книги / Сопротивление усталости и живучесть конструкций при случайных нагрузках
..pdfДля рассматриваемого случая матрица (10.8) принимает сле дующий вид:
К(0) |
0 |
|
к (0) |
............... |
. . . . |
K ( x k) |
к ( xh) |
|
k ( x h) |
||
0 |
- |
к |
(0) |
0 |
|
............... |
. . . . |
к(х„ ) - k ( x h) |
- K ' v (xh) |
||
*(0) |
0 |
|
K1V(0 |
) ............... |
. . . . |
k ( x h) K |
i n (xk) |
K l v (xh) |
|||
|
|
|
|
K ( x j - x t) |
k ( x t - x t) |
K ( x j - x t) |
|
|
|||
|
|
|
|
—к |
(Xj—Xt) |
- k ( x j - x {) |
- K l,I( x j - x t) |
|
|
||
|
|
|
|
к |
(XjXt) |
К111 (xj Tj) |
K l v (xjXi) |
|
|
||
K ( x h) |
- K ( x k) |
|
K |
f a ) .................. |
..................* ( 0) |
0 |
|
k ( 0) |
|||
* ( Xh) |
— к |
(xk) |
K m |
( 4 ) .................. |
................. |
0 |
- / C ( 0 ) |
0 |
|||
k ( x H) |
-- K |
lu (Tft) |
|
(xk) ............... |
..................k ( 0 ) |
0 |
|
* l v (0) |
(10.9)
Из матрицы (10.9) как частный случай получим матрицу мо ментов совместного распределения процесса и его первых двух производных в совпадающие моменты времени:
|
■ *(0) |
0 |
К ( 0 ) ~ |
M Xxx --- |
0 |
- * ( 0 ) |
0 |
|
_*«>) |
0 |
/с,у(0)_ |
Матрицы моментов двумерных распределений процесса и его первой производной, а также первой и второй производных принимают следующий вид:
~*(0) |
0 |
1 |
||
_ |
о |
|||
- * (0 )_ |’ |
||||
1 |
1 >!: |
3 |
|
|
1 |
О |
K ,V<O> ]' |
(10.11)
(10.12)
Приведем еще матрицы моментов совместных распределений процесса и его первой производной, а также первой и второй про-
82
изводных для двух моментов времени |
|
0 и |
т. Соответственно |
||||||||
имеем |
~К(0) |
|
о |
/С(т) |
*(т) |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|||||||
Мх (0) X(0) X(т) X(т) = |
о |
|
К ( 0) |
/С (т) |
Я » |
; (10.13) |
|||||
|
О |
||||||||||
т |
|
- к |
(г) |
К(0) |
|
|
|||||
|
|
|
—/с (0) J |
|
|||||||
|
|
к(х\ |
— К (г) |
|
О |
|
|||||
|
|
- К ( 0) |
о |
|
—К (г) |
- K l u ( x f |
|||||
Mjt (0) X(0) * (т) х (т) = |
|
О |
|
Klv(0) |
/Сп ,(т) |
|
# 1У(т) |
||||
- /((т ) |
К т (т) |
- # |
( 0) |
|
О |
|
|||||
|
|
|
|
||||||||
|
|
- # |
ш (т) |
# 1V(*) |
О |
|
|
/C1V(0) |
_ |
||
|
|
|
|
|
(10.14) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Рассмотрим теперь нестационарный гауссовский процесс, ко |
|||||||||||
торый представим соотношением |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
*(/) |
= * ( < ) * ! (*) + *•(*). |
|
|
(10Л5) |
|||||
где |
х0 (/) — гауссовский |
стационарный |
процесс с корреляцион |
||||||||
ной |
функцией К (т); хг (t) |
и |
х2 (t) — детерминированные |
или |
|||||||
квазидетерминированные |
нестационарные |
процессы, |
|
задаваемые |
в виде усеченных степенных или тригонометрических рядов со случайными статистически независимыми или детерминирован
ными коэффициентами |
ahi |
bh, ch (k = |
0, 1, 2, |
n): |
|
|
|
n |
(9 = *=o |
|
(ю ле) |
|
x1)2 (/) = |
(bhcos Ш + |
ch sin Ш), |
(10.17) |
|
|
2 |
||||
|
|
k = 0 |
|
|
|
где © = 2n/T |
(T — время |
реализации |
процесса). |
статистически |
|
Процессы |
х0 (t), хг (/) |
и хг (t) будем считать |
независимыми со средними значениями, равными нулю. Тогда корреляционная функция процесса, определяемого соотношением
(10.15), будет иметь следующий вид при х0 (t) |
= х х (t) = |
хг (t) = 0: |
|||||
|
#* (t, t + |
т) = |
([х0 (0 X! (0 + дга (/)] X |
|
|||
|
х [*о (* + |
*)*! (* + *) +*2 (* + |
*)]> = |
|
|||
|
= К (т)/Cl(t, |
t + x) + Ki(t, |
t + т), |
(10.18) |
|||
где |
корреляционные |
функции |
нестационарных составляющих |
||||
хг (0 |
и х2 (t) определяются |
соотношением |
|
|
|||
|
# 1,2 (t, |
t + x) = |
(х1л (t) xll2 (t + т)). |
(10.19) |
В формуле (10.19) и далее запятая в нижнем индексе означает, что вид формул для процессов хг (t) и хг (t) аналогичен.
6* |
83 |
Из соотношения (10.18) при т = 0 получим дисперсию про цесса х (t)
o2x = K ( 0 ) o l + о2х,, |
(10.20) |
где
aXl. x,(t) = {xЫ 0>
—дисперсии нестационарных составляющих ха (t) и ха (t). Взаимная корреляционная функция процесса х (t) и его пер
вой производной имеет вид |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Кх* (t, |
t + x) = К (т) Кх,*, (t, |
t + *) + |
|
||||||||
где |
+ |
K(x)Ki(t, |
t + 4) + Kx,*,(t> * + |
т)> |
(Ю.21) |
|||||||
Кх1Л*1Л(t, t-f |
T) = <*1.2(0 xh3 (t + |
т » . |
(10.22) |
|||||||||
|
||||||||||||
Из соотношения |
(10.21) |
при |
т = |
0 |
получим |
коэффициент |
||||||
корреляции |
между |
процессом х |
(t) и |
его первой |
производной |
|||||||
в совпадающие моменты времени: |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
Кх* = |
К (0) Кх,*, + |
Кх.х,- |
|
(10.23) |
|||||
Аналогично |
запишем другие |
корреляционные |
функции при |
|||||||||
= 0: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
К х* (0) = |
К |
(0) К х,х, + |
К (0) К х,х, + |
К х,* ,, |
||||||||
|
К** (0) = К (0) К*,*, — К (0) Кх,х, + |
к*,*,, |
||||||||||
Кхх (0) = |
К (0) Кх,*, (t) - |
К (0) Кх,*, - |
2/С (0) |
Кх,*, + к*,*,, |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(10.24) |
|
|
К** (0) = |
К (0) К*,*, + 2 К (0) Кх,*, - |
|
|||||||||
|
- |
4 к (0) |
К*,*, - f |
K 1V(0) Кх,х, + к*,*„ |
|
|||||||
|
|
|
Кх1< *1л = |
|
|
|
|
|
|
|||
К *1ЛХ1Л = |
<*1.2 (0 *,.2 т |
|
К х 12х1л = |
<*1.2 (0 *..2 |
(0 ). (10.25) |
Запишем корреляционные моменты нестационарных состав ляющих хг (t) и ха (t), а также их первых двух производных для случая, когда эти процессы заданы в виде соотношения (10.16):
Кх„х, (0 |
= Оо + |
й 1<2 + |
|
' • • + |
5 п*2п> |
|
|||
Кх,*, (0 = |
в?/ -f- 2а! + |
|
|
|
,2а2п—1. |
|
|||
|
|
+ п т 1 |
|
||||||
К*„х, (t) = |
a2-f- 4йг/2 + |
|
■. + n 2a2nt2n~2; |
(10.26) |
|||||
Кх,*, (t) = |
2 аУ* - f 6a!t* + . • • |
+ |
п (я |
- |
1) a2nt2n~ 2; |
||||
К*,. *, (!) = |
4 а! + |
36a2t2 -\-----------h п2( п - |
l)2a2nt2n~ i ; |
||||||
К*,х, (0 = |
4йг< + |
186з(3 |
I |
+ |
i |
я 2 (я — 1) a„t2 |
3 , |
||
|
I |
----- |
|
x |
|
" |
|
где чертой сверху обозначена операция вычисления среднего значения.
84
Случайные процессы можно описать не только с помощью корреляционных функций, но и с помощью энергетических спек тров [63]. Для стационарных процессов эти спектры определяются соотношением
S ( « , ) = ^ r ] к ( г ) е - ‘^йх. |
(10.27) |
— 00 |
|
Обратное преобразование Фурье определяет корреляционную функцию по энергетическому спектру
К (т) = J S (со) еШхdco. |
(10 .28) |
В технических приложениях энергетический спектр часто определяют только для положительных частот. В этом случае
S(co) = - L j К (T)e-faxdr; |
(10.29) |
К (т) = J s H ^ d c o . |
(10.30) |
Ряд полезных соотношений можно получить, дифференцируя формулу (10.30) и оставляя при этом только действительную часть:
К (т) = |
[ S (со) cos сот dco; |
|
|
|
|
о |
|
|
|
СО |
|
К (т) = |
—jcoS (to) sin сот dco; |
(10.31) |
|
|
|
00 |
|
К (т) = |
— |
| соа5 (со) cos сот dco |
|
и т. д. |
|
|
|
0 получаем, что все нечетные |
||
Из соотношений (10.31) при т = |
||||||
производные равны нулю, |
а |
четные |
определяются |
формулами |
||
|
|
00 |
|
|
|
|
/С (0) = |
J 5 |
(со) dco; |
|
|||
|
|
О |
|
|
|
|
К (0) = |
|
оо |
|
|
|
|
— |
| |
со* S |
(со) dco; |
|
||
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
00 |
|
|
|
|
K IV (0) = |
| |
со45 (со) dco; |
(10.32) |
|||
КУ1(0) = |
|
Осо |
|
|
|
|
— J co6S |
(со) dco |
|
и т. д.
85
Анализ случайных колеба ний. Как при анализе пото ков статистически независи мых воздействий (см. § 9), так и при анализе случайных колебаний основной задачей является отыскание для них распределения абсолютного максимума. Однако при ана лизе случайных колебаний возникает и ряд других за дач, решение которых, свя зано с необходимостью по лучения таких характерис тик процессов, которые можно непосредственно ис
пользовать в расчетах на выносливость и живучесть конструк ций.
Для постановки задач по анализу случайных колебаний рас смотрим некоторую графическую реализацию случайного про цесса х (t) и отметим на ней характерные точки и соответствующие им значения процесса нагружения и интервалы между ними (рис. 10.3):
точки пересечения случайного процесса со средним (нулевым) уровнем, которые называются нулями процесса;
точки, соответствующие экстремальным (максимальным и ми нимальным) значениям процесса и называемые экстремумами процесса;
точку А, соответствующую наибольшему для данной реализа ции максимуму процесса и называемую абсолютным максимумом процесса;
точку В, соответствующую перегибу процесса (где вторая производная равна нулю) и называемую точкой перегиба;
точки пересечения случайного процесса с некоторым уровнем, определяющие число превышений (выбросов) за этот уровень (см. рис. 10.3);
интервал времени т0 между двумя соседними нулями процесса, называемый интервалом времени между нулями; два таких интер вала определяют период случайных колебаний, т. е. период про цесса по нулям;
интервал времени тэ, соответствующий двум соседним экстре мумам процесса и называемый интервалом времени между экстре мумами; два таких интервала определяют период колебаний пер вой производной от заданного процесса, т. е. период процесса по экстремумам;
отрезки Хпих или лст1п между нулевой линией и некоторым экстремумом, называемые экстремальным (максимальным или минимальным) значением процесса;
86
отрезок х* между нулевой линией и абсолютным максимумом процесса, называемый значением абсолютного максимума;
приращение процесса хр между двумя соседними экстрему мами, называемое размахом процесса.
Получение вероятностной информации о количестве указанных точек за некоторый промежуток времени и о величинах указанных выше отрезков по заданным вероятностным характеристикам процессов (по корреляционным функциям или энергетическим спектрам) будем называть задачей по структурному анализу слу чайных процессов.
Отметим некоторые вероятностные характеристики параме тров процессов, которые могут быть определены при структурном анализе:
распределение числа нулей, экстремумов и точек перегиба процесса при заданной его длительности (частные характеристики этих распределений — среднее число нулей «<,, среднее число экстремумов йэ и среднее число точек перегиба па в единицу вре мени, дисперсия числа нулей D {га0}, дисперсия числа экстрему мов D («а} и дисперсия числа точек перегиба D (пп) в единицу времени);
распределение числа превышений некоторого уровня (выбро сов) при заданной длительности t процесса (частные характе ристики этого распределения — среднее число превышений неко торого произвольного уровня х, обозначаемое через п (х, t), и дисперсия числа этих превышений D {п (х, 0);
распределение интервалов времени между соседними нулями, экстремумами и точками перегиба (частные характеристики этих распределений — среднее значение интервалов времени между соседними нулями т0, экстремумами тэ и точками перегиба т„ и дисперсии интервалов времени между соседними нулями D {т0}, экстремумами D {т9} и точками перегиба D {т„});
распределение значений процесса, соответствующих его макси мумам и минимумам, — распределение максимумов и минимумов; распределение приращений процесса между двумя его сосед
ними экстремумами — распределение размахов; распределение значения процесса, соответствующего его абсо
лютному максимуму, — распределение абсолютного максимума процесса;
совместное распределение нескольких (в общем случае — про извольного числа) следующих друг за другом экстремумов;
распределение суммы нескольких (в общем случае — произ вольного числа) следующих друг за другом интервалов времени между соседними нулями или соседними экстремумами про-' цесса.
Большинство из указанных задач не имеют точного эффектив ного решения даже для случая гауссовского стационарного про цесса. Поэтому при решении этих задач ограничиваются обычно получением приближенных оценок.
87
X |
С о в м е с т н о е |
р а с |
|||
|
п р е д е л е н и е |
э к с т р е |
|||
|
м у м о в . |
|
Задача |
|
отыскания |
|
совместного распределения про |
||||
|
извольного |
числа |
следующих |
||
|
друг за другом экстремумов от |
||||
|
носится |
к |
наиболее |
трудным |
|
Рис. 10.4. Последовательность двух |
задачам |
|
теории |
случайных |
|
соседних экстремумов |
функций, |
которая |
не имеет до |
||
|
настоящего времени точного эф |
||||
фективного решения. Рассмотрим принципиальную |
возможность |
построения такого распределения на примере совместного рас пределения двух соседних экстремумов. Более общая задача рас смотрена в работе [12].
Пусть дана совместная плотность распределения процесса х (0 и его первых двух производных для двух произвольно вы бранных моментов времени f (х0, х0, х0, т0, xlt x lt xlt Tj). Для гауссовских процессов эта плотность определяется соотноше ниями (10.7) и (10.9).
Вероятность того, что если случайный процесс х (/) в некотором малом интервале времени Дт0 имеет максимум с величиной в ин тервале значений (х0 — Дх0, х0), то в другом малом интервале времени Дтх обнаружится минимум с величиной в интервале значений (xlf хг + Д*х) (рис. 10.4):
Р{х0— Ах0< х < х 0, —Ак0< х < 0 , |
к < 0 , |
дг1< х < х 1 +Ддг!, |
|||||
|
|
|
х0—Ах0 —Лх0 0 Xt+Axg Axt |
||||
0 < i < A x u * > 0 ) = |
j |
{ |
j |
J |
J x |
||
|
|
|
X0 |
0 |
—00 |
xt |
0 |
х { / (*о, *0. *о. То, |
x1dx0dx0<Ut0dx1dx1dx1 = |
||||||
О |
|
|
|
|
|
|
|
О |
оо |
|
|
|
|
|
|
= ДХоДххДтоДтх f |
f XoJcJ (х0, |
0, х0, т0, хи |
0, |
Ti)dx0d*i- |
|||
—оо о |
• |
|
|
|
|
|
(10.33)
В частности, вероятность обнаружения в произвольно вы бранном интервале времени Дт максимума Хщах в интервале зна чений (х—Ах, х)
Р{х — А х < х шх< х , |
— Ах < х < 0 , |
х < 0 } = |
||||
-Д*о —Ах0 |
О |
|
|
|
|
|
- 1 |
J |
-Jооf(x, |
к, |
х, |
x)dxdkdk = |
|
|
|
О |
|
|
|
(10.34) |
|
= Дх0Дт j xf (х, |
0, |
х, т) dx, |
|||
|
|
—00 |
|
|
|
|
88
где f (х, 0, x, т) — совместная плотность распределения процесса
и его |
первых двух производных для момента времени t = т и |
при х |
= 0. |
Вероятность обнаружения в интервале времени Дт максимума произвольной величины
Р {— оо < х < о о , Д * < к < 0 , х < 0 ) =
ооО
= Дт J j х/ (х, 0, х, т) dx dx —
|
|
СО |
|
|
|
|
|
|
|
= Дт | |
Xf (0, |
х, т) dx, |
(10.35) |
||
где / (0, |
х, |
т) — совместная |
плотность |
распределения |
первой |
и |
|
второй |
производных процесса х (t) |
для |
момента времени t = |
т |
|||
и при х = |
0. |
|
|
|
|
|
Полагая, что в малом интервале времени Дт можно обнаружить не более одного максимума, получаем следующее соотношение для определения среднего числа максимумов за время t:
t о
nmax(t)= l |
J */(о, X, т) dx dx. |
(10.36) |
О |
—оо |
|
Для стационарных процессов среднее число максимумов в еди
ницу времени |
|
о |
|
Оmax = J X f ( 0 , X) d x . |
(10.37) |
—00 |
|
Среднее число минимумов в единицу времени для таких про
цессов |
|
«min = l*f(0, X) dx. |
(10.38) |
о |
|
Введем в рассмотрение плотность распределения максимумов /шах (*). Так как вероятность обнаружения максимума в области (Дх, Дт) равна произведению вероятностей обнаружения макси мума в интервале значений Ах и в интервале времени Дт, то
о
Ах Ах J Jif (х, 0, х, т) dx =
— IfwaxW Д*] |
x/(0, X, т)dx |
} |
(10.39) |
|
|
|
89
Отсюда для стационарных процессов получим плотность рас пределения максимумов
О |
|
I—оо |
|
fmax (X) = J X f ( x , |
О, X ) d x l |
j */(0, *) dJc. |
(10.40) |
— 00 |
/ |
о |
|
Для нестационарных процессов плотность распределения мак симумов
/max («*» 0 ^
* |
О |
I/O |
|
= J |
J xf(x, О, JE, x)d£dr |
j |
J х/(0, Jc, z)dxd%. (10.41) |
О |
—оо |
/ 0 |
—оо |
Для определения плотности распределения минимумов можно записать аналогичное выражение.
Возвратимся к соотношению (10.33) и введем в рассмотрение совместную плотность распределения двух (не обязательно со седних) экстремумов и моментов времени их появления / (х0, т0, xlt тх). Тогда для вероятности обнаружения ситуации, описан
ной соотношением |
(10.33), |
можно записать равенство |
|||||||
|
/ (*0> т0, xi, |
тх) Ах0Ат0 Дхх Дтх = |
|
||||||
|
|
О оо |
|
|
|
|
|
|
|
= AXj Ajtj ATJ A TJ |
J |
J X 0x j |
( X QJ |
0, |
X Q, |
T0, |
X I , T I ) |
d X 0 d X i . (10.42) |
|
|
|
co о |
|
|
|
|
|
|
|
Из |
(10.42) получим |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
О оо |
|
|
|
|
|
|
/ (*о» |
то ^i> ^i) = |
| |
| w |
(*о» |
0, |
*o> |
To |
^i* 0, |
Xx, Tj) dXо dX\, |
|
|
—оо о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(10.43) |
Пусть в интервале времени Дт0 зафиксирован максимум. Тогда, используя соотношение (10.35), можно записать следующее вы ражение для определения вероятности события, что в интервале времени Дтх будет обнаружен минимум:
f (х0, т0, хх, тх) Дт0 |
Дтх = / (V To, *i> Ti) |
x |
Лт„ |
J *о/(0, |
(Ю.44) |
где / (дс0/т0, JCx, тх) — совместная плотность распределения двух экстремумов и моментов времени их появления при условии, что в момент времени т0 был зафиксирован максимум.
90
Из (10.44) следует, что для стационарных процессов
0 |
оо |
|
*о. т0, Хх, 0, *1, Т[) d£f)d£i |
J |
J -*’0^^ (*о. |
5 |
|
f (V V *i, *x) = -=^2------------- |
-------------------------. (10.45) |
||
|
|
| |
*o/(0, x 0) d x 0 |
— CO
Проинтегрировав соотношение (10.45) по всем возможным значениям х0 и xt и приняв т0 = 0 и тх = т, получим для стацио нарных процессов следующее выражение для плотности распреде ления интервалов времени между экстремумами (не обязательно соседними):
О |
оо |
|
f (Т) = («мГ1 J |
j W (0. *о> 0, Хх, т) dx0 dXx, |
(10.46) |
—00 о |
|
где f (0, х0, 0, xlt т) — совместная плотность распределения пер вой и второй производных процесса х (() для двух моментов вре мени, разделенных интервалом т и при Л0 = Хх = 0.
Чтобы получить совместное распределение двух следующих друг за другом экстремумов, необходимо в соотношении (10.45) исключить моменты времени их появления и включить условие появления в момент времени тх именно первого нового экстремума.
Пусть р0 (х0/0, xjx) — совместная плотность распределения двух соседних экстремумов при условии, что они разделены ин тервалом времени т, а р (т) — плотность распределения интервала времени между соседними экстремумами. Тогда на основании свойств условных вероятностей получим выражение для опреде ления совместной плотности распределения двух соседних экстре мумов и интервала времени между ними
/о (*о/0. x l t т) = р0 (*0/0, Хх/т) р (т). |
(10.47) |
Для малых интервалов времени между экстремумами каждый обнаруженный экстремум будет первым новым экстремумом. Для этого случая можно принять
Ро (*о/0, xjx) да / (х0/0, хх, т), |
(10.48) |
где плотность f (х0/0, хг, х) определяется соотношением (10.45) при т0 = 0 и xt — х.
Для больших интервалов времени, когда каждый следующий экстремум можно считать статистически независимым от преды
дущего, можно принять |
|
|
Ро (*о/0, Хх/х) да f (*0) / {хх), |
(10.49) |
|
где / (х0) — плотность |
распределения максимумов; / (лгх) — плот |
|
ность распределения |
минимумов. |
Пусть f (тх/0 < |
Определим плотность распределения р (т). |
||
< t < тх) — условная |
плотность распределения |
вероятности со |
91