книги / Устойчивость и колебания упругих систем. Современные концепции, парадоксы и ошибки

устойчивости, который сводится к анализу свойств возму­ щенного движения, возникающего после нарушения иссле­ дуемого состояния равновесия. Если при этом движении система остается в окрестности состояния равновесия, то такое состояние устойчиво, а в противном случае — неус­ тойчиво. Динамический метод уже давно вошел в теорию устойчивости упругих систем, но в течение длительного времени его (без оснований) рассматривали лишь как некий усложненный вариант подхода к проблеме устойчивости, который якобы должен дать результаты, не отличающиеся от результатов, полученных статическими методами. Лишь в двадцатых годах нашего столетия, после выяснения не­ состоятельности статических методов для некоторых клас­ сов задач, определилось подлинное значение вполне универ­ сального динамического метода.

При разделении первой части этой книги на главы авто­ ры руководствовались признаком внутренней общности свойств различных типов механических систем, и поэтому следующие четыре главы посвящены случаям, иллюстри­ рованным выше рис. 0.1—0.4. В последней, пятой главе этой части рассматриваются достаточно специфические во­ просы устойчивости не вполне упругих систем.

Г л а в а I

ПОТЕРЯ УСТОЙЧИВОСТИ ПРИ ПОЯВЛЕНИИ СМЕЖНЫХ ФОРМ РАВНОВЕСИЯ

Входящие в эту главу очерки посвящены указанному Эйлером случаю потери устойчивости и особенностям метода Эйлера. В § 1 разбирается одна поучительная ошибка великого автора, которая носит частный характер, однако интересна не только как исторический курьез, но и как повод для полезного углубления в существо дела. Любопыт­ ная особенность одного из широко используемых вариантов энергетического метода разобрана в § 2. В $ 3 обсуждается роль, которую могут играть некоторые' дополнительные, обычно неучитываемые факторы (укорочение оси, сдвиги). Наконец, в § 4 описываются случаи потери устойчивости при нагрузках, значение которых меняется при изменениях конфигурации упругой системы; в частности, здесь схема­ тично анализируются потеря устойчивости несущих по­ верхностей летательных аппаратов (дивергенция) и потеря устойчивости прямолинейной формы оси трубопроводов при достаточно больших скоростях протекания жидкости.

п

$ 1. Ошибка Эйлера

В1727 г. двадцатилетний Эйлер приехал из Швейцарии

вРоссию и до 1741 г. успешно работал в молодой Петер­ бургской Академии наук. К концу этого периода в России сложились очень тяжелые условия для ученых Академии, и многие из ее иностранных членов поспешно покинули

русскую столицу, «горькие слезы утираючи» (по выражению Ломоносова). Эйлер переехал в Берлин, где стал вицепрезидентом Берлинской Академии наук; здесь Эйлер про­ жил 25 лет, но около половины написанных им за это время работ было опубликовано в трудах Петербургской Акаде­ мии.

В 1766 г. Эйлер откликнулся на приглашение Екатери­ ны II и верпулея в Петербург, где и прожил вплоть до своей кончины в 1783 г.; только за эти годы он написал более 400 научных работ. Академик С. И. Вавилов дал следую­ щую оценку работе Эйлера в Петербургской Академии: «Вместе с Петром 1 и Ломоносовым Эйлер стал добрым гением нашей Академии, определившим ее славу, ее кре­ пость, ее продуктивность».

Эйлер является основоположником теории устойчивости форм равновесия упругих систем. К этой проблеме он обра­ щался неоднократно, начиная с 1744 г.; последняя из ра­ бот, посвященная вопросам продольного изгиба стержней, написана Эйлером в 1778 г., когда ему было более семиде­ сяти лет.

В основополагающей работе 1744 г. Эйлер, исходя из точного дифференциального уравнения изогнутой оси,

устанавливает значение	критической	силы	для сжатой
по концам шарнирно	опертой стойки.		получает тот
В следующей публикации (1757 г.)		он

же результат, пользуясь линеаризованным дифференциаль­ ным уравнением. Заключительная часть этой публикации посвящена задаче об устойчивости прямолинейной формы равновесия шарнирно опертой стойки, нагруженной не только концевыми сжимающими силами, но и продольной равномерно распределенной нагрузкой (рис. 1.1). Однако данное им решение этой задачи содержало существенную ошибку.

Проследим за выкладками Эйлера, приняв следующие

обозначения: q — интенсивность		распределенной нагруз­
ки, Р — сжимающая сила	на верхнем конце стойки, г —
абсцисса произвольного	сечения	стойки,	$ — абсцисса
произвольного сечения, расположенного в			пределах [0, г],

12

v(z) — прогиб оси, М. (г) — изгибающий момент; кроме того, мы будем пользоваться современным обозначением EJ для изгибной жесткости, хотя в XVIII веке еще не оформи­ лись понятия модуля упругости и момента инерции пло­ щади, и изгибная жесткость обозначалась одной буквой

Рис. 1.1. Схема	Рис. 1.2. Принятая Эйлером
нагрузки	схема сил

как некий единый коэффициент с нерасшифрованным со­ держанием.

Элемент нагрузки qdt вызывает в сечении с абсциссой г изгибающий момент— qd£lv(z)—v{Q]; полный изгибающий момент в этом сечении равен сумме моментов всех сил, рас­ положенных между верхним концом стойки и рассматри­ ваемым сечением (рис. 1.2):

*

М ( г ) ------- $ Ч[о (z) — V (t)l d £ — P v (г).	(ID
о
С другой стороны,
	0-2)

13

иинтегро-дифференциальное уравнение изогнутой оси

стержня принимает вид

2
£ у - й г + * ! И * )-» (0 ]« 1 С + Л > (* ) -0 .	(1.3)

Если преобразовать интеграл, входящий в (1.3):

2		г
$ [v(г)—V(;>] d£= v (г) г — $ v (£) d£=
о		о
- o ( 2 ) 2 - [ 5 p ( 0 ] : + j t - ^ d t - | { ^ d C .					(1.4)
			о	о
то вместо уравнения	(1.3)		получится
		г
£ / 5 г +	^	^	« + Л ( 2 ) - « .		(1.5)
		о
или, после дифференцирования по координате г,
Ы %		+ {яг+Р) £ =		0 .	(1.6)

Заметим, что это уравнение непосредственно следует из выражения для перерезывающей силы Q; однако во времена Эйлера это выражение не было известно (дифференциальная зависимость между изгибающим моментом и перерезываю­ щей силой Q=dM/dz была установлена лишь в середине XIX столетия).

Уравнение (1.6) имеет третий порядок, и поэтому его решение будет содержать т р и постоянные. Уже здесь возникают сомнения в правильности уравнения (1.6), так

как решение, очевидно, должно удовлетворять				ч е т ы р е м
граничным условиям
о = 0,	= 0	при 2= 0 и	г =	/.	(1.7)
Такое несоответствие	числа	граничных	условий		задачи

и числа постоянных свидетельствует о неправильности ос­ новного уравнения (1.6).

В чем состоит ошибка (если ее еще не заметил читатель), мы поясним ниже. Во всяком случае Эйлер сначала не обратил внимания на указанное несоответствие и продол­ жал решение, попросту опустив последнее из граничных условий (1.7). Мы не будем приводить этого решения урав­ нения (1.6), так как оно было исследовано Эйлером для

14

случая, когда величина д мала; конечно, это решение оши­ бочно, хотя и приводит к верному значению критической силы Рк„ в предельном случае <7= 0.

В 1778 г. Эйлер вновь обратился к проблеме продоль­ ного изгиба. В рассмотренной выше задаче он принял, что в верхнем сечении сжимающей силы Р нет, и исследовал решение дифференциального уравнения

« £ + * £ - о.	(1.8)
d z

На этот раз допущенная при составлении уравнения ошибка сказалась самым чувствительным образом, а именно по­ лучилось, что ни при каких значениях нагрузки д не существует никаких форм равновесия, кроме прямолиней­

ной. Отсюда Эйлер заключил, что та­

кая

стойка

вообще не может потерять

устойчивости.

Этот противоречащий здравому смыс­

лу результат вызвал сомнения у само­

го Эйлера, и спустя всего несколько

месяцев он выступил с критикой своей

предыдущей работы. Вывод о неограни­

ченной устойчивости

стойки, нагружен­

ной собственным весом, Эйлер назы­

вает сне

только парадоксальным,

но и

весьма подозрительным»

и

утверждает,

что полученное им ранее аналитиче­

ское решение, очевидно, содержит ошиб­

ку. Однако в чем состоит ошибка, Эйлер

еще не видит.

публикации,

Лишь

в

следующей

относящейся

к тому

же

1778 г., Эйлер

полностью разъяснил

дело. Он заметил,

Рис. 1.3. Схема сил,

что

при

составлении

выражения

(1.1)

действующих

на

пропущен

момент,

создаваемый

гори­

стойку при

про­

зонтальной

реакцией

N.

Если

<7= 0,

дольном изгибе

то горизонтальных реакций в самом де­

ле не будет; однако при

<7=^0 появление

горизонтальных

реакций неизбежно

следует

из

условий

равновесия

всей

стойки (рис. 1.3). Если

учесть

горизонтальную реакцию,

то

вместо уравнения

(1.8)

получится правильное диффе­

ренциальное

уравнение

dv

г- ,

,

(1.9)

E J d$+ 4*-to= N '

Поскольку величина N неизвестна, то ее можно рассмат­ ривать как четвертую постоянную — ту, которой ранее недоставало для удовлетворения всем четырем граничным условиям задачи. Дальнейшее решение Эйлер строит в виде степенного ряда; хотя в выкладки Эйлера вкралась ошибка чисто вычислительного характера, однако резуль­ тат опроверг прежний вывод о неограниченной устойчи­ вости рассмотренной стойки.

Правильное р е ш е н и е 18,6 было получено спустя

почти полтораста лет А. Н. Динником *).

Подробный анализ работ Эйлера по теории продольного изгиба был дан в 1938 г. Е . Л . Николаи **); в его статье,

где	подробно изложена и приведенная выше история,
есть	следующие слова: «Парадокс, с таким блеском разъ­

ясненный Эйлером..., поучителен и заслуживает внимания.

Разрешение	этого парадокса	состоит, как мы видим, в
том простом	замечании, что	если свобода перемещения

концов стержня в поперечном направлении стеснена ка­ кими-либо условиями, то к концам стержня должны быть приложены соответствующие поперечные реакции. Эго обстоятельство упускается иногда из виду. С ошибкой,

первоначально допущенной		Эйлером в мемуаре		1757 г.
и разъясненной	им в 1778 г., мы		неоднократно	встре­
чаемся вновь	в истории	теории	устойчивости упругих

систем. Так, в задаче об устойчивости стержня, подверга­

ющегося одновременно сжатию и кручению,		мы находим
эту же погрешность в работах Гринхилла		и Граммеля».
По поводу ошибки Эйлера см. книгу Е. Л. Николаи «Труды по
механике» (М.: Гостежиэдат, 1955,	с. 452—453).
§ 2 . Об одном варианте	применения энергетического
метода

Энергетический метод был введен в теорию упругости Кирхгофом ***) в 1850 г. и применен к задачам теории упру­

*) Александр Николаевич Динннк (1876—1950) — академик Ака­ демии наук УССР (с 1929 г.), в 1946 г. избран действительным членом Академии наук СССР. Наиболее крупные исследования А. Н. Дннннка связаны с проблемой устойчивости упругих систем, а также с контакт­ ной задачей теории упругости.

**) Евгений Леопольдович Николаи (18®)—1950) — с 1917 г. профессор Ленинградского политехнического института. Ему принад­ лежит ряд важных результатов в теории устойчивости и колебаний упру­ гих. систем.

- ' ***) Густав Роберт Кирхгоф (1824—1887) — профессор физики Гейдельбергского (1854—1875) и Берлинского (1875—1887) универси-

16

гой устойчивости Брайаном (1891) и С. П. Тимошенко *) (1906). Энергетический метод основан на теореме Лагран­ жа — Дирихле для консервативных систем, подчиненных голономным, стационарным и идеальным связям: если в по­ ложении равновесия системы потенциальная энергия имеет минимум, то положение равновесия устойчиво.

Ниже рассказывается	о парадоксе,	который возникает
в одном из вариантов	применения	метода.

Напомним основную идею энергетического метода, следуя книге С. П. Тимошенко «Устойчивость упругих си­ стем» (М.: Гостехиздат, 1955, с. 91), где рассматривается консольная стойка, изображенная на рис. 2.1, а:

«Допустим, что произошло боковое смещение, показан­ ное на рис. 2.1, б; тогда энергия деформации увеличивается вследствие того, что к энергии сжатия прибавляется энер­ гия изгиба стержня. В то же время потенциальная энергия нагрузки уменьшается сообразно с понижением точки приложения. Это уменьшение потенциальной энергии яв­ ляется просто работой, произведенной нагрузкой в ре­ зультате понижения верха стержня. Если AV означает энергию деформации изгиба стержня, а ДГ — работу, произведенную нагрузкой вследствие изгиба, то можно сделать заключение, что прямая форма сжатого стержня будет устойчивой, если

д у ~ Д Г > 0 ;

она будет неустойчивой, если ДУ— ДТ < 0 .

тегов. С 1863 г.— член-корреспондент Петербургской Академии наук, с 1870 г.— член Берлинской Академии наук. Автор многих исследовав ний по математической физике и теории упругости.

*) Степан Прокофьевич Тимошенко родился в 1878 г. на Украине, в быв. Черниговской губ, В 1906—1911 гг.— профессор Киевского по­ литехнического института, в 1912—1917 гг.— профессор путейского и политехнического институтов в Петербурге. В 1918— 1920 гг.— пер­ вый директор Института механики Академии наук Украины. В 1920 г. эмигрировал в Югославию, а в 1922 г. переехал в США, где был про­ фессором сначала Мичиганского, а затем Стэнфордского университетов. Умер в г. Вупперталь (ФРГ) в 1972 г. Автор многих работ по строитель­ ной механике, прикладной теории упругости, технической теории коле­ баний и удара.

Был избран членом академий паук ряда стран: Украинской Акаде­ мия наук (Киев, 1918), Российской Академии наук (Ленинград, 1928, позднее — иностранный член АН СССР), Польской Академии наук (Варшава, 1935), Французской Академии наук (Париж. 1939), Амери­ канской Академии наук (Вашингтон, >941), Лондонского королевского общества (1944), Итальянской Академии наук (Рим, 1948) — и почет­ ным доктором многих университетов и институтов.

17

Критическое значение нагрузки, при котором прямо­ линейная форма равновесия переходит из устойчивого состояния в неустойчивое, определяется из уравнения ДК«Д7У

В соответствии с основной идеей энергетического метода для вычисления ЛУ и АТ нужно исходить из определенных, заранее принимаемых предположе­ ний об отклоненной конфигурации стойки; при этом «подходящая» фор­

ма изогнутой оси должна						быть на­
мечена			с учетом фактических гра­
ничных			условий.
	В решении С. П. Тимошенко
принимается, что					изогнутая		ось
описывается				уравнением
			u = / ( l —co s-^ -j,				(2.1)
где		f — прогиб			верхнего		конца
стойки.
	Подстановкой можно убедиться
в том, что (2.1) удовлетворяет всем
граничным				условиям задачи:
Рис. 2.1. Продольный из­	о = 0		и	о '= 0	при	2= 0,
	v = f		и		при	г —L
гиб консольной стойки
Изгибающий момент в произвольном поперечном						сечении
равен
М = Р (/—о) =			PI c o s ~ ,				(2.2)
а соответствующая энергия		изгиба
	<		Р*Р1
	Mid*						(2.3)
	2EJ		W
	и
Вертикальное смешение	верхнего			конца	стойки
			dz	sW.			(2.4)
				16/ •

следовательно, работа, произведенная силой Р, при изгибе стойки,

АТ.	я	(2.5)
	“ ШГ*

Приравнивая AV и АТ:
ргр/	л'Рр		(2.6)
4EJ	16/ *
С. П. Тимошенко находит,	что	критическая сила	равна
р	Ц*	*	(2-7)

Этот результат совершенно точен; полный успех примене* ния здесь приближенного метода объясняется тем, что функция (2.1) представляет собой точное уравнение изогнутой оси. При решении других задач, когда уравнение изогнутой оси заранее неизвестно, этот путь приведет к приближен­ ным результатам, тем более точным, чем лучше аппроксими­ рующая функция описывает действительную форму изо­ гнутой оси.

В 1951 г. П. Ф. Дроздов обратил внимание на неожи­ данный результат, который получится, если сравнить найденные выше величины AV и АТ сначала при Р < Р кр,

азатем при Р>Рнр. Обозначим через

а = Р /Р ,р	(2.8)
безразмерный параметр нагрузки; при этом а < 1 ,	если

Р<Рф> и а > 1 , если Р > Р КрПользуясь безразмерным па­ раметром а, перепишем формулы (2.3) и (2.5) с учетом (2.7) в следующем виде:

ДV = a*	n*EJf*			(2.9)
		64/»	*
ДТ = а xtEJp64/»			*	(2. 10)
Отсюда ясно, что при а < 1		имеем AV—Д Т<0,		а при
а > 1 найдем AV—Л Т>0. Получается, что при а < 1				(когда

Р<Ркр) прямолинейная форма равновесия должна быть признана неустойчивой, а при оС>1 (когда Р>РКр) — устой­ чивой. Иными словами, решение С. II. Тимошенко дает значение критической силы как силы, превышение которой делает якобы неустойчивую прямолинейную форму равно­

весия	устойчивой.
Это	заключение	находится в	очевидном противоречии
с цитированным на		с. 17 утверждением С. П. Тимошен­
ко, да	и просто со здравым смыслом. В чем же причина
этого	неожиданного	результата?	П. Ф. Дроздов справед­
ливо заметил, что она связана с			выражением (2.3). Дело

19

в том, что в выражении

(2. 11)

величину М следует понимать как изгибающий момент, определяемый деформациями оси (ее кривизной) в смежных, вообще говоря, неравновесных состояниях

(2. 12)

тогда как использованное С. П. Тимошенко выражение (2.2) относится к заведомо равновесному состоянию.

Если в (2.11) подставить (2.12), то с учетом (2.1) полу* чится вместо (2.3)

(2.13)

Этот результат, в отличие от выражения (2.9), не содер­

жит параметра а , т. е. не зависит от силы Р.
Окончательные	выражения	(2.3) (или	(2.9)) и	(2.13)
в рассматриваемой	задаче не	э к в и в а	л е н т н ы	по

самой своей природе. Первое из них выражает потенциаль­

ную энергию изгиба		для	изогнутой		р а в н о в е с н о й
ф о р м ы ,	тогда как выражение			(2.13)	определяет потен­
циальную	энергию	изгиба	для	п р о и з в о л ь н о г о

отклоненного состояния, возможно, не являющегося состоя­ нием равновесия.

В своей статье П. Ф. Дроздов пишет: «По смыслу начала возможных перемещений и принципа минимума потенциаль­ ной энергии работа внутренних сил на виртуальном откло­ нении не зависит от величины груза Р и целиком опреде­ ляется произвольно заданной формой изгиба. При этом в рассматриваемом отклоненном состоянии равновесие мо­ жет и не сохраниться, и момент внутренних сил, определяе­ мый формой изгиба, может отличаться от момента внеш­ них сил».

Если теперь		сопоставить			верные выражения (2.10)
и (2.13), то получится правильный результат:
ДУ >	ДТ	при	а <	1	(т. е. при	Р <	Р ир),
AV <	АТ	при	а >	1	(т. е. при	Р >	Ркр).
Таким	образом,		выкладки		С. П. Тимошенко основаны

на рассмотрении смежной равновесной формы, для которой

20