книги / Нестационарные структуры и диффузионный хаос

Рис. 4.23

Пусть элементы цикла Sn перенумерованы в порядке воз­ растания: Jtj < х2 < ... < хп. Кроме периода цикла, введем

еще две характеристики. Первая определяет тот порядок, в котором обходятся его элементы. Например, для цикла S4 встречаются две возможности, показанные на рис. 4.23.

Рис.		4.23, а	соответствует						тому,	что f(xj = ху
f(x j =	х2,	f(x2) =	*4, Дх4) = xv т. е. 1324. Во втором
случае	порядок обхода		таков:			1234 (рис. 4.23,6).
			Т	а б		л	и	ц а 4.1
		Период	Порядок				обхода		М арш рут
		2	1	2					RR
		4	1 3		2	4			RLRL
		6	1	4	3	5	2	6		RLRRRL
		5	1	3	4	2	5		RLRRR
		3	1	2	3					RLR
		6	1	3	5	2	4	6		R LLRLL
		5	1	2	4	3	5			R LLRL
		6	1	2	4	5	3 6			RLLRRR
		4	1 2		3	4			RLLR
		6	1	2	3	5	4	6		R LLLRL
		5	1	2	3	4	5			R LLLR
		6	1	2	3	4	5	6		R LLLLR

Для нас будет существенным также знак элементов цик­

ла. В соответствии со знаком построим последовательность

символов R, С, L. В этой последовательности на

к -м

месте

будет

стоять

R,

если

a fe

> О,

С, если

a fe

=

О,

L в

случае

а

ft

< 0,

где

а.

-

Л-ый

элемент

цикла.

Например,

последова-

ft

.

что

х^ > 0,

f(xj

< 0 ,

л

тельность RLRL

означает,

f (JCJ) >

>

0,

jfj)

<

0.

Такую

последовательность

можно

построить

141

для любой начальной точки х^. Она, вообще	говоря,	беско­
нечна и называется маршрутом этой точки.	Но если	в {д:^}

происходит выход на устойчивый цикл, то определенная ком­

бинация элементов в маршруте начинает повторяться.

А теперь посмотрим на табл. 4.1, которая содержит ин­

формацию об устойчивых циклах, период которых не превышает шести. В левом столбце указан период цикла, в среднем -

порядок

обхода

точек, в

правом -

маршрут.

Удалось

дока­

зать,

что

в

зависящих

от

одного

параметра

семействах

С1 -

унимодальных отображений

устойчивые

циклы

встречаются

в том порядке, в котором они

указаны

в

таблице.

Прыжки

в

этом

списке

невозможны.

Например,

если

мы

выяснили,

что

при Л

=

Л,

есть

у с-

тойчивый

цикл

5

4

с

маршрутом

RLRL, а при Л2 -

^

3

5

с

цикл

маршрутом

RLR,

то

обязательно

найдутся такие

значения

Л»

и

Л4,

< Л3 < Л4 < Л2, что при

Л3

устойчив цикл

S

fi

с

^

марш­

рутом

RLRRRL, а при Л4 -

S5 с маршрутом RLRRR. Причем

по­

рядок обхода элементов цикла (если перенумеровать их в по­

рядке возрастания) будет		именно таким,	как указано во	вто­
рой	колонке.
	Из таблицы следует, что между двумя различными цикла­
ми	будут встречаться все	промежуточные.	Вообще говоря,	они

могут встречаться не один, а несколько раз. Для отображе­

ния (4.3) при увеличении Л циклы встречаются только по од­

ному разу.

Последовательность, в которой появляются циклы, полу­ чила название U (универсальной) - последовательности. Ал­

горитм ее получения и доказательства соответствующих ут­ верждений рассмотрены в работах [235, 332].

Это очень важный результат. Оказывается, между харак­

теристиками одномерного отображения и маршрутами различных точек есть глубокая внутренняя связь. Если посмотреть маршруты для различных начальных данных Ху то окажется,

что почти все они совпадают, если в системе есть порядок

(устойчивый цикл). И наоборот,	если наблюдается хаос, то
почти все маршруты различаются.	Свойства последователь нос-

142

тей из нескольких символов тесно связаны со свойствами од­ номерных отображений. Теория, изучающая эти свойства, по­ лучила название символической динамики. Она полезна при

анализе различных нелинейных моделей. В частности, ее

методы широко использовались при получении приведенной* вы­

ше таблицы.

Систематика устойчивых циклов используется при анали­

зе многих нелинейных диссипативных систем. М.Якобсоном бы­ ла доказана следующая теорема [300].

Т е	о	р е	м	а л 4.5.		Пусть F -		одномерное отображение,
близкое	в	норме		С	к F(x) =		х(1-х), и		\Q -	значение пара­
метра, при котором \QF(C)						= 1, с -		точка максимума			функции
F. Тогда		лебегова			мера	множества		значений		параметров М,
Л € [0,		Л0],	при		которых		аттрактор		отображения		хп+^ =

= hF(xn) имеет абсолютно непрерывную инвариантную меру, положительна.

В работе [258] были приведены результаты расчетов, позволяющие выяснить, какова она. Для этого, исходя из (У -

последовательности, находились сверхустойчивые циклы и

«окна периодичности», в которых они находятся. Очень по­ лезной оказалась информация о маршруте циклов.

	Каждый	элемент х	у симметричных отображений с одним
максимумом		^ имеет	два	прообраза	х	и	хп-г
f(	= f(xn-\) ~ хп-		Однако, зная его		маршрут,		можно

вычислить не только прямые, но и обратные итерации. Это оказалось существенным при построении численных методов.

Обозначим через	Л(е)		общую	длину		всех	«окон»,	размеры
которых превышают е. Расчеты показали, что
М(е)	= 1	-	Л(е) »	р(0)	+	Ае&,
М(0) = 0,89795 ± 0,0005,				3	=	0,45	± 0,04.
Было высказано	предположение,				что показатель			3 явля­
ется универсальным,	не	зависящим от				конкретного		семейства
[258].

143

В работах [234, 358] обсуждаются результаты экспери­ ментального исследования реакции Белоусова - Жаботинского

в проточном реакторе с перемешиванием. (Перемешивание вводится, чтобы не учитывать диффузионные эффекты.) Оказы­ вается, что максимумы одной из переменных, характеризующих

реакцию,	во многих случаях порождают одномерные отображе­
ния xn+1	= f(xn), вид которых показан на рис. 4.24. При
изменении	контрольного параметра (скорости потока реаген­

тов) график отображения растягивается вдоль оси ординат. Переход к хаосу происходит в соответствии со сценарием Фейгенбаума, и далее наблюдаются предсказываемые система­ тикой (см. табл. 4.1) устойчивые циклы.

В некоторых случаях все они встречаются	по	одному ра­
зу. Однако добавление примесей железа (даже	в	концентра­

ции, не превышающей тысячных долей процента) меняет дина­

мику	системы.	Некоторые циклы из	таблицы	встречаются уже
не в	одном,	а в трех интервалах	параметра	[234]. Последо­

вательность устойчивых циклов может служить индикатором, показывающим, как меняются концентрации некоторых реаген­ тов.

Г Л А В А 5

ДВУМЕРНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ

И ДИССИПАТИВНЫЕ СИСТЕМЫ

Одномерные отображения, описывающие сложную упорядо­

ченность		и	стохастические		режимы,	необратимы.	Некоторым
значениям			у	соответствуют не		менее двух	прообразов
у =	f(a)	=	f(b).	Поэтому	однозначно	восстановить	по	данно­
му	значению			х^ предшествующие		значения х_у	х_2,	... не

удается.

Совершенно иными свойствами обладает большинство математических моделей, используемых в естествознании. По

набору

переменных

х(^), характеризующих

изучаемое

явление

в

данный

момент,

можно

предсказать

не

только

будущее

+

Т),

но

и восстановить

прошлое

-

Т).

Гамильтоновы

системы

инвариантны

относительно

замены

t

—*

-t,

а

процессы,

которые

они

описывают,

оказываются

обратимыми. Однако

и

в диссипативных

системах

обычно уда­

ется

восстановить

по

х(^)

значения

дс(^

-

Т)

(по

крайней

мере

для конечного

итервала

t <

Т).

Простейшими диссипативными системами, которые могут

обладать	свойством обратимости и опиеывать сложные стохас­
тические	процессы,	являются двумерные отображения
	*„+1 =	Уп+1 = £(*„.«/„)•	(5.1)

Исследование системы (5.1), так же как и одномерных отображений, позволило найти новые сценарии -перехода к

145

хаосу, обнаружить ряд интересных явлений, характерных для

многих нелинейных диссипативных			систем. Изучение	таких
отображений	помогло	построить	математические	теории,

позволяющие непосредственно исследовать ряд дифференци­ альных уравнений, возникающих в различных физических зада­

чах.	Используя эти		подходы,		иногда удается выяснить, в ка­
кой	мере стохастичны изучаемые объекты, и получить ряд
строгих		утверждений об		их свойствах.
	В	этой главе	мы	обсудим	некоторые двумерные отображе­

ния, оказавшиеся полезными для понимания хаотических режи­ мов в нелинейных средах.

§ 5.1. Характеристики хаотических режимов.

Гиперболичность

Одно из простейших и очень важных отображений, описы­ вающих хаотические режимы, определяется формулой

= (2

Х п + У п )

mod 2п

Vi _

х

п*1

(5.2)

*

-Vi-

А

mod 2л.

У п +

1

=

( х

п

+ У

)

mod

2п

к

-

v

* п '

на

Поскольку

в Vi и в V

входит

остаток

от

деления

2л,

естественно

считать,

что

это

отображение

определено

на

торе.

Тор удобно представлять как прямоугольник, у которого

отождествлены

противоположные стороны,

т. е. (О, а) и

(2л,

а),

0

i

a

i

2я

(точно так

же,

как

и (b, 0) и (Ь,

2л),

0 £

s 6 ^ 2п считаются одной и той же точкой).

Посмотрим, что произойдет с какой-нибудь фигурой, за­

данной

на

торе,

после

применения

отображения

(5.2)

(рис.

5.1).

Видно,

что

уже

после

первой

итерации

различные

части фигуры оказались сложным образом растянуты и сдвину­ ты. Можно ожидать, что после большого количества итераций черные участки окажутся равномерно размазаны по всему

146

тору. Отметим, что определитель матрицы, входящей в	форму­
лу (5.2), равен единице, поэтому площадь фигуры	в ходе
итераций не меняется.

Из рис. 5.1 видно, что прообраз любого множества так­

же лежит на торе, а само преобразование (5.2) обратимо (по точкам образа можно однозначно найти прообраз). Для крат­

кости будем обозначать	преобразование (5.2) через А.
В зависимости от	начальной точки траектории отображе­

ния (5.2) могут быть как периодическими, так и непериоди­ ческими. Циклом отображения (5.1) назовем множество точек

(*,,«/,), ... ,	(хр,ур) таких,	что		= f(xn,yn),	уп+х =
= £(*„.«/„). 1 5	п * р-\, х, = f(xp,yp),		«/, =	g(xp,yp).
Нетрудно	проверить, что	все	точки	(х,у), обе	коорди­

наты которых представляют собой произведение п на рацио­

нальные числа, определяют

циклы отображения.

Понятно,

что

их будет счетное число. Можно

убедиться

также,

что

все

точки,

координаты которых

не

могут

быть

представлены

в

таком

виде,

определяют

непериодические

траектории

(циклы

А

в

этом

отношении

похожи

на

циклы

отображения

х= 1 - 2|х |).

	Матрица отображения А		имеет собственные значения
Л12	= (3 ± / 5 ) / 2 ,	Aj > 1 > Л2 и		собственные векторы е1 и
е2-	Семейство прямых, параллельных собственному вектору
е^	преобразование	А переводит	в	себя. Расстояние между

двумя близкими точками, лежащими на одной прямой, после каждой итерации увеличивается в Aj раз (см. рис. 5.2). Эти

147

прямые определяют1 семейство всюду плотных обмоток тора, которые отображение А переводит в себя. Такое семейство называется расширяющимся слоением преобразования А Семей­ ство прямых, параллельных вектору е2> определяет сжимаю­ щееся слоение.

Отображение (5.2) обладает многими замечательными свойствами. В начале 1960-х годов была доказана теорема Аносова, утверждающая, что преобразование А является структурно устойчивым. (Т. е. малое изменение динамической системы качественно не меняет поведения системы. Подробное обсуждение понятия структурной устойчивости можно найти в

книге	[8].)	В частности,	всякое отображение,	достаточно
близкое	к А	имеет счетное	множество циклов и	бесконечное

множество непериодических траекторий. Поэтому можно ожи­

дать, что такие системы, а также их многомерные аналоги

будут обладать сложными непериодическими траекториями. При

обобщении	представлений об отображении А естественно
вводятся	понятия об У-системах (диффеоморфизмах Аносова)

и о гиперболических системах, представляющих собой большой

класс математических	объектов,	эргодические свойства кото­
рых удается подробно	исследовать	[158].

Прежде чем говорить об этих объектах, обсудим, следуя работам [116, 175], вопрос о том, что может служить крите­ рием стохастичности в динамических системах, по каким

148

признакам можно судить о степени хаотичности решения. При­ ведем несколько усиливающих друг друга свойств стохастичиости.

1. Во многих случаях основной интерес представляет типичное поведение траекторий. Поэтому будем считать, что

существует множество одинаковых систем, отличающихся

только начальными данными. При этом начальные данные

выбираются в фазовом пространстве с вероятностью	PQ,
dPQ(x)/dx = р(х). Введение PQ можно рассматривать	как

проявление случайного механизма, действующего в начальный момент времени. Самым простым из стохастических свойств является сущестование инвариантного распределения

вероятностей Р(х) или инвариантной меры в фазовом пространстве системы.

Инвариантность	распределения Р(х) означает,		что для
любой функции f интеграл
m	= J*	dP(x)	(5.3)

не зависит от времени. Допустим, в некоторых участках фа­

зового пространства траектория бывает редко, а в других

часто. Чтобы вычислить средние значения от некоторой функ­ ции f, нужно учитывать соотношение вероятностей попадания

в разные точки фазового пространства. Информацию об этих

вероятностях,

необходимую для усреднения, и дает Р(х).

Теорема

Крылова

- Боголюбова

утверждает,

что

в

случае

непрерывного

отображения и компактного фазового простран­

ства

существует по

крайней

мере

одна

инвариантная

мера

[116].

Даже в самых простых случаях инвариантных мер может

быть

много.

Например,

для

отображения

=

1

-

2\х

| ин-

вариантными

являются

все

распределения

вида

Р =

1

г

±

£ 5(х -

- х(),

i =

1,

..., г,

где

х.

-

элементы

цикла

»=1

Sr,

и

рас­

пределение Р(х) = 1/2 . Однако

при исследовании

странных

аттракторов

в

диссипативных

динамических системах

можно

149

выделить меры, наиболее важные для изучения типичных реше­ ний, которые в определенном смысле устойчивы. Оказывается, в ряде случаев вначале можно задать произвольную начальную меру PQ(x), проследить ее эволюцию с течением времени и убедиться, что

lim	J* f(x) p(x,t) dx = S f(x) dP(x).	(5.4)
<-»	00

В этом случае P(x) определяет вероятность, с которой типичная траектория попадает в различные точки фазового пространства. Иногда удается доказать существование преде­ ла (5.4) [224, 359].

2.Средние величины, характеризующие динамическу

систему, можно	вычислять,	усредняя	по инвариантной мере
(по множеству	траекторий)	или по	времени, рассматривая

какую-либо одну траекторию. В случаях, когда оба средних значения совпадают, говорят, что система эргодична:

lim Г "1	J f(x(t))	dt	=	S f(x)	dP(x).	(5.5)
r-*»	0
Это равенство	выполняется		с	вероятностью единица		по мере
Р(х).
Система	может	обладать			непрерывной инвариантной

мерой, быть эргодичной, однако вести себя достаточно регу­ лярным образом. Пример такого поведения дает отображение окружности

0„+1

=

0„

+

« ,

0 < вп < 2п,

(5.6)

когда

-

иррациональное

число.

Инвариантная мера здесь равна 1/2п, отображение эрго-

дично,

однако

расстояние

между

двумя

любыми

траекториями

не меняется

(если

0j

-

0'j

=

а ,

то 0 '

- 0"

=

а

при

любом

п). Более сильные критерии стохастичности

должны

учиты­

вать,

как

ведут

себя

друг

относительно

друга

различные

траектории.

150