книги / Нестационарные структуры и диффузионный хаос

	Ее можно	еще	более упростить,	если перейти			к	перемен­
ным	р0, р ,, <р0, <р,		по формулам xQ =		pQcos(pQ,	yQ =		PQsin<f)Q,
=>	р^cos^p^,	t/, =	pjSin^pj, а затем	к	0	(£	=	p j, T) =

= Pj, 0 = 2(^0-^ j)). Тогда уравнений станет три:

€ = 2£ - 2£(£+Т)) - £T)(cos0 + c2sin0),

т) = 2т) - 2т)(2£ + Зт)/4) - 2£n(cos0 - c2sin0) - 2Л2Т),

(3.15)

0 = с2(2£ -

Т)/2) +

sin0(2£ +

v)

+

C2COS0(2^ -

Т))

+ 2 c^ 2,

Л

= л / / .

Связь между переменными £, 1),

0

и

переменной

<pQ определя­

ется уравнением

<pQ= - с2($

+

т))

+ 0,5т) (sin0

-

c2cos0).

(3.16)

Возможность

перейти

к

системе

(3.15)

связана

с

тем,

что

исходное

уравнение

(3.12)

обладает

симметрией.

Если

W(x,t) -

решение уравнения,

то

функция

W(x,t)

ei0L,

а =

= const, также будет решением.

В

системе (3.15)

£ и т) характеризуют квадраты ампли­

туд нулевой

и первой

гармоник,

0

- сдвиг

фаз

между

ними.

Простейшими решениями системы уравнений (3.15) явля­

ются

устойчивые

особые

точки

(при

этом

£

—»

const,

т) —> const,

0 —> const

при / —> 00 ).

Чтобы

найти

координаты

особой

точки

(£,Т),0).

нужно

положить £, 1), в равными нулю и решить три получившихся

алгебраических уравнения!

В работах [20, 24] приведены явные .выражения для осо­ бых точек и прямых, у которых £ = 0 или 1) = 0, и показано,

что координаты остальных точек определяются алгебраическим

уравнением четвертой степени. Его также	можно рассматри­
вать как одну из упрощенных моделей для	задачи (3.12).

91

При изучении систем трех обыкновенных дифференциаль­ ных уравнений и в частности системы (3.15) очень полезным оказывается изучение класса двумерных отображений или отображений плоскости в себя.

Рассмотрим для примера систему трех обыкновенных диф­

ференциальных уравнений, связывающих	функции	x(t), y(t),
z(t). Будем задавать начальные данные,	лежащие	в одной и

той же плоскости z = zQ. Из каждой точки выпустим фазовую

траекторию и посмотрим, где она вновь пересечется с выб­

ранной плоскостью (рис. 3.8). Координаты точки пересечения

(Xj,t/j.Zg) зависят от начальных данных (x0,y0,zQ),		т.-е.
х \ = Кх0'	Уо)’
,	,	(з-17)

У= ё(хо* У0)•

Функции f и g определяют отображение плоскости z = zQ в

себя, которое часто называют отображением Пуанкаре. Как

правило,	достаточно	рассматривать не	всю плоскость z = zQ,
а только	небольшую	ее часть, которая содержит аттрактор.
Отображение (3.17), порождаемое			системой дифференци­

альных уравнений, обычно позволяет исследовать ее наиболее важные свойства.

Однако может оказаться, что		интервал,	в котором лежат
элементы последовательности ((/п)		, гораздо	меньше	интерва­
ла, в котором лежат элементы	последовательности			{*п}, или
существуют другие переменные х ',		у', в которых это условие

92

выполнено. Тогда полезной упрощенной моделью оказывается одномерное отображение

=

< 3 1 8 >

(отображение отрезка в себя).

Отображение вида (3.18) может возникать не только в результате анализа упрощенной двухмодовой системы, но и непосредственно в ходе исследования задачи (3.12).

В самом деле, разложим ее решение в ряд Фурье

	Щх.О = Е	(< У /).+		ib jt)) cos(nmx/l).
	m=О
Рассмотрим	фунцию	£(/)	= (aQ(t)		+	bQ(t))	, выделим		ее
локальные	масксимумы		£2,- ....		£т ,... и		построим	зави­
симость €т + ,(€„,)• Точки			(Сш+1.	Ст }	в	ряде	случаев	не	за­

полняют Целые области случайным образом, а с высокой точ­

ностью	ложатся	на однозначную	непрерывную	кривую £ j =
=	Обычно	такие кривые	возникают в	целом диапазоне

параметров с2, поэтому в качестве'' упрощенной модели рас­ пределенной системы можно рассматривать семейство отобра­

жений (3.18).

Пусть

установившийся

режим

таков,

что

£

—»

const,

п =

1,2,...

Тогда

на кривой F

ему

соответствует

п-х»

точка

одна

(£,

£). Если £(/) периодична и на

периоде имеет

р локаль­

ных

максимумов,

тогда

на

кривой

F ей

будут соответствовать

р точек.

Если £(/)

(а

значит,

и

W(x,t))

непериодична,

точ­

ки

могут

заполнять

всю

кривую

или

несколько

участков

на

ней.

Прием,

связанный

с

выделением

локальных

максимумов

и

построением зависимости €m+1(€m). был предложен Э.Лоренцем

[136]	и эффективно использован при изучении нескольки
систем	обыкновенных дифференциальных уравнений.

При изучении большинства нелинейных уравнений в част*7

ных производных оказывается полезным анализ автомодельных решений. К ним относятся бегущие волны, свойства которых в

93

случае уравнения Курамото	- Цузуки обсуждаются в работах
[290, 309], а также решения	вида

.Щх, t) = R(x) exp(iu)t + ia(x)).

Последнее решение было найдено в работе [36] при инвариантно-групповом анализе уравнения (3.8). Далее мы увидим, что в некоторой области параметров оно оказывается

устойчивым	и определяет асимптотическое поведение	системы
при t —» ю.	В этом случае уравнения для функций	R(x) и

а(х) (либо функций, характеризующих другие автомодельные

решения) можно рассматривать как еще одну	упрощенную
модель.
Во многих случаях фактором, необходимым для понимания
различных нелинейных явлений и сильно усложняющим		задачу,
является многомерность.
Для изучения ряда явлений нужно рассматривать дву­
мерные аналоги уравнения (3.12). Задачи такого	типа	возни­

кают при изучении ветровых волн на воде, при моделировании морфогенеза и поверхностных реакций. Простейшим двумерным

обобщением (3.12)			является	уравнение
■Wt = W + (1 + «:,)(Wxx + Wyy) -					(1	+	ic2)\W\2 .			(3.19)
Оно имеет двумерные автомодельные решения вида
	Щх, у, t) = R(x, у) exp{i0)t + ia(x,у)}.									(3.20)
Уравнение		Курамото -		Цузуки в	двумерном			случае		имеет
решения,	которые		сейчас	называются	спиральными				волнами.
Они описываются формулой (3.20) при условии R(x,y) -										R(r),
а(х,у) =	S(r)	+	пир (т	- 1,2,...),	х	=	rcos^p,	у	=	rsin^p.

Название понятно из рис. 3.9. На нем показан типичный вид решения с т = 1 на некоторый момент времени t . В за­

штрихованной	области	u(x,y,t') > 0, в незаштрихованной
u(x,y,t') < 0 .

94

Если т > 1, то такую спиральную волну называют многоВитковой. Спиральные волны наблюдаются экспериментально, в

частности в реакции Белоусова - Жаботинского [85]. Важно

то, что существование спиральных волн не связано с кон­

кретным	видом	изучаемых уравнений	-	это общее	свойство
многих	открытых	нелинейных систем.	Ряд	биологов	полагает,

что возникновением спиральных волн можно объяснить многие

биологические явления,	например возникновение аритмии в
работе сердечной мышцы	[97, 103].

Метод многомасштабных разложений, с помощью которого было получено уравнение (3.8), успешно применялся при

исследовании конвективной неустойчивости жидкости [341],

при анализе задач физики плазмы [303], в теории нелинейных

волн [379].

Этот

метод использовался

и

для

анализа

самого

уравнения

(3.8).

В предположении о близости решения

урав­

нения

к

пространственно

однородному было

получено уравне­

ние [312,

316]

= vhv -

V

(iV2V2o - At»(Vo),

(3.21)

часто

называемое

уравнением

Курамото -

Сивашинского.

Здесь

v

-

градиент

фазы

W, V =

1

+

с .с 0, А =

2(с. -

- с2),

ц

=

(1

+

с ^ /2 .

В работе*[316]

было

найдено

анали­

тическое

решение

уравнения

Курамото

-

Сивашинского

типа

бегущей

волны.

В работе

[310]

была поставлена задача

о

не-

95

устойчивости волн в активных средах в двумерном случае при

переходе с	одного		устойчивого		фона	на	другой.		Применение
метода многомасштабных разложений, и						в этом		случае приводит
к уравнению		(3.21).	При	таком	подходе		v	интерпретируется
как локальная фазовая скорость бегущей волны.
Когда	v	> 0,	(3.21)	по свойствам			близко		к уравнению

Бюргерса [186]. При ц<0 это уравнение может иметь сложные, непериодические решения [296, 297, 396]. В самом деле, в отсутствие члена цЧ ч v его решения могут существовать в течение ограниченного времени. Заменой Хопфа - Коула [186] при v < 0 оно сводится к линейному уравнению теплопро водности с отрицательным коэффициентом к. Уравнение (3.21) вызывает интерес как одно из простейших модельных уравне­

ний, которое в одномерном случае

может описывать

хаотичес­

кие

процессы.

В

работе [343] получены априорные оценки

решений

краевой задачи v =

v

хх

= 0

при

х

= 0 и х

= 1 и

и(х,0) =

v°(x),

0

s t < со, доказаны теоремы существования

и единственности,

рассмотрены

разностные

схемы

для этого

уравнения.

Вместе с

тем

расчеты показывают, что во многих облас­

тях

параметров

у

решения

W(x,t)

уравнения

(3.8)

в

прост­

ранстве

меняется

не только

фаза,

но

и амплитуда.

Поэтому

область применения уравнения (3.21) гораздо меньше, чем

исходного, на что	обращалось	внимание в работах [310,
311].
Рассматривая	поведение	двухкомпонентных систем в

окрестности точки бифуркации, мы привели ряд упрощенных моделей. Свойства некоторых из них мы обсудим в следующих

главах.		Взаимосвязь		этих моделей		показана	ниже	на	схеме
3.1.	Мы видели, что анализ любой					модели	требует	примене­
ния	компьютеров и самых различных математических							методов.
В	иерархии		моделей,		представленной на		схеме 3.1,		есть
несколько уровней. Работу над изучением							моделей	какого-
либо из		них	нельзя	считать завершенной. На каждом					уровне
есть	задачи,		требующие		дальнейшего	исследования.

96

С х е м а 3 . Г

§ 3 .3 . Другие направления исследований

Наряду с упоминавшимися упрощеннными моделями, пост­ роенными при анализе систем реакция - диффузия, были пред­ ложены некоторые обобщения уравнения Курамото - Цузуки. Оказалось, что близкий подход может быть использован при анализе некоторых гидродинамических систем. Обратим внима­ ние на несколько направлений исследований, возникших в агтой связи.

97

Одно из обобщений уравнения Курамото - Цузуки связано

с учетом следующих членов в разложениях по малому парамет­

ру в системах

реакция

-

диффузия

в

окрестности термодина­

мической

ветви.

Пусть

нелинейные

источники

в

этой

системе

зависят

от

двух

параметров А и д .

Запишем

уравнение

(3.8)

в виде

Wt = d0w xx + (°1+

а2

1*4 V

-

Пусть при д < д0

Re

а2

< 0,

при

д > д0 Rea2 > 0.

В

пос­

леднем случае уравнение Курамото -

Цузуки

неприменимо:

при

изменении

параметра А

решение

скачком

меняется

на

ко­

нечную

величину.

Пример

такого

поведения

дает

модель

Фиц

-

Хью

-

Нагумо [176]

и другие

модели,

где

существенную

роль

играют

пороговые

эффекты. Для описания

таких эффектов

в работе

[398]

предлагается

учесть

следующие

члены и

перейти

к уравнению

Wt = do Wxx + (fli+ a2 1*42-

a3 m

4)

w,

(3.22)

где

dQ,

a у

a 2,

a3

-

комплексные

постоянные.

Возможность

такого перехода связана с наличием еще одного малого пара-

метра	~	(д -	Дц)	.Поэтому уравнение		(3.22) не		обладает
такой	общностью,			как	уравнение (3.8),	и	имеет	гораздо
меньшую		область	приложений.
	При	переходе		от	исходной системы	(1.1)	к уравнению

(3.8) существенна одномерность задачи: из линеаризованного

уравнения можно однозначно определить вид функций /. В многомерном случае ситуация сложнее - у линеаризованной

задачи может быть несколько решений, их число существенно

зависит	от	геометрии области.		Например,	для	квадрата
/ 1 = exp{ikx},		/ 2 =	exp{iky}.
Уравнения, описывающие двухкомпонентные системы в
случае	бифуркации		Тьюринга в	двумерном	и	трехмерном

случае, рассматривались в работе [346]. Для областей раз­ личной геометрии эти уравнения могут составлять системы не

98

двух, как (3.8), а большего числа уравнений. Их подробный

анализ также был бы очень полезен.

В классической теории бифуркаций и в теории нормаль­

ных форм существуют стандартные и строго обоснованные про­

цедуры, позволяющие в типичных случаях переходить к асимп­

тотическому локальному описанию [42, 107]. В теории систем

реакция	-	диффузия строгой процедуры			перехода	от	краевой
задачи	для уравнения (1.1) к краевой				задаче для	уравнения
Курамото -		Цузуки	до	недавнего времени	не было.
В	последние		годы	в этой области был получен ряд важ­
ных результатов [110, ДЗ, Д4]. Обратим					внимание	на	некото­
рые из	них.
Будем		рассматривать параболическую			краевую задачу

f ,	=	е £>	0		+	Ц	CAJU, +	+ пи).
									(3.23)
дх	I	=	йл	I	=	о	,	ы(х,0) =	и°(х),
	I дс=о		дх	|х=1
9	i	л s	1, 0	<	с	«	1, матрица		D положительно
где u € J? , 0

определена, F(u) аналитична и имеет в нуле порядок выше первого. Удобно считать, что F(u) = F2(u,u) + F^(u,u,u) +

+.... где каждое слагаемое линейно по каждому аргументу.

Вкачестве фазового пространства рассматривается прост­

ранство

С

=

С|-0 1]*#2)-

Будем

изучать

поведение

решения

задачи

(3.23)

из

некоторой

достаточно

малой (независимой

от е)

окрестности

нуля

пространства

С. Относительно

матриц

A Q

и

D

предполагаем,

что

собственные

значения

матриц

А(г)

=

-

zD

при

г £

0

имеют

неположительные веществен­

ные

части.

Заметим,

что

в

противном

случае каждое

решение

(3.23), лежащее при достаточно больших- t в малой окрест­

ности нуля, неустойчиво. Если же вещественные части собст­ венных значений А(г) отрицательны (при z s 0), то все ре­

шения из некоторой (не зависящей от е) окрестности нуля экспоненциально стремятся к этому состоянию равновесия.

99

	Поэтому	будем предполагать,	что	найдется такое значе­
ние	^ 0,	для которого A{ZQ)	имеет	собственные значения

снулевой вещественной частью. При этом условии счетное

число характеристических показателей (при F(u) = 0) задачи

(3.23) стремится к нулю при е —» + 0 . Для простоты будем

считать,			что	значение zQ единственно.
		Предположим, что				zQ = 0.	Пусть вначале		матрица AQ		=
=	/1(0)		имеет простое			нулевое	собственное	значение: AQa			=
		А^Ь =			Л/				А(г)
=	0,			0,	(a ,b) =	1. Из ограничений		на		вытекает,
что			Л/	0.		Л/	предположим,		что	(Da,b)	>
		(Da,b) ^			Дополнительно

> 0. Специальной системой, играющей роль укороченной нор­

мальной

формы, назовем краевую задачу

€т =

(/>а,6)$ад +

М ,а.6)$

+ (F2(a ,a )J )€ 2,

т

= е/,

Ц0.т) = €х(1. т) =

0 ,

0

*

х *

1.

(3.24)

Можно

показать,

что

грубому

состоянию

равновесия

£0(дс)

этой краевой задачи отвечает (при малых

е)

состояние

рав­

новесия

uQ(x,e) = е£0(х)

+

0(е2)

краевой

задачи

(3.23)

той

же

устойчивости.

Пусть теперь AQ имеет пару чисто мнимых собственных

значений

+

iu)Q

(o)Q

>

0),

а

все

остальные

ее

собственные

значения

имеют

отрицательные

вещественные

части.

Пусть

^

Л/

Л/

— Л/

( а >ь ) 0. =

А о °

=

%

а '

Ао

ь

=

~

1%

Ь'

(а' Ь)

=

Ь

( ^

-

комплексно сопряженная

матрица,

а

-

вектор,

комп-

лексно

сопряженный

к

а).

Предположим,

что

Л/

>

0.

Re(Da,b)

Специальной системой, играющей роль укороченной нормальной

формы, здесь	является	краевая задача
€т =		+ [< V -* >	+	d	l€ l2K . т = ct,
	^ (0 , т)	= Сж(1, т) =	0,	0	(3.25)
					^ М .

Здесь d - первая ляпуновская величина (комплексная) дина­ мической системы, в которую переходит уравнение (3.24) при 0 = 0 [ДЗ].

100