книги / Основы проектирования турбин авиадвигаделей
..pdfИз формулы (6Л4) видно, что
0 = '1'c i + Ук1 |
(6.16) |
2
В результате совместного решения уравнений (6Л5) и (6Л6) определяются координаты точки С/. Решение системы уравнении производится путем подбора параметра 7 с / точки С\. Диаметр окружности
D - |
У (XKi - *Q )2+ (^ г |
~ ^ 7 ^ |
|
|
|
c o s Q j |
|
Координаты центра |
|
||
х о ш |
= Х К ( ~ |
Di |
|
— |
|
||
у Оъх |
- У к { - |
Di . |
• |
— оптKi |
Закончив расчет окружностей, определяют величину конфузорности канала
Di
К = ----- или его диффузорности, если она имеет место. При неудовлетво-
а2
ригельной зависимости D t = / ( X Q ) (местная диффузорность канала пре вышает 5 % или канал расширяющийся) на нее воздействуют путем измене ния исходных данных (j31 k >/Зэф, 5, R i и т. д .).
6.3, ПРОЕКТИРОВАНИЕ ВНУТРЕННЕЙ ПОЛОСТИ ЛОПАТОК ТУРБИН
Определение линии спинки и корыта
По мере увеличения температуры газа на входе в турбину и внедрения в практику авиационного турбостроения охлаждаемых лопаток возникла не обходимость наряду с отысканием формы и размеров наружных обводов профилей решать еще и задачу размещения внутри лопатки каналов, по ко торым течет охлаждающий воздух. Количество этих каналов, их размер, форма определяются выбранной конструкцией охлаждаемой лопатки и требованиями обеспечения высокой эффективности охлаждения. При этом должны приниматься во внимание применяемые при изготовлении лопатки технологические процессы, .причем возможности того или иного способа
221
изготовления, обеспечивающего требуемую точность, высокую производи тельность и надежные методы контроля, имеют решающее значение при выборе конструктивной схемы охлаждения. Расположение охлаждающих каналов внутри лопатки затрудняет получение требуемого условиями проч ности закона изменения площади поперечных сечений по ее высоте и рацио нального расположения центров тяжести отдельных сечений для компенса ции изгибных напряжений. Наличие в охлаждающих каналах лопатки кон структивных элементов, предназначенных для увеличения поверхности, соприкасающейся с охлаждающим воздухом, и интенсификации теплооб мена в виде поперечных ребер, турбулизаторов, зигов в районе выходной кромки и т.п. значительно усложняет профилирование таких лопаток по сравнению с неохлаждаемыми и вносит естественные коррективы в форму наружных обводов.
Методика проектирования внутренней полости должна давать возмож ность построения полостей различных конфигураций с произвольным рас пределением толщины стенки вдоль контура профиля, причем при ее разра ботке необходимо предусмотреть получение таких наиболее типичных кон фигураций, как постоянная толщина стенки, выход воздуха через щель в выходной кромке и т.д. В данном разделе будет рассмотрен алгоритм ре шения поставленной задачи для профилей, наружные обводы которых обра зованы описанным ранее способом.
Исходными данными для расчета внутренней полости являются толщи ны стенок со стороны спинки и со стороны корыта в районе входной кром ки профиля (АС\ и АА'х), в районе выходной кромки (АСъ и АА'з) и в средней части профиля (АС2 и АК 2). Толщины стенок задаются по радиу сам соответствующих окружностей, вписанных в профиль (рис. 6.9). Из расчета наружных обводов известны параметры трех вписанных окружно стей — входной кромки, выходной кромки и максимального диаметра. Как показано на рис. 6.10, эти окружности касаются линии спинки и коры та в точках A j , И4, А 10 и F x, F4, F l0 соответственно. В профиль вписывает ся еще семь окружностей: две окружности с точками касания А 2 и А 3,
у,
М )
л
Рис. 6.9. Задание толщины стенок при |
Рис. 6.10. Характерные точки, используе- |
проектировании внутренней полости |
мые при построении внутренней полости |
222
расположенные между А х и А 4, одна окружность, касающаяся спинки в точке Т ц , две окружности с точками А 8 и А 9, находящимися между точ ками А п и А 10, и две окружности с точками A s и А 6 — между А 4 и А п. Кроме указанных окружностей строится еще одна с центром Охх. Она на ходится за выходной кромкой и вписывается в продолжение профиля,
образуемое |
касательными в |
точках Т8 и |
Ть . Координаты ее центра: |
о |
X Q |
|
CJ о |
—S |
, а радиус гп |
sin л * |
|
x 0 t , = ----- |
> Уо 1 , = -----— |
= Д2 + *<9 , , ---- ------- ПаРа‘ |
|
15 |
tg fa к |
|
sin 02 А; |
метры остальных окружностей, ранее не определенных, находятся так же, как это делалось при расчете канала.
Для профиля с неизменной толщиной стенки
С
А= ДС, = ДС2 = ДС3
К |
i = 1 ,2 , ,11 |
А= да:, = АК2 = АК3 = E'F',
где Д,- , Д,- — толщины стенок соответственно вдоль спинки и корыта по нормалям к точкам касания z-x окружностей.
Для профилей с выходом охлаждающего воздуха в выходную кромку и постоянной толщиной стенки в передней части
АгС = ДС, = ДС2;
i = 1 ,2 ,..., 7;
А[ = А К 3 = АК2;
С |
д с 3 - д с 2 |
|
+ ас2'> |
А |
----------------~т (xot - * 0 l ) |
||
|
(* о 7 - * о 10) |
|
/ = 8 ,9 ,1 0 ,1 1 ; |
|
|
|
|
л: |
Длг3 - Дад |
|
|
А = |
-----------------г г |
~ * о 7) |
+Д ^2- |
|
(* о 7 - * о 10) |
|
|
Последние уравнения |
получаются из условия, что зависимость А = |
||
= / (х о) |
представляется параболой, проходящей через точки с координата |
ми XQ V А2 и х 0 10, А3, вершина которой находится в точкех 0 у , Д2. Опре деление АI при произвольном распределении толщины стенки вдоль профи ля производится следующим образом. Диаметр окружности, вписанной в
профиль с координатой * 0 |
X |
, определяется интерполяцией поли |
|
номом третьей степени |
|
223
°т■
^ с р ^ с р ~ ^ а т х О с р
т = О
Расстояния от центров вписанных окружностей до линии внутренней поло сти по радиусу
B\Oi = А \ 0 \ — АС2 ;
^ср^ср — ^ср ^ср — >
В юОю = А ю Ою —АС2 .
Приведенный ниже расчет одинаков как для линии внутренней полости со стороны спинки, так и для линии со стороны корыта. Неизвестные значе ния В f i t определяются интерполяцией с помощью полинома
* i0 i |
=Ь0 +Ь1х 0 . +b2XQ. +Ь3х30 . |
|
при ь0 = В 10О10\ |
|
|
Ь1= (В10 1 - *ю 0 ю > - 4 ( * 1О0ю - * Ср°ср) - 2 £ * ; |
|
|
Ь2 = — 4 { В \ 0 1 —i?io0iо) + 4 (^ю 0 ю —* Ср^ср) + |
; |
|
Ь3 = 4 ( В 10 1 - В 10О10) — 4К*\ |
|
|
К * = |
1 [ В срОср( К - 1) - B lQOlQ(K+ 1) - В хОх{ К - 2)] ; |
*0/
*01
где — коэффициент интерполяции, задаваемый проектировщиком в ис ходных данных отдельно для спинки и для корыта.
Если К = 0,5, то Ъ3 = 0 и, следовательно, интерполяция производится полиномом второй степени, если 0 < К < 1, то вторая производная при О ^ х К 1 не меняет знака, т.е. в этом случае функция в указанной области не имеет перегиба. При изменении К от 0 до 1 соответственно будет увели чиваться кривизна линии ВО = f ( x Q) вблизи 1 и уменьшаться вблизи О. Та ким образом, меняя значение К , можно добиться желаемого распределения толщины стенки вдоль обвода профиля. Определив, в зависимости от 224
Л |
IS |
поставленной задачи, одним из вышеизложенных способов Аг- |
и Az- , |
найдем координаты точек: |
|
х в ( = x o i - B i ° i <x>%riA i ; |
|
УВ{ = УО{~ВР ^ У А г
ХЕ i ~ х О i + B i ° i c0Sy F j >
■У#,- = -У<9г + Е jOjSUiyр . .
Как линия спинки, так и линия корыта описываются двумя полинома ми шестой степени каждая. Полиномы сопрягаются в точке-ЯбС^б) так, что их производные в этой точке равны. Коэффициенты полиномов, опреде ляющих линию внутренней полости до точки В6 (Е6), находятся путем ин терполяции точек с Bs (Е5) по В х х (Ех г) : *
6 |
га |
(2) |
/ = 5 ,6 , |
11. |
5 |
amx Bj |
= УВ; |
га= 0
Коэффициенты второго полинома рассчитываются из условия прохождения его через точки В х (Ег) — В6 (Е6) при условии равенства производных в точке сопряжения. Производная первого полинома в точке В 6
(2)' |
6 |
га - 1 |
V K ' — |
v |
|
Увь |
* |
татхВб . |
|
га= 1 |
|
Система уравнений для расчета коэффициентов имеет вид
6 |
, га |
(О |
|
^ |
bmxBj |
- y Bj |
J = 1 , 2 , 6. |
га= 0
После того как определены функции, задающие конфигурацию внутренней
, (О |
(2) |
(1) |
(2) |
полости (ув , у в |
|
, у Е |
, у Е ), определяются параметры окружно |
стей скругления передней и задней кромок (рис. 6.11). Поставленная зада ча решается так же, как это было сделано для вписанных в канал ркружностей. Система уравнений для расчета окружности передней кромки имеет вид
, _ V (УС! - У К !>2 + |
- Хк У |
* |
5 |
2 со so: |
|
225
Рис. 6.11. К определению окружностей |
Рис. 6.12. К расчету координат центра |
||
скругления входной и выходной кромок |
окружности |
скругления |
входной |
|
кромки |
|
|
в = |
|
(“ *1 |
~ a Ci> . |
||
|
|
|
2 |
|
|
tg0 |
= |
tgaCl + ь * к 1 |
|||
|
|
|
|
2 |
|
tg a Ci |
= - |
|
( i ) |
|
|
|
|
|
|
(*<?!> |
|
|
|
|
Ув |
||
|
|
= |
( i ) |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
УЕ |
<XK !> |
||
tg0 |
= |
Ус 1 |
- |
Ук i |
|
|
|
|
|
||
|
|
*С1 - |
|
хк х |
|
Решив систему, находим координаты центра окружности (рис. 6.12):
* 0 , , = x C l + > 4 c o sa C l ;
У о Г1 = У с 1 —Гх sinaCi .
226
Аналогично для |
окружности задней кромки |
|
||||||||
2tg0 |
= tgaC2 + tgaA-2 ; |
|
|
|
|
|
||||
tg<*C2 = |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
( 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
УВ |
|
< * C 2 > |
|
|
|
|
|
|
tg“ A:2 |
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
(2)"' |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
(*Л:2) |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Т'Я |
|
|
|
|
|
|
|
tg0 |
|
^С2 ~ УК2 . |
|
|
|
|
|
|||
|
х С2 ~ хК г |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
l r 2 cosa = \ / ( ^ с 2 ~УК2У |
+ О с 2 - |
^ 2) 2 i |
|
|||||||
2а = аКг - а Сг. |
|
|
|
|
|
|
||||
Координаты центра: |
|
|
|
|
|
|
|
|||
. * 0 ,2 = *С2 + r2 cosaC2; |
|
|
|
|
|
|||||
^ 0 ,2 = ^ с 2 - ^ s i n a C2. |
|
|
|
|
|
|||||
Площадь внутренней полости вычисляется по формуле |
||||||||||
с- |
|
_ 1В* |
Ув |
(2)^ |
f |
? с ‘ |
уд |
dx + / |
(1> . |
|
^вн.пол |
/ |
|
dx + |
|
уд dx + |
|||||
|
|
*С2 |
|
|
ХВ6 |
|
ХК Х |
|||
ХК 2 |
(2) |
|
*С2 |
|
|
|
|
|
||
+ J |
Уд |
dx + $ |
• y r2dx. |
|
|
|
||||
ХЕ6 |
|
|
|
ХК 2 |
|
|
|
|
|
|
Здесь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Угх = 7/-12 - |
( х - х 0 г у |
+у0 г1 -,уГ2 = ^ J r i |
- ( х - х 0г2) 2 +УоГ2 ; |
|||||||
Х К I |
|
|
х - |
X Q |
I---------------------------------- |
+ |
||||
/ y rid x = I — |
. °Li J r ? - ( x - x 0r У |
|||||||||
х с , |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
227
xCl |
x - |
XQ |
r—--------------------- |
|
|
/ |
y f2d x = / |
--------- |
^ 2 - s f r ? - ( . X - X 0 r У f |
||
*Ki |
2 |
|
|
|
|
+ |
—— f(2 - / ) |
— |
+/arcsin |
2 |
° ri i . |
|
2 |
2 |
|
J |
+>'Or2(JCC2 -*дга) + ^ 2; *=*C2 -* jfa .
где / = 1 при yr > y 0r 5
/ = - 1 при уг > У о г •
В случае, когда внутренняя полость не замкнута (охлаждающий воздух выпускается через щель в выходной кромке), площадь рассчитывается нес колько иначе:
|
|
> |
(2) |
|
х Сх |
(1) |
*Е6 |
(1) |
|
^вн.пол = |
J |
Ув |
dx |
+ |
S |
Ув |
dx + / |
УЕ dx + |
|
|
|
*Я |
|
|
|
*В6 |
|
|
|
+ f |
yr i dx+ |
*Я |
(2) |
dx |
, |
|
|
|
|
f |
уЕ |
|
|
|
|||||
-x Cl |
|
|
XE 6 |
|
|
|
|
|
|
где xff = |
- R |
2 sm02)k . |
|
|
|
|
|
|
Закончив расчет внутренней полости, необходимо проверить полученную площадь сечения, которая обычно бывает задана.
При неудовлетворительном результате расчет повторяется с другими исходными толщинами (А!, А2, Аз) •
Если лопатка имеет во внутренней полости оребрение, то ребро охлаж дения можно рассчитать так же, как и профиль внутренней полости. В ка честве исходных данных в этом случае используются величины расстояний от ребер до наружных обводов сечения, вычисляемые по радиусу вписанной окружности. Следует заметить, что
228
АС,- = АС,- + А С /
|
i = 1 ,2 ,3 |
д Х =д а:,- + д а:,-р |
|
jj- |
jjj |
где A |
Cz, A K i —расстояния от наружного профиля до ^ебер в одной из |
трех узловых точек по спинке и по корыту; Ac f , AK i —расстояние |
|
от внутренней полости до ребер. |
Определение центра тяжести сечения и координат профиля
Для последующего определения координат центра тяжести спрофилиро ванного сечения оно разбивается на достаточно большое количество элемен тов линиями, параллельными оси у (рис. 6.13). Расчет центра тяжести ис пользуется для определения всех геометрических характеристик сечения (главных центральных осей, моментов сопротивлений и т.д.), которые в дальнейшем необходимы для расчета лопаток на прочность (см. гл. 7). Чтобы повысить точность отыскания моментов инерции, система координат
изменяется, как показано |
на рис. 6.14. Площадь элемента |
= ajbit где |
ai ~ x i+ i ~ х 0 |
|
|
У м 1+ 1 + У м { |
y N i + l - y Ni |
|
Статические моменты инерции относительно осей х и у
Sx — 2 yjSj\ Sy = Е X jS j ; i = 1 ,2 ,..., к .
Здесь
xMi+ t + *Mt |
У м { + Ум г+ x + xN j + yN i+ J |
xz= ------------------ |
; y t = ------------------ -------------------- |
а к —число разбиений. |
|
Рис. 6.13. К определению координат |
Рис. 6.14. К расчету координат плоского |
центра тяжести профиля |
сечения лопатки |
229
Координаты центра тяжести
х = - £ - ; . у = —— . .
Координаты профиля в произвольной системе координат, характери зуемой углом поворота Q и положением точки начала координат (Ах, Ау) в исходной системе, определяются следующим образом (см. рис. 6.14). Угол между осью г? и полярной осью /-й лемнискаты = осг —Q, а параметр
характерной /-й точки 7/ = 7 —б- Координаты этой точки
Г}{ = (x t - |
Дх) cosg + О,- - |
Ay) sing; |
%i = О / - |
Д д О cosg - (х,- - |
Ах) sing. |
Для спинки наружного контура координата £ по заданному значению коор динаты г/ определяется достаточно просто. Если заданная координата г?зад < < TJT9 находится на прямом участке, то
Z = h 9 ~ (Пт9 ~ 7?зад) tg(7r9 - у ) -
Если г?зад > г?7 9 , то %находится приближениями с некоторой заданной точ ностью (е).
* |
* |
|
7*Ч1. + 207 |
|
|
£/+ 1 “ %Oj + Р/+ 1 ^ |
" |
» |
где
a %Q. —координата полюса/-й лемнискаты; / —индекс одной из лемнискат, описывающих спинку. Для корыта наружного контура профиля при 7?зад ^ V T 5
%= $Т6 - 0?Г6 - ^задИёСГГб - J ) •
Если Т7зад > г/7*5>то, как и Для спинки, £ определяется методом последова тельных приближений
230