книги / Многомерный анализ и дискретные модели

§ 2] ГРУППЫ И КОМПЛЕКСЫ 31

специальны ичне связаны непосредственно с-приводимы­ ми ниже примерами. Но построение упомянутых специ­ альных комплексов опирается на приводимый элемен­ тарный гомологический формализм, и знакомство с при­ мерами, его иллюстрирующими, представляется по­ лезным.

Возвращаясь к замечаниям, сделанным во введении к главе, отметим, что используемое определение группы, будучи стандартным, не является одновременно предель­ но формализованным. Говоря о множестве, мы молчалшю предполагаем что для его элементов определено понятие тождества; удовлетворяющее обычным требованиям; счи­

таем' очевидным			смысл		терминов:		«операция»,			«сопо­
ставление» и т. д.
В параграфе, содержащем определение группы, б^тло
бы естественно сказать несколько слов о важнейшем по­
нятии п р е д с т а в л е н и я						группы. Но			из формальных
соображений эти замечания вынесены в. § 3.
Стандартными			руководствами, содержащими изложе­
ние материала данного параграфа, можно считать [26],
[29], (52]	(группы);			[21],		[30], [31]		(комплексы,		гомо­
логия).	Основные определения.						Группой называется не­
2.1.
пустое множество G элементов щ у,								w, ..., в котором
определена бинарная				о п е р а ц и я			(умножение),			сопо­
ставляющая каждой паре и, v элементов G единствен­
ный элемент w: uv =				w. Цри этом: а)				операция ассоциа­
тивна: u(vw)^'(uv)w\ ' б) *существует правый нейтраль­
ный элемент е		(правая			единица) такой,				что йе =	и для
любого u ^ G ;		в)	для	любого u ^ G существует правый
обратный элемент и*"1 такой, что йи~1= е.										одно­
У т в е р ж д е н и е .				Правая единица					является
временно	левой		единицей			и правый		обратный — левым

обратным. ■

Отображение Т группы G\ в группу С?2, согласован­ ное с групповой операцией Т (uv) = TuTv, „ называется гомоморфизмом. Гомоморфизм, определяющий взаимно

однозначное соответствие элементов Двух групп,		назы­
вают изоморфизмом. Не исключено,	что при этом	С2 ~
= G\ (автоморфизм) .	операция подчине­
Группа абелева, если групповая
на дополнительно требованию коммутативности:		uv =

=*vu. В этом случае для обозначения операции исполь­ зуется символ «+»: u+ V , для нейтрального элемента

32	ФОРМАЛЬНЫЕ СТРУКТУРЫ		[ГЛ. I
символ	0: и + 0 = щ а для	обратного к	и элемента —
обозначение — и: и + (—и)s		и — и — 0.

З а м е ч а н и е . Одним из важнейших объектов иссле­ дований в современной математике являются так назы­ ваемые топологические или непрерывные группы, возни­ кающие в результате введения топологии в группе или

групповой	операции — в	топологическом			пространстве.
Обязательным является		при	этом требование н е п р е ­
р ы в н о с т и	групповой операции,			т. е. требование согла­
сованности	структур.
Отправляясь от понятия абелевой группы, введем по-,
нятие к о м п л е к с а . Пусть			®\	к = 0, ..., п — набор
абелевых групп. В прямом			произведении		©° X ... X ©п

естественным образом определена операция сложения, и в этом случае принято говорить о прямой сумме

<5=® Ф.

о

Прямая сумма ©, в которой определен граничный гомо­ морфизм

д: & СМ, к « 1, ..., /г, Ш° = 0,

подчиненный дополнительно требованию
0 2 ^ 0 0 ^ 0 ,	(1)

называется п-мерцым комплексом абелевых групп,

Элемент и ^ считается имеющим размерность к. Свойство (1) эквивалентно наличию включения

lm д cz Кег д,

где Im d — о б р аз , а КегЗ — я д р о (прообраз нуля) гомоморфизма д. Элементы ©* называют цепями, цепи, принадлежащие Кег 5,— циклами, а принадлежащие 1ш д — границами (соответствующей размерности). В; си­ лу (1) . всякая граница является циклом, но обратное утверждение верно не всегда. , Если dh— сужение д на

то ф а к т о р - г р у п п а

Ж{®)=*Кегдк/1тдш

называется й-мерной группой гомологий комплекса ©. Переход к фактор-группе означает, что элементами Ж являются классы [с] циклов с + ди, т. е. циклы с-и с2 отождествляются, если сх—с2<= Im д. Два цикла одного класса называются гомологичными; для обозначения со­ отношения гомологичности используется запись сх ~ с2.

§ 21

ГРУППЫ И КОМПЛЕКСЫ

33

Немедленно проверяется, что Ж в свою очередь об­ ладает естественной групповой структурой. Группа гомо­ логий комплекса © определяется как прямая сумма групп Ж \

50(«) = 0 5*к(«).

О

В дальнейших рассмотрениях данного параграфа мы будем иметь дело с абелевыми группами, заданными си­ стемой образующих Ык}. В этом случае каждый элемент

группы	представим в		виде суммы		2	akuk> где ак—
произвольные целые числа. Если образующая								и един­
ственна и равенство аи = Ъи влечет а — Ъ, то группу на­
зывают бесконечной циклической и обозначают								Zoo(и).
Если равенство аи «= Ъи имеет				место	и	при	некоторых
аФ Ь, то существует р Ф 0 такое, что ри = 0. Среди всех
подобных	р	найдется	н а и м е н ь ш е е			ро,	и	соответ­
ствующая группа называется				циклической			порядка ро
(обозначается Zp0(u)).
Простейший пример — группа Z 2					из двух		элементов
0,. и, в которой и + и =5 0.
Полезно отметить, что имеет место						с конечной си­
Т е о р е м а .		Всякая	абелева группа
стемойI образующих представима в виде прямой суммы
циклических.		в
При эхом предположение конечности числа образую­
щих существенно.
2.2.	Простейшие .примеры комплексов. Займемся выяс­

нением геометрического содержания введенных понятий. 2.а. В качестве первого примера возьмем окружность S \ разделенную точками х\, х2 на две дуги^—^полуокруж­

ности ej,	е2. Определим отображение д: d e i= x x — x2,
де2= # 2 —		сопоставляющее дуге			ее	«граничные		эле­
менты». Отметим, что, одновременно						мы	задали" на S*
некоторую		о р и е н т а ц и ю :		«концом»		дуги ех является
точка Хи	а	дуги	е2— точка	х2. Положим,			кроме	того,
дх\ = дх2=		0.	Оговорим,	что	упомянутое понятие
З а м е ч а н и е .
о р и е н т а ц и и ,			играющее заметную роль в дальнейших

построениях, нуждается, безусловно, в формальном опре­ делении, которое и будет дано в соответствующий мо­ мент. Но пока мы будем пользоваться достаточно про­ зрачными интуитивными соображениями, подобными при­ веденным выше.

34 ФОРМАЛЬНЫЕ СТРУКТУРЫ [ГЛ. I

Определим комплекс ©(S1), положив
	« ($ !)» « p e r ,
где 6°,	S 1— абелевы группы,	порожденные			элементами
хи х2,	еь е2 соответственно.	Последнее		означает, что
	@° = Zoo (a?i) © Zoo(sa)
и аналогичное представление имеет место				для 6 1.
Г р а н и ч н ы й г о м о м о р ф и з м			д в	6(5?) опреде­
лим, распространив по линейности введенное					отображе­
ние д на цепи вида
	а,\Х\ + а2х2,	Ъ\в\ +	Ъ2е2		(2)

спроизвольными целыми коэффициентами. Требование

(1)тривиальнымобразом выполнено, и определение комплекса закончено.

Нетрудно теперь заметить, что циклами в ©(51) бу­

дут	все	нульмерные цепи		и	одномерные цепи вида
Ь(е\ + е2):			Границами будут нульмерные цепи вида
а(х 1	— х2).		Следовательно, хх~ х2			(поскольку х {— х2 =
= 3ei), т.		в	е. любую нульмерную		цепь		+ а2х2 можно
записать			виде (а\ + а2)х\,	и в		качестве	образующей

Ж°{&) можно взять класс [х\]. Для Ж1{Щ образующей будет [е\ + е2]. Окончательно

36 (6 (S1)) - Zoo ( М 0 Zoo\[ег +	е2])
Полученный результат формулируется обычно в виде
утверждения: «Окружность имеет два не	гомологичных

нулю фундаментальных цикла: один в размерности 0 и

один	в размерности 1.»				конструкции
Замечательным		свойством приведенной
является следующее			обстоятельство:	если	Мы	возьмем
другое	к л е т о ч н о е		р а з б и е н ц е	окружности		S \ раз­
делив	ее точками хи ..., хп па дуги			eh ...,	еп, положим
дек = xh+i - х к, /с =		1,	1; деп = хп -		я,;	дхк= О,

к = 1, ..., п и повторим проведенные рассуждения, опре­ делив комплекс 6 , (51), то получим

36 (S' (S1)) = Zoo([*,]) 0	Zoo Цег + . . .	+ еп]), -
т. е. группы гомологцй комплексов S (S1),		<£'(S1) очевид­
ным образом и з о м о р ф н ы .	Следовательно, группы 36к
характеризуют некоторые в н у т р е н н и е		свойства объ­

екта, не зависящие от «случайных» свойств конструкции.

§ 2] ГРУППЫ И КОМПЛЕКСЫ 35

Соответствующий общий результат, относящийся к гео­ метрическим объектам и сопоставляемым им комплексам, мы обсудим в конце параграфа. А пока приведем еще несколько примеров иллюстративного характера.

2.Ь. Пусть £ 1— окружность, рассматриваемая вместе с приведенным в п. 2.а простейшим разбиением. Опреде­ лим диск <Z>, получающийся добавлением к S 1 «середи­

ны»— элемента i?, размерности 2, с границей dv =						ех+ е2.
Комплекс
	© ( 0 ) = ® ° ® ©* $ © 2					(3)
характеризуется	добавлением к		суммам	(2)	элементов
cv, где с — некоторое целое число. Повторением						рассуж­
дений, использованных при		нахождении		^ (© (S 1)), по­
лучаем	* ( « ( # ) ) - & .( [ * ! ] ) .					(4)
Действительно, элемент v циклов не порождает,						а цикл
е\ + е2 теперь гомологичен нулю			(является границей v ).
З а м е ч а н и е .	Запись	(4)	полученного		результата

вызывает неудовлетворенность отсутствием в пей указа­ ния на размерность исходного комплекса ®(iZ5), являю­

щуюся	важной характеристикой			объекта.	Этот	пробел
должен	быть восполнен		либо обращением		к (3),		либо
явным указанием dim© = 2, либо включением в						(4) ну­
левых слагаемых.		цилиндр Q как прямое произведение
2.с. Определим
S l X / окружности		на интервал		/, состоящий из			одно­
мерного	элемента	г и	«концов»	у\, у2. Введем		четыре

образующих xhX у, в. ©°((>), шесть xk X е, екX у^ в S 1(Q)

и две ek X г в ©2((>), к, /		2. Полагая дг — У2 — уи а
на элементах S1 определяя д как ранее, должны			опреде­
лить!? на элементах Q, считая, что отображение д анну­
лирует элементы ©°, а на ©[, ®2
д(хкХ е )= х кХ(?е,		д{ек Х у}) = дек X ySr
д(ек X е) = дек X г - екХде.
Рассуждая, как-и ранее, найдем
Ж (© (0 ) = Zoo([*x X Ух]) 0 Zoo{[егXУх + Ч XУг)),
т. е. группа гомологий	Q и з о м о р ф н а ' группе		гомоло­
гий SK С формальной	точки	зрения комплексы	©(S1),

&(0) отличаются лишь размерностью.

36	ФОРМАЛЬНЫЕ СТРУКТУРЫ	[ГЛ. I
2.d. Если провести соответствующие построения для
тора Т = S l X S \	считая, что второй окружности	сооъ*

ветствует комплекс, порождаемый точками у у 2 и ду­

гами 8 i, 8 2 , и пользуясь	обозначениями,		аналогичными
введенным для Q, получим
3$ (® (21)) ^ Zoo([^iXyx]) Ф Zoo([(^x + е2) х у 1]) ®
® Zoo([#хX(ех +	8 а)])ф Zoo([(?x +		е2)х(ъг.+ е2)]).
2.е. Определим сферу	S2,	добавляя к	S1 две	полу­
сферы V\, v2 и отображение		dvx = ех+ е2 = г-dv2.		Заме­
тив, что в E(iS2) сумма	Vi + i>2 является		циклом	(тогда

как в\ -Н в2— цикл, гомологичный 0), и проводя соответ­ ствующие рассуждения, получим

Ж (© (£2)) = Zoo ([#l]) ®^Zoo ([^1	У2])-
Во всех предшествующих примерах	мы имели дело

лишь с бесконечными циклическими группами. Опишем теперь простейший «геометрический объект», для кото­ рого Ж1= Z2.

2.f. Действительная проективная плоскость Р2, рас­ сматриваемая как топологическое пространство, может быть получена из сферы «S2 отождествлением каждой точки с диаметрально цротивоположной. Обращаясь к на­ шей алгебраической модели для S2y видим, что подобная операция отвечает введению соотношений

xi = x2l ех= е2,		Vi =	v2r
т. е. каждая из групп ®°,	62	имеет	теперь лишь по
одной образующей: #, е, v. При этом
дх =Ъе = 0,	ди = 2е,		(5)

так что е является не гомологичным нулю циклом, в то время как 2е ~ 0. Вытекающий йз проведенных рассуж­ дений и (5) результат выражается' равенством

Ж (Щ Р *)) - Zoo « * ]) © Z2 (М ).

(6)

Укажем теперь стандартный способ формулировки полученных результатов. Количество бесконечных цикли­ ческих групп, порожденных образующими соответствую­ щей размерности и входящих в называют числа­ ми Бетти. Обозначая эти числа через Bh (индекс к ука­ зывает размерность), видим, что во всех наших приме­

рах Во = 1.	Этот факт соответствует с в я з н о с т и геот
метрических	фигур, которые мы использовали в наших

§ 2] ГРУППЫ И КОМПЛЕКСЫ 37

конструкциях. Что касается следующих размерностей*

будем	иметь В\ — 1 для	S1; В х= В2= 0 для			2); В { = 1,
В2= 0	для (?; ^ 1 — 2, 5	2 =f 1	для	Г; -Si = 0,	В2 — 1 для
S2 и В\ = В2 = 0 для Р2.			(6)	слагаемого	Z2» надо
Чтобы отразить наличие в

добавить к приведенному описанию новый элемент. Если оказывается, что в <5^(@), помимо бесконечных, входят конечные циклические группы, то их порядки называют коэффициентами кручения (в соответствующей размер­ ности) . В наших примерах, за исключением Р2, все коэффициенты кручения — нули, Для Р2 коэффициент кручения в размерности 2 равен двум.

Весьма важно^ отметить следующее. Числа Бетти мы могли бы , определить и при использовании в качестве коэффициентов bh,в (2) произвольных рациональных или вещественных чисел. Но коэффициенты кручения при подобном расширении. класса коэффициентов авто­ матически оказались бы равными нулю во всех случаях. Действительно, обращаясь к (5), видим, что можно тог­

да положить е = д(и/2), т. е. цикл е оказывается гомо­ логичным нулю.

Цодобная ситуация неизбежно в ряде случаев возни­ кает при использовании аналитического аппарата для определения гомологических характеристик (гл. И ). Кру­ чением при этом приходится пожертвовать. Утешение лишь в том, что в интересующих нас случаях оно будет заведомо равно нулю.

2.3. Когомология. Пусть ©г — группа r-мерных цепей «-мерного комплекса ©, являющаяся абелевой группой с системой образующих {us}. Пусть (R— множество веще­ ственных чисел, рассматриваемое как абелева группа от­

носительно	сложения, и Кг — совокупность всех гомо­
морфизмов	что записывается в виде равенства
	Кг = Нот (Г , К)

(для аналитика Кг — множество всех вещественных «ли­ нейных» функционалов над ©г). Если v ^ Кг, то значение соответствующего гомоморфизма на цепи и <= ©г обозна­ чим <«, «>. Пусть ир^ К г — гомоморфизм, для которого

(символ Кронекера). Тогда произвольный элемент со <= Кг представим в виде суммы

со = 2

0

38	ФОРМАЛЬНЫЕ СТРУКТУРЫ	[ГЛ. I
и называется коцепью с вещественными		коэффициента­
ми размерности г.

Множество Ктобладает естественной структурой абе­ левой группы, и мы можем определить пограничный го­ моморфизм dr: Kt -*• Kr+1 ; порождаемый гомоморфизмом д цр правилу

<диу оУ = <w, dv}

иобладающий очевидным свойством

dd= 0.

По определению d: Кп	0. Прямая сумма	п
		К = ® Кг
вместе с пограничным	гомоморфизмом d	о
		называется

и-мерным комплексом коцепей с вещественными коэф­ фициентами над комплексом (X.

З а м е ч а н и е . Вообще говоря, в определении Кг вместо В? может быть использована произвольная груп­ па G: Kr ~=Hom((Xr, G). Тогда говорят о комплексе К «с коэффициентами из G»\

В "полной аналогии с группами гомологий для ® опре­ деляются группы когомологий Жк(К):

Жк — Ker dh+\/lm dk.

Применение описанной выше схемы- к примерам, рас­ смотренным в п. 2.2,- показывает, что соответствующие группы полностью определяются группами гомологий и, следовательно* структура их также отражает «геометри­ ческие» свойства исходного комплекса. Одновременно группа Ж (К) не несет дополнительной информации. Бо­ лее того, в_ примере 2.f информация о кручении, как и следовало ожидать^ утрачивается, вследствие использо­ вания вещественных коэффициентов.

В дальнейшем, в гл. III, нам придется иметь дело именно' с группами Кг, являющимися линейными про­ странствами, которые мы вдобавок будем превращать в конечномерные гильбертовы пространства. В алгебраиче­ ской топологии комплекс i£(@) оказывается - носителем важной дополнительной информации благодаря возмож­

ности введения в Ж (К)	топологически	инвариантной
о п е р а ц и и у м н о ж е н и я .	Операцию эту и мы будем
существенно использовать (ср. операция ^		в п.1.2, гл. 0)
в интересующей нас специальной ситуации.

§ 2]

ГРУППЫ И КОМПЛЕКСЫ

39

2.4.Тензорные произведения. Рассмотренные нами в

п.2 цилиндр и тор были определены нами как прямые произведения S X /, <5X5, т. е. как произведение окруж­ ности на отрезок и произведение пары окружностей. Приврденный одновременно способ построения соответ­ ствующих комплексов представлял собой пример исполь­

зования так называемого т	е н з о р н о г о	у м н о ж е н и я :
©((>) = ©(£)®®(/),	=	©(5).

Аналогичная связь между прямым умножением геометри­ ческих объектов и тензорным — соответствующих ком­ плексов сохраняется и в общем случае. Введем необхо­

димые определения.

Тензорным произведением G\ ® G2 абелевых групп Gi, G2, заданных наборами образующих {uh}, {v) соответ­ ственно, называется группа с образующими uh® vh при­ чем постулируются равенства

(uh+ щ) ® vm = uh® vm + щ ® vm,

		(7)
Uh ® (Vm + Vn) = uk ® v m + Uk ® Vn.
к
Отсюда следует, что
а (uh® ym) =	auk ® vm = uk ® avm	(8)
для любого целого а и,	в частности, 0 ® vk	ит ® 0 = 0.

Подчеркнем, что не всякий элемент тензорного произве­

дения	является	простым, т. е. представимым	в виде
и ® i;,	u e G i , 1; е	G2.	Сч ® G2
Существует естественный изоморфизм между

и G2 ® Gi, а также между Gi ® (G2 ® вз)' и (Gi ® G2}® G3, но соответствующие отождествления отнюдь не обяза­ тельны. Мы будем избегать такого отождествления в первом случае и пользоваться им во втором (ассоциа­ тивном) .

Тензорным произведением комплексов

« и > - 0 « ц > .

О

называется комплекс

n+m

(9)

О

40	ФОРМАЛЬНЫЕ	СТРУКТУРЫ	[ГЛ. I
где	©fe= ®	(в&) ® Щ2))	(10)
	p+q=k

и при определении & использованы тензорные произве­ дения соответствующих абелевых групп. При этом; если cpk, cq— :цепи указанной размерности, принадлежащие перемножаемым комплексам, то

д(ср ® сд) = дср ® cg + (—i) pcpi ® dcq.

(11)

Поскольку

дд(ср ® ся)=ддср ® cq + (—l ) p- ldcp ® dcq+

+ (—1)рдср ® dc* + (—1)V> ® ddcq = О,

равенство (1) выполнено и определение комплекса S закончено.

Мы воспользуемся тензорным умножением при по­ строении комбинаторной модели евклидова пространст­ ва, определяемой как тензорная степень одномерного комплекса, рассмотренного в § 1, гл. 0. Кроме того, весьма важным окажется распространение тензорного умножения на случай линейных пространств (§ 3).

Важно отметить, что тензорное умножение комплек­ сов немедленно распространяется на комплекс, сопря­ женный с задаваемым соотношениями^ (9) — (11) комп­ лексом Е. Комплекс К коцепей над тензорным произве­ дением. автоматически будет также обладать структурой тензорного произведения. Для коцепей ср, сч и операто­ ра d будет выполняться равенство

d(cp ® Cg)=,dcp ® cq + ( — l ) pCp ® dcq

(12)

исохранится свойство dd= 0r

2.5.Заключительные замечания. Возвращаясь к за­ мечанию, сделанному в .конце п. 2, относившемуся к не­

чувствительности структуры (©) к размельчепщо раз­ биения, укажем теперь, что в действительности спра­ ведливо гораздо более общее утверждение, доказатель­ ство которого далеко выходит за рамки , наших рассмот­

рений [21], [30], [31].		и н в а р и а н т ­
Т е о р е м а .	( Т о п о л о г и ч е с к а я

н о с т ь г р у п п ы г о м о л о г и й . ) Группа гомологий комплекса, соотнесенного некоторому геометрическому объекту, является топологическим инвариантом послед­ него.