книги / Основы проектирования турбин авиадвигаделей
..pdfданные для поверхностей, отличных от цилиндрических. В этом случае гра ничные условия для функционала (5.15) вдоль линий АВ и АН (см. рис. 5.1) примут вид
А - В <*>(j;) =rVy sin0! {у —у в ) ;
А —Н Ф(>>) = Фв с + rVi sinj3i t.
Соответственно вектор правой части полного уравнения минимизации нес колько модифицируется
|
|
1 |
|
|
4 |
|
|
1 |
{ F Л |
= — rp2 V2cosj32I , |
О |
с J |
6 |
О |
|
|
О |
|
|
о |
Угол наклона вектора скорости в локальной системе координат
1 |
dNf |
|
у — arctg |
|
f 1 |
Щ |
||
l ^ |
- l |
{<*>,} |
Далее применение описанного ранее алгоритма дает решение задачи при ука занном дополнительном условии.
ГЛАВА 6. ПРОФИЛИРОВАНИЕ ЛОПАТОК ТУРБИН
6Л. ЗАДАЧА ПРОФИЛИРОВАНИЯ И ОСОБЕННОСТИ ЕЕ РЕШЕНИЯ
Надежность и экономичность турбин авиационных двигателей в значи тельной степени определяется совершенством лопаточных венцов. Поэтому проблема создания высокоэффективных, технологичных и надежно рабо тающих в условиях высоких температур и напряжений лопаток сопловых аппаратов и рабочих колес была и остается в центре внимания специалис тов, занимающихся двигателестроением.
Проектирование пера лопатки обычно разделяется на две взаимосвязан ные задачи. На первом этапе, как правило, выполняются три основных се чения: верхнее, среднее и нижнее (исключение составляют лопатки, имею
7 - 8 4 1 |
201 |
щие профиль неизменной формы по высоте). Вначале профилируется верх нее сечения, для которого превалирующими являются соображения техно логического и конструктивного порядка: наличие бандажной полки, внут ренней полости, минимально возможная толщина стенок и т.д. Площадь сечения с учетом всех этих требований выполняется минимальной. По пло щади спроектированного верхнего сечения определяется площадь всех ос тальных в соответствии с заданной зависимостью FПp0ф = F(D) и отноше-
_ F
нием F = ——. При проектировании нижнего сечения, имеющего, как прави ли
ло, большие углы поворота потока, наряду с необходимостью получения заданной площади профиля при минимально возможной его относительной толщине необходимо обеспечить еще и приемлемый закон изменения шири ны межлопаточного канала. После построения указанных сечений рассчиты
вав + В н
вается среднее сечение на диаметре £>ср =■ —------- .
По окончании профилирования основных сечений они совмещаются
всоответствии с заданным законом. Закон совмещения задается обычно
ввиде зависимостей
*хар,- = f x i ( D ) ;
i = 1, 2, 3, п
■^хар/ ~ f YiС ® ) >
где J^xapb Y хар/ —координаты /-й характерной точки сечения, a D —диа метр, на котором оно расположено. В качестве характерных точек могут быть выбраны центр тяжести сечения, центры окружностей скругления входной или выходной кромки, центр максимальной вписанной в профиль окружности и т.д. Если кромки профильной части лопатки окажутся сильно искривленными вдоль пера или положение ее в меридиональном сечении проточной части будет признано неудовлетворительным в результате чрез мерно больших или недопустимо малых зазоров между лопаточными венца ми, то производится коррекция части ее размеров и повторяется расчет ос новных сечений. Применение гипотезы плоских сечений при профилирова нии позволяет выделить одну из основных задач процесса конструирова ния —создание плоских решеток профилей, реализующих заданную величи ну и направление скорости на выходе при условии минимума аэродинамичес ких потерь и удовлетворении требований, необходимых для обеспечения заданных запасов прочности. Вместе с тем форма профиля поперечного се чения лопаточного венца на каждом расчетном диаметре должна удовлетво рять еще и условиям, вытекающим из особенностей технологического про цесса изготовления лопатки и обеспечения высокой производительности в серийном производстве.
Накопленный опыт турбостроения, теоретических и экспериментальных исследований дает возможность для широкого класса решеток профилей
202
|
установить ряд критериев, определяющих эффективность их работы. Широ- |
, |
ко известны рекомендации по выбору величин углов входа и выхода пото- |
I |
ка, значения эффективного угла, оптимального значения густоты решетки |
?и т.д., соблюдение которых позволяет уверенно строить профили, обладаю
щие высоким аэродинамическим качеством. Однако все эти параметры, являющиеся важнейшими характеристиками проектируемых лопаточных венцов и оказывающие существенное влияние на уровень аэродинамичес ких потерь в них, тем не менее не определяют его полностью. Не подлежит сомнению тот факт, что при заданных параметрах газа перед решеткой мест ная скорость на спинке профиля, а следовательно, и коэффициент профиль ных потерь в решетке зависят, главным образом, от двух факторов —ха рактера изменения ширины канала и закона изменения кривизны вдоль линии, очерчивающей спинку профиля. Кривизна другой стенки канала, участвующей в его формообразовании, — корыта соседнего профиля — влияет на картину течения значительно слабее, так как скорости обтекания и вероятность отрыва потока на ней ниже. При соблюдении всех известных оптимизирующих зависимостей для различных параметров решетки профи лей форма границ межлопаточного канала может меняться в весьма широ ком диапазоне, что влечет за собой возможность реализации самых разнооб разных законов распределения скорости и различных уровней аэродинами ческих потерь в нем. При проектировании любой лопатки приходится на ходить компромиссное решение задач, выдвигаемых совокупностью предъ являемых требований, и, как правило, не удается выдержать все сущест вующие рекомендации. Это особенно характерно для процесса создания ох лаждаемых лопаток высокотемпературных турбин авиационных двигателей. При размещении внутри лопатки каналов для охладителя приходится вно сить в общепринятую форму внешнего обвода профиля, характерную для неохлаждаемых лопаток, некоторые изменения, нередко увеличивая при этом уровень профильных потерь. Для охлаждаемых лопаток типичны боль шие углы поворота потока (поскольку они используются в основном на первых ступенях турбины), утолщенные входные и выходные кромки,
большие относительные толщины проф иля-^- и большие углы заострения
а>! и а>2 (рис. 6.1). Следова тельно, наряду с наличием оптимальных соотношений для таких величин, характе ризующих профиль, как его хорда Ъ, угол входа (З^,
„ |
Ь |
угол выхода j32fc, густота —, |
|
относительная |
t |
толщина и |
|
Рис. 6.1. Геометрические пара метры решетки профилей
203
т.д. необходимо иметь рекомендации, позволяющие получать решетку про филей, обладающую низким уровнем аэродинамических потерь даже при невозможности соблюдения некоторых известных оптимизирующих зависи мостей для ряда геометрических параметров. В этих условиях наиболее общим критерием, непосредственно связанным с уровнем аэродинамичес ких потерь в решетке профилей, является закон распределения кривизны вдоль наружных обводов плоского параллельного сечения лопатки турбины, определяемый значением всей совокупности геометрических параметров профиля. Таким образом, наряду с разработкой метода аналитического профилирования при решении задачи проектирования лопаточных венцов необходимо предварительно решить задачу о выборе благоприятного зако на распределения кривизны вдоль контура профиля, а затем использовать полученные результаты на этапе создания соответствующего алгоритма.
6.2. ПРОФИЛИРОВАНИЕ НАРУЖНЫХ ОБВОДОВ
ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ ЛОПАТОК ТУРБИН
Особенности методов аналитического профилирования
В практике современного газотурбостроения существуют различные способы формообразования наружных обводов профилей лопаток турбин. Рассмотрим методы описания наружных обводов, в которых проектирова ние проводится с учетом закона распределения кривизны.
Большое распространение в практике турбостроения получил способ описания контура профиля с помощью полиномов различных степеней [2]. При описании кривых, очерчивающих наружный контур профиля, с помощью полиномов шестой степени для значений самой функции и ее первой производной на границе области определения (как правило, коорди наты профиля приводятся к его ширине и областью определения является отрезок [0,1]) задаются граничные условия, однозначно связанные с ха рактерными геометрическими величинами профиля (радиусами входной и выходной кромок, углами входа и выхода, углами заострения и т.д.). При учете влияния кривизны применялся подход, который положил начало одному из направлений в развитии методов автоматизированного проекти рования лопаток турбин. Суть его состоит в том, что недостающие гранич ные условия для вычисления коэффициентов полинома выводятся из
требования минимума функционала J = / Кр2 (S)dS, где интеграл в пра-
о
вой части является квадратичной нормой для функции, описывающей рас пределение кривизны. Последняя задача решается путем применения для нахождения вторых производных полинома на границе области определе
ния статистических зависимостей, таких, что 1
У'(0) =yi'; / '( 1 ) = У? : / Кр2 (5) dS -> min.
О
204
S |
Все модификации этого способа проектирования сводятся, в основном, |
С |
к разнообразным приемам, применяющимся при решении задачи минимиза- |
\ |
ции приведенного выше функционала. Обычно для этой цели используются |
f различные статистические зависимости, выражающие значения производных
: |
у о , у i на концах отрезка [0,1] через значения функции и ее первых про |
|
|
изводных в тех же точках. |
|
|
При всех достоинствах такого подхода к решению задачи описания на |
|
|
ружных обводов профилей следует отметить, что, во-первых, априорное за- |
|
, |
дание критериев, определяющих благоприятное распределение кривизны |
|
|
1 |
1 |
|
посредством норм вида / Кр2 (S) dS, |
/| Кр (5) | dS и т.п., не является доста- |
оо
точным, так как эти интегральные характеристики не определяют пол ностью характера изменения кривизны и, в частности, градиента функции кривизны. Кроме того, очень большую сложность представляет математи
ческая сторона вопроса, а именно, доказательство существования глобаль- 1
ного минимума функционала / Кр2 (S)dS и создание надежного алгоритма
о
и программного модуля, обеспечивающего поиск этого минимума незави симо от значений первых приближений для у" (0) и у "(1). Тем не менее, подобное описание профилей лопаток турбин применяется в практи ке авиационного турбостроения и дает возможность получать решетки, обладающие относительно высоким аэродинамическим качеством.
Метод доминирующей кривизны, разработанный Б.И. Мамаевым и Е.К. Рябовым, принципиально отличается от всех существующих способов автоматизированного проектирования лопаток турбин тем, что в качестве непосредственно определяющего параметра выбирается не сама линия обвода, а ее кривизна. При построении решетки профилей таким образом используются все геометрические параметры; кривизна рассчитывается в соответствии с этими параметрами и представляется кусочно-гладкой ло маной линией. Учитывая, что подавляющее большинство всех применяемых на практике профилей лопаток турбин имеет распределение кривизны, на ходящееся в пределах узкого класса разнообразных кривых, описание та ких лопаток с помощью многозвенной ломаной линии эффективно прежде всего тем, что позволяет управлять законом изменения кривизны и обла дает возможностью реализовать различный его характер при неизменных геометрических параметрах профиля. Метод доминирующей кривизны яв ляется в настоящее время единственным из всех существующих методов аналитического профилирования, позволяющим автономно получать различ ное распределение кривизны при фиксированных параметрах профиля. Од нако отсутствие рекомендаций по целесообразному характеру ее изменения и единых критериев, описывающих пути реализации искомого закона, ог раничивают возможности этого метода.
205
Построение наружных обводов профиля
Для построения профилей сопловых и рабочих лопаток их длина разби вается на несколько сечений, находящихся на различных радиусах (рис. 6.2). Корневое сечение обычно выбирается на расстоянии 2 ... 4 мм от начала пе реходной галтели между пером лопатки и ее полкой, что позволяет контро лировать точность изготовления профиля. Величина самой галтели назна чается в зависимости от конструктивного лица лопатки, ее размеров и спо соба изготовления. Верхнее сечение I - I выбирается, как правило, на таком же расстоянии от верхнего обреза лопатки, что и нижнее от переходное гал тели. Остальные сечения располагаются между сечениями I - I и V —V.
Таким образом, как уже отмечалось ранее, задача профилирования сво дится к определению формы выбранных плоских параллельных сечений проектируемой лопатки. На этом этапе необходимо наличие следующих основных сведений о лопаточных венцах.
1. Схемы проточной части турбины в меридиональном сечении, выбран ной на основании предварительных газодинамических и прочностных расче тов, на которой в первом приближении указывается ширина и число сопло вых и рабочих лопаток.
2. Результатов газодинамического расчета турбины, включающего в себя скорость и направление потока на входе в лопаточный венец и на вы ходе из него в каждом расчетном сечении.
3.Закона изменения площади сечений по высоте лопатки, задаваемого по результатам предварительного расчета на прочность.
4.Конструктивных требований, отражающихся на форме профилей. Например, минимально возможная толщина стенки и выходной кромки, наличие бандажных полок, минимально допустимый литейный уклон в ок рестности выходной кромки и т.д. При проектировании охлаждаемых лопа
ток необходимо также учитывать расположе ние и размеры внутренних каналов для ох лаждающего воздуха, минимально возмож ную ширину щели в выходной кромке и ряд других дополнительных требований.
Одним из важных этапов проектирова ния является правильный выбор задаваемых геометрических параметров плоских реше ток профилей (см. рис. 6.1). При решении задачи профилирования основным крите рием аэродинамического совершенства полученной решетки профилей является уровень потерь в ней, который опреде ляет, в конечном счете, коэффициент
Рис. 6.2. Расположение осей координат и задавае мых сечений лопатки
206
полезного действия турбины. Накопленный опыт по проектированию и до водке высокоэффективных турбин и обобщение многочисленных экспери ментальных данных, полученных различными исследователями, показы вают, что величина аэродинамических потерь в решетках профилей зависит, ; главным образом, от следующих параметров: угла изгиба профиля, опреде
ляющегося конструктивными углами входа и выхода в = |
180° — ifiik |
+ |
||
+ 02к) |
и характеризующего поворот потока в решетке е = |
180° — (J31 |
+ |
|
+ j32), |
степени конфузорности межлопаточного канала К = |
sin Pifc |
, угла |
|
--------- |
||||
f |
|
sin 02& |
ъ |
|
i: атаки /, толщины входной и выходной кромок d x и d2, густоты решетки—,
" |
|
ст |
1 |
|
относительной толщины профиля —— , угла отгиба 5, параметров потока — |
||
|
|
Ь |
|
|
числа Маха М и числа Рейнольдса Re и ряда других ведичин. Соблюдение |
||
|
некоторых критериев, как правило статистических, использующихся для |
||
|
задания характеристик решеток профилей и определяющих эффективность |
||
|
их работы, позволяет уверенно проектировать профили, обладающие |
||
|
высоким аэродинамическим качеством. Достаточно подробно вопрос |
||
|
выбора основных |
параметров решетки профилей изложен |
в работах [ 1, |
|
11]. После формирования полного набора данных обычно осуществляется |
||
|
переход к решению задачи описания наружных обводов профилей, которая |
||
|
и будет детально рассмотрена далее. |
|
|
|
Основной кривой, с помощью которой описывается профиль в излагае |
||
|
мом методе, является лемниската Бернулли, представляющая собой част |
||
|
ный случай кривых более широкого класса —овалов Кассини. Выбор этой |
||
|
кривой обусловлен монотонным изменением кривизны вдоль линии и соп- |
||
|
рягаемостью ее с прямой без разрыва второй производной. Наличие участ |
||
|
ков прямых в районе выходной кромки существенно упрощает технологию |
||
|
изготовления лопаток и характерно для большинства методов аналитичес |
||
|
кого профилирования. Лемниската Бернулли полностью удовлетворяет |
||
|
требованиям, предъявляемым к кривым, описывающим наружные обводы |
||
|
плоского параллельного сечения лопатки турбины. Многократное использо |
||
|
вание этих кривых при графическом построении профилей с помощью |
||
|
специального набора лемнискатных лекал показало, что описание наружно |
||
|
го контура таким способом позволяет получать решетки, обладающие вы |
||
|
соким аэродинамическим качеством. |
|
|
|
Рациональное |
представление произвольно расположенной лемнискаты |
|
вдекартовой системе координат имеет вид
х= х 0 +pcos</;
У = у О + р sirup'.
207
Рис. 6.3. Представление лемнискаты в |
Рис. 6.4. Разбиение контура профиля при |
прямоугольной системе координат |
проектировании |
Для описания широкого класса турбинных профилей с разнообразным рас пределением кривизны вдоль спинки при ее проектировании используется от одной до трех лемнискат, отличающихся параметрами х 0 , Уо, % А (рис. 6.3). Корыто описывается одной лемнискатой. Кроме того, в районе выходной кромки имеют место прямолинейные участки. На рис. 6.4 показа на схема разбиения контура профиля с обозначением характерных точек, использующихся при расчете, и кривых, привлекаемых для описания соот ветствующих участков. Как видно из рисунка, расчетная система координат привязана к центру окружности выходной кромки и ось ординат параллель
на фронту решетки. Таким образом, x Tfj |
= 0. |
Определив угол между |
перпендикуляром, восстановленным в точке |
Г8, |
и осьюАТу^ = я — |
СО2
— (02 к — -■— )»легко получить координаты точки Г8
2 |
|
*Г8 = * г 7 |
+ ^2Cosyr g ; |
Утъ ~ У т п |
+ R i S i n y Ts . |
Аналогично определяются координаты точки Т6:
у = Уте - ;
х т6 = * г -7R 2 C O S I T 6 ;
Ут6 =Утп -RiSiny-rt ■
В результате выполненного расчета определены параметры и координаты характерных точек профиля в окрестности выходной кромки. Положение точки Т1г:
Утп =Ут8 - в;
208
Рис. 6.5. К построению лемнискаты Л \
I
*Гц = - (вг+Ла)оовгГ и ;
I |
Утп = t ~ |
. |
|
, Лемниската Л1 |
проходит через |
точки Т8 |
|
1 и |
T ll9 причем |
перпендикуляры |
к ней в |
Шэтих точках составляют с осью углы ут&
!и Чтц (Рис* 6.5). Если точки Т8 и Т п лежат на Л1 , то справедливы следующие равенства:
Рт8 - А х у / cos — (yTs - a j ;
Ртп - A \ \ J cos — (7Ги - а О .
Сдругой стороны, для треугольника
Q\T%Tn |
из |
теоремы синусов следует |
|
Рти |
|
sin[7Г - (в + ф) ] |
|
Рт8 |
|
sin0 |
cosi// + sini//ctg0. |
|
|
||
З д е с ь » - |
Tr« - ' №|1 |
, |
|
|
|
3 |
|
так как |
= |
- ^ |
7Г8 + 2 ai |
п >а ^Г8 = — ~ ------ и ^ г и |
|||
кает из свойств лемнискат.
Представляют интерес два предельных случая:
р т11 = 0 и |
Ртп -> оо # |
Р г 8 |
Рт8 |
(6,i)
УТ\ 1 +
— —---------, что вьгге- 3
Первый случай соответствует такому положению, когда полюс лемнискаты совпадает с точкой Г1Ь второй —когда полюс совпадает с точкой Г8. Рас смотрим первый случай
р т1, =_cosiр + sini//ctg0 = О, |
( 6.2) |
p T s |
|
где0 -уголмеж ду прямыми Т8Т п |
и О iT ,,. Как известно, |
209
1 + tgv>7-n tgiP |
, |
(6.3) |
||
Ctg0 = _ . |
|
|
||
tg*PTn ~ |
|
|
|
|
где у — угол между осью X и секущей, проходящей через точки Т8 и Г1Ь |
||||
~ |
У Т 8 |
_ |
|
|
^ *8 ^ |
• Подставляя это выражение в уравнение (6.2), по- |
|||
х Т п ~ х Т 8 |
|
|
|
|
лучим |
|
|
|
|
(1 + tg ^ n tg<^)sini// + cosip (i&PT n - |
tgФ) = 0, |
|||
откуда легко выразить |
|
|
|
|
sin (ф + Фт ц ) |
|
_ |
|
|
tg^ = |
|
|
= tg(vf/ +^т-п ). |
|
c o s(i|/ |
+ Ф т ц ) |
|
|
|
Подставляя в полученное уравнение выражение для ф и <рт и имея в виду,
что в рассматриваемом случае а х = а тах = 7 ^ |
3 |
11 |
||
+ — тг, получим |
||||
|
|
11 |
4 |
|
(tg^m in = ~ c tg ( |
, 2ТГ“ |
)• |
|
(6.4) |
Правая часть уравнения |
(6.1) обращается в бесконечность, корда, как сле |
|||
дует из уравнения (6.3), tgy = tg ^ j^ . При этом осх - |
a miп = Утв ~ — 7Г- |
|||
Сделав указанную подстановку, получим |
|
|
||
|
IT » + 277-8 |
)• |
|
(6.5) |
(tg^)max = “ Ctg(— ^ |
|
|
|
|
Таким образом, через две точки с заданными касательными лемнискату можно провести в случае, если секущая, проходящая через эти две точки, составляет с осью X угол, лежащий внутри некоторого интервала Фтт К
< * < ¥>тах нли (tg^) m in < ^ < О ё ^ т а х - Случай tg<p > (tg<?) тах означает наличие прямолинейного участка на спинке в районе выходной кромки от точки Т8 до полюса Л1Улежащего на касательной к точке Г8. В этом слу
чае для осх имеем осх = У т8 ----- яг = а m in Определим положение полюса и
4
полюсное расстояние. Обозначим точку сопряжения Л1 и касательной Т9. Перемещая эту точку от точки Т8 вверх по касательной, можно найти такое положение, когда tgtp = (tg^)max. Это и будет полюс J1L Итак, точка Т9 принадлежит, с одной стороны, касательной, с другой —секущей, проходя щей через точку Т п и составляющей с осью X угол <£та х . Координаты точ ки Т9 находятся из решения системы уравнений
210