книги / Устойчивость и колебания упругих систем. Современные концепции, парадоксы и ошибки
.pdfгде А — ордината точки приложения силы Р. Для упроще ния выкладок мы не учитываем различия между углом ф и его функциями sin ф и tg ф (в данном случае речь идет
о малых, но конечных углах ср и такое различие все же
существует).
Из уравнения (8.8) находим л и н е й н у ю |
зависи |
мость |
|
р==£У - о / ф |
(8.9) |
Эта зависимость справедлива лишь до тех пор, пока эпюра реакций основания имеет вид трапеции, как это показано на рис. 8.3, в. Однако с ростом угла ф в конце концов на ступит такое состояние, когда реакция у левого края по дошвы обратится в нуль, а затем — с дальнейшим увеличе нием угла ф — эпюра реакций основания приобретает вид. изображенный на рис. 8.4, 6 (левая часть подошвы фунда мента отрывается от основания).
Опуская элементарные выкладки, приведем оконча тельные выражения для случая, когда подошва фунда мента — прямоугольник со сторонами а и Ь, так что J= =AaV 12. Угол ф, при котором происходит переход от тра пециевидной эпюры к треугольной, определяется формулой
|
Ф ,= 2Q |
|
(8. 10) |
|
с & Ь ' |
|
|
причем соответствующее значение силы равно |
|
||
р = 0 £ . Л _ R L ] |
(8-И) |
||
1 |
6ft V 1 |
eJ Г |
|
При дальнейшем росте угла ф момент реакции осно вания определяется выражением
<8 | 2 >
где I — ширина зоны контакта основания с подошвой:
I |
- / 1 F - |
|
|
I8 1 3 » |
Таким образом, вместо |
уравнения |
(8.8) |
получим |
|
- м - < № + |
е ( 4 ~ у |
/ 5 |
Г) = ° - |
да-'in |
Это уравнение н е л и н е й н о |
связывает горизонтальную |
|||
силу Р с углом ф: |
|
|
|
|
Р |
h \ 2 |
\ / W |
(8.15) |
|
|
3 V |
ybc |
|
7)
На рис. 8.5 графически представлены линейная зависи
мость |
(8.9) и |
нелинейная |
зависимость |
(8.15), образую |
щие |
кривую |
состояний |
равновесия |
рассматриваемой |
колонны.
Прежде всего отметим, что нелинейный характер вто рой части кривой есть непосредственное следствие физиче ских условий взаимодействия фундамента с основанием — при отрыве подошвы фундамента от основания момент рас
|
|
|
пределения |
сил |
реакций |
|||
|
|
|
перестает |
быть |
п р о п о р |
|||
|
|
|
ц и о н а л ь н ы м |
углу |
||||
|
|
|
наклона |
колонны |
(кон |
|||
|
|
|
структивная нелинейность). |
|||||
|
|
|
Кривая Р—ф имеет мак |
|||||
|
|
|
симум, определяющий наи |
|||||
|
|
|
большее |
значение |
силы |
|||
|
|
|
Р—Р«р, при котором еще |
|||||
v |
|
р |
возможно |
|
равновесие |
|
ко- |
|
р |
лониы; при |
Я > Р кр не |
су- |
|||||
_ |
со- |
шествует |
равновесных |
со- |
||||
Рис. 8.5. |
кривая ^равяовесяых |
^ 0* , ^ |
Падающий |
учас |
ток (отмеченный крести ками) выражает совокупность неустойчивых состояний равновесия.
На том же рис. 8.5 горизонтальной штриховой прямой показан уровень, характеризующий опрокидывающую силу Рт, вычисленную в предположении абсолютной жесткости основания, т. е.
(8.16)
Эго значение следует из (|юрмулы (8.1 , если положить в ней fr= l. Можно убедиться в том, что максимум кривой на рис. 8.5 всегда расположен ниже прямой (8.16). Действи тельно, максимум выражения (8.15) достигается при сле дующем значении угла отклонения колонны:
‘•W™ |
~тПг » |
(8-17) |
которому соответствует кри iичсская нагрузка
<8.18
всегда меньшая, чем сила, данная выражением (8.16).
П
Пусть дана некоторая сила Р<Ркр. Коэффициентом устойчивости системы естественно считать отношение Рир/Р, показывающее, во сколько раз предельная сила больше фактически действующей силы. Но если воспользоваться выражениями 0 .1) и 0.16). то для коэффициента устойчиво сти получится большее значение PJP. Отсюда следует, что формула (8.1) п р е у в е л и ч и в а е т действительный запас устойчивости.
Это преувеличение может оказаться очень значитель
ным; оно зависит от характерного отношения cJ/(Qt). Так, например, даже для колонны, характеризуемой весьма
высоким значением отношения c//(Q /)=8, применение фор мулы (8.1) повлекло бы за собой двукратную ошибку.
Стремясь к наиболее отчетливому выявлению роли податливости основания, здесь мы сознательно не счита лись, по крайней мере, со следующими четырьмя обстоя тельствами;
1. При записи уравнения равновесия мы заменили три гонометрические функции sin ф и tg ф значениями самого угла <р. При решении задачи Эйлера, т. е. при выводе фор мулы (8.6), такая замена не только допустима, но и естест венна, поскольку по смыслу вывода рассматриваются сколь угодно малые углы ф. Однако при построении кривой равновесных состояний, относящейся к случаю действия горизонтальной силы Р, указанная замена, вообще говоря, влечет за собой некоторые количественные ошибки.
2. Собственная жесткость колонны считалась бесконеч но большой; при учете деформативности самой колонны вся кривая равновесных состояний расположится ниже кри вой, изображенной на рис. 8.5.
3.При больших осадках основания зависимость Вин клера плохо описывает реальные свойства основания. Упругопластические свойства основания также будут спо собствовать уменьшению ординат части кривой равновес ных состояний.
4.Сила Р может менять свое направление, следуя повороту колонны (особенно это ясно, например, в случае
давления воды); этот интересный вопрос был исследован Я. Б. Львиным в 1950 г.
Хотя в практических расчетах названные обстоятельства необходимо учитывать, но это будут уточнения количеств венного, а не качественного характера.
Работа Н. П. Павлюка опубликована в сборнике «Труды Ленин градского института инженеров коммунального строительства» (Л.? 01Ш 1, 1935, вып. II).
73
Статью Г. Крамера см. в журнале «Zement* (1936, № 4, с. 621 Статья Я. Б. Львина «Об устойчивости жестких стен н массивов на упругом основании при действии произвольно направленных, в гом числе поворачивающихся, сил» опубликована в сборнике «Труды Во ронежского инженерно-строительного института» (1950, выл. 2).
§ 9 . Об особенностях «деформационных расчетов»
В работе «Об устойчивости упругих систем» Г. Циглер, характеризуя различные методы исследования устойчиво сти, в частности, пишет: «...некоторые задачи устойчивости могут быть решены „методом неидеальиостей", . . . этот ме тод характеризуется следующим вопросом: какова вели чина силы, при которой прогибы неидеальной системы становятся неограниченно большими?» Здесь под нсидеальностями понимаются различные отклонения от идеализиро ванных условий, характерных для эйлеровой постановки
Рмс. 9.1. а) Схема внелентренно нагруженного стержня; б) кривая
равновесных состояний, соответствующая уравнению (9.4); а) кривая равновесных состояний, построенная с учетом нелинейностей системы
задач устойчивости. Так, к неидеалыюстям сжатого стерж ня относятся начальные эксцентриситеты сжимающей силы, начальная погибь оси, асимметрия физических свойств (воз никающая, например, вследствие остаточных напряжений от сварки, прокатки или правки) и т. л.
Существенная особенность решения по методу неидсальностей состоит в том, что отклонения от исходной кон фигурации системы (например, изгиб оси сжатого стерж ня) возникают с с а м о г о н а ч а л а нагружения я — в
отличие |
от метода Эйлера — появление таких отклоне |
ний не |
может служить признаком потери устойчивости. |
74
Некоторые авторы явно предпочитают метод нендеальностей и учитывают в анализе те или иные начальные несовершенства даже в тех случаях, которые в принципе допускают эйлерову постановку проблемы. Так, в книге «Устойчивость упругих систем» С. П. Тимошенко систе матически избегает эйлеровой постановки и, например, критическую силу для гибкого стержня определяет из решения задачи о внецентренном сжатии. При этом основ
ной ход выкладок состоит в следующем (для |
стержня |
с шарнирно опертыми концами, рис. 9.1. а). |
|
Вместо однородного дифференциального уравнения, соот |
|
ветствующего эйлеровой постановке задачи: |
|
~ + a h > ^ 0 |
(9.1) |
(v=v(z) — прогиб точек оси стержня, a*=Pf(EJ), Р — сжимающая сила, EJ — жесткость при изгибе), рассмат ривается неоднородное дифференциальное уравнение
Ijy + о*о * а*е, |
(9.2) |
в котором е — эксцентриситет сжимающей силы. Решение уравнения (9.2), удовлетворяющее граничным условиям задачи, имеет вид
где I — длина стержня. За последовательным развитием изгиба можно проследить, например, по значениям прогиба в середине пролета, т. е. при z=0,5f:
( 9 ' 4 )
Из последнего выражения видно, что с ростом безразмер ного параметра al (и соответственным увеличением сжи
мающей силы) прогиб монотонно увеличивается и при
о/«=л |
(9.5) |
становится неограниченно большим; график, иллюстрирую щий зависимость (9.4), представлен на рис. 9 .1,6 . Под-
75
ставляя в (9.5) выражение а, находим соответствующую этому критическому состоянию силу:
(9.6)
которая, как видно, совпадает с наименьшей эйлеровой силой; кстати заметим, что результат (9.6) ие зависит от
начального эксцентриситета.
В пользу такого метода (называемого иногда деформа ционным расчетом) обычно выдвигается то соображение, что идеальных условий практически быть ие может и учет неидеальностей приближает постановку задачи к реальным условиям.
Но для того чтобы в самом деле приблизить решение к действительности, необходимо пользоваться полным вы
ражением для кривизны изогнутой оси, т. е; учитывать
геометрическую нелинейность (заметим, что это вовсе не требуется при исследовании устойчивости с помощью дифференциального уравнения (9.1), где по смыслу задачи прогибы v(z) бесконечно малы).
Если не обращать внимания на это обстоятельство, то деформационный расчет приобретает несколько условный характер и уже не может претендовать на хорошее при ближение к реальным условиям. Так, если учесть истинные нелинейности процесса, то для внецентреннего сжатия шар нирно опертого стержня вместо кривой, характеризующей связь Р—о, представленной на рис. 9.1, б, получится кри вая, изображенная на рис. 9.1, а; в принципе ома совпадает с кривой на рис. 8.5 предыдущего параграфа, где задача деформационного расчета решалась с учетом конструктив ной нелинейности. Поэтому, как правило, деформационный расчет имеет смысл лишь в нелинейной постановке.
Деформационный расчет обладает еще одной особен ностью, которая с большой отчетливостью выявляется при анализе следующего случая.
В первом томе книги Бюргермейстера и Штойпа «Теория упругой устойчивости» (1957) в качестве примера была решена задача о впепентренном сжатии стержня, изобра женного на рис. 9.2, а, В принятых выше обозначениях дифференциальное уравнение изогнутой оси стержня запи сывается так:
(9.7)
76
Решение уравнения (9.7), удовлетворяющее граничный условиям задачи, имеет вид
v = e[co saz — (1 + cos a / ) - f j — l] |
(98) |
и описывает антисимметричную относительно середины пролета форму изогнутой оси. Так. например, при z = «0,25/, т. е. в четверти пролета, прогиб составляет
На рис. 9.2, б изображен график, соответствующий этой зависимости.
Конечно, по адресу этого решения могут быть повторе ны высказанные выше упреки, касающиеся пренебрежения
Рнс. 9.2. а) Схема внсиентренно нагруженного стержня; б) кривая
Равновесных состояний, соответствующая уравнению (9.9); в) кривая
равновесных состояний, отражающая бифуркацию форм равновесия
о точке а; г) кривая равновесных состояний системы с «вторичной» неидеальностыо
нелинейными эффектами, но не об этом сейчас пойдет речь; график па рис. 9.2, б приводит к неожиданному — и, нужно сказать, п о д о з р и т е л ь н о м у * —выводу
77
о том, что неустойчивость |
наступает лишь при оЛ—2л, |
|||
т. е. при силе |
|
|
|
|
о |
W Ej |
|
(9.10) |
|
~ |
Р |
» |
||
|
вчетверо превосходящей наименьшее эйлерово значение. |
||
Судя |
по графику, при в /= л , |
т. е. при первой эйлеровой |
силе, |
рассматриваемая система |
не имеет никаких опасных |
тенденций и отмеченное на графике состояние равнове сия о — самое заурядное с качественной стороны, ничем
не отличающееся от других состояний равновесия, харак теризуемых другими точками кривой.
Над этим стоит задуматься: ведь получается, что бла
годаря |
действию антисимметричных концевых |
пар ± Р е |
|
стержень как бы способен б л а г о п о л у ч н о |
м и н о |
||
в а т ь |
о п а с н о с т ь |
потери устойчивости при первой |
|
эйлеровой силе. Может ли это быть? |
|
||
Для |
выяснения этого |
вопроса необходимо углубиться |
в существо деформационного расчета. Дело в том, что этот метод устанавливает совокупность равновесных состояний, отвечающих различным уровням нагружения, но по своей природе не дает возможности судить об устойчивости этих состояний. Поэтому может оказаться, гго какое-либо из
указанных состояний (ничем не примечательное на графике рис. 9.2, б) само по себе неустойчиво. Мы имеем здесь в виду,
например, возможность того, что наряду с таким состоя нием равновесия при той же нагрузке существует смежная форма равновесия. В сущности, такая возможность уже
обсуждалась выше, в конце § 5.
Для контроля устойчивости того или иного состояния равновесия нужно проверить, не существует ли функция,
которая отличается от (9.8), но удовлетворяет тому же дифференциальному уравнению (9.7). Обозначим эту функ цию через v(z)-h6v(z), где 6v(z) — вариация функции v(z).
Если окажется, что при данном значении нагрузки сущест вует не равная тождественно нулю функция 6о(г), то форма
равновесия v(z) должна быть признана неустойчивой',
если же бо(г)^0, то функция v(z), как единственно удовле творяющая дифференциальному уравнению (9.7), описы вает устойчивое состояние равновесия. Подставим в диффе ренциальное уравнение (9.7) сумму Н-б»:
' + аг (ь+ |
( у - 1) . |
(9.U, |
78
Если теперь вычесть уравнение (9.7) из уравнения (9.11), то мы получим следующее дифференциальное уравнение для вариации 6о:
(Р (Sv) |
f а*(6о) = |
0. |
(9.12) |
ёг* |
|||
Заметим, что полученное |
уравнение |
полностью |
совпадает |
с уравнением (9.1), к которому мы пришли бы, забыв об эксцентриситетах и исследуя устойчивость прямолинейной формы равновесия центрально нагруженного стержня по методу Эйлера. При постепенном росте нагрузки (параметра а/) уравнение (9.12) имеет только тривиальное решение
би*эО |
(9.13) |
лишь до тех пор, пока а /< я . При а(=*я появляется не тривиальное решение дифференциального уравнения (9.12), удовлетворяющее граничным условиям задачи:
6 o = « C sin ^ . |
(9.14) |
Следовательно, как только будет достигнут уровень на гружения Ы—я (при Р —я 8£ / // г), исследуемая форма равновесия (9.8) становится неустойчивой. Соответственно кривая Р—v в действительности должна выглядеть так, как это показано на рис. 9.2, в (нелинейности не учтены!).
Хотя только что приведенное решение внешне выгля дит, как решение задачи Эйлера (сравните дифференциаль ные уравнения (9.1) и (9.12)), но необходимо иметь в виду,
что нашим решением |
контролируется |
устойчивость |
и з о |
|
г н у т о й ф о р м ы , |
определяемой |
выражением |
(9.8), |
|
а не устойчивость |
п р я м о л и н е й н о й |
ф о р м ы |
||
равновесия. |
|
|
|
|
Этот пример показывает, что, пользуясь деформацион ным расчетом и игнорируя исследование устойчивости в прямом смысле слова, мы можем ошибочно оценить истин ные свойства системы.
Впрочем, если ввести в рассмотрение «вторичную» неидеальность в виде некоторой малой разницы в экс центриситетах на концах стержня, то получится кривая Р—о, изображенная на рис. 9.2, г, весьма близкая к кри вой, представленной на предыдущем рис. 9.2, в.
Любопытно отметить, что Бюргсрмейстер и Штойп, получив решение в виде (9.8), не смогли правильно истол ковать этот результат. Понимая, что при а /= я стержень обязательно должен потерять устойчивость, они — вместо
79
анализа устойчивости решения (9.8) — сгреблись обиаружить это по структуре выражения (9.8). Указанным авто рам показалось, что второй член в квадратных скобках выражения (9.8) становится неопределенным при а /= л , и на этом основании они заключили, что при al—п насту пает потеря устойчивости. Бюргермейстер и Штойп не за метили, что после раскрытия неопределенности этот член оказывается равным нулю и решение принимает вполне определенный вид:
' t - < ? ( c o s 2 + £ - l ) . |
(9.15) |
В частности, при г—0,251 прогиб равен |
|
о(1)= *0,207е. |
(9.16) |
Как мы видели выше, это вполне определенное и конеч ное решение неустойчиво; но, чтобы это заметить, недоста
точно рассматривать выражение (9.8) безотносительно к дифференциальному уравнению (9.7).
Все изложенные выше соображения справедливы не только для задач о продольном изгибе стержней. Вспом ним, например, задачи, решенные в § 4. Все они были спе циально сформулированы таким образом, чтобы можно было обнаружить потерю устойчивости в эйлеровом смысле. Но нередко те же системы могут обладать теми или иными неидеальностями, и тогда анализ поведения систем требует решения неоднородных уравнений.
Рассмотрим пример с трубопроводом (рис. 4.10) и убе димся, что и в этом случае метод неидеальностей может обнаружить свою недостаточность. Допустим, что ось трубопровода в исходном состоянии имеет S-образную
форму: |
|
|
# |
, - / s i n ^ . |
(9-17) |
Если обозначить через |
y—y{z) прогибы, |
возникающие |
при деформации трубопровода, то изогнутая ось опишется суммой уо+у. Соответственно интенсивность сил инерции
жидкости определится |
выражением |
|
|
||
__qv* |
<j*(y+j/o) |
qv* f4яа |
■ 2яг |
qifi |
(Ру |
g |
dii |
** g ' a |
i |
g |
(9. 18) |
80