книги / Теория инженерного эксперимента

рассматривать оба знаменателя. Возьмем теперь третью точку, в которой только переменная В сохраняет постоян­ ное значение. Тогда

	0/ п	[т пА + f (т пА )\ В — т Х п У '
	0	3	1тпА + { (т пА )\ В
или, поскольку		тпАВ — mXnY,
		о/ п ________ В ! (т пА)					(7.7)
		/ 0 * з —	[т пА + f (т пА )\ В
Рассматривая разность			(%R3 — %Ri),			получаем
			B f (т пА)			B f ( A )
	%R3~ % R 1== [т пА + / (т пА)) В				[ A + f ( A ) \ B ’
или
	%R3— %Rl=		А [/ (т пА) — m nf (Л)]				(7-8)
			[тпА + f (яшЛ)] [А +			f (Л)1
Таким	образом,	относительная		ошибка		%R3 не равна
%Ri для любой функции f(A),				%R3 =		%/?х лишь при
f{mnA)	= mnf(А). Это		имеет место в		том случае,		когда

f(A) = kA , где k — постоянная. Наиболее распространен­ ной ошибкой типа суммы является Лкаж = Лист ± k, где k имеет постоянную величину при любом значении А. Данный метод позволяет легко обнаружить эту ошибку. Перейдем к четвертой точке, в которой X сохраняет по­

стоянное значение. Заменяя А на тА, В на пВ и Y		на
mnY, имеем
%Ri ~ % R 1=	A [ f ( m A ) — m f ( A ) ]	(7.9)
	[mA + f ( m A ) ) [ A + f ( A ) ]

Ив этом случае ошибки будут равны только при f(mA) =

=mf{A). Таким образом, по существу доказано общее правило: «Если в уравнении АВ = ХУ одна из перемен­ ных имеет систематическую ошибку типа суммы, то эту переменную можно обнаружить, рассматривая поочеред­ но случаи с фиксированным значением каждой переменной.

И*

Переменная, для которой при фиксированном ее значении относительная ошибка не изменяется, содержит система­ тическую ошибку. Единственным исключением является случай, когда переменной, содержащей ошибку, является (Л + kA); в этом случае ошибку невозможно обнаружить

с помощью данного			метода».				ошибки
Рассмотрим теперь уравнение (7.1) в случае
типа произведения. В этом случае
		% R i=		f(A)AB — XY			(7.10)
				S(Л) АВ	или XY ’
при	фиксированном		значении		переменной	А
		о/ г>		f (Л) АтпВ — mXnY			(7.11)
		0 2	f(A)mnAB		или mXnY
и
у	п _ _ _ у	п ___ f (4) АтпВ — mXnY — / (Л) АтпВ + т Х п У __ Q
о	2	^1		f (А) АтпВ или mXnY
При	фиксированном		значении		переменной	В имеем
		а д , - %		к 1 = ' £	$ у $ - .		(7.12)
Эта разность не равна нулю для всех функций, за							исклю­
чением		случая, когда		/(Л) = f(mtiA), что		имеет место,

когда функция /(Л) постоянна для всех значений Л [т. е. f(A)A = kA \. К сожалению, эта ошибка типа произведе­ ния встречается довольно часто. Таким образом, это пра­ вило приемлемо и в случае ошибки типа произведения, но исключение из правила будет другим.

Легко показать, что все сказанное до сих пор относит­ ся к уравнениям сохранения следующих типов:

АВ=Х, ABC— XYZ или

иY

Последнее уравнение можно записать как A Y — ВХ. У равнение

X = Y

нельзя использовать для обнаружения ошибки.

В экспериментах, где суммируются энергии, электри­ ческие токи и расходы жидкости или газа, уравнения

сохранения имеют другую общую форму:
A + B = X + Y.	(7.13»

В этом случае также возможны аналогичные преобразо* вания. Оставим для упражнений (задачи 7.4 и 7.5) до­ казательство того факта, что для уравнения (7.13) «систе­ матическую ошибку типа суммы или типа произведения можно обнаружить, рассматривая поочередно случаи с фиксированным значением каждой переменной. Для пе­ ременной, содержащей систематическую ошибку, не об­ наружится изменения в ошибке нарушения баланса, оп­ ределяемой как ДR = X -1- Y — А — В». Нахождение исключений, аналогичных указанным выше, также оста­ вим для упражнений.

При проверке баланса редко удается обнаружить источ­ ник ошибки, если:

1 ) какая-либо переменная имеет большие случайные ошибки;

2 ) имеет место одно из упоминавшихся исключений; 3} контроль за переменными является неудовлетвори­ тельным, что не позволяет поддерживать строго фиксиро­

ванное значение переменной.

Первое условие в большинстве случаев не позволяет обнаружить переменную, содержащую ошибку. Однако если проблема состоит лишь в том, что мала точность (но отклонения группируются относительно истинного значе­ ния), то некоторую часть данных все же можно использо­ вать, отбрасывая точки, имеющие отклонения, превышаю­ щие некоторое максимальное значение, и сохраняя все остальные. Такой метод отбора точек вполне приемлем и обеспечивает возможность проверки баланса. По существу это один из немногих случаев, когда исключение получен­ ных данных вполне оправдано.

Пример 7.2. Уравнение теплового баланса водо-водя­ ного теплообменника имеет вид CpwcATc = CpwhATh. В обеих частях уравнения Ср имеет одинаковое значение. Условия теплового баланса не выполняются, поэтому был проведен ряд экспериментов, в результате которых полу­ чены следующие результаты (да в кг/мин, АТ в °С):

Номер	те	дг£		w h	i T k	% R i
испытания
1	1	50	3 ,2 5		20	30
2	2	15	1,75		30	75
3	2 ,2	40	2 ,2 5		5 8 ,5	50
4	1	30	2	,3	18	38
5	1,9	40	3	,2 5	30	30
X% R ^ ( w h b T h - w	c A T c ) /w c liT C'

Какой результат вызывает нарушение теплового баланса? Решение. Если имеется ошибка типа суммы или типа произведения и рассматриваемый случай не является исключением из правила, то можно ожидать, что для пе­ ременной, содержащей систематическую ошибку, %R не изменится, когда эта переменная принимает фиксиро­ ванное значение, а все остальные переменные варьируют­ ся. В испытаниях 1 и 5 получены почти одинаковые зна­ чения %R, и в этих двух случаях расход горячей воды даАявляется постоянным. Таким образом, можно ожидать,

что эта переменная имеет систематическую ошибку.

7.3. Проверка ошибок путем экстраполяции

Хотя до проведения эксперимента форма и размеры экспериментальных кривых бывают неизвестны, часто оказывается возможным оценить их конечные точки, исходя из теоретических положений и здравого смысла. Так, коэффициент полезного действия любой машины при нулевой нагрузке всегда равен нулю независимо от того, какое значение он может принимать в других условиях. Известно, что если содержание компонентов Л и В в спла­ ве или смеси изменяется, то, уменьшая содержание ком­ понента В, путем экстраполяции можно найти свойства

компонента А, а уменьшая содержание компонента А, можно оценить свойства компонента В. В любых устрой­ ствах измерения расхода, где расход зависит от величины напора, кривая зависимости расхода от напора должна проходить через начало координат. В случае турбулент­ ного потока коэффициент теплопередачи h часто является функцией потока массы G через единицу площади в сте­ пени 0,8. При построении графика зависимости 1/А от 1/G0 »8 получается кривая, проходящая через начало коор­ динат. Согласно закону Ома, при нулевом напряжении ток раиен нулю. График зависимости величины, обратной вязкости, от температуры проходит через нуль при тем­ пературе замерзания жидкости. Несмотря на неопреде­ ленность и возможные ошибки, неизбежные при экстра­ поляции, часто этот метод позволяет довольно надежно проверить соответствие полученных данных. Имея не­ удовлетворительные данные, путем экстраполяции все же удается получить точное значение, однако в данном слу­ чае результат ^зудет вызывать сомнения.

Чтобы проверка была наиболее эффективной, исследо­ ватель должен строить график как можно точнее. Наибо­ лее верный способ достигнуть хороших показателей со­ стоит в том, что система координат или алгебраическая функция выбираются таким образом, чтобы график был линейным или, во всяком случае, не имел большой кри­ визны вблизи начала координат. Обычно используются линейные, полулогарифмические или логарифмические шкалы, наносятся обратные величины одной или обеих переменных, квадраты, квадратные корни и другие вели­ чины, позволяющие построить прямую. Основным недо­ статком экстраполяции является невозможность опреде­ лить кривизну графика за пределами области данных. Ошибку, аналогичную изображенной на фиг. 7.1, часто бывает трудно обнаружить, и чтобы ее избежать, нужно хорошо знать теорию планирования эксперимента и представлять себе, каким должен быть ожидаемый ре­ зультат.

Заметим, что на логарифмических шкалах отсутствует нуль. Если потребуется экстраполяция к нулевой точке, то вначале несбходимоГпсстроить график в логарифмичерких коордиратрх, чтобы убедиться в том, что получена

прямая. Затем можно найти функцию и после преобразо­ вания построить новую прямую в линейном масштабе. Следующий пример поможет читателям уяснить один из наиболее распространенных методов.

Ф и г .	7.1.	Схема,	показываю­
щая,	что	экстраполяция		при
недостаточном числе			точек для
малых значений X и Y может
дать ошибочную величину				отрез­
ка,	отсекаемого на оси			Y .

Пример 7.3. Резервуар с водосливом, имеющий тре­ угольную метку уровня воды, протарирован группами студентов Л и В. Получены следующие данные:

Группа А

Расход, кг/сек	0,228	0,540		0,890	1,54	2,07	3,00
Напор, см	0,557	0,833		1,197	1,548	1,792	2,047
		Группа В
Расход, к г[сек	0,054	0,822	1,40	1,82	1,95 2,78	3,95	6,25
Напор, см	0,418	1,349	1,691	1,966 2,060 2,292 2,630 2,896

По-видимому, в одной из групп были получены оши­ бочные данные, так как группа В получила нулевой от­ счет при погружении водомерной рейки на 7,090 см, а в группе А тот же отсчет получен при глубине погружения водомерной рейки 7,293 см. В какой из групп получены правильные данные и насколько эти данные достоверны?

Решение. Известно, что напор h и расход Q при любом водосливе связаны общим соотношением Q = kha и что при нулевом, напоре должен, иметь место, нулецой расход..

Фи г . 7.2. График на логарифмической бумаге, показывающий зависимость расхода от напора для водослива, рассмотренного в примере 7.3. Каждый набор данных характеризуется почти одина­ ковым показателем степени, но графики не совпадают.

Таким образом, экстраполяция к началу координат яв­ ляется наглядным способом проверки этих данных. Вначале нанесем данные обеих групп на логарифмическую бумагу, что позволит найти показатель степени а и преобразовать эти данные к линейному виду (фиг. 7 .2 ). Из графика вид­ но, что для данных любой группы приближенное соотно­

шение1 имеет вид Q ~	Л2*2. Теперь можно составить таб­
лицу значений А2 >2 и	построить графики зависимости Q

от ft2 »2 в линейных координатах (фиг. 7.3). Данные груп­ пы А не проходят через начало координат, тогда как экстраполяция данных группы В дает кривую, которая проходит вблизи начала координат. Чтобы кривая А про­ ходила через начало координат, график необходимо под­ нять на (ДЛ) 2 * 2^ 0 ,1 5 см, т. е. увеличить все данные груп­ пы А на Ah ~ 0,23 см. В группе А начальный (нулевой) отсчет примерно на 0,2 см выше, чем в группе В, поэтому

1 Предполагается, что читатель умеет находить показатели сте­ пени с помощью линейного графика в логарифмических координа­ тах. Этот метод объясняется в любом руководстве или учебнике, по­ священном применению графических методов в технике.

если в группе В получены правильные данные, то все данные группы А занижены на 0 , 2 см, что и показывает применение экстраполяции. Таким образом, с определен­ ной уверенностью можно утверждать, что более предпочти­ тельны данные группы В. Исследователь может на этом

прекратить работу и принять данные, полученные в груп­ пе В, без дальнейшего их ана­ лиза или изучения. Интерес­ но, что эти фактические дан­ ные из двух лабораторных от­ четов студентов содержат еще одну несколько более скры­ тую ошибку в измерении на­ пора.

Фи г . 7.3. Линейный график, построенный по данным из при­ мера 7.3. Данные группы А не удовлетворяют требованиям, так как прямая не проходит через

начало координат.

Предполагается, что если напор на водослив возрастает до очень большой величины, то соответственно увеличи­ вается расход, и что бесконечному напору соответствует бесконечный расход. Этот участок кривой можно прове­ рить, построив зависимость 1/Q от 1/А2’2. (Если в линей­ ных координатах зависимость Q от А2 *2 имеет вид прямой, то и график зависимости 1/Q от 1/А2 >2 также будет пря­ мой.) Если построение выполнено правильно,, то, при­ меняя экстраполяцию, увидим, что график проходит че­ рез начало координат. Вначале увеличим каждый отсчет группы А на (7,293—7,090) = 0,203 см и таким путем скор-

^ектируем обнаруженную ошибку в нулевом отсчете, еперь можно составить следующую таблицу данных:

		Группа А
	Измеренное	Л2,2	(Л2,2)~1
Измеренное	значение h. см ,
значение h ,	увеличенное	(исправленное)	(исправленное)	сек/кг
см	на 0,203 см .
0,5 5 7	0 ,7 6 0	0 ,5	2	4 ,4
0 ,883	1,086	1,2	0 .8 3	1,85
1,197	1,400	2,1	0 ,4 7 6	1,12
1,548	1,751	3 ,4	0,2 9 5	0 ,6 5
1,792	1,995	4 ,57	0 ,2 2	0,4 8 5
2 ,047	2 ,2 5	5 ,9	0 ,1 7	0,3 3 3
		Группа В
0 ,418	0,125		8 ,0	18,5
1,349	1,93		0 ,519	1 >13
1,691	3 ,1 8		0,315	0,71
1,966	4,4 2		0,226	0,5 5
2,060	4,95		0,201	0,51
2.292	6 ,1 7		0,162	0,3 6
2,630	8 ,4 0		0,119	0,253
2,896	10,3		0,097	0 ,1 6

На фиг. 7.4 показан график зависимости Q- 1 от (Л2.2)-1. Хотя полученный график и имеет некоторую кри­ визну в нижней части, очевидно, что экстраполирован­ ный участок кривой не пройдет через начало координат. К тому же данный график показывает, что расход до­ стигнет бесконечной величины при некотором конечном напоре, что физически невозможно. Таким образом, как данные группы А, так и данные группы В ошибочны. Логично предположить наличие сшибки в данных о напо­ ре, так как обычно труднее.получить точные данные о напоре, чем- о расходе. Исследование резурвуара с водо­ сливом позволило обнаружить это затруднение и вскрыть его причину. Крючковая водомерная рейка, используе­ мая для измерения напора, устанавливалась настолько близко к краю водослива, что при больших скоростях потока отсчет оказывался несколько меньше истинного

Фи г . 7.4. График	для величин, обратных рассмотренным на
фиг. 7.3. Очевидно,	что бесконечному напору не соответствует бес­

конечный расход.

X данны е группы А (скорректированны е); о данны е группы В.

Водомерная рейка

Фи г . 7.5. Схема, показывающая источник ошибки при исследо­ вании водослива (пример 7.3). При увеличении расхода возрастает кривизна водной поверхности, вследствие чего увеличивается ошиб­ ка в измерении глубины крючковой водомерной рейкой, установ­ ленной слишком близко к водосливу.