книги / Теория инженерного эксперимента
..pdfПример 6.1. Требуется проверитьТработу транзистор ных радиоприемников при шести различных температурах
играфически изобразить зависимость потери чувствитель ности через 100 часов работы от температуры. Для про верки выбраны приемники на печатных схемах из трех видов пластика, изготовленные на двух различных за водах. Внешней переменной является влажность воздуха,
иее невозможно контролировать. Имеется всего две тер мокамеры. Какой план эксперимента приемлем в данном случае?
Решение. Эксперимент не будет продолжительным, если мы используем два квадрата 3 x 3 , беря для каждо го квадрата приемники разных заводов. Обозначим зна чения температуры через Тх, .... Т,, виды пластика через Pi, Р2, Р», а последовательные периоды длительностью
100 час через А, В а С. Тогда план |
эксперимента может |
|||||
иметь |
следующий |
вид: |
|
|
|
|
Вид |
Завод 1 |
|
|
Завод 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
пластика |
T i |
Тз |
Тб |
Тз |
T i |
п |
|
||||||
р х |
А |
В |
С |
А |
В |
С |
|
В |
С |
А |
В |
С |
А |
р » |
С |
А |
В |
С |
А |
В |
Хотя этот факторный эксперимент имеет почти минималь ный объем, для его проведения потребуется много вре мени. В каждую из двух термокамер можно поместить на 1 0 0 час только один приемник, поэтому весь экспери мент займет 900 час. Возможно, было бы лучше распреде лить периоды времени менее случайным образом, чтобы быстрее завершить эксперимент. Тогда план эксперимента не будет представлять собой два латинских квадрата:
Вид |
|
Завод 1 |
|
|
Завод 2 |
|
пластика |
Ti |
т8 |
Ть |
Т2 |
Ti |
Ti |
|
||||||
р х |
А |
С |
В |
В |
А |
С |
р * |
А |
С |
В |
В |
А |
С |
р , |
А |
С |
В |
В |
А |
С |
Теперь в каждую термокамеру можно помещать по три приемника и весь эксперимент продлится только 300 час. Мы вынуждены расплачиваться за уменьшение продол жительности эксперимента ухудшением контроля за влиянием влажности, поскольку теперь одновременно подвергаются испытаниям шесть приемников. Объединяя температуры 7\ и Tit Т8 и Тв, Т ъ и Т2, т. е. совмещая эти условия, мы частично исключаем влияние влажности на кривую зависимости потери чувствительности от тем пературы.
6.4. Многофакторные эксперименты: классические планы
Во многих экспериментах рассматриваются два или большее число регулируемых переменных факторов. Та кие эксперименты называются двухфакторными, трехфак торными и т. д. Во всех этих экспериментах могут также иметь место одна, две или большее число внешних пере менных. В таких многофакторных экспериментах часто возможен выбор плана одного из двух типов: классического или факторного. Классический план применяется абсо лютно во всех областях. Факторный план часто бывает короче, он всегда точнее (при данной продолжительности эксперимента), но находит гораздо менее широкое при менение.
Если задана зависимая переменная R, которая яв ляется функцией нескольких независимых переменных X, Y, Z и т. д., то основной классический план состоит в том, что все независимые переменные, кроме одной, по лагают постоянными, а эта одна переменная изменяется во всем интервале значений, при этом выбор интервалов между значениями переменной производится по одному из рассмотренных правил, а учет влияния внешних пере менных производится, как показано выше. Если между независимыми переменными существует простое матема тическое соотношение, то можно определить зависимость R от изменяемой переменной (например, X). Затем все пе ременные, кроме следующей (например, Y), полагаются постоянными, а изменяя Y, находят зависимость R от Y . По существу классический многофакторный эксперимент
представляет собой просто последовательность однофак торных экспериментов. Этот ограниченный классический подход позволяет найти такие простые функции, как
R = A Y a + BXm,
R = A Y nXm,
R— AYBcX
и т. д. План двухфакторного эксперимента, в котором каждый фактор берется на пяти уровнях, схематически можно представить в следующем виде:
Уровни переменной Y |
|
|
|||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
5 |
|
* |
|
|
|
|
* |
|
|
|
Уровни |
4 |
$ |
$ |
$ |
|
g $ |
$ |
||||
переменной X |
|
|
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
* |
|
|
Звездочка обозначает комбинации условий, при кото рых должен проводиться эксперимент. В случае более сложных функций, например таких, как
R = A X sin-^jr-,
R = A + BXmYn + CX°Y°,
R = AXbY,
маловероятно, что с помощью ограниченного плана, когда обе переменные X и К поочередно берутся на одном уров не, удастся определить эти зависимости. Возможно, необ
ходимо^рассмотреть несколько |
уровней |
переменных X |
||||
и Y , например: |
|
|
|
|
|
|
Уровни переменной Y |
|
|
||||
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
5 |
* |
* |
* |
* |
* |
Уровни |
4 |
* |
|
* |
|
* |
3 |
* |
* |
* |
* |
* |
|
переменной X |
2 |
* |
|
* |
|
* |
|
|
|
||||
|
1 |
$ |
$ |
$ |
$ |
$ |
или, возможно, заполнить весь квадрат и провести экспе римент для всех 25 комбинаций условий. Определение функций на основе экспериментальных данных рассмат ривается в последующих главах. Если планируется клас сический эксперимент — частичный или полный, — то он не обязательно должен быть сбалансированным. Это озна чает, что можно выбрать десять уровней переменной X и только три уровня переменной Y, если считается, что зависимость R от X является более важной или более сложной. Например, при испытаниях теплообменников часто рассматривается соотношение
Nst^kNUNb,
где число Стэнтона Nst — зависимая |
переменная, а чис |
|
ло Рейнольдса NRt и число Прандтля NPT — две |
незави |
|
симые переменные. В большинстве практически |
возмож |
|
ных случаев в широком интервале |
температур |
число |
Прандтля изменяется очень медленно, а число Рейнольд са, которое зависит от скорости потока жидкости, может изменяться в широких пределах. При этом следует варьировать число Прандтля на значительно меньшем числе уровней, чем число Рейнольдса. При практическом использовании окончательной рабочей формулы точность зависимости числа Стэнтона от числа Рейнольдса играет исключительно большую роль.
6.5. Многофакторные эксперименты: факторные планы
Мы7уже~видели, что факторные планы в виде греколатинского квадрата можно применять в случае однофак торного эксперимента с несколькими внешними перемен ными. Эти планы можно также применять для инженерных экспериментов с несколькими факторами, если соблю даются определенные ограничения и предосторожности. Преимущества факторных экспериментов перед классиче скими станут очевидными после изучения этих методов.
Наиболее серьезное ограничение на применение фак торных экспериментов в инженерной работе состоит в том, что'использование их не вызывает затруднений только в случае рабочих^формул двух типов.^Кроме того, необхо димо знать, к какому классу относится рассматриваемая формула, до начала обработки данных. К первому классу относятся формулы, в которых зависимая переменная (результат R) является суммой функций от незави симых переменных. Этот случай выражается общейjjtopмулой
Я = /1 (Х) + /2 (>0 + Ш . |
(6 .2 ) |
где f l , / 2 и / 8 являются функциями любой СЛОЖ НОСТИ. Примеры такого класса невзаимодействующих соотноше ний в технике и физике встречаются редко. ЕГсельскохозяйственных исследованиях существование "указанного соотношения часто допускается в задачах, связанных с такими переменными, как глубина вспашки, количество удобрений и норма высева семян.
Общее соотношение второго класса, допускающее при менение факторных экспериментов, встречается гораздо чаще и представляет собой произведение отдельных функ ций независимых переменных:
R = f i (X )U (Y )fA Z ) - |
(6-3) |
Этот результат можно рассматривать как частный случай соотношений первого класса, так как путем логарифми
рования функцию (6.3) можно преобразовать к выраже нию (6 .2 ):
log/? = log h (X) + log/8 (Y) + log /, (Z). |
(6.4) |
Выражение (6.3) является одним из наиболее важных об щих соотношений в научных исследованиях. Оно вклю чает результат, широко применяемый при анализе раз мерностей (см. разд. 4.6):
R = k X aY bZ‘, |
(6.5) |
а также множество различных сложных формул, напри мер таких, как
R = k X aY becZ
или
AY sin BZ.
Примерами функций, не относящихся к этому классу, яв ляются
R = AX* + Y bZ‘
или
R = A X aJ>Yiz
и бесконечное множество других функций более высокого уровня сложности.
Рассмотрим теперь порядок проведения факторного эксперимента, когда известно, что функция относится к классу, определяемому соотношением (6.3). Рассмотрим такой сбалансированный эксперимент, в котором пере менные X, Y и Z берутся на трех уровнях и латинский квадрат имеет вид
|
Yt |
Yt |
Y 9 |
*3 |
Zi |
z , |
z 9 |
|
z* |
Z, |
Zi |
*1 |
2 S |
Zi |
2a |
Допустим, что нам известно (из теории, по интуиции или из прошлого опыта), что формула (6.3) является общим соотношением, описывающим влияние переменных X, Y
и Z на R. Запишем три логарифмических уравнения для строки, содержащей Х х:
(log R)a= log fi (Xi) + log / |
2 (Yг) + |
log / 3 |
(Z3), |
(6 |
.6 |
a) |
(log R)„= log M X,) + log f2 (Y2) + log / 3 |
(Zi), |
(6 |
.6 |
6) |
||
(log R)cz=1°6/ 1 (x i) + log / |
2 (^s) + |
log /3 (z2 >- |
(6 -6B) |
|||
Суммируя эти три уравнения, получаем
Е log Rxl = 31og Д (Xj) + log [ |
/ |
2(Y,) X U <Yt) X Д (УД)] + |
|
+ log I/s (Zs) x |
/ 3 |
(Z2) x / 3 (Z,)]. |
|
Эту же процедуру можно |
повторить для средней строки, |
||
содержащей Х2. В результате получаем |
|||
Е log Rxi = 31ogh (X2) + log [ |
/ |
2(УД) x / 2 (УД) x / 2 (УД)] + |
|
4- log 1Д(^г) X / |
3 |
(Z3) x f3(Z2)]. |
|
Аналогичное выражение находим и для верхней строки, содержащей Х3. Полученные уравнения можно записать в следующем виде:
|
_2 log Я,! |
—const, |
(6.7a) |
|
logMXi)= |
n |
|||
log/i'(X2)=_ |
2 log R x2 |
—const |
(6.76) |
|
|
|
n |
|
|
log / 1 |
(Xs) = |
2 log R x3 |
-const. |
(6.7B) |
|
|
n |
|
|
Для квадрата 3 X 3 |
п = 3, а для квадратов более высоко |
|||
го порядка п равно числу уровней. Мы показали, что если логарифмы результатов усредняются по какому-либо одному уровню переменных X, Y или Z, то влияние изме няемых факторов (Y и Z в рассматриваемом случае) остается неизменным при переходе от одного уровня X к другому. Таким образом, все изменения усредненного логарифма результата полностью обусловлены влиянием лишь одной переменной X. Легко показать, что такой же результат будет получен, когда усреднение производится по трем уровням переменной УД а затем по трем уровням
переменной Z. Если добавить еще одну переменную, на пример W, то получается греко-латинский квадрат, и это же правило следует применять для нахождения влия ния переменной W на результат R.
Если до начала эксперимента известно, что рабочая формула имеет вид суммы и определяется соотношением (6.2), то влияние переменных X, Y и Z на результат R находится путем усреднения соответствующих значений R,aue log/?. Если не известно, к какому классу относится функция и подходит ли она вообще, то рекомендуется не проводить факторный эксперимент, а применить стандарт ный классический метод.
Анализ различных функций можно выполнить с по мощью графиков зависимости log/?cp от logX либо беря антилогарифмы и, исследуя'зависимость Æ„Dот X числен ными методами.
Допустим, что мы получили таблицы или кривые для R как функции каждой из переменных X, Y и Z в отдель ности. Из формул вида (6.7) следует, Гчто с помощью таких кривых или таблиц получим следующие функ ции:
/?, = */! (X),
Ry= k ' f 2(Y),
Rz=k"î'{Z),
где Rx — антилогарифм SlogRJn, k — постоянная, вхо
дящая |
в |
формулы |
(6.7), |
составленная |
из |
значений |
|
Y и Z, |
исключаемых |
при |
использовании |
латинского |
|||
квадрата, а Д(Х)—функция переменной X. Если решить |
|||||||
эти три |
уравнения |
относительно Д(Х), /2 (У) |
и / 8 (Z) и |
||||
подставить их в формулу (6.3), то получим |
|
|
|||||
|
|
R = K ( R x)(Ry)(R2), |
|
(6 .8 ) |
|||
где К = |
(kk'k")-1. Если известен окончательный резуль |
||||||
тат R и с помощью кривых или таблиц для переменных |
|||||||
X, Y и Z |
можно определить отдельные значения R, то |
||||||
можно вычислить и X. Проиллюстрируем этот метод на |
|||||||
следующем |
примере. |
студентов изучает влияние ско |
|||||
Пример |
6.2. Группа |
||||||
рости, нагрузки и температуры воды в системе охлажде
ния на рабочие характеристики двигателя внутреннего сгорания автомобиля, установленного на испытательном стенде. На основе результатов исследования двигателя внутреннего сгорания они предположили, что такие ха рактеристики связаны соотношением типа произведения функций [формула (6.3)], поэтому возможным планом эксперимента является латинский квадрат с усредненны ми логарифмами результатов. Как составить план этого эксперимента и какие данные могут быть получены?
Решение. Студенты выбрали квадрат 4 X 4 , имеющий следующую структуру:
Число оборотов в минуту |
1400 |
1.600- |
1800 |
2000 |
Н агрузка на динамометр, кГ |
|
Температура, °С |
|
|
87,5 |
43 |
57 |
71 |
93 |
66,0 |
93 |
43 |
57 |
71 |
44,0 |
71 |
93 |
43 |
57 |
22,0 |
57 |
71 |
93 |
43 |
Вначале необходимо убедиться в том, что все 16 режимов работы двигателя приемлемы для испытательного обору дования. Заметим, что не все латинские квадраты прак тически возможны. Квадрат, в котором в верхней строке будет такая последовательность значений температуры, как 93, 71, 57 и 43 °С, невозможен, так как система охлаж дения не в состоянии поддерживать минимальную темпера туру 43 °С при максимальной нагрузке и максимальной скорости.
После проведения эксперимента при указанных 16 ком бинациях условий был составлен квадрат, содержащий значения зависимой переменной, которой является расход горючего в кг/час:
21,2 |
24,5 |
28 |
29 |
14 |
16 |
19 |
22 |
8 |
И |
14 |
16 |
6 |
8 |
8 |
12 |
Если данному эксперименту соответствует общее соот ношение (6.3), то необходимо вычислить средний логарифм,
а затем определить антилогарифм (т. е. найти расход горючего):
|
|
|
|
|
|
Изменениенагрузки |
|
|
Логарифм расхода горючего |
Сумме Среднее Антилогарифм |
|||||
|
|
f,392^,1,447^.1,*624*5' .625 |
1,406 |
25,5 |
|||
|
|
1,204Jl,279Jl,3*2 --4 ,9 7 1 |
1,243 |
17,5 |
|||
|
|
'1,04 fp .1 4 6 ^ 1 ,204 — 4,295 |
1,072 |
11,9 |
|||
|
|
<олоз*о.9рзГк1.ор, -1 6 6 * |
0,916 |
3,2 |
|||
Сумма |
4,15* 4,S38 4,775 5.088 КЧ755 |
1,189 |
15,5 (Т‘ 43в0) |
||||
Среднее |
1033 |
1,135 |
1,194 |
1,272 |
4,650 |
1,163 |
14,5 (Т- 57‘с) |
Антало- |
10,9 |
13,6 |
15,6 |
18,7 |
4,596 |
1.149 |
14,1 (Тш 71°С) |
гаршрм |
|
Изменение |
|
^553 |
1,138 |
13,3 (Т-93°С) |
|
|
|
скорости |
|
|
Изменение |
||
|
|
|
|
|
температуры |
||
После этого находятся расход горючего, удельный рас ход горючего и коэффициент полезного действия и строятся графики (фигл 6 .8 —6 . 1 0 ), изображающие резуль таты эксперимента. Эти" кривые нельзя использовать не посредственно для определения, например, коэффициента полезного действия при данной нагрузке, поскольку они представляют усредненные, а не дискретные значе ния. С помощью формулы (6 .8 ) вычислим неизвестную по стоянную К, а затем воспользуемся этой формулой для интерпретации кривых. В верхней строке и втором слева столбце латинского квадрата получены следующие дан ные: нагрузка 87,5 кГ, число оборотов в минуту 1600, температура 57 °С, расход горючего при такой комбина ции условий составляет 24,5 кг/час. Из кривых для рас хода горючего либо на основе анализа квадрата можно обнаружить, что при нагрузке 87,5 кГ средний расход горючего составляет 24,5 кг/час и что этот расход получен в результате усреднения логарифмов, вследствие чего, как было показано, исключается влияние изменений числа оборотов и температуры. Аналогично средний расход горючего при 1600 об/мин составляет 13,6 кг/час, а при 57 °С — 14,5 кг/час. Таким образом, по формуле (6 .8 ) на ходим
t s __ |
24,5 |
|
=0,00488. |
|
25,5-13,6 |
-14,5 |