книги / Основы проектирования турбин авиадвигаделей
..pdfциальных уравнений. Далыиейшие исследования в этом направлении позво лили существенно модернизировать метод. В частности, Томасом и Миддлкоффом был Предложен подход, позволяющий эффективно управлять распределением внутренних узлов сетки, однозначно определяющимся за данием распределения узлов вдоль границ области. Такой подход особенно целесообразен при решении задачи расчета течений в межлопаточном кана ле, так как достижение локальных сгущений и разряжений сетки в местах больших и малых градиентов течения является одним из основных средств повышения точности получаемых результатов за приемлемое время счета ЭВМ. Кроме того, в этом случае отсутствует искажение разбиения в окрест ности входной и выходной кромок профиля. Основываясь на подобном подходе к решению поставленной задачи, можно осуществить эффектив ный способ построения конечных элементов внутри рассматриваемой рас четной области течения.
Получение декартовых координат узлов сетки в физическом простран стве в данном случае сводится к решению системы эллиптических диффе ренциальных уравнений в частных производных, рассматриваемых в прямо угольной области { /, qJ . Обычно для этой цели привлекается пара урав нений Пуассона
^XX ^ ^УУ |
PQi Я) 9 |
Яхх ^ Ууу |
Я) 1 |
которая в результате обращения роли зависимых и независимых перемен ных преобразуется к системе координат \1>я} и сводится к следующему:
<ххц-2Р x lq +yxqq = - J 2{Pxt + Qxq);
ауп - |
2fiy, |
+уу |
= |
- J 2 (Pyj + Qyq) ; |
|
|
|
|
(5.17) |
а = х 2 |
+ y q ; Р = x txq |
+ y ty q\ |
||
У=х) |
+y} |
, |
|
|
|
|
|
|
Ъ{х,у) |
где J якобиан преобразования J = ---------- . |
||||
|
|
|
|
Э (/,*) |
Граничные |
условия |
представляют собой координаты узловых точек |
||
в физической плоскости |
|
, соответствующие каждому из узлов |
||
сетки |
qj j- |
на границе прямоугольной области. Таким образом, реше |
ние поставленной задачи сводится к решению задачи Дирихле для системы эллиптических уравнений (5.17). Управление распределением внутренних узлов сетки достигается выбором вида Источниковых членов Р и Q в этих уравнениях. Томасом и Мидцлкофом [21] был применен подход, согласно
181
которому исгочциковые члены Р и Q вычисляются через граничные условия и, следовательно, распределение узлов во внутренней обцасти одназначно определяется распределением узлов на ее границе. Истрчниковые члены
задаются в виде /
I
P = g Q , q ) ( ! i + / ; ) ; |
|
/ |
Q = '!'(!, я) (Ях +Яу)> |
; |
(5-18) |
где g и ф —неизвестные функции, подлежащие определению. Система урав нений (5.17) с учетом (5.18) принимает вид
a ( x u +gxi) — 2j3x jq + y ( x qq + ipxq) = 0 ;
<*O'// + gy{) - IQyiq + y(yqq + ФУЯ) = 0- |
(5-19) |
Рассмотрим уравнение для одной из искомых функций (например, g) вдоль любой из горизонтальных границ q =q * = const. Исключим из уравне ний (5.19) параметр ф и, преобразуя полученное выражение, придем к од ному уравнению
a [yq(xU + Sx l) ~ xq(yil + gyi)] =yq [2j3 ( — |
), + |
) q ] . (5.20) |
yq |
|
yq |
x Q |
d.x |
|
Очевидно, что отношение—— характеризует наклон |
-----семейства коорди- |
|
Vq |
dy |
|
натных кривых / = const, поперечных границе q = #*. Не нарушая общности потребуем локальной прямолинейности линий / = const в окрестности гра ницы, что можно записать как
( — ) а = 0 при q =q*. |
(5.21) |
, уЧ
Кроме того, потребуем ортогональности линий / = const границе д*. Усло вие ортогональности записывается исходя из обычных методов векторной
алгебры. Пусть г (х, у) —радиус-вектор. Вектор, касательный к коорди натной линии
? = const, "г, = (*/,_)>,),
а вектор, касательный к линии / = c o n s t , = ( x q, y q) . Условие ортогональ ности, как известно, заключается в равенстве нулю соответствующего ска лярного произведения (г£ г^ ) , т.е.
x lxq + У1УЧ = 0 при я =Я*- |
(5.22) |
182
Рассматривая уравнение (5.20) на границе, учитывая наложенные условия (5.21), (5.22) ^вспоминая,что (3 = + УгУд, получаем
\'
а[Уц О// + & /) “ x q О // + &У1)] = °-
Таким образом, для предельного соотношения на границе с учетом условия
(5.22) |
\ |
|
|
|
x lx ll + У№1 |
при |
q = q |
(5.23) |
|
g = - |
-У) |
|||
А |
|
|
|
|
Из уравнения |
(5.23) исходя из заданных на границе значений |
{ х/, у/} |
с помощью конечно-разностной аппроксимации при задании Д/ определяет ся значение £ в каждой узловой точке на границе. Совершенно аналогично определяются значения ф вдоль границы l = l * = const. Значения парамет ров g и ф во внутренних узлах определяют путем линейной интерполяции вдоль линий / = const и q = const соответственно, используя их значения, найденные на горизонтальных и вертикальных границах. После определения введенных параметров g и ф, решая численно систему уравнений (5.19), получаем искомое разбиение области течения на элементы в физическом пространстве. На рис. 5.3 представлена сетка, полученная описанным ме тодом.
Приведенный метод разбиения области на элементы обладает достаточ ной гибкостью, позволяя, например, варьировать значение угла пересечения между линиями. В этом случае условие ортогональности (5.22) заменяется очевидным условием
<7/ ?q) = \Ъ 1I^|COS0,
где в — угол пересечения между границей q = q* и поперечной линией I = const. Раскрывая скалярное произведение, получим
x lxq + ytfq = (х 1-УЯ ~ У1хя ) с1&в -
Далее с помощью ранее описанных Приемов можно получить соответст вующие выражения для параметров
8*Ф-
Ряд расчетов, проведенных авто рами, показал, что при решении зада чи о течении газа в межпрофильных каналах введение дополнительного
Рис. 5.3. Разбиение расчетной области на элементы
183
/
условия для пересечения координатных линий |
практически не сказывается |
на точности получаемых результатов. Однако |
само по себе наличие такой |
возможности может оказаться существенным |
при дальнейшем развитии |
метода. |
' |
|
/ |
5.5. НЕКОТОРЫЕ ОСОБЕННОСТИ МЕТОДА РАСЧЕТА |
/ |
I |
При итерационном решении вариационного уравнения для потенциала скорости необходимо задаться первым приближением, которое, естествен но, должно быть достаточно близким к искомому решению. При его зада нии могут применяться самые разнообразные подходы. В частности, прак тика проведения расчетов показала, что эффективным является использо вание в качестве первого приближения решения уравнения (5.15) для несжимаемого потока, т.е. при условии р = const. В этом случае не требует ся создания специального модуля для расчета потенциала течения в началь ном приближении, так как минимизация функционала (5.15) при р = const осуществляется по уже имеющимся алгоритмам. Для оценки сходимости используется общепринятый критерий, согласно которому итерационный процесс считается завершенным, если для всех узлов сетки выполняется условие
пп +1
пп +1
где Фi и Фг- —значения потенциала в i-м узле на двух соседних итера циях, а е —задаваемая при расчете погрешность вычисления. При практичес ком проведении расчетов достижение значения е = 0,001 позволяет прер вать итерационный процесс и получить хорошие результаты. На рис. 5.4 и 5.5 приведены результаты расчета распределения скоростей вдоль наруж ных обводов профиля для двух плоских решеток, исследованных экспери ментально на различных режимах обтекания. Как видно из рисунков, ре зультаты расчета имеют вполне удовлетворительное согласование с экспе риментальными данными во всем диапазоне приведенных скоростей на вы ходе из решетки. Для достижения сходимости процесса требуется обычно от четырех до восьми итераций. Программный модуль, реализующий разра ботанный алгоритм, занимает от 200 до 300 Кб оперативной памяти ЭВМ типа ЕС, что позволяет получать результаты на достаточно густых сетках, полностью удовлетворяющих требованиям, предъявляемым инженерной практикой к точности проводимого расчета. Время работы модуля состав ляет от 5 до 10 мин.
При расчете сверхзвуковых режимов течения изложенный метод расче та несколько усложняется. Прежде всего, как уже было сказано, при сверхзвуковых скоростях нельзя применять метод линеаризации для урав-
184
Рис. 5.4. Результаты расчета распределе |
Рис. 5.5. Результаты расчета распределе |
ния скорости вдоль наружных обводов |
ния скорости вдоль наружных обводов |
экспериментально исследованной плос |
экспериментально исследованной плос |
кой рабочей решетки I ступени турбины |
кой решетки 2 ступени турбины венти |
вентилятора |
лятора |
нения потенциала и, следовательно, решение задачи в конечно-элементной постановке сводится не к минимизации функционала (5.15) для линеари зованных уравнений, а к соответствующему решению уравнений (5.9) в постановке Галеркина. Если для конечно-разностных методов проблема расчета течений в сверхзвуковых областях достаточно изучена и использова ние, например, метода установления с применением схемы Годунова либо различных релаксационных методов позволяет уверенно получить характе ристики потока с выделением скачков уплотнения, то для метода конечных элементов подобные расчеты находятся в стадии становления. Сравнительно недавно на решение задач гидродинамики методом конечных элементов был распространен известный способ введения искусственной сжимаемости для сверхзвуковых потоков газа. В результате незначительной модифика ции выражения для плотности, фактически эквивалентной введению искус ственной вязкости, задача расчета для трансзвукового течения превращает ся в задачу, для которой можно применять обычные методы решения. Хафез с соавторами несколько преобразовал выражение для плотности, приведя его к виду
Р = Р |
- р ( —— )Д5, |
|
(5.24) |
|
Эр |
^ |
и |
Эр |
v Эр |
* ( _ |
) « - |
_ ( _ |
) Д , |
Д,; |
(л —коэффициент искусственной сжимаемости.
185
Решение, получаемое путем введения искусственной сжимаемости, естественно, зависит от параметра д, который выбирается в зависимости от типа используемых элементов, вида расчетной сетки, размеров элемен тов и т.д. В качестве первого приближения для различных узлов сетки сле дует выбирать приближение, зависящее от местной скорости потока, при чем значение д должно равняться нулю в дозвуковых областях, т.е. для узла сетки (/,/) величина коэффициента д оценивается по формуле
|
2 |
Vij = m ax[0, (1 |
г - ) 1 • |
vi,i
Вслучае неудовлетворительной сходимости величина параметра д подби рается путем умножения найденного значения д/ j на специально выбранный
постоянный коэффициент.
Для аппроксимации производных плотности рх и ру в соотношениях (5.24) применяются, как это чаще всего делается, односторонние разности против потока, составленные по значению плотности на предыдущей итера ции для центральных точек двух соседних элементов.
При расчете распределения скорости в межпрофильном канале с мест ными сверхзвуковыми зонами течения сходимость итерационного процесса, естественно, достигается медленнее, чем в случае полностью дозвукового потока. В частности, при получении результата для одной и той же решетки профилей с наличием развитых сверхзвуковых зон и без них время расчета возрастает в среднем от 5 ... 10 до 15 ... 20 мин при использовании ЭВМ типа ЕС. Тем не менее, благодаря высокой точности получаемого численного ре шения поставленной задачи применение такого подхода полностью оправда но и весьма эффективно. Кроме того, время расчета может быть существен но сокращено путем соответствующего подбора коэффициента в выраже нии для искусственной плотности и применения ряда специальных приемов. В частности, большой эффект, как отмечается в ряде работ зарубежных ав торов, может дать использование переменных размеров сеток и экстрапо ляции по Ричардсону. Необходимо отметить еще такое преимущество метода расчета течений в лопаточных венцах с помощью конечных элемен тов, как модульность структуры и универсальность отдельных програм мных секций. Как будет показано, они, в частности, широко используются для решения задачи о нахождении характеристик потока при течении в ме ридиональной плоскости проточной части турбины. Применение такого единого подхода позволяет значительно упростить и решение задачи получе ния параметров квазитрехмерного течения в элементах проточной части.
186
5.6. ТЕЧЕНИЕ ГАЗА В МЕРИДИОНАЛЬНОЙ ПЛОСКОСТИ
ПРОТОЧНОЙ ЧАСТИ ТУРБИНЫ
Важной задачей при расчете аэродинамических характеристик потока
влопаточных венцах является задача определения параметров течения в ме ридиональной плоскости проточной части турбины. На стадии проектиро вочного расчета при выборе формы и основных размеров проточной части
вконструкторских организациях, занимающихся турбостроением, исполь зуется, как правило, расчет турбины по среднему диаметру, который впос ледствии распространяется на все сечения по высоте лопатки путем введе ния полуэмпирических зависимостей для параметров потока, полученных,
восновном, на основании обобщения результатов практики проектирова ния (см. гл. 3). Такой подход, несмотря на приблизительное моделирова ние физической картины реальных процессов, имеющих место в лопаточных венцах, тем не менее позволяет получать лопатки турбин, имеющие удов летворительные аэродинамические характеристики, что объясняется, глав ным образом, многолетним практическим опытом, накопленным при ре шении аналогичных задач. Однако задача детального численного исследова ния процессов, происходящих в проточной части турбины, является весьма
актуальной. Прежде всего, результаты расчета течения в меридиональной плоскости дают возможность в пределах используемой математической модели с достаточной степенью точности определить значение вектора скорости на выходе из лопатки в каждом сечении по ее высоте, что играет существенную роль при прогнозировании характера течения в лопаточных венцах и оценке аэродинамического качества проектируемой ступени. Кроме того, как было сказано в гл. 3, гипотеза о равенстве нулю радиаль ной составляющей абсолютной скорости и полученное в результате ее применения упрощенное уравнение радиального равновесия не позволяют получать реальное протекание линий тока вдоль пера лопатки. Наконец, решение подобной задачи необходимо для моделирования пространствен ной картины течения в лопаточных венцах. Даже при принимаемом обычно предположении о невязком и нетеплопроводном газе задача о трехмерном течении в проточной части турбины является чрезвычайно сложной. Для создания упрощенной модели, допускающей численное решение задачи, необходимо принять дополнительные допущения. Фактически такая модель существует и используется на практике, однако теория, обосновывающая применение этой модели, была разработана лишь сравнительно недавно. Согласно этой теории, основы которой были заложены By, трехмерное течение получается в результате суперпозиции двух плоских течений:
осесимметричного течения в меридиональной плоскости; течения газа по цилиндрическим поверхностям тока в межпрофильном
канале.
Расчет параметров пространственного потока по такой квазитрехмерной модели с помощью современных отечественных ЭВМ может быть про веден за время, приемлемое для инженерных расчетов, при удовлетвори
тельной точности получаемых результатов. |
187 |
Задача о течении газа в меридиональной плоскости так же, как и задача о течении в межпрофильном канале лопаток турбин, решается методом ко нечных элементов, об основных достоинствах которого говорилось ранее. Применительно к специфике решения этой задачи следует еще учесть и то, что использование при расчете элементов с криволинейными границами поз воляет непосредственно учесть форму проточной части с произвольными изменениями ее обводов вдоль втулки и корпуса.
Будем рассматривать установившееся адиабатическое осесимметричное течение невязкого сжимаемого газа. Уравнение энергии, записанное в виде общей формы первого закона термодинамики, имеет вид
T V S = V h - |
(5.25) |
|
р |
где S —энтропия потока, h —его энтальпия. Используя уравнения Эйлера (5.2) и учитывая, что
( V X V ) V |
V V 2 |
|
|
= -------------F X ( V X F ) , |
|
||
|
2 |
|
|
уравнение (5.25) легко преобразовать к виду |
|
||
- F X ( V |
X V ) = T V S - |
V tf, |
(5.26) |
|
|
V2 |
. Для лопаток рабочего колеса |
где Н —энтальпия торможения Н = h + ----- |
|||
скорость в относительном движении W = V |
+ CJ XR , где со — угловая |
||
скорость ротора, и уравнение (5.26) принимает вид |
|||
- W X ( V X W ) = T V S - |
VHR , |
(5.27) |
где HR - энтальпия торможения в относительном движении (ротальпия),
W2 |
OJ2R 2 |
HR = h + -------------------- |
. |
2 |
2 |
Можно показать, что в предположении адиабатичности и стационарности потока уравнение сохранения энергии для лопаток ротора и статора имеет, соответственно, вид
( W X V ) H R = 0;
( V X V ) H = 0,
что означает постоянство энтальпии торможения и ротальпии вдоль линии тока. Предположение о стацшнарности потока, очевидно, эквивалентно
188
предположению о пренебрежимо малом влиянии закромочных следов каж дого предыдущего лопаточного венца на последующий. Предположение об адиабатичности в данном случае показывает, что рост энтропии вдоль линии тока обусловлен влиянием диссипативных сил и равен производимой ими работе.
Для решения поставленной задачи применяется метод, разработанный Хиршем и Варзе. В работе [19] ими были получены уравнения для осредненного в окружном направлении движения при предположении осесимметричности потока. При получении этих уравнений учитывалось, в частности, загромождение области течения в проточной части лопатками ротора и ста тора конечной толщины. Осредненное уравнение неразрывности в цилинд рической системе координат {Л, 0, Z J можцо записать в виде
4 |
(p R b V R ) + - 1 (p R b V z) = 0, |
(5.28) |
ок |
oZ |
|
где b - коэффициент загромождения, определяющийся через толщину про филя спр и текущую ширину межлопаточного канала fкан,
Ь = 1 - |
. |
(5.29) |
*кан
Уравнение неразрывности тождественно удовлетворяется путем введения функции тока ф:
д ф
—- p R i , V t ;
Э ф |
(5.30) |
j - = - p R b V R , |
вкоторой все физические параметры представляют собой уже осредненные
вокружном направлении величины.
Уравнения количества движения также осредяются при условии осе симметричности. Основным уравнением, подлежащим решению, является осредненное уравнение количества движения в проекции на радиальное нап равление, записанное для введенной функции тока ф и полученное в пред
положении об отсутствии массовых и диссипативных сил. Это уравнение имеет вид
д |
1 |
Э ф |
д |
( |
1 |
дф |
|
------ ( ------------ |
pRb |
_ ) |
+ ----- |
---------------pRb |
_ ) = |
|
|
д R |
ЭR |
3Z |
|
ЭZ |
|
||
1 |
ЭЯ |
Т |
Э S |
|
у± |
|
(5.31) |
= ----- |
[ --------- |
-------ЪR |
|
R |
ЭR ■(ДГ„)] |
||
vz |
ЪR |
|
|
|
189
Допущение об отсутствии массовых и диссипативных сил при получении уравнения радиального равновесия (5.31) в основном незначительно сказы вается на точности получаемых результатов. Некоторая погрешность наблю дается лишь в районе ступицы рабочих лопаток и в их периферийных сече ниях, но ее величина вполне приемлема для инженерных расчетов. Наличие осевой составляющей скорости Vz в знаменателе правой части уравнения (5.31) приводит к тому, что, например, для машин радиального типа, когда Vz может быть весьма малой, уравнение (5.31) становится непригодным.
В этом случае велика радиальная составляющая VR и можно перейти к рас |
||||
смотрению уравнения движения в проекциях на осевое направление |
||||
Э |
1 д\р |
Э |
1 |
дур |
ЭЯ |
p R b ^ Г ) + ^ Г ( p R b 0Z |
[Т |
Э S |
э* |
+ Ув |
az |
(5.32) |
|
az |
Эz |
я |
||||
|
||||||
В дальнейшем |
будем |
рассматривать |
уравнение (5.31). Заметим, что это |
уравнение описывает течение в межлопаточных каналах статора. При тече нии в осевом зазоре, где нет лопаточных венцов, необходимо в уравнении
(5.31) положить Ъ = |
1. Для лопаток ротора в уравнении (5.31) следует за |
||||||
менить энтальпию торможения Н на ротальпию HR , а соответствующие |
|||||||
проекции абсолютной скорости на проекции относительной скорости W . |
|||||||
Перепишем уравнение (5.31) в более компактной форме |
|
||||||
а |
\ра |
az |
а |
|
|
|
|
эя |
эя + |
az |
+Я |
а д |
= 0, |
(5.33) |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
где к — |
|
|
|
|
|
|
|
p R b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
as |
ая |
в |
ая |
|
|
f ( R , z ) = |
[ Т |
----------------эя |
ая + |
я |
( R v e)] |
(5.34) |
Граничные условия на границе S некоторого замкнутого объема V задают ся уравнением
а\р
* — + <*!«'- 1 Ы =0 . (5.35)
ап
На части поверхности |
где ф определена, ф = ф0 и oci °°. На части по- |
|
аур |
|
= Ои Si US2 = S. Поделим уравнения (5.33) |
верхности S2>где----- = 0, |
||
Э п |
|
|
190