книги / Устойчивость и колебания упругих систем. Современные концепции, парадоксы и ошибки

Воздействие, показанное на рис. 27.1, а, можно рас* сматривать как сумму воздействий, показанных на рис. 27.1,6 и в; поэтому движение, соответствующее воз­ действию по рис. 27.1, а, определится как сумма решений (27.7) и (27.8):

при 0 <	t < U	0 sin pi
	__ pi'		(27.9)
	** с	ср *
при / >	/»

Г.

1

^ 2 s i n ^ c o s p ( / — (*-).

(27.10)

Первое слагаемое в выражении (27.10) представляет собой отклонение, вызываемое статической силой р /,, а второе слагаемое — динамическую добавку. Эта добавка меняется во времени, и ее наибольшее значение составляет

| £ - s i n ^ | . При любых значениях ptt это значение не пре­

восходит величины 2р/(ср), так что относительная динами­ ческая добавка составляет не более чем

2 р / М =	2
Рi j c	p t , ’

Будем считать силу статической, если найденная величина, как и раньше, не превосходит (1,05. Это условие выполня­ ется, когда р/*>40, т. е.

4'о	< 6 ,3 7	(27.11)
— длительность линейного	возрастания	силы должна по

крайней мере в 6,4 раза превссходить собственный пе­ риод колебаний системы. Оценку (27.11) впервые предло­ жил И. Г. Бубнов.

Полученные оценки относятся к довольно типичным, но все же частным случаям нагружения. Несколько более общий случай был исследован А. Н. Крыловым; но прежде чем перейти к его опенке динамичности, приведем решение задачи о действии п р о и з в о л ь н о й вынуждающей силы P(f) на систему с одной степенью свободы. Это решение

может быть представлено в двух вариантах.

Первый вариант. Прежде всего вспомним, что общее решение дифференциального уравнения свободных коле­

нанна
aq •-cq 0	(27.12)

имеет	вид
	9 = С , sin /зМ -С, cos/7/.	(27.13)
Здесь	</=tf(0 — координата, t — время,	p=VcIa— соб­

ственная частота, Ci и Cs — постоянные, подлежащие опре­ делению из начальных условий движения. Теперь рассмот­ рим случай, когда движение вызывается однократным мгно­ венным импульсом S, прикладываемым к системе в момент т. Начальные условия относятся к моменту времени непосред­ ственно после приложения импульса S и имеют вид

0 =	0 , 0 = -§	при t = т.	(27.14)
Теперь, определив	постоянные
C' =s-§£C0Sfn'		C* = — §£sinfn '	(27л5)
получим решение уравнения (27.12) в виде
		т).	(27.16)

Это выражение и служит основой рассматриваемого спо­ соба решения. Произвольную вынуждающую силу P=P(t) можно представить в виде последовательности бесконечно

Рис. 27.2. Замена непрерывной силы последовательностью бесконечно малых импульсов

малых импульсов P(x)dx, изображенных вертикальными полосками на рис. 27.2. Заменив в выражении (27.16)

S = P(x)dx,

(27.17)

мы найдем колебания, вызываемые действием одного из им­ пульсов; чтобы определить движение, которое вызывается заданной силой, необходимо наложить все влияния всех элементарных импульсов. Таким образом, находим, что

212

перемещение в момент времени I равно (при нулевых на­ чальных условиях)

/
?=So H P (T) Sin/,(*— t)dT'	(27.18)
о

К этой форме решения часто приходят, пользуясь методом вариации постоянных; только что изложенный способ вы­ вода *) более наглядно выясняет «суперпозиционную» при­

роду	выражения (27.18).	в качестве вспомогатель­
Второй вариант. Рассмотрим
ной	задачи действие с к а ч к а	(рис. 27.3, а), представ­

ляющего собой силу AP=const, прикладываемую к системе

Р

	А Р
о	*	t
		а)

Рис. 27.3. а) Скачок внешней силы;’ б) замена непрерывной силы последовательностью бесконечно малых скачков

в момент т. Для определения движения системы необходи­ мо интегрировать неоднородное дифференциальное урав­ нение

\ Р	t^ x .	(27.19)
q + p*q= — при

Общее решение этого уравнения имеет вид

q= С, sin pt + Ct cos pt +

.

(27.20)

Для определения постоянных служат начальные условия <7—0, <7=0 при l=x. Пользуясь ими, находим

С, —— sin рх, Сг= — —^ cos рх (27.21)

*) Этот способ был указан Дюамелем в I834 г.

2(3

и вместо (27.20) получаем
ЛР	( / > т).	(27.22)
? - = £ ■ [! —cos/?(( — т)]

Вновь обращаясь к задаче о действии произвольной вынуждающей силы, представим ее в виде последователь­ ности бесконечно малых скачков, соответствующих го­ ризонтальным полоскам на рис. 27.3, б. Для того чтобы определить действие одного такого скачка, нужно в решение (27.22) подставить

AP = P ( T ) d i .

(27.23)

Если проинтегрировать полученное таким способом выраже­ ние, то мы найдем результат действия заданной силы в виде

(

q= - jr — ^ J Р (т) cos р (/ —т) ch.	(27.24)
о

Здесь первый член представляет собой перемещение, кото­ рое было бы вызвано силой Р (i) при ее статическом дейст­

		вии, а второе слагаемое имеет смысл
		динамической поправки.
		Конечно,	здесь	предполагается,
		что сила P(t) нигде не			имеет	раз­
		рывов, т. е. конечных скачков. Если
		такие разрывы имеются, то они дол­
		жны быть	о с о б о	в ы д е л е н ы ,
		и при этом в решение (27.24) допол­
		нительно вводятся		слагаемые		типа
	' Ч	(27.22). (В этом случае ДР — значе­
	Рис. 27.4. Схема инди­	ние конечного скачка.)
		На выражении		(27.24)	и основа­
	катора Виккерса
		на данная	в 1909	г. А. Н. Крыло­
	вым оценка динамичности. Вскоре она			была	весьма эф­
	фектно применена	на практике.
	В 1914 г. в Петербурге при полигонных испытаниях
	пробной установки	12-дюймовых корабельных орудий было

обнаружено, что давление, развиваемое в цилиндрах ком­ прессоров, составляет 450 атмосфер вместо нормального давления 250 атмосфер, на которое были выполнены рас­ четы прочности. Казалось, что все построенные компрессо­ ры (48 штук) придется забраковать из-за их несоответствия неожиданно большим фактическим нагрузкам. Но каждый из компрессоров стоил 50 тысяч рублей, и замена всех компрессоров новыми повлекла бы расход около двух с ао-

214

ловиной миллионов рублей. Кроме того, такая замела отда­ лила бы срок готовности кораблей.

Все это дело было передано на экспертизу А. Н. Кры­ лову, который, опираясь на свои исследования, относящиеся к 1909 г., установил, что регистрирующий прибор — инди­ катор Виккерса (см. схему на рис. 27.4) — дает сильно преувеличенные показания, а истинное максимальное дав­ ление примерно вдвое меньше записанного. Из заключения А. Н. Крылова следовало, что замена компрессоров со­ вершенно не нужна; этим была не только сэкономлена боль­ шая денежная сумма, но и предотвращен срыв своевремен­ ного ввода кораблей в строй.

Для того чтобы получить оценку А. Н. Крылова, обозна­ чим через hq абсолютное значение динамической поправки

^ Р (т)со зр (/— x)dx
		(27.25)
и положим	Г
*
А = ^ Р (т) cos /гг dx.	В — ГP(x)sin/jT(ft.	(27.26)
о	о
Тогда
АЯ = ± c o s p t + ± s i n p t \ t		(27.27)

и наибольшее значение поправки, очевидно, удовлетворяет неравенству

A*-f В* .

(27.28)

Следуя А. Н. Крылову, рассмотрим тот основной для индикаторов случай, когда период свободных колебаний системы значительно меньше продолжительности нараста­ ния силы, и предположим, что сила меняется во времени но закону рис. 27.5, а; такая сила в течение некоторого вре­ мени монотонно растет до своего наибольшего значения, а затем постепенно убывает (как это имеет место, например, при действии взрывов). Определим наибольшее абсолютное

значение	Aq динамической поправки		для некоторого мо­
мента	т. е. на	восходящей ветви кривой P—P(t).
В подынтегральных		произведениях,	входящих в (27.26),

21$

первый множитель tta интервале (О, I,] всюду положитель­ ный, а вторые множители периодически меняют знаки. Что­ бы найти оценки для величин А к В, разобьем промежуток

10, *ф] на такие частные про­
межутки, в которых функции
cos pt и sin pi сохраняют по­
стоянный	знак.	Если	Т0—
= 2 я!р — период		свободных
колебаний	системы, то		для
вычисления А нужно принять
следующие промежутки:

			гч* ).			|*. * | .
			ГЗГо			57^1
			L	4	’	4	J *
		Аналогично для					вычисления
		В такими			промежутками яв­
		ляются
			[»•	*	]	. [	$ .	т .].
Рис. 27.5. Зависимость силы и			l^#*		Т ^ ® 1 '			' * *
се	производной от времени						J
		Прежде всего займемся оцен­
кой	величины	А. Согласно выражению (27.26) имеем
А =	j Р (т) cos puti**
	т,		г г,
	4		4
	«=• j	Р (т)cospidx-\-	| Р (т)cospxdx-{-
		il!	т
		4
		+ J	P (т) COS pidT-L ...					(27.29)
		ih

4

В первом интеграле величина cos рт все время положитель­ ная, во втором отрицательная, в третьем положительная

и т. д. Функция ^(т) своего знака не меняет и все время по

216

ложительная. Поэтому, применив для каждого из интегра­ лов теорему о среднем значении, получим

	и		г,
	А		4
	| Р (т) cos pxdx =		Р (Xl) j	cospxdx = ^ P (TJ ,
	ЗГ.			3Jj
	4			4
	^	P (T ) C O S pxdx =	P (T 2)	^ cospx d% = — ^ P		( t , )
	T			T		(27.30)
и	т. д.	Здесь 0 < т ,< 7 у 4 , 7У4<т»<37У4, . . . .				т. e. xlt
t4,	. . .	— некоторые	промежуточные		значения	времени
внутри		последовательных интервалов. Таким образом,
		а = £			•	<27-31)
	Так как кривая Р(0 в интервале 10,				I имеет только один

максимум (см. рис. 27.5, б), то абсолютная величина сум­ мы, записанной в скобках выражения (27.31), не может пре­ высить наибольшего из слагаемых; 8 свою очередь послед­

нее не превосходит максимального значения производной Р, которое мы обозначим через Ртт. Следовательно,

М1<т*Ат-			(27.32)
Совершенно так же можно найти, что
\В \< ^ Р ,max*			(27.33)
Поэтому
V А*+	я	2 Р„	(27.34)
II вместо (27.28) получается
Ь Ж ^ У 2 Р п			(27.35)
яс

Заметив, что V 2/я < 1/2, А. Н. Крылов придал неравен­ ству (27.35) вид

Т» с (27.36)

2 * •"***

Величина -£Рт„ имеет размерность силы и представляет собой наибольшее возможное приращение силы Р за про-

217

межуток времени 7У2, т. е. за полупериод свободных коле­ баний. Обозначив эту величину через АЯшах, получим та­ кую выразительную запись:

А? < • (27.37)

Эго и есть формула Крылова. Здесь правая часть представ­ ляет собой перемещение, которое могла бы вызвать стати­ чески действующая сила ДРтах. Ясно, что чем меньше пе­

риод свободных	колебаний, тем меньше величина АРтах,
а следовательно,	и величина Aq. А. Н. Крылов пишет: «Сле­

довательно, если период свободных колебаний системы настолько мал по сравнению с продолжительностью нараста­ ния силы, действующей на систему, что наибольшая вели­ чина действующего усилия за промежуток времени, рав­ ный полупериоду свободных колебаний системы, может быть пренебрегаема, то отклонение системы может быть расчисля­ емо «статически», и погрешность не превосходит той вели­ чины, которая соответствует сказанному изменению дав­ ления».

Для правильности показаний пружинного индикатора необходимо, чтобы поправка (27.37) была весьма мала; это в свою очередь означает, что собственный период систе­ мы индикатора должен быть малым по сравнению с дли­ тельностью приложения силы, т. е. поршень индикатора следует делать по возможности более легким, а пружину — весьма жесткой. Таковы основные требования, которыми нужно руководствоваться при конструировании индикато­ ров давления.

Посмотрим, в какой мере было соблюдено это требование в индикаторах Виккерса. А. Н. Крылов приводит следую­ щие данные индикатора: вес пружины 0,817 кгс, вес порш­ ня 0,092 кгс, длина пружины /= 1 2 см, коэффициент жест­ кости пружины с=97,1 кгс/см. По этим значениям находим приведенную массу по Рэлею

m -	(0.092 + ~ • 0,817^981 = 3,71 1 0 ^ ^ -
и угловую	частоту свободных колебаний

= 511 с - -

Соответственно этому собственный период индикатора ра­ вен Т0—0,012 о. (В своем более точном расчете А. Н. Кры­ лов получил почти этот же результат Го^О.ОЬЗ с.) Такой индикатор будет правильно записывать изменения даале

218

ния лишь при условии, что длительность нарастания дав­ ления значительно больше, чем 0,012 с. На самом же деле в конструкции, исследованной А. Н. Крыловым, величина (, была не большей, а даже меньшей, чем период 7V Это оз­ начает, что давление воспринимается индикатором как быст­ ро изменяющаяся нагрузка. В данном случае индикаторы

Виккерса		должны		были
дать	искаженные			показа­
ния.
На рис.		27.6	показаны
кривые, рассчитанные А. Н.
Крыловым		для этого слу­
чая. Сплошной линией изо­
бражено истинное				измене­
ние	действующей		силы, а
штриховой		линией — соот­
ветствующее изменение уп­
ругого перемещения. Здесь
ясно видно, что по такой
записи перемещений нель­					Рис. 27.6. Зависимости	действую­
зя	судить	об	истинном		щей силы и показаний	индикатора
законе изменения силы.					от времени

Формула А. Н. Крылова выведена в работе «Некоторые замечания о крешерах и индикаторах» (см. его Собр. трудов, т. IV, М„ 1937). Ее вывод содержится также в книге «О некоторых дифференциальных уравнениях математической физики, имеющих приложение в техниче­ ских вопросах» (§82—85); в этой же книге (§ 123) рассматривается зада­ ча о радиальных колебаниях ствола артиллерийского орудия, о кото­ рой было упомянуто в начале настоящего параграфа.

§28. Четыре способа решения задачи

одействии периодических мгновенных импульсов

Для развития любого раздела механики немалое зна­ чение имеют поиски улучшенных алгоритмов и совершенст­ вование расчетных методов даже для ранее решенных задач. Очищенное от лишних примесей ясное и краткое решение называют изящным и даже элегантным (А. А. Анд­ ронов). «Красота в математике идет рука об руку с целе­ сообразностью: мы редко называем изящными рассужде­ ния, не приводящие к законченной цели или более длинные, чем это представляется необходимым»,— писал Н. Г. Че­ ботарев *) в «Математической автобиографии».

*) Николай Григорьевич Чеботарев (J894— 1947) — профессор Казанского университета. автор ряда работ по алгебре, теории чисел, теории фуикций, член-хорреспоидент АН СССР (с 1929 г.).

219

Сказанное имеет непосредственное отношение к со* держанию настоящего параграфа, в котором будут по­ следовательно рассмотрены четыре варианта решения од­ ной и той же задачи. Все эти варианты можно встретить в современной литературе, хотя подлинно изящен лишь один из них. Он известен более полувека, но по непонятным при­ чинам до сих пор не получил заслуженного распростране­ ния.

В некоторых технических вопросах приходится иметь дело с кратковременными силами, действие которых по­ вторяется через относительно большие одинаковые проме­ жутки времени. В этих случаях часто пользуются идеали­ зированным представлением о мгновенных импульсах и сводят задачу к исследованию действия периодически при­ кладываемых, равных друг другу мгновенных импульсов S. Рассмотрим и обсудим четыре варианта решения такой задачи.

Первый способ. Пусть 7 — период приложения импуль­ сов; тогда О, 7, 27, . . .— моменты приложения нулевого (начального), первого, второго и т. д. импульсов. Рассмот­ рим сначала действие только одного начального импульса. В этом случае дифференциальное уравнение движения

в9 + С 9=0		(28.1)
имеет решение
q = ~ s \n p t	( 0 < / < Т )	(28.2)

{p=Vc!a — частота свободных колебаний),которое удов­ летворяет как уравнению (28.1). так и начальным условиям (т. е. условиям возникновения движения непосредственно после исчезновения начального импульса):

9 = 0 , 9 = 4 .

(28.3)

Движение, вызываемое только следующим первым импуль­ сом, можно получить из того же выражения (28.2) в виде

q = ~ sin p (t~ T )

(7 < / < 27).

(28.4)

Аналогично можно найти результат действия следующих импульсов. Чтобы получить общее движение, нужно сло­ жить эти «парциальные» движения. Для одного типичного интервала времени 1«7, («+1)71, т. е. между моментами