книги / Основы математической теории термовязкоупругости
..pdfВ этом случае соотношения (32.11) примут вид
г
«н (0 = к ? ® (*) |
+ к ^ 8и (О + |
6а $ в \ (°т, * — т) 0 (т) дх + |
|
||||||||||||
|
|
|
г |
|
|
|
|
|
I |
О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
+ |
^ |
|
|
— т) |
(т ) &х + |
^ [^г(3т, |
?— т ) + а т ------^4 ----------1 X |
||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
г |
|
0 |
|
|
|
|
т |
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X 5 (т, т) дх + |
2 ^ В 2(бт, I — т) 0 (т) з1} (т) дх, |
|
(32.13) |
||||||||||
что совпадает с записью (32.1), если |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Л |
- * |
! 1©**), |
|
П = |
к » |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Чх = |
“ |
|
|
|
|
|
<7Х>2дВ2(О(бх,- |
ГI—--‘ Тт) "1 |
|
|
|
|
|||
В 2(ст, I — т) + бт -------------------] 8 (т, т), |
|
|
|
||||||||||||
42 = |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
«3 = |
ъ\ (I — т) + 2В2(от, < — т) 0 (т). |
|
|
|
|
(32.13)' |
|||||||||
Положим теперь в соотношениях (32.12) и (32.13) |
|
|
|
||||||||||||
а \ ( 1 - х ) |
= |
| |
дП1% ~ Х) , |
Пх(0) = |
ЗХ“ |
|
|
|
|||||||
М (* _ |
т) = |
|
ЭП(* ~ Т)-, |
|
Г1 (0) = |
К?, |
|
|
|
||||||
6В2 (бт, 1 - х ) = - ^ - Р (бт, 1 — х) = |
Р' (от, I — т), |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
д#2 (<3_, * — т) |
|
А |
д |
Р 2 (а*, 1 — х) = |
|
|||
В 2 (От, < — Т) + бт -------------------= |
— — |
|
|||||||||||||
|
|
|
= Т |
Р *(0т* * ~ |
т )’ |
|
|
|
|
|
|
|
|||
-@^у- (В 1 (От, <— т) — а} («— Т)] = |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
= 4 г 4 г Р 1^ ' |
1~ т> |
|
|
|
1~ |
т)- |
|
(32.14) |
|||
Разбивая |
тензор |
деформации |
е^- (*) |
на |
линейную |
ец (^) |
и нелинейную |
||||||||
е^- (г) части, |
получим из |
(32.13) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
&1] |
|
&1] "~1—6^*, |
^1) |
@1] ~}~ |
1 |
^ |
^ |
^ » |
|
|
|
|||
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
*«(*) = |
$ П ( * - т ) * у (т), |
|
|
|
|
|
|
(32.15) |
|||||||
|
|
|
|
О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0' (I) = |
§ Пх (I — т) до (т); |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ец (*) |
= \ Р ’ (От, * ~ х)о (х) «у (т) дх, |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
О |
|
|
|
|
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
0" (I) = \1Р 1(ат, I — х) о* (т) дх + |
^ Р2 (о-, Ь— х)$ (т, |
т) дх. |
(32.16) |
о |
о |
Таким образом, в главной квадратичной теории вязко-упругости с мгно венной линейной упругостью, представленной соотношениями (32.15) и (32.16) , имеется два линейных ядра П и ^ и два существенно различных нелинейных ядра Р (ат, I — т) и Рг (ат,2 — т), так как третье нелинейное ядро Р 2 (ат, I — т) выражается через Р (ат, I — т), согласно соотноше ниям (32.14), следующим образом [61]:
_ |
дР (с_, |
I — т) |
о |
(32.17) |
Р (от, I - х) + бт |
------1 = |
± Р 2(бт. I - т). |
Если условия взаимности не выполняются, то ядра Р и Р2 в соотношениях (32.16) являются взаимно независимыми.
Из соотношений (32.14) и (32.12) видно, что
Р[ (О, I - т) = За? (I — т), Р' (О, I — т) |
- |
2Ъ\ {I — т). |
Поэтому при малых схт девиатор деформации ец |
{I) |
будет совпадать с ли |
нейной частью девиатора ец (2), а шаровая часть 0 (г) будет отличаться от линейной 0'(^) за счет величины 5 (т, т). Если девиаторы напряжений так же малы, то получаются соотношения линейной теории вязко-упругости в виде (32.15).
Чтобы получить главную линейную по девиаторам теорию вязко-упру гости с мгновенной линейной упругостью, необходимо соотношения (32.15) оставить без изменения, а в соотношениях (32.16) опустить второе слагае мое. Следует заметить, что «обратные» соотношения главной теории, как линейной, так и квадратичной по девиаторам, для уравнений (32.15) и (32.16) можно записать в таком же виде, поменяв местами напряжения и деформации.
I
*«/(*) |
— т)*#(т), |
|
О |
|
|
|
|
(32.18) |
|
I — г) 0 (т) еу (т) с/т, |
|
I |
|
Ъ |
<з" (*) = $ Яг (0т. * - Т) е2 (т) с/т + 5 <?; (<?т, I - т) е (т, т) с/т, (32.19) |
||
+ $1*. |
о = о ' + |
а", |
где е (т1? т2) == е кг (хг) е кг (т2); |
0Т = 0 (т). |
Проанализируем теперь соотношения главной кубичной теории вязко упругости. Рассмотрим уравнения кубичной теории (31.12).
Учитывая |
сингулярные |
свойства нелинейного |
ядра ползучести |
К 3 (* — хг, I — т2, I — т8) |
и пользуясь обозначениями (30.5) и (30.6), |
||
представим это |
ядро в виде |
|
|
к , (х) = кт{х) + К% (х) р„ (х) + К % (х) р„ (*) Рм (х) +
+ К % [ту$ц (ж) рм (а:) Ртп {х) (*, /, к, I, т, п = 1, 2, 3). (32.20)
Мы знаем, что не все компоненты объектов К Ф (д = 1, 2, 3, 4) являются независимыми. Назовем, как и ранее, главной частью ядра К3 (х) два пос ледних слагаемых в разложении (32.20), т. е. в главную часть ядра К3 (#)
входят только объекты (х) и К[%тп. Теорию,, в которой учиты вается только главная часть ядра К3 (х), и назовем главной «кубичной» теорией вязко-упругости [3]. Независимых компонент объекта К&\ кото рые являются числами, будет только четыре:
К 112233* |
-^111233» |
^ 1 1 1 2 1 3 ) |
^111223» |
|
(32.21) |
|
Независимых |
компонент |
объекта |
К@\ |
которые |
являются |
регулярными |
функциями одной переменной, будет также четыре: |
|
|||||
^1122 (Хз)> ^1112 (Х3), ^1123 (я3)> |
А |
(х3). |
(32.22) |
Подставляя главную часть ядра К3 (х) (32.20) в уравнения (31.12) и произ водя несложные вычисления, получим выражения компонент девиатора деформаций е^ через девиатор напряжений в главной квадратичной теории ползучести в виде
|
I |
|
еа (0 = |
+ А (Р, в)] 8^ (0 + ^ [К (< — т) + |
В {I, т; 8)] (т) Лх, |
|
о |
(32.23) |
где А (*; 5) — временной коэффициент модуля упругости и В (*, т; 5) — коэффициент нелинейности ядра ползучести. Благодаря тому, что неза висимых компонент объектов К и К& только по четыре: (32.21) и (32.22),
имеют место следующие выражениячерезинвариантнапряжений |
и |
|||||
простые ядра |
К г: |
г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А (2; з) = Кз (^, 0 |
+ $ 1^1 (*— т) 5 (*» *) + |
^2 — т) 5 (т, х)]йх, |
||||
В (г, |
т; 5) = К3 {I |
0 |
|
|
(32.24) |
|
— ) 5 (*, I) + |
2Кг (I —х)з(1, т)+ (1—х)$(т, т). |
|||||
Если положим К3 = 0, то из (32.23) имеем |
|
|
|
|||
|
|
|
г |
|
т) + |
|
ец (0 = |
[(I/2С) + |
А (<; 8)] |
{*) + $ [К (< - |
|
||
+ |
2К1 (г — Т) 8 {I, г) + |
о |
|
|
(32.25) |
|
КА (I — т) 8 (т, т)] 84з- (т) йх, |
||||||
причем А имеет прежнее выражение (32.24). Простейший вариант |
теории |
получается, если отбросить еще и Кг. В этом случае нелинейные поправки
выражаются только через интенсивность напряжений ви (/) = 5 (I, *). Из (32.24) при этом получаем выражения временного коэффициента моду ля упругости и коэффициента нелинейности ядра ползучести
|
г |
|
А = Ка1 {I) + |
(* — т) о1 (т) йх, |
|
|
\ |
(32.26) |
В — К^{1 — х) о^|(т). |
|
|
Их естественными обобщениями являются выражения |
|
|
|
I |
|
А = Ф г (а„) + |
^ К2 (I — х) Ф2 [аи (т)] йт, |
|
|
О |
|
В = Кь(1 — х) 'М М 'О Ь
что соответствует соотношениям (32.1), в которых не учитываются средние напряжения.
Если предположим, что материал при мгновенных нагрузках ведет себя как линейно-упругий, то следует в дополнений к предыдущему поло жить равными пулю еще коэффициент К и ядро К2. В этом случае связь между девиаторами напряжений и деформаций будет иметь вид
I |
1 |
(32.28) |
— х ) |
з ^ ( х ) й х — х)в{х, х)з11(х)йх,- |
|
о |
о |
|
где ядро К {I) разбивается на сингулярную и регулярную части К (I) по формуле (31.13), а ядро (I) является регулярным. Теорию, основанную па уравнениях (32.28), в дальнейшем и будем называть главной «кубич ной» теорией вязко-упругости с мгновенной линейной упругостью.
§33. Математическое обоснование нелинейной теории вязко-упругости
Эвристические соображения, высказанные нами при выводе нелинейных соотношений между напряжениями и деформациями в § 28, привели нас к уравнениям (28.3) и (28.8). Эти же уравнения можно получить, разу меется, исходя из основных положений функционального анализа, по добно тому как в первой главе были получены линейные соотношения. Для этого можно воспользоваться теоремой, высказанной Фреше [80]: каждый функционал ф [ср] непрерывный над полем непрерывных функций ср (т), определенных на отрезке [0, 2], может быть представлен выражением
Ф [<р] = П т |
г|зп [ф], |
(33.1) |
|
п->оо |
|
|
|
где |
‘ |
* |
(33.2) |
" |
|||
Ф » [ф] = 2 |
} |
А К(пНЮЦ, хъ . . ., Т кЖ т!). . . |
. . . й х ч |
к = 1 о |
о |
|
и К(пХк) (г, тх, . . ., Тк) — непрерывные функции по тх, . . ., т*, опреде ленные для функционала ф независимо от ф (т). Эта теорема обобщает тео рему Вейерштрасса для непрерывных функций (которые могут быть пред ставлены как предел полиномов) на случай бесконечного числа аргумен тов. Вместо конечных сумм (33.2) можно рассмотреть бесконечные. Если функционал ф [ф] представим в виде бесконечной суммы
Ф [ф] |
= |
00 I |
г |
(33.3) |
2 а |
• • - ) К (п)Ц, хи . . ., тп)ср(т1). . . ф(тп)<?Т!. . . йхп, |
|||
|
п —1 О |
О |
|
|
сходящейся |
при |
|| ф (т) || <[ Я (Я — радиус |
сходимости) и называемой |
функциональным степенным рядом, то такой функционал называется ана литическим [52]. Если под функцией ф (т) понимать тензорную величину, то определения (33.1) и (33.3) нуждаются в обобщении. Эти обобщения были сделаны в работах [53, 54, 81].
Рассмотрим одно из возможных обоснований соотношений (28.3) и (28.8) с позиций функционального анализа. Для этого введем некоторое гильбертово пространство НЕ абстрактных функций Е (т), под которыми
будем понимать совокупность шести функций |
т), определенных на |
отрезке [0, I] и представляющих собой тензор меры деформации некоторого |
|
процесса в какой-то неподвижной системе, координат |
Введение тензора |
может быть достаточно произвольным, лишь бы позволяло описывать деформированное состояние среды. И поэтому связь этого тензора с векто ром перемещения мы не устанавливаем.
Скалярное произведение двух элементов Е' и Е" пространства Нг за пишем в виде
г г (33 4)
(Е',Е")= ^ Е'(*)Е"(т)Р* (*• *) * |
= $ « « т) е" (|й, т)ре ((, т) ах, ' |
О |
О |
где ре (^, т) — некоторая положительная функция памяти [9, 56]. Норма элемента Е пространства Нг будет выражаться тогда в виде
I |
, |
|
|Е || = Й еу (|й, х) е!‘(|й, х)р.((, |
т ) * } " . |
(33.5) |
О |
|
|
В дальнейшем нам понадобится вводить ограничения на величину этой нормы типа ||Е | ^ Л. Из соотношения (33.5) видно, что удовлетворение этому неравенству достигается либо выбором бесконечно малых деформа ций, либо «укорачиванием» памяти, т. е. выбором функции памяти ре (2, т), сильно затухающей вне некоторой левой окрестности точки I [81].
Аналогично рассмотрим гильбертово пространство Н01 для которого все рассуждения сохраняются (в выражениях (33.4), (33.5) все буквы е сле дует заменить на 3) и которое будет трактоваться нами как пространство тензоров напряжения. Необходимым и достаточным условием существова ния конечной нормы (33.5) является существование для каждой функции
т)> вц т) конечных интегралов
I |
|
$[8^(1*. т)]2Ре(*, Т)ЙТ<оо. |
(33.6) |
о |
|
В дальнейшем будем считать, что требования (33.6) выполнены. Рассмотрим теперь некоторый оператор Р, отображающий пространст
во Н г на пространство Н0
3 = Р (Е). |
(33.7) |
По определению пространств Нг и Н0 этот оператор представляет со бой оператор-матрицу, так как он каждому вектору е (2) шестимерного пространства тензора деформаций ставит в соответствие вектор в (I) шести мерного пространства напряжений (см. гл. I). Будем считать для простоты, что начальные напряжения отсутствуют, т. е.
Р (0) = 0. (33.8)
Отличительной чертой рассматриваемых нами операторов являются их представимость в виде функционалов, зависящих от параметра (2). В самом деле, пусть, например, оператор Р переводит каждую функцию ф (т) не которого пространства 7/ф, определенную на отрезке [0, ^1, в функцию ф (т) пространства IIф, определенную на том же отрезке. Для каждого фиксированного I {I 1оо) оператор Р можно рассматривать как функцио нал ф [ф], переводящий каждую функцию ф^ (т), определенную на отрезке [0, I] и совпадающую на этом отрезке с функцией ф (т), в некоторое число ф. Поэтому в дальнейшем мы будем отождествлять понятия оператора и функционала, понимая под последним оператор с фиксированным пара
метром I (т. е. и с фиксированным правым концом отрезка, являющимся областью определения рассматриваемых функций).
Предположение. Предположим, что оператор Р в (33.7) является ана литическим в окрестности нуля, т. е. в нуле существуют производные по Фреше всех порядков [5] 1. Физически это предположение отражает так называемый общий постулат изотропии, выражающий реономные тен зорные свойства материалов [1].
Теорема. При выполнении указанного предположения оператор (33.7) можно представить в виде
оо
5 = 2 ГПЕП, |
(33.9) |
71=1 |
|
где обозначено
гг
Г„Е»= 5 • • • 5 Гп (*, хи . . тп) Е (то ... Е (т„) йтх... ёхп. |
(33.10) |
|
о |
о |
|
Эта запись на основании принятых в начале параграфа сокращений озна чает
|
оо |
I |
I |
|
^ (0 = |
2 |
5 • • • $г;пл- г«;« (I, тх, . . |
тп) ву , (тх) . . . |
|
71=1 0 |
0 |
|
||
• • • |
е<«*п(т») ЙТ1 • • • йхп- |
(33.10)' |
В самом деле, по условию существует в нуле производная по Фреше первого порядка оператора Р , т. е.
Р(Е)=Р'0(Е) + В г (Е), |
(33.11) |
где Р0 (Е) — оператор, линейный по е и называемый производной по Фре ше оператора Р , а
приЦЕЦ-0. |
(33.12) |
Для каждого фиксированного I, как уже отмечалось, оператор Р0(Е) пред ставляет собой линейный функционал, который в наиболее общем виде можно представить как скалярное произведение (2.16). Поэтому из опре деления (33.4) следует, что
р'о(Е)= 5 Гх (т) Е(т) Ре (<, т) йх = |
5 г (<, т) Е (т) йх. |
(33.13) |
о |
о |
|
По условию, однако, существует производная Фреше любого порядка, например порядка п. Это означает, что существует многочлен степени п
Р п(Е) = %Е + а2Е2 + . . . + апЕп |
(33.14) |
такой, что
Р (Е) = Р п (Е) + В п (Е), |
(33.15) |
1 Определение производных по Фреше от оператора дано ниже.
где
I] (Е) || / КЕ || -> 0 п р и ||Е ||^ 0 .
Последнее означает, что для любого фиксированного п ядра, входящие в выражения (33.9) или (33.10)', должны быть ограничены в левой окрестно сти точки 2 на основании (33.5).
Из предположения 1 следует, что оператор Р можно записать в виде
Е(Е) = Р'0(Е) + А К (Е ) + • ■• + ъ № (Е), |
(33.16) |
где
РоП) (Е) = п!апЕп.
Для выражения второго слагаемого воспользуемся теоремой о том, что каждый билинейный функционал гильбертова пространства может быть представлен в виде [82]
-|г-Ео(Е) = |
о2Е2 = (4 ХЕ, Е), |
(33.17) |
|
где А г — линейный ограниченный оператор, определенный всюду |
в Я е. |
||
Так как этот оператор можно представить в виде (33.13), то имеем |
|
||
|
I |
т |
|
А- Р"0(Е) = |
^ Ц Гх (I, тх) Е(тх) <7тх}Е (т) ре (I, т) йх = |
|
|
|
0 |
о |
|
|
1т |
|
|
= |
^ |
г2 (*, тх, т2) Е (тх) Е (т2) <7гхе7г2 = |
|
|
о о |
I I |
|
|
|
|
|
= |
- ^ - ^ Г 2((, хъ %ъ) Е (тх) Е (т2) йтх<7г2 |
(33.18) |
оо
впредположении симметрии ядра Г2 (*, т1? т2) по переменным хг и т2. Предположим теперь, что интегральное представление справедливо
для (п — 1)-й полярной формы. Докажем ее для формы степени гг, чем завершим доказательство.
На форму апЕп = апЕ1. . . Е п можно смотреть, как на линейный опе ратор адЕ1Е2. . . Еп^х, действующий на пространстве]#^. Его в силу теоре мы Рисса можно представить в виде скалярного произведения (ЛП_ХЕ, Е), где А п.Л — (гг — 1)-линейный оператор, который в силу предположения представляется в интегральной форме. Следовательно,
г*
А ^ П)(Е) = А -^ . . . ^Гп(«,тх, . . ., хп) Е(тх). . .Е(тп)йтх. ..(1хп.
оо
(33.19)
Если потребуем, чтобы уравнения состояния были инвариантны относи тельно начала отсчета времени, то все ядра будут иметь разностный вид, т. е.
Г*п (^ *!, т2, . . ., тп) — Гп (^ |
т1? I |
т2, . . ., ^ |
т^п)* |
(33.20) |
Нетрудно видеть, что точно такими же рассуждениями, которые были использованы при выводе вида оператора Р, можно воспользоваться для установления вида оператора О
оо
Е - С ( 5 ) = 2 |
К п8 п. |
|
(33.21) |
|
п—1 |
|
|
|
|
В следующем параграфе |
мы докажем, |
что оператор |
С в соотношении |
|
(33.21) является обратным по отношению к Р . |
только в точке I, |
|||
Предположим, что |
все |
ядра имеют |
сингулярности |
|
а внутри интервала |
[0, Н |
являются непрерывными функциями. Тогда, |
оставляя в разложении (33.9) только один член, мы получим уравнение
состояния линейной вязко-упругости, рассмотренное |
в первой главе |
г |
|
8 (*) = ЕЕ {I) + ^ IV*, т) Е (т) д.%, |
(33.22) |
о |
|
где Е — матрица, не зависящая от времени *, а Гх (^, т) — регулярная часть ядра 1\ (I, т). Из главы IV известно, что уравнения (33.22) разреши мы относительно Е {I) для среды любого вида материальной анизотропии и записываются в виде
*
Е(0 = $ * !(* , Т)5(т)«?т. |
(33.23) |
о
Это означает, что оператор Р0— линейный относительно Е, определенный
соотношением (33.11), имеет обратный С0 = |
который является |
линейным относительно *У.1 |
|
1 Строго говоря, независимость Е от времени следует из (33.9) только для ядер разно стного типа.
IX. Обращение нелинейных операторов, связывающих напряжения и деформации
§ 34. Основные теоремы об обращении нелинейных операторов теории вязко-упругости [83]
В предыдущей главе указывалось, что уравнения состояния, в которых деформации выражены через напряжения, во всех развиваемых нелиней ных теориях могут быть обращены и записаны как уравнения, в которых напряжения выражаются через деформации. Необходимо подчеркнуть важность взаимности указанных соотношений. Фигурирующие в них не линейные ядра ползучести и релаксации должны быть связаны какими-то интегральными уравнениями (не зависящими от и е*?) и обладать соот ветствующими свойствами, вытекающими из их взаимности. Теория нели нейной вязко-упругости в принципе может считаться завершенной только после установления особенностей ядер и всех свойств взаимности, к кото рым мы и переходим.
В общей постановке задача, таким образом, состоит в том, чтобы найти обращение аналитического оператора Р (Е), представляющего собой опера тор-матрицу в окрестности нуля (33.8)
8 = Р (Е). |
(34.1) |
Теорема 1. Существует оператор С (8) = Р'~1(Е), обратный к ^(Е), и представляется в виде (33.21).
Введем некоторый вспомогательный оператор-матрицу (?, переводящий элемент Е гильбертова пространства Не в самого себя
(? (Е, *?) = |
Е — ^ [Р (Е) - 8], |
(34.2) |
где ^ играет роль параметра, и составим операторное уравнение |
|
|
Е - <? (Е, |
8). |
(34.3) |
Легко видеть, что если Ех является решением уравнения (34.1), то оно одновременно является и решением уравнения (34.3), и наоборот. Таким образом, для того чтобы найти решение операторного уравнения (34.1), необходимо и достаточно найти решение уравнения (34.3).
Воспользуемся для этого принципом сжатых отображений, который заключается в следующем. Пусть оператор (Е,*5*) (34.3) отображает не которую окрестность нулевой точки пространства в себя и для каждых двух элементов Е' и Е", принадлежащих этой окрестности, выполняется усло вие
где а — некоторое число. Оператор 0 , удовлетворяющий условию (34.4), называется оператором сжатия. Теорема Банаха утверждает, что в этом случае имеется единственное решение уравнения (34.3), которое может быть получено методом последовательных приближений при нулевой на чальной точке. Эта последовательность приближений строится следую щим образом:
Е х = |
<? ( О , *$’) , |
|
|
|
|
Е2 = |
<2 (Ех, 5), |
|
|
(34.5) |
|
Е п — Я (Еп-х, 5). |
|
|
|
||
Из условия (34.4) вытекает оценка для приближений (34.5) |
|
||||
IIЕ2 - |
Ех || = |
II Я (Ех, 5) - <? (0) 5) ||< |
ос || Ех ||, |
|
|
||Е з ~ Е 2|| = |
||(?(Е2, ^ ) - ( ? ( Е 1,^ ) |К а ||Е 2- Е 1К ^ ||Е1||, |
( |
|||
|| Еп+1 —Еп||== | | ( Е п, *?) — Я (Еп-1, ^) 1^ ОС-1| Ех ||. |
|
||||
Поэтому |
|
|
|
|
|
I Епнр — Е п К [ос-^ '1+а-+Р'2+ . . . + а -]|)Е х ||- |
|
||||
|
= - Й |
„п+р |
„п |
пп |
(З4-7) |
|
г - » |
II <тЬк II Е1II = Г=Га! <? (°« ■*) II- |
Неравенство (34.7) означает, что последовательность Е п сходится к пределу Е, который и является решением уравнения (34.3), причем единственным, так как, если бы их было два, например Е' и Е", то из (34.7) и (34.4) для них следовало бы
IIЕ' - Е" || = 1<? (Е\ 8 ) - Я (Е'*8) К ос || Е' — Е"||, |
(34.8) |
что возможно только при Е' = Е", так какое строго меньше единицы.
Итак, для того чтобы применить принцип сжатых отображений к кон |
|
кретному виду оператора (? (34.2), необходимо доказать, во-первых, |
что |
он любую точку Е не выводит из нулевой окрестности и, во-вторых, |
что |
он является оператором сжатия. Первое требование выполняется, если |
потребовать, чтобы для всех Е |
|
ЦЕП < г |
(34.9) |
выполнялось условие |
|
II <2 (0, 5)11 < (1 — а) г. |
(34.10) |
В самом деле, в этом случае справедлива оценка |
а)г =г. |
IIЯ (Е, 5)||< || Я (Е,,9) -<? (0, 5)|| +1|<?(0, 5)|< аг + (1 - |
|
|
(34.11) |
Для определения условия, налагаемого вторым требованием, заметим, что оператор дифференцируем по Фреше, и поэтому для любых Е' и Е", принадлежащих г-окрестности нулевой точки, найдется такое Е'" из этой окрестности, чтоI
II Я (Е\ Л - я (Е", 5) ||< II <?' (Е'") IIIIЕ' - Е"I, |
(34.12) |