книги / Основы математической теории термовязкоупругости

Сравнивая теперь выражения (10.3) и (10.7) для IV*, находим

—№е(х, у) = 2 гк(х) гк (у)п

(10.12)

—У) =2 Г1к(а:)Г1Ъ{У)-

Формулы (10.10), (10.12) дают общие представления ядер 5*, IV в (10.3). Дальнейшие рассуждения, аналогичные приведенным в § 9, позволяют получить частные представления 9* и IV через ядра релаксации Д, Дх. Если Д, Дх представлены положительными суммами экспонент, т. е.

в	(10.11) при Хк				0, Хк	0
		Гк (х )	=	г к (0) е- Х*х ,			г1к(х ) =		г1к (0 ) е~Хк* ,		(10.13)
и потому
		Д (*) =		2 С*в“ Ч			Я, (х) = I		Ске-х'кХ,		(10.14)
		С к = г 2к(0),					С'к= г 1 к(0),
то	из	(10.10)	находим
		&е(х, У) =			^ С ке~х^х+у) = К (х + у),						(10.15)
		3*0 (X, у) = 2 Ске~хк {х+у) = Дх(х + у),
а из		(10.12)
		^ .(* . г/) =					= -	Д'(* +		у),
		иъ(*, у) = 2					(х+у) = -	д;(х +у).			(10.16)
При этом			^ 0, И7*,			положительные, причем рассеяние
				I	I
		ТГ = -		$ $ Д' (2* -			- х2)	(ТО		(т2) -
				о	о
				*	I
			~ Ц я ' 1(21-х1- х 2)Мт (х1)^т (х2)>0,								(10.17)
				о	о
так как положительно каждое слагаемое, например первое,
					г		2			г
		ЦА чА		{ [ $ ^ ^ (,- т)^			и (т)] + . . . + 4 [ ^ е - ^ (' - т)* 12(т)]				+ .--}> 0 .

Физическая схема модели малого объема тела, соответствующая полу­ ченным формулам для свободной энергии и рассеяния (10.17), такова: объем вещества моделируется множеством простых максвелловских эле­ ментов, обладающих спектром времен релаксации 1/Хк.

Можно выбрать другую схему: модель состоит из множества одинако­ вых линейных релаксирующих элементов общего вида, но с одинаковым ядром релаксации, совпадающим с В (I). При этом в (10.10) следует по­ ложить

и аналогично — для г1к (х), после чего (10.11)		обратятся в тождества, а
из (10.10) и (10.12) получим
=	д^ьв=^	. н 1(х)Нх {у),	(10.19)
- \ У е(х, у) = Л р .П {х )П '(у ),	— Щ	( х , у ) ^ ^ щ В 1(х)Д'1(у).

После этого из (10.3) с учетом (10.1) получим для свободной энергии про­ стую формулу

с'О'2	2В (0) ~ 2/?1 (0)	(° « = *«*«).	(10.20)
“27\Г

означающую, что эта энергия совпадает с упругой энергией элемента при мгновенной разгрузке (с точностью до теплового слагаемого). Дифферен­ цируя (10.1), находим

г

5 П ' {I - -с) йец (г) = 4- — К (0) еф

о

\ в [ ( 1 - х) М т(х)= о - К , (0) 0Г,	(10-21)
0

после чего из (10.3) с учетом (10.1) получим выражение рассеяния

	ц/* = $.. д-И-		да и , ддТ	да	( 10.22)
			Я(0) ~~дг + ° - а Г ~	#1(0) дЬ
	уу	дг

При этом, конечно, необходимо, чтобы во всех точках тела в любой мо­ мент времени выполнялось условие ^ 0, для чего достаточно, чтобы для любых допустимых функций типа деформаций сдвига (/) и объемного расширения (#) имели место неравенства

I I
— \<\ к у — х1)П'(1 — х2) (гх) (тг2) > 0,
0 о
1 I
— $ \ КЛ 1 —	— т ^ О ^ Ю ^ О ^ ) > 0 .	(10.23)
о о

Энтропия аУ во всех случаях, включая и общий, отражаемый форму­ лами (10.23), (10.10), (10.11), (10.12), имеет одинаковое выражение (10.9). Коэффициент с во всех формулах § 10 представляет собой теплоемкость единицы объема тела в начальном ненапряженном состоянии при Т = = Г0, что ясно из второго закона термодинамики

ТЬ 8 = Ь(} +		6*,	(10.24)
приводящего к равенству
оТ =	Ь<? — ЗаТдо +		(10.25)
При а = 5ц = 0,	Т = Т 0 и постоянном (нулевом) давлении		6а = 0 по­
лучается сЬ Т =	6(2,	значит с — теплоемкость единицы объема в указан­
ных условиях.

§11. Уравнение теплопроводности

Теплообразование за счет рассеяния энергии У* и теплопроводность мо­ гут создавать неоднородные и нестационарные температурные поля, ко­ торые, вообще говоря, не определяются независимо от полей напряжений и деформаций. В бесконечно малый объем тела (IV = йхг йх2 йхг в момент I через его грани за время д.1 вследствие теплопроводности поступает не­ которое количество тепла 6(), определяемое через вектор теплового пото­ ка ц очевидным соотношением

6(2 (IV = — (Ну ^ (И дУ,

и потому
д() =		— (Ну ц (И.				(11.1)
Второе начало термодинамики (10.24) дает уравнение притока тепла
для единичного объема тела при малых деформациях
■^Г = Т'№ *—						(11.2)
Рассмотрим произвольный объем					V внутри тела с	поверхностью 2.
Умножим левую и правую часть (11.2) на ЗУ и проинтегрируем по объему V.
Учитывая	очевидное тождество
_	сНу д = (Ну			+ — ч §гай 7\		(11.3)
получим производную энтропии тела в объеме V
д8ъ				= $ т г У г а г - ^ ч - ц г и т а г - ^ ч . ^ г .
- г г = $
		V		У	V	2
Введем обозначения
д8$>		_	с .			(11.4)
	дг
			4
д8§>
		с	1			(11.5)
	дг
		~ .)	т
		V
получим
д8у		д8($		дЗ<1)		(11.6)
	дг	~~	дг
				дг
Как видим, скорость изменения полной энтропии Зу в объеме V состоит из
двух частей: скорости				д5у)!д1 за счет внешнего притока тепла через по­

верхность, которая может быть положительной и отрицательной; скорости д8{у!д1, которая происходит за счет теплообразования У* и теплопровод­

ности. Согласно второму закону термодинамики 3	$ не может убывать,
а в необратимых процессах возрастает.

Из (11.5) видно, что необратимость бывает двух типов. Первое слагае­ мое правой части (11.5) обусловливает возрастание энтропии за счет функции рассеяния, условие положительной определенности которой получено в предыдущем параграфе. Второе слагаемое обусловливает не­

обратимость за счет теплопроводности. Положительность второго инте­ грала следует из закона Фурье, связывающего поток тепла с градиентом температуры

д = — X §гай Т ,

(11.7)

где X 0 — коэффициент теплопроводности. Для простоты мы будем считать X, как и теплоемкость с, постоянными.

Теперь, пользуясь результатами § 10, получаем уравнение теплопро­ водности. Внося выражения энтропии $ (10.9) и вектора теплового потока

д (11.7) в (11.2) и заменяя		абсолютную температуру Т в выражении ТЬ5
на среднюю, получим
с § - = КАТ - За!Го^ + РГ,			(И.8>
причем рассеяние И7*		выражается	формулой (10.3) через деформации
ец (х, I), 0 =	и температуру Ф =		Т — Т 0 с помощью ядер релаксации

Е(Т), йх(0- В частных случаях это будут формулы (10.17) и (10.22). Мы явно выпишем связь, устанавливаемую уравнением теплопровод­

ности (11.8), между напряжениями, деформациями и температурой для случая, когда ядра релаксации Е и удовлетворяют условиям (10.23). Внося значение И7* (10.22) в (11.8), имеем

	(с + З а а ) ^ - КАТ + а эД в Л1(0)) Н-		д*и
		д1	Л(0) дЬ

(11.9)

Здесь объемная теплоемкость с и теплопроводность X должны быть выра­ жены в механических единицах (с — кг!см2С°, X ~ кг/см сек). Коэффициент с + 3ао обычно с большой точностью можно заменить на с, отбросив ма­ лую Зав, так как с порядка 10 кг!смг С°, а порядка или меньше 10~4 (С0)""1. Если еще можно пренебречь объемной релаксацией вещества, считая объ­ емное изменение упругим, т. е. с = Е г (0)0, получим простейший вид уравнения теплопроводности с учетом внутреннего теплообразования

д Т	« л т	,	де.г;	дви	(11.10)
С ~ д Г —	Ъ А Т	+ 8.	д{	Я(0) дг

где ви = е^ — девиатор деформаций, причем

8а = (« — ■*) *«(*)•

IV. Основные соотношения

линейной теории вязко-упругости для анизотропных сред

§12. Принцип линейной суперпозиции

До сих пор предполагалось, что среда обладает механической изотропией, т. е. ее механические свойства одинаковы по всем направлениям. Для та­ ких сред в первой главе было получено представление произвольного ли­ нейного оператора, связывающего напряжения и деформации в интеграль­ ном виде. В общем случае анизотропной среды линейный оператор пред­ ставляет собой матрицу

		г
в « (0 = Е « « [ в«(*)]-					(12.1)
		т=0
Предположим теперь, чго шестерка функций					(I), определенных на
отрезке [0, 1\,	представляет собой		некоторую	функцию Е (I), принадле­
жащую гильбертову пространству			Не, в котором введено скалярное про­
изведение для функций Е' и Е" и норма || Е || функции Е,
		/
(Е', Е") =		58у (т) <4-(т) Р ((, г) ах,
.	г	Ь			(12.2)
11Б 1=	5 <н;ООМт)р(г, х)йх.
Функция р	т),	как и в главе	I, является	некоторой положительной

функцией памяти. Легко видеть, что для существования интегралов (12.2) необходимо и достаточно существование интеграла

I

(*)]2Р(*, х)йх

О

для каждой компоненты е^ тензора деформации.

Предположим теперь, что формула (12.1) определяет собой некоторый вектор-функционал в фиксированный момент I, т. е. ставит в соответствие

каждой шестерке функций	шестерку чисел оц. Тогда по теореме Рис-
са — Фишера произвольный	линейный непрерывный вектор-функционал

можно представить в виде скалярного произведения
х
«у (*) = Г{ш (I, т) гк1 (х) Ах.	(12.3)
0

Тензор Г1]]11 называется тензором ядер релаксации. Обратив наши рас­ суждения, т. е. считая деформации некоторым линейным оператором от напряжений, мы получим соотношения

1
8у (*) = 5 К ЧЫ(*» *) (*) Ат.	(12.4)
О

Тензор К 1^1 называется тензором ядер ползучести. Разумеется, и в этом случае, если потребовать инвариантность соотношений (12.3) и (12.4) относительно начала отсчета времени, то ядра Т^м и К ^ кг станут ядрами разностного типа. Из ковариантности соотношений (12.3) и (12.4) выте­ кает, что ядра Тиы и К ^ кг являются тензорами четвертого ранга. Зна­ чит в общем случае они имеют 81 компоненту. Однако, учитывая симмет­ рию этих тензоров

-	ТНк1 -	Гш/1,	(12.5)
^■г]к1 ~	К-Цк1 ~	Кщк)

получаем 36 независимых компонент каждого тензора.

Из термодинамических соображений на основе принципа Онзагер

можно вывести	соотношения взаимности
Гцк1 =	Ткги, К ц кг = К кц}-,	(12.6)

в результате чего число независимых ядер сокращается до 21. Соотноше­ ния (12.5) и (12.6) очень важны для теории вязко-упругости, так как поз­ воляют с помощью преобразования Лапласа свести уравнения (12.3) и (12.4) к соответствующим уравнениям анизотропной теории упругости.

Выделяя, как и в изотропном случае, сингулярную часть ядер релак­ сации и ползучести, имеем

ГЬ]к1	(^9 Т») =	^-Ь]к1 б (^ т)	(^, т),
Книг	(*, т) =	К Ш1 6 (I — т) +	К тг (I, т),	(12.7)

Оо

где Г ^кг и К ^к1 — тензоры модулей упругости и податливости соответ­

ственно, а Т^к1 и К ^к1 — регулярные части тензоров ядер релаксации ползучести. Вводя тензоры функций релаксации и ползучести для ядер разностного типа по формулам

	Г	— т) =	(I — X)
			д(г —х)
			( 12.

дЩш (< —т) (< - х) = д (г —X)

и принимая дополнительные условия •^Шг(О) = Т1*,-м(0)= Кцн,

соотношения (12.3) можем переписать

(0 =	^ Я ш	(г — т) йгк1(т) а%
			( 12.10)
ИЛИ
3«,- (0 =	Гу*,в*, («) — 5 Г т 1 (I — х) ек1(т)йх,
а (12.4) -	*
(0 =	$ п«*1 (< — “О		(*)
ИЛИ	О		( 12. 11)
	0	с ~	(< — *) 0*1 (Т) йт.
4} (0 = К ц к1° к1(0 + }

Найдем интегральные соотношения между ядрами Кцм (^, т) и Т^ы (I, т), для чего подставим в формулу (12.3) выражение (12.4)

%т

<*и (0 = 5 гш , («, т) йт 5 # А,тп (Т, т') отп (т') йт' =

0	О
1 I
= 5{$	г «м (*. т) А'«тП(т, т') йт} отп (т') йт'.	(12.12)

0т'

Сдругой стороны, с помощью 6-функции Дирака имеем очевидное тож­ дество

1
<>ц(<)=$*(* — т)Д«т„от„ (Т') <*т\	(12.13)
О

где тензор Д$7-тп образован из дельт Кронеккера следующим образом:

&Цтп ~ [Ьгт$}п + ^гп^'т]/2.

(12.14)

Сравнивая (12.12) и (12.13), получаем условие, которому должны отве­ чать тензоры ядер релаксации и ползучести для того, чтобы уравнения (12.3) были разрешимы в виде (12.4)

I
$Гу*! (*, Т) К Ытп (т, т') ах' = Аутп6 (< —т').		(12.15)
О
Пользуясь соотношениями (12.7),	получаем систему	уравнений для
о	о
определения тензора Кцм по заданному Т ^ к1
о о
^Цк1^г]к1 ~ ^Цгпп9		(12.16)

а для определения регулярной части тензора ядер ползучести имеем бес­ конечный ряд

со

где

ГЩ 1 т) = Г ( ^ , т),

	г
г[%(1, т) =	^ Гцтп (*, Т') ГтпАг (тг, X) йх'.
Г(& (*, Т) =	5 Г|мп>(*, т ') г тпЫ {х’, х) ах'.	(12.18)

§ 13. Частные случаи механической анизотропии

Соотношения (12.9) и (12.10) записаны в некоторой фиксированной де­ картовой прямоугольной системе координат хг. Если мы от этой коорди­ натной системы перейдем к другой, также декартовой и прямоугольной х[,

х\ = А ц ху,	(13.1)
то в силу ковариантности соотношения (12.10) примут вид
I
<3у (0 = $ Где (*> т) ем (т) ах,	(13.2)
О
где	(13.3)
АгъА
Ъц = А 1кА’ $1Оы.

Подставляя соотношения (13.3) в (13.2) и сравнивая с (12.10), получим

= А(тА^пА}1рА 1ГТтПрТ (I, т).

(13.4)

Невырожденная матрица косинусов Ац, определенная в (13.1), задает преобразование системы координат хг в х\. Совокупность таких преобра­ зований образует группу преобразований 3-мерного пространства. Роль единичного элемента играет тождественное преобразование I с матрицей 6^-, а роль обратного элемента — обратная матрица 3$ц

хг = 3$цх).		(13.5)
Матрицы А ц и 33^ взаимно обратны
?$цА]к — д1к;	АцЗЗ]к = 8^.	(13.6)
Эти матрицы не меняют расстояния между двумя		точками х\, х\ = хкхк

и называются ортогональными, а порождаемая ими группа преобразова­

ний — полной ортогональной группой 3-мерного евклидового	простран­
ства; она состоит из всех вращений и отражений 3-мерного	простран­
ства.
Очевидно,
А$\А}к = 6*ь.	(13.7)

Из сравнения (13.7) и (13.6) видно, что обратная ортогональная матрица равна своей транспонированной; определитель ортогональной матрицы ра­ вен+ 1 . Группа преобразований, порождаемая совокупностью ортогональ­ ных матриц с определителем, равным + 1, называется собственной ортого­ нальной группой или группой вращений.

Наличие в материале механической симметрии (плоскостей симмет­ рии, осей симметрии различных порядков) приводит к сокращению числа независимых компонент тензоров и К ^ы . С каждым классом такой симметрии связана некоторая группа, которая является подгруппой пол­ ной ортогональной группы.

Если матрица		порождает некоторую группу симметрии, то	тензоры,
Т^^к^ и	К цм должны быть инвариантными относительно этой		группы,
т. е. Г	= Г

Всякий тензор, который инвариантен относительно некоторой группы преобразования {Г}, может быть выражен как сумма конечного числа тен­ зоров со скалярными коэффициентами. Это конечное множество тензоров, каждый из которых является инвариантным относительно группы пре­ образований {Г}, называется тензорным базисом группы преобразова­ ний {Г}.

Таким образом, для каждой группы преобразований {Т}, характери­ зующей определенный класс анизотропии, можно построить некоторый тензорный базис и на его основе конструировать различные тензоры, ин­ вариантные относительно этой группы {Г}, в частности четырехвалентный тензор ядер релаксации

В качестве примера рассмотрим два типа анизотропии, наиболее часто встречающиеся в полимерных материалах.

1. Трансверсальная изотропия. Механические свойства материала это­ го класса анизотропии остаются неизменными при повороте на произволь­ ный угол относительно некоторой оси (например, 3-й) и при любом отра­ жении относительно плоскости, содержащей эту ось.

Тензорный базис трансверсальной изотропии составляют два тензора

Уи =			"Ь			(13.8)
Четырехвалентный тензор ядер релаксации					Т^м будет составлен в этом
случае из следующих комбинаций:
УиУки Уг$Зк^зЬ $3$3$Зк^зЬ						(13.9)
т. е.			+ Л-2 {ЧгкЧп + Т зкТ и ) + Лз (Т*АА* + У*А А*) +
+ Л.4$з$з$зк&з1 +!Лб(у*АА* + ъ-АА* ■+■т*ААл~Ь Т$А АА
						(13.10)
где Л1?	Л5 — скалярные функции I — т. Связь					между напряже­
ниями и деформациями в этом случае будет иметь вид
		х
<3ц (*)	=	5 {[Л-1 (* — * ) + 2Л2 (* — *)] е11 (*) + Л1 (* — *) ®22 (*) +
		о
	+	Л3 {I — х) е33 (тг)} Лх,
		X		х) еп (тг) + [Ах ( I -	тг) + 2А2 (I -
<з22 (*) =		5{Лх (* -				т)] е22 (тг) +
		0
	+	лз{I — х) е33 (тг)} йх,
		I
б33 (0 в		^ {Лз (^		Т') [е11 (у) “Ь ®22 (^)] +
		О

023 (О = \ А 6({ — Х) е23 (т) йх,

О

X

«13 (<) = ^ Л6 (< — т) е13 (т) <7т,

0

1

б12 (0 = ^ Л2 (I — т) е12 (т) <1х.

О

2. Ортотропия. Материал, обладающий свойствами этого класса ани­ зотропии, имеет три взаимно перпендикулярные плоскости симметрии. Тензорный базис в этом случае

	Р|; =	^$2^2?		Тг; == ^гзД‘3*			(13.12)
Тензор ядер релаксации, построенный на базисе, имеет вид
Г*г;7с/ (0 =	А-1 (О	4~ ^гК^]1		4“ (О 1Р»;‘Рй* 4* РгйР;'1 4~
+	4 “ Л 8 ($) [Тц7щ +			ТгкТЛ +	Т«Тдй1 +
+	Л 4 (*) [ к ф к г	+ Р г^ * 4	+	Л 5 (*) [И*йРл +		+	$И&)1 +
4~ Р г^ 'й ! 4 “ Л 6 (^)			4 “ Т г^ ы ! 4 “ Л 7 (^) [Х^Ч'/г 4" КнУцс 4~
+	Тгкк]1 4“	+ Л8(0 [Р^'Ты +			РыТг4 +
+	Лэ(0 [РгТсТ^г 4* Рг/Т;й +			ТгйРп +	ТиР^Ь		(13.13)

Таким образом, будет только девять независимых и отличных от нуля ядер

^1111 =	Ль	■ ^2222 == А2,	^3333 =	Аз,
^1122 =	Л4,	^1133 “ Лб,	■^2233 =	л 8,	(13.14)
-^1212 =	А5,	^1313 — Л7,	^2323 =	Ад.

Связь между напряжениями и деформациями имеет следующий вид:

	г
сп (О =	^ {Л1 (* - т) ви (т) +	Л4(* -	т) е22(т) + Лб (* -	т) е33 (т)} Л ,
	о
	х
(322 (^) ^	^ {Л4(^ — т) еп (т) -|- А2(^		г) 822(^) 4~ А-8(^	'Г) &зз (^)}
	о
	X
С33 (О =	^ {Л6{I — т) 8ц (т) -)- Л8(^		&22(^) 4“ Аз (I	т) 833(т)} йх^
	о
	X
С12 (О =	5 Л5(* — Т) 812(т) Л ,
	о
	X
$13 ( 0 =	^ Л 7 (* — Т) *13 (*)
	О
	X
^23 (0 =	§Д 9(* — т)е29(т)<*т.			(13.15)
	о
Скалярные	ядра релаксации Л*	(2 =	1, 2,..., 5) соотношений (13.11)

и Л* (г = 1 , 2,..., 9) соотношений (13.13) можно найти из опытов на релак-