книги / Сопротивление усталости и живучесть конструкций при случайных нагрузках
..pdfВ этом случае считаем, что вероятность того, что К >■ KfC, незначительна.
Процесс роста трещин зависит от истории нагружения. Так, для процессов, состоящих из двух блоков нагружения с уровнями напряжений Oj и сг2 (а2 > с^), результат зависит от чередования этих блоков (рис. 20.4, а, б). Если вначале возникают напряжения с уровнем Oj, а затем с уровнем напряжений <х2 и выполняются
условия Ко = Cat y/J0 < Kth. Саг/ Т0 > Kth (где 10 — началь ная длина трещины; К0 — начальный уровень КИН), то рост трещины будет происходить только на втором этапе нагружения. Если же вначале действуют напряжения <т2 и при этих напряже ниях на первом этапе нагружения трещина увеличивается до
уровня 1г, при котором выполняется условие Саг V k > Kth. то трещина будет также продолжать расти и на втором этапе на гружения при уровне напряжений Конечные длины /„ трещин при различном чередовании блоков нагружения будут существенно отличаться (см. рис. 20.4).
Будем считать, что КИН можно вычислить по формуле (5.5). Тогда, усредняя левые и правые части уравнения (20.25) и полагая,
что |
процессы a (t) и I (t) статистически независимы, получаем |
|
|
</> = аСп(ап)(1п/2), |
(20.26) |
где |
N — число циклов нагружения; (...) — знак |
усреднения. |
|
В уравнение (20.26) помимо математического ожидания длины |
трещины (/) входит также момент ее распределения порядка (п/2), т. е. для определения величины (/) необходимо предварительно
иметь |
(при п > 2) величину момента распределения длины тре |
|
щины |
более высокого порядка. Для определения этого момента |
|
умножим обе части равенства (20.25) на величину |
1п'2~' и,' |
Рис. 20.4. Влияние истории нагружения на процесс роста трещин:
а — а, < о,; б — о, > а,
212
Рис. 20.5. Зависимость скорости роста / |
тре- ; |
щин от величины КИН: |
1 |
/ — с учетом порогового значения КИН; 2 — экви валентная зависимость в пересчете на случай К ^ = 0;
3 — плотность распределения КИН
вновь проведя усреднение обеих частей этого равенства, получим
Ш <'"/2> = 4 - ап° П<°П> (Г_1> (20.27)
Из соотношения (20.27) следует, что |
|||
для определения момента (1п/2) необходимо |
|||
иметь момент |
а для |
определения |
момента (/”-1) необходи |
мо иметь момент (/1>5п-2), |
и т. д. Таким |
образом, система урав |
нений для определения моментов распределения длины трещины получается незамкнутой, каждое уравнение в которой содержит моменты более высокого порядка.
Замыкание этой системы уравнений можно выполнить с помо щью какой-либо гипотезы, аналитически связывающей моменты высокого порядка с моментами более низких порядков, например, с помощью соотношений, справедливых для нормальных распре делений 13].
Наиболее простые результаты получаются, когда справедливо следующее приближенное равенство:
<Г/2> * {1)п,\
В этом случае, полагая, например, что распределение амплитуд напряжений подчиняется экспоненциальному закону (20.10), при ходим к следующему дифференциальному уравнению, описываю щему усредненную закономерность роста трещин:
I = аСп(о)" (0"/2Г {п + |
1, Ktti/Ca / Г |
| , |
(20.28) |
|
где Г (а, х) — неполная |
гамма-функция; чертой |
сверху |
обозна |
|
чены средние значения |
случайных |
величин. |
|
|
Уравнение (20.28) представляет собой нелинейное дифферен циальное уравнение первого порядка с разделяющимися перемен ными; его решение сводится к вычислению квадратур. В резуль тате можно получить искомую зависимость I = I (i) и, используя соотношение (20.12), решить затем задачу об оценке надежности по описанной методике.
Уравнение (20.28) можно получить и путем приведения соот ношения (20.25) к некоторому эквивалентному в статистическом смысле соотношению типа (5.4). Для этого рассмотрим графиче ское представление этих соотношений (рис. 20.5). Пусть кривая / графически представляет соотношение (20.25), а кривая 2 опи сывается уравнением типа (5.4), которое можно записать в сле дующем виде:
/ = а |
(20.29) |
14 Гусев А. С. |
213 |
где <Xj — параметр, определяемый из условия эквивалентности соотношений (20.25) и (20.29).
Обозначим через f(K , 0 плотность распределения КИН, соот ветствующую моменту времени t. Тогда эквивалентность соотно шений (20.25) и (20.29) для этого момента времени по признаку равенства средних значений скоростей роста трещин будет опи
сываться уравнением |
|
|
оо |
оо |
|
a J Knf(K, |
t)dK = Oi'J Knf(K, t) dK. |
(20.30) |
*th |
0 |
|
Соотношение (20.30) позволяет вычислить неизвестный пара метр а х как функцию длины трещины или времени нагружения.
Для случая, когда величина КИН определяется по формуле (5.5), а распределение амплитуд напряжений описывается экспо ненциальным законом (20.10),
а х = аГ {я + 1, K th /C d V T )/r{n + \} . |
(20.31) |
Подставив соотношение (20.31) в уравнение (20.29) и усреднив левые и правые части получаемого выражения, вновь получим уравнение (20.28). Вычисления значительно упрощаются, если
принять |
|
<хг = а Р (*), |
(20.32) |
где |
|
оо |
|
Р « ) = [ f(K, |
t)dK |
*th |
|
— вероятность события, что в момент времени t величина К будет больше уровня Кгъ-
Если КИН определяется по формуле (5.5), а плотность распре деления амплитуд напряжений соответствует экспоненциальному
закону (20.10), то вероятность |
|
Р (t) = exp {— Kth/(Со УТ )). |
(20.33) |
При этом дифференциальное уравнение роста трещин прини мает следующий вид:
|
I = аСпоп1п/2ехр {— КthI(Со УТ)}. |
|
|
Пример |
3. Рассмотрим случай, когда п = 4, |
С = 1,25, |
о = |
= 50 МПа, |
р = аСп = 5 1 0 ~ 17, /„ = 4 мм, Кгъ = |
б.ЗМПа |
м1^. |
Результаты численного интегрирования на ЭВМ уравнения (20.34) приведены в табл. 20.4.
Из приведенных данных следует, что учет порогового значения
КИН может значительно повысить точность расчета живучести конструкций.
214
20.4. Результаты расчета роста трещин для примера 3
Число циклов нагружения г» К)-*
Длина |
|
|
|
|
|
|
|
трещины |
1 |
5 |
10 |
15 |
20 |
25 |
30 |
|
|||||||
i |
4,124 |
4,706 |
5,714 |
7,270 |
10,0 |
13,3 |
40,0 |
ih |
4,024 |
4,126 |
4,264 |
4,416 |
4,584 |
4,771 |
4,98 |
П р и м е ч а н и е . Индексом «Л» обозначены длины трещин, полу ченные с учетом порогового значения КИН. Длины трещин, полученные без учета порогового значения КИН, приведены без индексов.
§ 21. Расчеты при случайных колебаниях
При случайных колебаниях возникает необходимость учиты вать статистическую зависимость значений размахов напряжений в соседних циклах нагружения и сложность структуры процессов, характеризуемую отношением среднего числа экстремумов к сред нему числу нулей. Первый из факторов менее значим и при ориен тировочных расчетах им можно пренебречь. Второй фактор может значительно повлиять на точность прогноза живучести, и при боль шой сложности структуры случайных процессов его необходимо учитывать.
Случайные узкополосные процессы нагружения. В узкополос ных процессах нагружения с нулевым средним значением число нулей равно числу экстремумов и распределение амплитуд в цик лах нагружения определяется однозначно. В частности, для гаус совских стационарных процессов a (f) с дисперсией s2 распределе ние амплитуд совпадает с распределением максимумов и подчи няется закону Релея с функцией распределения
F (а) = 1 — ехр [— о’д а ) ]. |
(21.1) |
Пренебрегая статистической зависимостью амплитуд напря жений в соседних циклах нагружения и принимая закон роста трещин в виде соотношения (5.4), получаем, что длину трещины и КИН для любого момента времени можно вычислить по форму лам (20.8) и (20.9), где в соответствии с функцией распределения (21.1) следует принять
<ап> = 2Л/2Г (-Ц ^ -) s". |
(21.2) |
Функция распределения КИН для момента времени t |
|
F(K) = 1 — exp [ - Ka/(2Casa/|)], |
(21.3) |
где К = Cat у lt — КИН для момента времени t; at, lt — напря жения и длина трещины для момента времени t.
14* |
215 |
Подставив соотношение (21.3) в формулу (20.3), получим для определения функции распределения абсолютного максимума процесса К (О следующее выражение:
|
A + B t/t |
|
|
F*(K, 0 = |
1 - 4 - | |
exp (—zm)dz, |
(21.4) |
где |
A |
|
|
|
|
|
|
A = (2l0) - l/m (sC r2/m K2/m; |
|
||
B = — 2 |
’Г (1/m + |
2) s2K2lmCT2,m\ |
|
m = 2/(n — 2).
Разложив подынтегральную функцию в ряд Тейлора и выпол
нив вычисление интеграла, |
получим |
|
F , ( K , 0 = 1 - -g- j g -ц |
D И Л + |
- Акт+']. (21.5) |
k=0 |
|
|
Интеграл, входящий в соотношение (21.4), может быть также выражен через обобщенную функцию вероятности [481
ф»:м - [г |
. ( - |
|
6 |
(21. 6)
где
Ф(а, р, х) = 2 ь=п
Г (« + ^ )Г (Р ) |
хк |
|
|
ft! Г (а) Г (Р + ft) |
|
— табулированная вырожденная гипергеометрическая функция первого рода (функция Куммера [1]).
При v = 1 и р = 2 функция (21.6) переходит в обычную функ цию вероятности
• « - т г К dt.
При v = 1 и р = т функция (21.6) позволяет представить выражение (21.4) в следующем виде:
F*(K, 0 = 1 |
т - f - 1 |
x= A + B t/i |
(21.7) |
т |
|
||
При п = 4 (т = |
1) соотношение (21.4) |
принимает вид |
|
F*(/(, |
0 = 1 - B~le~A (1 - |
e~Btft) , |
(21.8) |
216
21.1. Данные к расчету узкополосного процесса нагружения
Параметр |
|
Число циклов нагружения г*10“в |
|
|||
0,5 |
1.0 |
^.0 |
3,0 |
4,0 |
||
|
||||||
1г |
5,26 |
5,55 |
6,25 |
7,13 |
8,31 |
|
Н<1> |
1.0 |
0,9999 |
0,9985 |
0,9730 |
0 |
|
(1—Я (2>)* 10е |
4 |
8 |
16 |
24 |
32 |
|
П р и н я т ы е о б о з н а ч е н и я : |
//(D — надежность, вычисленная |
по формуле (21.7); //<?) — надежность, вычисленная без учета роста тре-
щины. •
где
V A = K K V ^ SC);
в= — 4ре к к - 1.
Втабл. 21.1 представлены результаты расчета длины I трещины
ивероятности неразрушения конструкции Н для различных
чисел нагружения г при К* = бЗМПа-м1/2, s — 100 МПа, 10 = = 5 мм, р = 2,5-10-17.
Из полученных результатов следует, что неучет подрастания трещин в процессах случайных колебаний (как и при потоках слу чайных импульсных нагрузок), приводит к значительным погреш ностям при расчете надежности.
Учесть эффект торможения трещины при смене уровней напря жений в соседних циклах нагружения и пороговое значение КИН можно так же, как и при дискретных потоках нагрузок (см. § 20). Так, учет эффекта торможения трещин сводится к оценке отно шения двух соседних максимумов в процессе нагружения. Пола гая, что эти максимумы статистически независимы и каждый из них распределен по закону Релея (21.1), после несложных вычисле ний находим, что отношение двух соседних максимумов в гаус совских узкополосных процессах имеет следующую плотность
распределения: |
|
/ (z) = 2z/(l + г2)2. |
(21.9) |
Среднее значение отношения двух соседних максимумов в этих
процессах в соответствии |
с |
распределением |
(21.9) |
г = (я |
+ |
2)/4 « 1,285. |
(21.10) |
Подставив значение г в (5.25) и приняв, что в половине слу чаев циклы с большими значениями амплитуд сменяются циклами с меньшими значениями амплитуд, получим, что среднее значение
коэффициента А, « 0,75 (этот коэффициент учитывает эффект сни жения скорости роста трещин при смене уровней напряжений в со-
217
21.2. Темпы роста трещин
Число циклов нагружения г -10“в
Длина
трещин
|
0,5 |
1,0 |
2,0 |
3,0 |
4.0 |
1 |
5,26 |
5,55 |
6,25 |
7,13 |
8,31 |
h |
5,20 |
5,42 |
5,94 |
6,57 |
7,39 |
|
П р и м е ч а н и е . |
Индекс «А» обозначает длины трещин, получаемые |
|||
при |
Kth Ф 0. |
|
|
|
|
седних циклах нагружения). Таким образом, в гауссовских узко полосных процессах в 25 % циклах нагружения роста трещин не происходит. Вычисление длин трещин и надежности конструк ций можно теперь сделать_по формулам (20.7) и (21.5), подставив в них вместо Р значение р =. 0,75 р.
Учет того, что пороговое значение КИН не равно нулю, так же как и при дискретных потоках нагрузок (см. §20), можно выпол нить путем интегрирования дифференциального уравнения (20.29)
и |
вычисления |
параметра эквивалентности а х. В соответствии |
||
с |
распределением (21.1) получаем, |
что |
|
|
|
I = |
аСп(1)п/22П/У Г {'-J- + |
1, KtV(2CV/)j, |
(21.11) |
где Г (а, х) — неполная гамма-функция.
Вычисления упрощаются, если параметр а определить по
формуле (20.32). В этом случае |
|
|
cti = а exp {— Kth/(2C2s2/)}. |
|
|
Вычислим закономерность |
роста трещины |
при Кгъ = |
— 6,3 МПа-м1/2. В табл. 21.2 |
приведены данные, |
позволяющие |
сопоставить длины трещин, получаемые при Кгь = |
0 и при /Сщ = |
|
= 6,3 МПа м'/2. |
|
|
Случайные процессы нагружения сложной структуры. Из основ ных соотношений для расчета живучести элементов конструкций с трещинами (20.1), (20.4), (20.6) и (20.7) следует, что для прове дения таких расчетов при случайных процессах нагружения слож ной структуры (в которых число экстремумов значительно пре вышает число пересечений нулевого уровня; рис. 21.1, а) необхо димо вначале выделить из заданного процесса нагружения поток его положительных максимумов [с целью определения функции Fa (о) и расчетного периода нагружения ? для использования их а соотношении (20.1)], а затем схематизировать заданный процесс
сложной структуры и |
заменить его эквивалентным процессом |
с простой структурой |
[с целью вычисления длины трещины I (/) |
по формуле (20.6)]. |
|
218
б |
6 |
|
~ |
, *« , |
«» т *J с * |
Рис. 21.1. Исходный процесс нагружения сложной структуры (а) и порождае мый им поток положительных максимумов (б):
/^ (i = 1, 2, 3, .Г.) — интервалы времени между положительными максимумами
Функция Fa (а) совпадает с функцией распределения поло жительных максимумов в случайном процессе а (t); она может быть определена через соответствующую плотность распределе ния
|
|
|
(21. 12) |
|
где |
с = 26/(1 + 6 ) — коэффициент |
нормировки |
распределения; |
|
/max (of) — плотность распределения |
максимумов, |
определяемая |
||
для |
гауссовских стационарных процессов по формуле |
(11.6); |
||
k — параметр сложности структуры |
случайного |
процесса |
a (f), |
равный отношению среднего числа экстремумов к среднему числу пересечений нулевого уровня и определяемый для гауссовских стационарных процессов с помощью соотношений (11.2) и (11.3).
Средний интервал времени t+ между положительными макси
мумами, |
отождествляемый |
с |
расчетным периодом нагружения, |
|||
|
|
? — |
?+ — |
?„/(! |
®)« |
(21.13) |
где а |
= |
(6 — 1)/(26) — вероятность |
события, что |
<ттах < 0 (или |
||
Отт > |
0); ?м — средний интервал времени между |
максимумами, |
определяемый для гауссовских стационарных процессов в соот ветствии с формулой (11.3).
Для определения длины трещины, соответствующей некоторому моменту времени t, можно воспользоваться соотношением (20.6), в котором напряжения о( должны быть заменены на эквивалент ные напряжения oi3, определяемые для каждого i в соответствии
сформулой (5.20) следующим соотношением:
+при 0;
(21.14)
а2ор — Ьйат при R < 0,
219
где
0i = tf/cV M ic); |
= KfCto/K\c\ 02 = 2/(2 — *ф2); |
fe2 = 2\|?2/(2 — \|?2);
crp, 0m — соответственно расчетные размах и среднее значение напряжений в циклах нагружения.
В соответствии с соотношением (5.15) расчетный размах напря жений
( |
0, СТщах |
0 (0min ^ |
0); |
|
||
(Тр = | |
0тах> |
0тах > |
о, О’щщ < 0 ; |
(21.15) |
||
I |
0max |
|
0mln> |
0mln ^ |
0 (^шах ^ |
0), |
где |
amax — ormin = 0И — истинный |
размах процесса нагруже |
ния |
<х(/). |
|
Среднее значение цикла нагружения |
||
|
(0 , O’max < 0 (стт т < 0 ); |
|
|
\0 ,5 (Стах ~Ь O'mln) ^ |
®шах =& 0 (Omin ^ 0)> |
где оп — значение случайного процесса, соответствующего его точкам перегиба (в которых вторая производная по времени равна нулю).
При использовании соотношений (21.14)—(21.16) частота про цесса нагружения принимается равной частоте появления всех максимумов.
Из соотношения (21.15) следует, что расчетный размах напря жений представляет собой вероятностную смесь трех величин: нуля, положительного максимума о+ и истинного размаха сти. Плотность распределения величин (расчетных размахов) в этой смеси
I аб (а), о = |
0; |
|
M H ( l - 2 « ) , . ( a ) + a , » . O> 0 , |
<2117> |
|
где /+ (о) и /„ (а) — плотности |
распределений положительных |
максимумов и истинных размахов, определяемых для гауссовских стационарных процессов по формулам (21.12), (11.6) и (11.14); 6 (•) — дельта-функция.
Плотность распределения L (о) имеет дельта-особенность в нуле с площадью, равной а (рис. 21.2).
Среднее значение расчетного размаха [в соответствии с соот
ношением (21.17)1 |
|
0Р = (1 — 2а)а+ + ади, |
(21.18) |
где а+, а„ — средние значения соответственно положительных максимумов и истинного размаха.
220
со
Рис. 21.2. |
Плотность распределения |
Рис. 21.3. Плотность распределения |
расчетных |
размахов |
расчетных средних напряжений |
Из соотношений (21.12), (11.6) и (11.14) следует
о. =
2ks
+ Л
|
|
|
|
|
(21.19) |
|
|
S *1/ |
я |
(21.20) |
|
|
|
°я ~ k |
V |
2 ’ |
|
где |
s — среднее квадратическое |
отклонение |
процесса нагруже |
||
ния |
a (i). |
■ |
|
|
|
Среднее значение циклов нагружения, как следует из соот ношения (21.16), представляет собой вероятностную смесь двух величин нуля и значений процесса, соответствующих его точкам перегиба, при условии, что в этом процессе нагружения учиты ваются только циклы с On™ > 0. Для гауссовских процессов нагружения распределение ап является симметричным относи тельно нуля, и поэтому для таких процессов плотность распре
деления расчетного |
среднего напряжения |
|
|
|
аб (о) при о = 0; |
|
|
/ т (о) |
= (1 — а )/п(о) при о < |
0; |
(21.21) |
|
/п(о) при а > О, |
|
|
где /о (о) — плотность распределения величин |
о„, |
определяемая |
|
по формуле (11.12). |
|
|
|
Плотность распределения (21.21) показана на рис. 21.3. Она также имеет дельта-особенность в нуле.
Математическое ожидание расчетного среднего значения напря
жений в соответствии с соотношением |
(21.21) |
|
от = (k-=kl)s У ± - ( |
\ - К * ) . |
(21.22) |
В соответствии с соотношением (21.14) эквивалентное значе ние размаха напряжений представляет вероятностную смесь двух случайных величин, каждая из которых, в свою очередь, представ
221