книги / Микрополосковые излучающие и резонансные устройства
..pdfграничных условий = 0, если стенка в плоскости у = О электри ческая и gy = 1, если стенка магнитная. Аналогично для плоскости х — 0 введем индекс gx. Область четвертой части поперечного сече ния (рис. 45, г) разделим на две частичные области /, //. Граница раздела диэлектрических слоев нормальна линии сшивания частич ных областей. В качестве «основной» составляющей электрическо
го |
вектора |
Герца выберем |
^-компоненту: П£ (г) = П* (*, у) х |
X |
_ехр {ihz\, |
где h — искомая |
постоянная распространения основ |
ной собственной волны связанных РДЛ. Функции П = Щ (х, у) должны удовлетворять граничным условиям на контуре Г попереч ного сечения области (рис. 48, а), если стенка электрическая
П = 0, *■ = const; дП/ду= 0, у = const, |
(2.123) |
если стенка магнитная —
дП/дх = 0, х = const; П = 0, у = const. |
(2.124) |
Кроме условий (2.123), (2.124), необходимо в каждой из частич ных областей обеспечить непрерывность тангенциальных компонент электромагнитного поля
81П? = ваЩ; дПУду = дЩ/ду, |
(2.125) |
где П/, / = 1, 2 — электрический вектор Герца в / и / / |
областях |
соответственно. |
|
Поперечные волновые числа k4yn определим из системы транс цендентных уравнений, которая получается из условий непрерыв ности тангенциальных компонент электрического и магнитного полейпри у — d:
к2(е, - e j + (*;,)’ - (kh f = 0, |
I |
№ «Г1tg к’ф, + (А > .) *g |
- л?,/2) = 0, I |
где kyi — поперечные волновые числа для верхнего слоя диэлектри
ка (рис. 45, г) в соответствующих частичных областях; |
— то же, |
для нижнего слоя; bx = a — d. |
|
Из этих же условий непрерывности находят связь между ампли тудами волн в 1 (верхней) и II (нижней) областях (рис. 45, г). За пишем поле на границе (х = g) сшивания решений для частичных
областей l u l l через одну «/-составляющую |
|
|
||
/1(У) ехР {ihz), |
# £[0, |
s); |
(2.127) |
|
Ey\x—g — 0, |
y£ls, |
а]. |
||
|
Из условия непрерывности 2-компоненты магнитного поля на той же границе* = ^запишем интегральное уравнение относительно
неизвестной функции Д (у) из формулы (2.127)
у |
у |
Г f Iу ) к* (I/) Yl (*/')dy = 0. (2.128) |
k |
k |
^ hS+ik* J ] Х*(8) о3 |
Для алгебраизацин условия (2.128) по методу Галеркина вос пользуемся системой кусочно-постоянных функций, представив
h (у) в виде |
L |
|
Ш = £ |
+ S Vi/cpi,, |
(2.129) |
/ = 1 |
/ = 1 |
|
где Vtj, i = 1, 2 — неизвестные коэффициенты, равные значению поля, например, в центре /-го отрезка для 1 и 11 слоистых областей соответственно (рис. 45, г); <pi;- — определены на отрезке [d, si; q*/ — на отрезке [0, d] и имеют вид
1, € (У,-ь f//);
ф1/ = Фа/ =
О, г/ £ (i/y-i, £//)-
Схема получения искомой СЛАУ традициоина. Подставим урав нение (2.129) в формулу (2.128) и вычислим интегралы. Умножим соотношение (2.128) сначала на ср^ и проинтегрируем его от 0 до d, затем — на <pi/. Проинтегрируем результат от d до s. СЛАУ отно сительно коэффициентов Уц, i = 1,2 имеет вид
Л1 |
L |
10 |
£ |
V 2/D}! + £ |
V,,D }( = 0; |
/=i |
|
i=i |
. |
|
|
|
(2.130) |
М |
|
L |
0. i = 1, 2 , |
, M , |
|||
£ |
V J /D/1 + £ |
V,iDf, = |
|
||||
£=1 |
|
/=1 |
|
|
|
|
|
где матрицы ||D/i |
f, m, |
l = 1,2 |
получаются |
в |
результате |
только |
|
что описанных процедур. |
|
|
|
|
|||
Дисперсионное уравнение/Приравняв |
определитель |
системы |
(2.130) нулю, получим искомое дисперсионное уравнение для опре деления постоянной распространения системы связанных РДЛ. Для получения удовлетворительных (по крайней мере с точки зре ния внутренней сходимости) результатов необходимо и достаточно в разложениях (2.129) учитывать пять членов. Быстрая сходимость результатов (при увеличении числа кусочно-определенных функ ций в формуле (2.129)) свидетельствует об удачном выборе системы собственных волн слоистого волновода, по которым проводились
разложения. |
волны в связанной |
системе |
Зависимость замедления основной |
||
РДЛ (е = 1 0 ; 2а X 2b = 1 X 4,6 см; |
dla = 0,3; s/a = |
0,6; f = |
= 9,375 ГГц) от расстояния между отдельными РДЛ (по х) показана на рис. 46. Возможны два типа воли: при электрической стенке в плоскости х = 0 нечетная волна (кривая 2), при магнитной — чет-
ная (кривые /, 5). Замедление основной волны в предельных случа ях при glb= 0 соответствует замедлению основной волны симметрич ной РДЛ, при gib = 1 — 1ЛИю-волне симметричного трехслойного волновода. Для нечетной волны характеристика замедления сим метрична. Для основной четной волны (кривая 1) замедление с уве личением расстояния между одиночны
ми РДЛ уменьшается, так как ребра h/k сдвигаются в область менее интенсивно
го поля. Начальные (при малых gib) 1.2 участки кривых 1, 3 заметно отличают
ся от начального участка кривой 2. Это |
|
|
|
объясняется тем, что при магнитной hO |
|
|
|
стенке в плоскости х = О влияние «элек |
|
п |
|
трических» ребер более заметно по срав |
8,8 J |
|
|
нению с несимметричной РДЛ, когда |
|
|
|
«электрическое» ребро находится вблизи |
о,6 |
|
|
«электрической» стенки (в области ела- |
0.8 |
gib |
|
бого поля). |
|
||
|
|
|
|
Вопрос об адекватности модели ре |
Рис. 46. Зависимость |
замед |
|
альной структуре всегда первостепенен. |
ления основной нечетной (?) |
||
Зависимость замедления четной и нечет |
волны и |
двух четных |
(1,3) |
волн связанных РДЛ от рас |
|||
ной волн в связанной РДЛ от расстояния |
стояния |
между отдельными |
|
(2Ь) между виртуальными вертикальны |
|
РДЛ |
|
ми стенками показана на рис. 47 Бо ковой экран влияет на основную четную волну в меньшей степени,
чем на нечетную. Объясняется это тем, что поле четной волны имеет в центре структуры максимум и влияние боковых стенок на него меньше, чем у не
0/к |
|
|
h/k |
|
|
|
четной волны. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Существенной харак |
||
1,0 |
— |
— — „ |
tfi |
-{ |
|
|
теристикой |
РДЛ |
явля |
1 |
|
|
|
ется зависимость замед- |
|||||
|
|
1г 26 |
|
|
|
|
Рис. 47. Зависимость |
замед |
|
8.6 |
|
0.5 |
|
|
|
ления нечетной (с) н четной |
|||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
г |
'■ |
|
(б) волн связанных РДЛ от |
||
|
|
■J— |
|
|
расстояния между виртуаль |
||||
|
|
L |
|
|
|||||
|
___ 1___ 1___ 1 |
______ i |
ными стенками при gfb= 0,6 * |
||||||
°*11 |
0.2 Q4 |
0,6 0.8 Дсм |
0 |
ОЛ |
Ц4 0,8 |
0.8 Оси |
(остальные данные такие же, |
||
|
|
|
|
|
б |
|
как для |
рнс. 46) |
|
ления от отношения s/a (рис. 48). Кривые имеют возрастающий характер по мере уменьшения s. При s = const замедление нечетных B O T H (gx = 0) с ростом расстояния между РДЛ увеличивается, а четных (gx = 1 ) — уменьшается. Это-связано с различным распре делением полей четных и нечетных волн по поперечному сечению РДЛ. Левые участки кривых (s/a 1) соответствуют замедлению волн в слоистом волноводе.
Аналогичные зависимости построены на рис. 49 для связанных РДЛ (ех = 10; е8 = 3; 2а X 26 = 1 X 20 см2; / = 2 ГГц; d =я
=1 мм).
Существенный интерес представляют связанные РДЛ, когда
между ребрами одиночных РДЛ размещен дополнительный слой
Рис. 48. Зависимость замедления |
четных и нечетных волн связанных |
|
РДЛ от высоты ребер (данные такие же, как |
и для. рис. 46) (------------- |
|
четные;-------------- |
нечетные |
волны) |
Рис. 49. Зависимость замедления четной (/) и нечетной (2) волн связан ных РДЛ с дополнительным диэлектрическим слоем между ними от высоты ребер
диэлектрика (е2). На основе таких структур строят (см. гл. 4) на правленные ответвители с очень высокими характеристиками по стандартной технологии плоскостных ИС. Используя в качестве еа сегнетоэлектрик, можно получить устройство с электрически перестраива емыми параметрами, а если в качестве еа применен ак тивный слой (например, из
Рис. 50. Зависимость замедле ния нечетных (а) и четных (б)
волн связанных РДЛ |
от |
е2: |
gib = 0,2; е «= 10 (остальные |
дай» |
|
ные такие же, как для |
рис. |
46) |
арсенида галлия), то можно реализовать активный прибор (усилитель, генератор и т. п.); удобно встраиваемый в ОИС КВЧ. Как видно из рис. 50, при увеличении е2 возрастают замед ления и четной (б), и нечетной (а) основных волн (кривые 1).
Замедление обеих волн стремится в пределе к значению что
свидетельствует о перекачке энергии из слоя с гх в слой с е2. Полеконцентрируется в слое между РДЛ. Этот эффект можно использо вать при реализации, например, межэтажного перехода в ОИС.
Кривая 1 для нечетной волны (рис. 50, |
а) имеет «выпуклость вниз»* |
а кривая 1 для четной (рис. 50, б) |
имеет вначале «выпуклость |
вверх» и далее следует точка перегиба. |
|
На рис. 50 построены характеристики первой высшей волны (кривые 2). Причем для выбранных значений геометрических разме
ров (gib — 0,2; |
ех = |
10) РДЛ |
нечетная волна (рис. 50, а), возник |
нув при е2 « |
1,4, |
остается |
все время волноводной, а четная |
(рис. 50, б) существует и при е2 — 1, оставаясь волноводной вплоть
до еа л* 7, при еа > |
7 она переходит в поверхностные волны. |
|
Таким образом, |
изменяя проницаемость |
слоев диэлектриков |
в системе связанных РДЛ, можно подбирать |
«грубо» необходимую |
величину отношения фазовых скоростей четной и нечетной волн.
8. НЕОДНОРОДНЫЕ ПОЛОСКОВЫЕ ЛИНИИ *
Под неоднородной линией (НЛ) понимается система с распреде ленными по одной координате параметрами, зависящими от этой
координаты. |
Конструкции |
полосковых НЛ показаны на рис. 5L |
||||||
В отличие от однородной линии |
|
|||||||
(ОЛ) |
волновое |
сопротивление |
|
|||||
НЛ зависит от длины х. Изменяя |
|
|||||||
ширину |
полоски |
вдоль |
линии, |
|
||||
можно получать переменное вол |
|
|||||||
новое сопротивление. В связан |
|
|||||||
ных |
НЛ |
переменная связь |
до |
|
||||
стигается изменением расстояния |
|
|||||||
между полосками |
или |
ширины |
|
|||||
диафрагмы. |
Неоднородные |
ли |
|
|||||
нии обладают следующими пре |
Рис. 51, Конструкция неоднородных' |
|||||||
имуществами. При использова |
||||||||
полосковых линий: |
||||||||
нии |
НЛ в качестве резонаторов |
а — мнкрололосковая; б ~ связанная мин- |
||||||
можно получить заданное распо |
рополосковая; а — многослойная, связан |
|||||||
ная через профилированную диафрагму |
||||||||
ложение (на оси частот) резонанс |
|
ных частот, |
выбирая закон изменения волнового |
сопротивления. |
Это позволяет разрядить спектр колебательных |
систем СВЧ без |
|
уменьшения |
габаритных размеров резонаторов. |
Другим преи |
муществом является возможность получения большого входного сопротивления. При использовании НЛ в качестве элементов филь тров удается реализовать гораздо более широкие полосы загражде ния и большое затухание на заранее заданных частотах, чего невоз можно добиться, используя только ОЛ. Наиболее пблно преиму-
* Написан совместно с А. В. Фроловым.
где F (/) — оригинал по Карсону — Лапласу от {г (р, xJ/W (т,) —
—1) Р• Далее из интегрального уравнения
f(*> У)+ j f(s, у)К(х, s)ds + K{т, у) = 0, у < х
определяем волновое сопротивление НЛ
W{x) = W(0) 1 + J К (т, |
—2 |
t) dt |
|
0 |
J |
Уравнения (2.132) и (2.133) можно использовать для определе ния волнового сопротивления линий с потерями, В этом случае в указанных уравнениях следует заменить
W (т) W. (т„) = V(L, + |
R M W i + О М |
Н- %iIP) {Cl + |
Gjp) dx\ г (т) -э- 2„ (тп). |
о
Для линии с малыми потерями, когда сo L ^ R±; фСг^ Glr выражения для №п(тп), V zn(tn) упрощаются! WB(тп) « W (тп); г„(*п) » z (тп); тп « т + Дт, где
Дт = ~2jj- j* (RiC1+ LJGJ)/ У L\CXdx.
о
Из уравнения (2.133) следует, что при малых потерях в линии и в нагрузке отрезок НЛ в окрестности резонансной частоты можно представить в виде колебательного контура с потерями. Причем ввиду малости потерь, как следует из уравнения (2.133), можно считать, что резонансные частоты линии без потерь cooit равны ве щественным значениям резонансных частот линии с потерями. Обо
значим через Фк = |
Фок + /соо* |
резонансные частоты линии с поте |
||
рями. Тогда со,/,.,, « |
соо^з. гДе U— время задержки линии длиной I. |
|||
Отсюда находим добротность резонатора на НЛ |
|
|
||
|
©ок |
У Ш |
dx. |
(2.134) |
|
2(o0fc |
|||
|
|
|
Выразим добротность через волновое сопротивление и затухание
J_ |
__l_ |
|
Q ~ |
a>0kt9 |
о |
|
L0 |
(2.135)
где апр {х) = Ri (x)/2W (х)\ ал (х) = С?! (х) W (х)/2 — затухание, об- •условленное проводником и диэлектриком.
Связанные неоднородные линии. Процессы в связанных НЛ беа потерь описываются системой матричных уравнений
— d[u\fdx = p[L\[i]\\
(2.136)
— d [i\Jdx = /? [С] [«], J
где Ы , [i] — матрицы-столбцы размерности п напряжений и токов;
|
|
Lin |
|
|
c * c u |
Cln |
|
|
|
|
^зл^зз • • • L>2n |
; |
[C) = |
^Sl^SS |
C%n |
|
|
||
|
_L>n\Lni .. , |
Lnn^ |
_Cni Crt2 |
Cnn_ |
|
||||
Матрицы [L\ и 1C] являются |
симметрическими, т. е. L,,- — Д ; |
||||||||
Сц = |
Сц. Все элементы матрицы [ZJ должны быть положительны- |
||||||||
|
и, |
т |
| |
т |
ми, а матрица [С1 дол |
||||
|
n I, |
|
жна |
быть |
гипердоми- |
||||
- |
*51( it |
|
In*2 |
нантной. Переменное ма |
|||||
in |
1 |
|
|
гнитное поле, окружа |
|||||
|
|
|
|
ющее систему идеальных |
|||||
|
MX пч |
In |
|
hn |
проводников, |
должно |
|||
W/ |
" 1 -L |
\ l b |
соответствовать электро |
||||||
Г |
|||||||||
|
|
|
|
|
статическому |
полю той |
|||
Рис. 52. Связанная неоднородная линия, состо |
же системы, |
если |
заме |
||||||
нить |
магнитные |
сило |
|||||||
ящая |
из п -J- 1 проводников |
(а), |
и ее схема за |
вые |
линии |
эквипотен |
|||
|
мещения в виде 2ге-полгосника |
(б) |
циальными линиями, а магнитные эквипотенциальные линии электростатическими сило выми линиями. Отсюда следует, что [L] [С] =* [С] [L1 = [11 и~2,
где v — скорость распространения |
ТЕМ-волны; |
[1 ] — единичная |
матрица. |
|
|
Введем операторы [7\], [Т21 |
|
|
[К] — [Тж1[Я1; |
[i) = [T2][i\ |
(2.137) |
и потребуем, чтобы д [TjVdx = 0, k = 1, 2. Тогда система уравне ний (2.136) примет вид
|
— д [u\fdx = |
р [L] [Л; — д [i]/dx = р [С] [и], |
(2.138) |
где [I] = |
[7’1Г 1 |
[С) = [Г ,Г 1[С][Г,). |
|
Из условия коммутации матриц [L] и [С] следует, что |
17\1 = |
||
= [Т2] = |
[Я . Таким образом, если оператор [Т1 диагонализирует |
||
матрицы [ Д [С], то система уравнений (2.136) распадается |
на пары |
телеграфных уравнений одиночных НЛз
А Л А Л Л Л
—диь/дх = pLkkik; — diA/dx = pCkkuk, £ = 1, 2, . . . , л. (2.139>
Из уравнений (2.136) следует, что связанные НЛ можно предста-' вить в виде 2я-полюсника (рис. 52, конец стрелки напряжения ука зывает на возрастание потенциала). В соответствии с принятыми & на рис. 52 обозначениями
|
«1(0) = |
U±; |
ий(0) = £/а; |
. . . ; ип(0) = |
Un\ |
иг(/) = |
Un+[‘, |
|||||||
|
ut (/) « |
Un+* |
. . . ; |
ип(I) = |
Um', |
ix(0) = Iv |
i»(0) = |
/* |
||||||
|
in (0 ) - |
/„ ; |
- |
h |
( l ) - |
|
- |
*a ( 0 |
= |
l n+2, |
- |
in ( I) = / * . |
||
|
Токи и напряжения на зажимах 2л-полюсника связаны между |
|||||||||||||
собой [£/] = |
IZ] [/], где [Z] — матрица сопротивлений 2л-полюснн- |
|||||||||||||
иа |
размером 2л X 2л; |
[С/], |
[/] — матрицы-столбцы |
напряжений |
||||||||||
и токов размером 2л. Если обозначить |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
«X (0) = £/ь |
ы2(0) » |
£/а; . . . ; |
|
|
л |
л |
|
и а+ц |
|||||
|
ип(0) = (/„; «, (/) = |
|||||||||||||
|
ип(0 |
= |
t/зп; h (0) = ?i; i*(0) = |
/я; . . . ; |
in(0) ~ |
/ft; |
||||||||
|
|
|
|
M * ) * - / « + |
« |
|
tn(l) = |
- L |
, |
|
|
|||
T O |
[«1= |
№ ][{/ ]; |
[/] = |
[T] [/1, где [0], |
[/ ]— матрицы-столбцы, эле- |
|||||||||
ментами |
которых |
являются |
A |
A |
A |
A |
A |
A |
|
. . . . /2*; |
||||
Ult Un, |
|
|
Utn, |
/ i, />, |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
[T] |
Г1Л |
10] 1 |
|
|
|
(2.140) |
||
|
|
|
|
|
|
|
L101] ]1ЛT]\. |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
[0] — нулевая |
матрица. |
|
|
А |
Л |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Таким образом, для переменных Uk%1к имеем |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
[&) = [ 7 T ‘ [Z ](f][/I = |
|Z][/]. |
|
(2.141) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
Из выражения (2.141) находим связь между матрицами [Z]a[Zl |
|||||||||||||
|
|
|
|
[Z] = [ f r 1[-Z] (?]; [Z] - |
[Г] ( Z ] [ f r ‘, |
|
(2.142) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если |
матрица |
[71] |
является |
диагонализирукицей, |
то матрица |
||||||||
|
|
|
|
|
|
А |
iz„] |
[2И] |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
[*] |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
A |
, i |
[ а д * |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а» |
где |
л |
[Z*j] — матрицы-клетки диагонального вида размером п X п, |
|
А = |
1,2; /= 1 ,2 ; |
|
|
[Zki] = |
|
|
О |
Элемент |
/ = |
1» 2 ,..., п соответствует элементу гиг матри |
цы сопротивлений четырехполюсника с номером /. |
||
л |
л |
л Л |
Из матриц [Ll, [С] следует, что IL] [Cl = [L] [С]. Данное соот ношение позволяет найти матрицы [L], [С] связанных НЛ по вол-
л |
п, одиночных НЛ |
новым сопротивлениям Wk (я), k = 1,2, |
Ш = Оф1[Г] [#] [Г]-'- [CJ = o f 1(Г] [ # ] - ' [Г Г 1,
где [W7] = diag {^ (лг), Wt (x)..........№„(*)}•
Следует иметь в виду, что полученные соотношения справедливы при условии, что скорости распространения волн в исходных оди ночных НЛ и связанных НЛ одинаковы. Поэтому и длины всех ли
ний также одинаковы. Отсюда |
|
||
^ Щ |
Си = |
№ i\ |
(х) = }/~Ьц (х)/Сц (я). |
Из вышеизложенного следует, что при определении матрицы сопротивлений связанных НЛ по матрицам сопротивлений одиноч ных НЛ важно найти диагонализирующую матрицу [Т], Для двух связанных НЛ (трехпроводная линия)
[L) = щ |
О |
[Ц |
|
ОL22.
иматрица [Т] = [Т]2 имеет вид
Uи |
и |
(2.143) |
[тг = |
|
|
-^21 |
^11^18^21. |
|
Л |
|
|
При этом элементы матриц [L] и [LI связаны между собой |
|
1и = RL-ii + (1 - |
Л) U,-, Llt = V R ( 1 - R)(Lu - 1и); |
|
= (1 — К) U i + R L z v |
где R = fnlifii + 4i). |
0 < Д < 1 . |