книги / Основы механики сплошной среды

Б.Е. Победря создал новую постановку задачи в напряже­ ниях, которая лучше приспособлена для использования числен­ ных методов [40]. В ней для разыскания шести независимых компонент тензора напряжений решается шесть обобщённых уравнений совместности. При этом граничных условий для них оказывается тоже шесть: к трём условиям (10.56) добавляются три уравнения равновесия, перенесённые на границу области Е.

Не будем здесь останавливаться на подробном анализе “но­ вой" постановки задачи теории упругости в напряжениях, её преимуществе при численных решениях, направляя читателя к монографии [44].

Заметим только, что в литературе давно предпринимались попытки сократить число независимых дифференциальных урав­ нений совместности в напряжениях с шести до трёх. К сожале­ нию, такие попытки предпринимаются и теперь. В [9] приведены контрпримеры, демонстрирующие, что при таком сокращении нарушается корректность постановки задачи в напряжениях.

Итак, для односвязного тела в трёхмерном евклидовом прост­ ранстве существует шесть функционально независимых диффе­ ренциальных уравнений совместности деформаций (а значит, и напряжений) для существования однозначного поля переме­ щений. Этот чисто геометрический факт и связан он с тем, что тензор кривизны Римана [48] в трёхмерном пространстве имеет шесть независимых компонент.

До сих пор в этой лекции изучалась линейная упругая среда и использовались для этого малые деформации. Рассмот­ рим теперь модель нелинейной упругой среды [12,27,34,64], примером которой могут служить резина и некоторые другие эластомеры. Термин “геометрическая нелинейность” означает, что неравенство (5.1) не имеет места, а значит, деформации связаны с перемещениями не соотношениями Коши (5.5), а об­ щими нелинейными соотношениями (4.10). В МСС существует и другое понятие — “физическая нелинейность”, означающее, что определяющие соотношения среды, в отличие от (10.3) и (10.12), представляют собой нелинейные тензор-функции или функ­ ционалы.

Выберем отсчётную конфигурацию с базисом недеформированного состояния е» и вспомним уравнения движения сплошной среды (7.25) в отсчётной конфигурации. Напряжённое состояние характеризуется тензором напряжений Пиолы 7г (7.28). Сплош-

ная среда называется упругой, если существует скалярный по­ тенциал деформаций W(g), такой что

Тогда изменение работы внутренних сил (7.45) записывается следующим образом:

SA® = -dt J тгт : FdVb = - J ^ : d£dV0 =

Vo

Vo

и, следовательно,

где интегральный оператор <р, как и в линейном случае (10.42), носит название потенциальной энергии деформации. Упругая среда считается заданной, если известен потенциал W(.F).

В качестве меры деформации удобнее выбрать не £ , а правый тензор Коши-Грина (4.22), являющийся симметричным. Обра­ зуем новый скалярный потенциал W(Ç):

W(E) = W{G) = W (Iu I2,h ),

(10.60)

где I\, I2, J3 — инварианты (4.50) тензора С.

Л Е К Ц И Я 11

РАЗМЕРНОСТИ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН

Физические величины, рассматриваемые в механике, разли­ чаются не только своей геометрической структурой (скаляры, векторы, тензоры второго ранга и т. п.), но и “наименованием” Некоторые из них безразмерны (угол в радианах, компоненты

тензора деформаций), другие имеют размерность.	Например,
о	л

плотность р можно измерять в г/см , можно в кг/м , а можно

и в кГ • с2/см4.	Очевидно, что первые две размерности раз­
личаются между	собой только величиной: масштабом массы
(1 кг = 1000г) и	масштабом длины (1м = 100см). Третья же

размерность отличается от первых двух своей природой. В ней участвуют сила, время и длина.

Таким образом, размерности физических величин связаны с комбинациями единиц измерения — эталонных масштабов, служащих для измерения. Можно выбрать основные масштабы, или основные единицы измерения. Тогда другие единицы бу­ дут производными. Если какую-то производную единицу нельзя выразить в системе основных, то система не является полной. В задачах механики в качестве основных единиц часто выбирают единицы измерения М, L, Т соответственно для массы (т ), дли­ ны (I) и времени (Ь) '). В абсолютной физической системе (СГС) ими являются грамм, сантиметр и секунда, а в Международной системе (СИ) — килограмм, метр и секунда.

Основные единицы измерения считаются эталонными и выбираются по договорённости. Так, договорились считать 1/31556925,9747 тропического года, рассчитанную для 1900 г., эталоном времени и назвать одной секундой, а 1650763,73 длины волн излучения в вакууме атома криптона-86 — эталоном длины и назвать одним метром. Назовём классом систем единиц измерения совокупность систем единиц

измерения, различающихся	между	собой только величиной,
но не природой основных	единиц	измерения. Так системы

') Хотя при рассмотрении “сложных” моделей данная система мо­ жет оказаться неполной.

СГС и СИ принадлежат одному классу, называемому {M LT}. Именно к этим системам относится приведённый пример с двумя первыми размерностями плотности р. В другой известный класс {FLT} входят системы, где основными служат единицы измерения силы, длины и времени. К этому классу относится третья размерность плотности р в примере.

Размерностью [X] физической величины X называется функция, определяющая, во сколько раз изменяется численное значение этой величины X при переходе от одной системы единиц к другой внутри данного класса. Безразмерными же будут величины, численные значения которых одинаковы во всех

системах единиц измерения данного класса.
Выберем в классе {MLT} две системы единиц	измерения
и выразим размерность [X] физической величины	X в этих
системах. Согласно определению размерности
X = X, tp(Mx, L x,Ti ) = X 2tp{M2, L2,T2),	(11. 1)

где Xi — численное значение величины X в системе с номе­ ром г. Пользуясь тем, что все системы внутри данного класса равноправны, можно принять за исходную первую систему. Тогда в силу определения безразмерной величины

Х 2 = Х хЧ>(ML h. TL				( 11.2)
	\M 2 L2		T2
Сравнивая (11.1) с (11.2), получим функциональное урав­
нение
( M L h .T L \		= 4>{MU L u TQ
\M 2'L 2 'T 2J		tp(M2,L2,T2)
Для его решения продифференцируем			обе части (11.3) по М\
и положим после этого	МХ= М2=М,		L X=L2= L,	ТХ=Т2=Т:
1 dtp	1	dtp
М дМ ( i . i , i ) =	<р(М, L, T) dM (M ,L,T).			(11.4)
Обозначая а= (dtp/dM)( 1 ,1,1)		и интегрируя по М		дифферен­

циальное уравнение (11.4), будем иметь tp(M,L,T) = Mai>(L,T),

где г]) — произвольная функция своих аргументов.

Подставим (11.5) в (11.3) и выпишем функциональное урав­ нение для ф: , „ m .

т.е. уравнение, отличающееся от (11.3) только тем, что у функ­ ции ф на один аргумент меньше, чем у ip. Повторяя ещё два раза такие же рассуждения, придём к тому, что <рявляется степенной функцией по отношению ко всем своим аргументам:

4>(M,L,T) = CMaL(3T r,	С = const.	(11.7)
Формулой (11.7) представлено утверждение леммы о степен­
ном выражении размерности.
Л е м м а (о степенном выражении	размерности).	Размер­

ность любой физической величины представляет собой сте­ пенной одночлен.

Это означает, например, что никакая величина не может иметь размерность sin кг или м2 + с.

Говорят, что величины X \,...,X k имеют независимые раз­ мерности, если размерность ни одной из них нельзя представить в виде произведения степеней размерностей остальных величин. Ни одна из размерно независимых величин, например Х ь не может быть безразмерной, иначе можно было бы представить [*,] = [*a]°. а = 2,... ,к.

Докажем далее важную лемму об унарном выборе независи­ мой размерности. Для общности изложения будем действовать в классе систем единиц измерения (Mi ...М п}, п ^ 1.

Л е м м а (об унарном выборе независимой размерности) [2].

Всегда можно перейти от исходной системы к некоторой другой системе того же класса, так чтобы любая из размер­ но независимых величин X i,...,X k , для определённости Х\, увеличила своё значение в произвольное число А раз, а все прочие остались бы неизменными.

Действительно, пусть в исходной системе единиц измерения

И = Mf>' AÇ“ , а?, + ... + < 4 > 0. i = 1....... к.

(11.8)

a в разыскиваемой
[Xi] = A(qiMi)a"		(qnMn)a'n,
[Xi] = (?iM j)ail	• (qnMn)ai», i = 2....... к,

причём числа (г = 1, . . . , k; j = 1, ... , п) известны, a qj надо найти. Сравнивая (11.8), (11.9), получим систему к уравнений относительно п неизвестных. Логарифмируя каждое уравнение, выпишем получившуюся систему к линейных уравнений относи­ тельно In qi.. . . , In qn

( 11. 10)

Поскольку в классе {M i.. .М п} максимальное число величин с независимыми размерностями равно п, т. е. к < п, исследуем два случая.

а)	к < п . Как следует из (11.8), в любой строке матрицы
(aÿ),	в том числе и в первой, имеется хотя бы один ненулевой

элемент. Поэтому система (11.10) будет иметь решения всегда, кроме случая, когда первая строка матрицы (oty) есть линейная комбинация остальных к —1 её строк:

( 11.11)

Потенцируем первое равенство (11.11) по основанию Mi (другими словами, возведём М\ “в обе части первого равен­ ства (11.11)”), второе по основанию Мг и так далее, наконец, последнее — по основанию Мп. После этого перемножим получившиеся п равенств и получим

[Хх] = M,QU •... • М“'" = (М,°21			М“2п ) С г .	х
х	.(М ?ы	• М ^ ) Ск = [Х2}С2 -...		-[Х к}с’‘, (11.12)

что противоречит определению независимых размерностей ве­ личин Х{. Предположение о несовместности системы (11.10) оказалось неверным.

б) к = п. Система (11.10) не будет иметь решений, если определитель матрицы (оу) равен нулю. Так как в любой её строке, в том числе и в первой, есть хотя бы один ненулевой элемент, остаются справедливыми рассуждения пункта (а).

Таким образом, система (11.10) всегда имеет хотя бы одно решение, и существует набор чисел qi,...,qn, позволяющий пе­ рейти от исходной системы единиц измерения к искомой системе. В ней размерности величин Xi будут записываться в виде (11.9). Лемма доказана.

Пусть в некоторой задаче механики определяемая величи­ на Y каким-то образом зависит от к определяющих парамет­ ров Х \,.. .,Xk'.

Y = f( X и ...,Х т,Х т+1,...,Х к),				(11.13)
причём Х \,...,Х т	(О ^ т ^ к ) —		величины с	независимы­
ми размерностями.	Выразим через		них размерности величин
-^т+Ь • • • >Xfc, Y
{ [Xm+i] =		. . . . . [Xm]a^ ,
№1 = [ * |P “		• [X m P “ ,		(11.14)
I. [У] = [ X ,r		[Xmp - ,

и перейдём следующим образом к безразмерным переменным (критериям) П1, . . . , Щ _т , П:

П, =	Хт+1					гг		Xк
	1.1		у ат-Н,тп *			Пk—m, — X « k i		У&кт,
A j		*Лщ						Л-rtr
			п =	х?1		Y&m *
						Аттт.		(11.15)
Соотношение (11.13) можно переписать в виде
П y C|t\	1 _______		fi V		V	TT y	û ro+l.l	y ttm+l,m
	уат-	777./	1 * * * * >		^ - Т Т Ы	A J	А771	)•••
А	А
...,n * _ mX “fcl			■ X ^ ) ~ F ( X l....... Xm. n , ........ n fc_m).
								(11.16)

Согласно доказанной ранее лемме об унарном выборе независи­ мой размерности существует функция Ф, зависящая уже не от к, а от к - m переменных, такая что

П = 4>(П.......,Пь_т ).

(11.17)

Подставляя последнее соотношение (11.15) в (11.17), получим с учётом (11.13), что функция / обладает следующим свойством:

f ( X u . . . , Xk)	=	X - X Z r x
х ф( „	- ~	™+Л	'
Yrûm+1,1		• Л-тп
Ai

(

Это важное свойство носит название обобщённой однородности функции / .

Тем самым доказана П-теорема, являющаяся ключевой в теории размерностей [6,51]. Сформулировать её можно так.

П- теорема теории ра з мернос т е й . Пусть существу­ ет физическая закономерность, выраженная зависимостью некоторой величины от к, вообще говоря, размерных опреде­ ляющих параметров. Тогда данную зависимость можно пред­ ставить в виде обобщённой однородности, т. е. в виде зави­ симости некоторой безразмерной величины от безразмерных определяющих параметров, число которых меньше к на число определяющих параметров с независимыми размерностями.

Формулировка и доказательство настоящей теоремы в ли­ тературе приписывается Э. Букингему. Заметим лишь, что его работа [63] по данному вопросу опубликована несколько позже, чем не получившая всемирной известности работа [60] русского математика и инженера А. Федермана.

С помощью П-теоремы можно, не решая начально-краевой задачи и даже не располагая математической моделью явления, только из соображений размерности выводить зависимости од­ них физических величин от других. Так, выдающийся немецкий учёный Г. Герц, проводя анализ размерностей в задаче о контакт­ ном взаимодействии двух упругих тел, получившей в послед­ ствии его имя, вывел зависимость размеров площадки контакта, а также максимального давления на ней от силы сдавливания тел. Точное решение контактной задачи блестяще подтвердило результаты Герца.

Приведём ниже три примера, иллюстрирующие применение П-теоремы в самых разных областях механики [2, 51].

Задача о математическом маятнике. На рис. 39 изображён математический маятник, период малых колебаний Т которого является определяемой величиной. Из физического смысла сле­ дует, что Т может зависеть от массы m материальной точки,

длины I невесомого стержня, величины уско­ рения g силы тяжести и угла 0о начально­ го отклонения. Все эти параметры следует считать определяющими независимо от того, действительно ли зависит от них Т или нет.

По аналогии с соотношением (11.13) за­

пишем
T = f(m ,l,g>eQ), k = 4,	(11.19)

и будем придерживаться описанной ранее схемы. Размернос­

ти всех параметров		задачи	следующие:	[ш] = М,	[/] = L,
[g] = LT~2,	[#о] = 1;	[Т ]= Т . Параметров		с независимыми
размерностями три ( т		= 3): Х\ =m, Х^ = I, Х% = д.
Выразим	[Т] через	[m], [i], [5] в виде степенной функции:
		[Т] = [ш]а‘[ ^ [ 5]«з)			(п.20)
приравняем	показатели при		M, L и Т в	(11.20) и	придём

к неоднородной системе трёх линейных уравнений с тремя неиз­

вестными a i, aç. 0:3:
0 = аь
0	=	а 2 + аз,
1	=	- 2 а 3-

Решение этой системы таково: « 1= 0, «2 = 1/2» «з = —1/2.

Таким образом, в силу безразмерности начального угла и то­ го, что [Г] = [т]0^]1/2^ ]- '/2, критерии III и П имеют следующий

вид:	Г
	П1 = #о> П =
	Æ

П-теорема утверждает, что искомая связь (11.19) эквивалентна соотношению П = Ф(П1), или

т = J-g fVo).

11.21)

где Ф — некоторая функция всего одного (а не четырёх, как /) аргумента (k — m = 4 —3 = 1).

Из формулы (11.21) уже видно, что период малых колебаний не зависит от массы материальной точки. Осталось определить функцию Ф(6о). Это достигается с помощью ряда опытов с мате­ матическим маятником, в которых необходимо изменять только

один параметр — начальную амплитуду #о (#о 1 ) — и измерять тоже только одну величину — период Т. Длина / и ускорение g для всех таких опытов постоянны, поэтому их надо померить один раз.

Опыты дадут с достаточным приближением: Ф(&о) = 27г. Ма­ лые колебания математического маятника оказываются изохрон­ ными, и такой маятник применим для измерения промежутков времени. Наоборот, если период Т известен, то по формуле g = = 47r2Z/T2 определяется ускорение свободного падения в данной области пространства. Мысль об изохронности малых колебаний впервые пришла в голову Г Галилею, когда он наблюдал в Фло­ рентийском кафедральном соборе за качаниями паникадила.

Задача о сильном взрыве. При сильном взрыве заряда происходит почти мгновенное выделение значительной энергии и в направлении от места взрыва начинает распространяться ударная волна. Давление за передней поверхностью (фронтом) волны во много раз больше начального давления воздуха. В за­ висимости от геометрической формы заряда фронт может при­ нимать различный вид. Если взрыв происходит в одной точке (точечный взрыв), то фронт в каждый момент времени представ­ ляет собой сферу радиуса R(t) (рис. 40, а). Если заряд равно­ мерно рассредоточен вдоль прямой (осесимметричный взрыв), то

/1 А

R(t I

V V

фронтом является цилиндр радиуса R(t) (рис. 40,6). Нако­ нец, если заряд равномерно распределён по плоскости (плоский взрыв), то фронт представляет собой пару плоскостей, отстоящих друг от друга на расстоянии 2R(t) (рис. 40, в).

Выберем в качестве определяемой величину R и перечис­ лим определяющие параметры. К ним следует отнести время t,