные утверждения, проверяемые таким же

образом,	справедливы для уравнений	(18), (19). В по­
следнем случае надо, естественно, воспользоваться ра­
венством (22).		\
3.6.	Аппроксимация и предельный переход. Построим
теперь,	отправляясьот ступенчатых,	«гладкие» (класса

С{ или С2) функции, даЮщие, в том или ином смысле, аппроксимаций решений основных уравнений. Сначала сосредоточим внимание, на случае ступенчатой 0-формы

(скалярной функции)	Пусть
	x+h y±h
J \ h(x,y) = h- 2	J j «pfc(6,4)d|dT|. h > 0 ,

xу

—средняя функция Стеклова с радиусом осреднения* равным параметру А сетки. Последнее не является не­

обходимым	для	реализации			приводимых	конструкций,
но представляется удобным. Отметим, что						функция J \ h
является примером простейшего сплайна.						удовлетворяет
У т в е р ж д е н и е			8.	Если фм ><=Н°
условиям	(1'5),	то	функция		Jh(ph(Xy у) -принадлежит в
Qh = (d\ —A, a2 )X.(6.i — %				Ьг)	простращтву Щ 1.
Утверждение		очевидно,		поскольку 7 hcph		абсолютно не­

прерывна по совокупности переменных, кусочно диффе­ ренцируема и удовлетворяет однородным граничным ус­ ловиям. в

Рассмотрим далее бесконечную возрастающую после­

довательность		Nq,	Mq, q =^0,		1,	...: iVo =	А,	М0 = Mf
Ni = 2А,	М\ =	2М,	. . . и	соответствующую			последова­
тельность	Kq	0 , считая,		что	при	каждом	из	значений

Ад осуществлены описанные выше построения. В даль­ нейшем не будем указывать явно зависимость А от д, но говоря о некоторой «совокупности значений А» или «семействе функций q>h» -будем подразумевать указан­ ную последовательность.

§ 3]	ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ И АППРОКСИМАЦИЯ	175
	У т в е р ж д е н и е 9. Пусть g — фиксированный	эле­

мент Ш°, а {фл} — семейство решений задачи Дирихле для уравнения, (34), соответствующее различным зна­

чениям	h. Тогда нормы в		Н	обобщенных производных
D J \ h,	D yJ\h	равномерно	по	h ограничены.
Д о к а з а т е л ь с т в о .			Рассмотрим
		y+h
D	j \ h =	h~x j* А^ф (х,'П)4 п = 4 А * ф', (?;.У).
		У

где /^.означает осреднение по одной переменной у. Опе­ ратор осреднения, действующий, кйк по всем, так и дочасти переменных, всегда равномерно по h ограничен,

| J yAhxq>h{x, у), № | <			с | А*<р\ Н°J,
и наше утверждение	следует: из		теоремы ,5	(при взятии
разностей можем считать		/ лфл продолженной		нулем при
ж > а2, у > Ъ2) .	10.	Семейство. {/лф*},		'
У т в е рж-д е н и е				где (фл) —

решения: задачи Дирихле при фиксированной правой ча­

сти,рассмотренные			в	утверждении		9,- компактно в
№ (Q).
Утверждение следует из утверждения 9 и компакт­
ности вложения W1с? ОН. Хотя					J \ h равны нулю,			строго
говоря,		лишь на части х = а2,			у = Ь2	границы	й, этого
достаточно для справедливости утверждения, в							решений
У т в е р ж д е н и е			11.	Для	семейства? {<ph}
задачи		Дирихле из	утверждения 9 справедлива					оценка
		| J h<ph—		IHe( Q ) |< c |A |,
где постоянная с не зависит от h.								вычис­
Д о к а з а т е л ь с т в о.				Пусть х -е Vk>s. Тогда,
ляя соответствующий интеграл, будем иметь
J \ h= А_2{фм IV1[ +.фтМ1У21+ Фй,«1Тгз1"V <Pir?t,xs I Т^41
где	|Р Т —_площади		частей соответствующих				квадратов
(VhfS	и	смежных),	принадлежащих 1?области интегриро-
		4
вания,		причем h~2231^		I — 1 • Воспользовавшись				пред-
		1

. ставлением

фм = ^~2 Е1 ф м 1 И

176 МОДЕЛЬ ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. III

и заметив, что Д“2|F*M < 1, получаем

i J hфй — фЛ в ^ |	— Ф а ,в | + | Фk,xs — Ф а ,в | +
	+ |Ф т а , « — Ф а ,S 1«
откуда
j | J \ h — <Pft|2 dx dy <	c№2 {(<Ptft,s — Ф й , , ) 2 + (ф й ,т 3— Ф й,5) 2} -
О	A,s

В силу ограниченности, в сделанных предположениях, суммы в правой части (равенство (33) и теорема 5),

получаем требуемое, и		Семейство (фл)	решений зада­
чи	У т в е р ж д е н и е 12.
	Дирихле из утверждения 9 компактно в Ш° (Q).
е >	Д о к а з а т е л ь с т в о .	Фиксируем	произвольное
	0 и докажем существование для семейства (фл) ко­

нечной е-сети. Семейство {Лpft}, как было доказано, ком­

пактно в	IH°(Q)	и, следовательно, для		него существу­
ет конечная е/2-сесть			Одновременно, согласно ут-
вержденю	11, существует hq такое, что
	I J \ h_	<pft, IH° I <	6/2 при h <	kq,

так что {гл} будет конечной е-сетью для {фл}л^л5При­ соединяя к сети {vj элемепты для {фл}л>лг, число ко-

торых конечно, получим конечную е-сеть для всего се­ мейства {фл}. а

В дальнейшем, говоря о последовательности решений задачи Дирихле (с фиксированной правой частью), бу­ дем подразумевать существующую по доказанному по­

следовательность,		сходящуюся в 1Н°				к	некоторому			эле­
менту	фе!Н°.
З а м е ч а н и е .		В	действительности,				разумеется,			вся
последовательность {ф^9}				сходится	к	ф.	Но	непосредст­
венная	аккуратная		проверка этого факта					оказывается
затруднительной.		Мы установим			его	несколько			позже.
У т в е р ж д е н и е			13.	Последовательность					{Jh<ph}
сильно сходится к ф.
Достаточно заметить, что
j	_ ф , Ц° | < [ > V			— Ф л , № | + | Ф Л - Ф , Н° |- ■
У т в е р ж д е н и е			14.	Элемент ф		принадлежит				про­

странству W 1.

§ 31	ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ И АППРОКСИМАЦИЯ				177
Д о к а з а т е л ь с-т в о.		Утверждение	9	равносильно
известному критерию существования			так	называемых
с л а б ы х	обобщенных	производных Д*ф,		Dyф. Напом­

ним соответствующее рассуждение [43]. Согласпо утвер­ ждению 9 для {DJh<$} существует последовательность, слабо сходящаяся к некоторому %е!Н. Кроме того, для функции ф <= С1 будем иметь

J Дсф • / -ФЛ dxdy = — J tyDxJ hq>hdx dy,

где, учитывая наше соглашение о продолжении Jh<рл ну­ лем, можем считать интегрированно .распространенным на все О?2. Переходя к пределу, получим

]\о*ф* ф dxdy = — £ф %dx dy,

т. е.- ВхЛЦ>= 5С.	Но в рассматриваемой области слабое и
сильное определение		дифференцируемости (и		выполне­
ния граничных	условий)		эквивалентны (ср. [19]). Про­
верка существования Д,ф аналогична, в				ф1ая = 0,
У т в е р ж д е н и е		15.	При любой ф е С 2,
для найденного элемента ф выполнено равенство
	(<р, 6dit>)=(£. it).			(39)
Д о к а з а т е л ь с т в о .			Воспользовавшись	теоремой
5, можем записать			/

(g*. Ф) = (бл d\p\ ^) =*(ф\ бл d > ) .

Переходя к пределу	при		h -*■0,	получаем	(39). ■
У т в е р ж д е н и е	16.	Нийденный элемент ф являет­
ся^ W '-решением задачи		Дирихле,		т. е. для	любой ф е
е W 1 выполнено равенство
(dip,
Д 6 к а з а т е л ь с т в о.		Записав		(39) для	W^-ainnpoK-
симации фе элемента ф:
|фв — ф, ТУЧ			0 при е -*■ 0,

сбросив оператор б на.ф ^Т У 1 и переходя к пределу при

8	0, получим требуемое, в
„	У т в е р ж д е н и е 17. W x-решение задачи Дирихле

единственно.

Этот стандартный результат может, в данной ситуа­

ции,4 рассматриваться	как следствие равенства	(17). в
С л е д с т в и е . Вся	последовательность {ф 9}	сильно
сходится к ф.

178

МОДЕЛЬ ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА

[ГЛ. III

Действительно, допустив противное, мы построили бы еще одно Й^-решение задачи Дирихле, отличное от <р. ■ Окончательным результатом проведенных рассмотре­

ний является Т е о р е м а 6. Построенная по заданному элементу

g е ОН0 последовательность {<р*} ступенчатых функций сильно сходится в IH0 к-элементу (p e T ^ ^ Q ) — обобщен­ ному решению задачи

-Д ф = g, <р!аа = о.

(40)

Одновременно последовательность {/\рл) сходит.ся к ф в метрике W 1* ■

Обратимся к системе (1), записанной в форме (3):

*= /, —б©: == 0.

(3).

Чтобы воспользоваться планом построения решения этой системы, аналогичным изложенному в п. 4, нам по­

требуется		18.	В	утверждении		теоремы 6
	У т в е р ж д е н и е
можно заменить последовательность { J \h)						на {(/л)2фЧ>
где	(Jh)2— итерация осреднения Jh. ■
не	Подчеркнем при этом,		что	хотя, (/А)2фл s С2, отнюдь
	утверждается,, что	(/^V *		сходится к	ф	в , ТУ2-норме,
т. е. что ф является И^-рещением задачи					(40) . Справед­
ливость же высказанного			утверждения — простое след­
ствие свойств осреднений.			функция (/А)ЗфА является *па­
Отметим попутно,		что
раболическим сплайном.			Применительно		к	задаче Ди­
У т в е р ж д е н и е		19.
рихле для уравнения
		Л ч	- / е :.м ;]			(41)

справедливы аналоги теоремы б и утверждения 18. Законность подобного перехода от ф к т) и наоборот

уже неоднократно нами отмечалась, и.	назовем	обоб­
О п р е д е л е н и е . Элемент © еН Ч Й )
щенным решением задачи (1) — (2) в Й, если .
(®, « * )* (/, *)	’ ,	(42)

при любом ■фей7'1(О) неодновременно существует по­ следовательность -o)(fe) s W\ такая, что ю(/&)-^о) в IH1 при h -*■ 0, а при h > 0 выполпено равенство

6ю(%)=0,

(43)

причем © (h) удовлетворяет граничным условиям. (2).

§ 4]

АНАЛОГИ СООТНОШЕНИЙ ГИДРОДИНАМИКИ

179

Т е о р е м а

7.

Определенное

вышеуказанным

спосо­

бом обобщенное' решение

задачи (1) —(2) существует и

единственно при любой /,е[.1Н2.

сделанных

предполо­

Е д и н с т в е н н о с т ь ,

В силу

жений

уравнение

6я])(й)== &(h)

разрешимо

в

W x

при

h >

0.

Полагая

в

(42)

/ = 0,

яр =

я\>(h) , ^ получим

(со,

со (h) ) — 0. Переходя к пределу при

h

0, получим

тре­

буемое.

Положим

м (ft) = 8 (J*1)2т|\

где

Су щ е с т в о в а н и е.

{цл} —г семейство

решений задачи

Дирихле

для

ступен­

чатого аналога уравнения

(41) (используем аналог урав­

нения (34) для (41) и утверждение

19). Будем: иметь

для

любого яр <= w l:

'

(da(h),

i|)) =

(<o(A), Ц ) = (6(1Л)21\Ч, 6i|>).

Цо

в этих равенствахможно

перейти

к

пределу

при

h

0,t что дает

(42). Равенство

(43) и

граничные усло­

вия выполняются при этом тождественно, ш

§ 4. Дискретные аналоги соотношений гидродинамики

4.0. Предварительные замечания. Принципиальные установки данного параграфа удобнее вс§го пояснить, обратившись к аналогии. Разностное уравнение Пуас­ сона

—А<Р — /

( 1 )

для функции (скаляра) ф, записанное над единственной точкой #о,о нашей модели К2, будет иметь вид

4фо.о —ф1,о —Фо,1 —Ф-1,о ~ фо, - 1 = /о,о

(2)

(как и в первой части § 3, «масштаб» h и соответству­ ющая нормировка разностей нас от Однозначная разрешимость «задачи Дирихле» для (2):

ф ^о^ Фо,1 “	ф-1,0 “ фо,—1 — 0	(3)
непосредственно очевидна.	Более того, полагая	/ = 0,

для, «гармонической» ф будем иметь «теорему о сред­

нем»:	'	.
1	Фод + Ф-1,о + Фо,-1)
Фо,о — “4" (Фм +
и «принцип максимума»:	| ф0,о I ^	щах | ф^- |

180- модель ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. III

Если же пожелать подобным образом, смоделировать

для (1) некоторые свойства задачи						Неймана, то при­
дется к (2) присоединить уравнение						в	соседней точке:
4ф1,о — Фо,о — <Рм — ф 2,о — < P i,-i =								/ 1,0,		(4 )
записав вместо (3) условия .
ф -1,0 фО.О = ф0,1 — фо.о =			ф 1,1	~ ф1,0 =
t	ф2,0 “	ф1,0 =		ф 1 ;-1	“ “-ф1,0 =		ф 0 ,-1		— фо,о	0.
	пара	■>		"				'	/о,о *=—/ 1,0
Получающаяся		уравнений			фо,о -т ф1 ,о “
.разрешима лишь при условии /о,о + /1,0 = 0								(«ортогональ­
ность / константам») и определяет ф с								точностью		до
постоянной.
.В данном параграфе для дискретного аналога урав­
нений
d	U =	0,	И Д ^ dll =			dy				(5)

(ср. (2), (6), § 6, гл. II) Называются простейшие «ес­ тественные» шаблоны (подобные «5-точечному» и «8-то­ чечному» для (1)) и записываются разностные аналоги некоторых соотношений из п. 6Г1, гл/ II. Решающую роль играет при этом использование ^-умножения вме­ сто внешнего, позволяющее «правильно» моделировать квазилинейность,

Другой вариант, менее обозримый, отправлявшийся от записи второго из уравнений (5) в виде

			(/U) j dVL + dy -		0,
(см. конец			п. 6.1, гл.	II), был рассмотрен		в [16].
-	Попыток		исследования конструируемого			аналога для
(5)	в «большой» области и осуществления					предельного
перехода не предпринимается.
	4.1.	Минимальный естественный шаблон. Воспользо­
вавшись		построенной		дйскретной	моделью	евклидова
пространства, укажем				простейший шаблон и		разностные

соотношения, являющиеся для наших уравнений (5) аналогами 5-точечного шаблона и, в некотором смысле, уравнения (2) и найденных характеристик его решения.

	Мы будем пользоваться символикой и соглашения­
ми] введенными в п. 3.2			для нашей модели" К2, несколь­
ко	изменив обозначения		конкретных объектов	(приведя
их	в соответствие	с обозначениями ~п. 6,1, гл.		II).. Век­
тор	U=(uht8, vkt8)	будет	вектором тока. Взяв	за основу