книги / Пространственная модель турбулентного обмена

ст большое число компонент, то вычисление матриц Г/ ло формуле (1.7) требует большого количества машинного времени.

В рпботах автора [4, 6) был предложен проси»! и достаточно эффектив­ ный метол решении раэлосшых уравнений типа (1.3), (1.4) - метод не­ полной факторизации, являющийся сочетанием весьма простой вектор­ ной прогонки типа (] .6) и последовательных приближений. Вычисление коэффициентов прогонки здесь сводите» к обращению лишь диагональ­ ных матриц.

| 1.2. Метод разностной факторизации

Идея факторизации разностных уравнений была впервые высказана ИМ. Гельфандом к 0 .6 . Локуцнсвскнм [25, 59] для реш етм одномер­ ных уравнений эллиптического типа.

Изложим кратко одни из возможных вариантов алгоритма фактори­

зации применительно к одномерному	уравнению эллиптического типа
а	(2.1)
- ^Ф + ^-=0

на отрезке а < х < Ь с линейными условиями при х - а и х - й . После заме­ ны производных по дг конечными разностный ура имение (2.1) в каждом

счетом узле отрезка а <дг <& запишется в виде

- О й п +	1= 1 ,2 ... . ,п .	(2.2)
причем
аг+с,*ър,.		(2.3)
Будем предполагать, что в	системе (2.2) граничные условия для	в точ­
ках л = а н х = Ь уже учтены, так что
* 1 = 0 , с,, = 0.		(2.4)

Кроме того, путем предварительных преобразований координат в урав­

нении (2.1)		или соответствующим выбором шагов при переходе к урав­
нению (2 2) всегда можно добиться выполнения неравенств
а{ < С1	при г = 2, 3 ,. . . , п - 1.		(2.5)
Заманим уравнение (2.2) эквивалентной системой
2г = ог/ 2г-1		+ ТгЛ<	(2.6)
где от*,	ъ	- пока неизвестные коэффициенты. Для отыскания этих коэф ­
фициентов разрешим второе да уравнений (2.6) относительно х,			и под­
ставим в первое. Тогда
- с м _ ! “		II 1 + (1 -Юг ^1-1)ЧЧ~ У»и	(2.7)

Полученное уравнение должно быть тождественно с уравнением (2.2). Сравнение коэффициентов уравнений (2.7) и (2.2) дает:

о/ ж*| 7*. 1/в Г/7#.

( 2.8)

При налички	условий (2.4)	на основании	<2.8)	и <2.6)	последовательно
вычисляются	7| и чЭ, во	лссх точках отрезка. В частности, начальные
значения идя функций ул. 2^ ,^ суть
71 = 1УР1,	*1 ->|Л» 9>м=*и-				(2.9)
Приналичли неравенств (2.3) и (2.5) к о эф ф и ц и ен ты и					будут меньше
едншгцы, так что счет но формулам (2.8) и			(2.6)	будет устойчив но отно­
шению к ошибкам округления.

§ 1.3с Факторизация двумерных уравнений диффузии

Перейдем теперь к рассмотрению двумерного уравнения диффузии (1.1) - (1.2). Заменой производных конечными разностями задачу можно свеете к решению системы разностных, уравнений вида

—	с1к*1+1,к - 6 **^ .*-I " ^Я^Г.Ас+ 1+ РНсФ1*= &к>	0 0
причем коэффициенты этого уравнения будут удовлетворять услоаню
0!к	+	(3.2)

во всех счетных узлах области. Ради простоты изложения будем считать, что рассматриваемая область в выбранной системе координат япляетсн прямоугольной, тв. 1 в 1,2 , . . . , Л#, к = 1 ,2 ,. . . , ДО; если рассматриоасмая область содержш только какую-то часть узлов прямоугольной сетки, то в остальных узлах сетки можно написать уравнение

(3.1Г)

В силу того, что система 0 .1 ) записана с учетом граничных условий, будем полагать, что

а\к = сМк=

=

(3.3)

Как нетрудно проверить, уравнение (3.1) нельзя заменить системой разде­ ляющихся разностных уравнений, сходных с (2.6), кик и само дифферен­ циальное уравнение (1.1) нельзя заменить двумя разделяющимися диф­ ференциальными уравнениями первого порядка.

Чтобы реализовать сведение уравнения (3.1) к системе разносшых уравнения первого порядка, прибавим к правой клевой частям уравнения (3.1) выражение

1нк - Г?к^г-1 ,Л+ I + *1кР/+ ! - &{*(г№ + */к)

С3-4)

где коэффициенты гц, н тд остаются произвольными, а значения параметра

0[к зафиксированы, причем О < 0 |* <	I. В результате получим:
-*1*\Р/-1,* -	+
+ (Р/Л-ЯгкГГк - ОпЬк)Ч>1к + г1кФ§-\,к + 1 + ХЛНР/* ь * - 1 =		О-5)
Лиг ~ Л к * Ц к У ) '		( 3'6^

142

Разностное уравнение (3.5) заменим эквивалентной системой

= « /* * /- 1гк+ 0/**Г.к-1 + 7/к^*»	(3.7)
= ЬлЪ+ (.к 4 5л А *+ I 4 Г'Ь

где агкзРибу&к* Лк> Тг* - неизвестные коэффициенты.

Для отыскания этих коэффициентов разрешим второе из уравнении (3.7) о л юс ш ел ьно 7/а и подставим в первое. Тогда получим;

- «/* *У_ 1.к - Ък'?!* I,А ” Ла 1 - Лк ^|к 4 0 + $|_ ] ,* 4

4 Л * Л ,к - 1 )^ к +ог/АЛ- |,|ЫР/_|.*41 4 Л*$Г,к-|'Л+1(к - 1 ттУ(к^9к- (3.8)

Чтобы уравнение (3.8) было эквивалентно уравнении (3.5), их коэф ­ фициенты дол ю ш быть пропорциональны. Следовательно,

Л* = Л*У/л> Лк = с'*7,*. бЛ “ ^ » 7 д .	(3 9 )
а/к Л - I ,* = г/кЪк• 01ЬЛ, А - I ~ 5/к7]к»	( 3-
Ь+ 0 /* ^ - ! .* + Лк8/,* - 1 “ (Л к “ Лк'’/* “ Лк*Тк) 7/к-	(3,1 I)
Подставляя (3.10) и (3.9) в (3.11), получим:
У(к ■ [/>.•* “ Л|* (^_ !рк + Л к ^/- | ,к) 7,- , Л -
- Л к (& .к -| 4 Л *С/.А- 1)7 /.* -|.1 *•	(3.12)
При наличии условий (3.3)

а 1*-Ь(1 я 0

рекуррентная формула (3.12) и формулы (3.9), (3.10) позволяют напу­ чить у1к ц остальные коэффициенты уравнений (3.7) во всех счетных узлах области.

Уравнения (3.7), если учесть (3.6) и (ЗЛО), можно переписать оконча­ тельно в вице

*1* = <*/**/- I .А 4 Рг**/,А- I 4 ^№ *7«/дг»		^	^
- Л **<+ 1,л 4	*-+ I 4 *«»
где
+ I + >*А * 1,*_т +*«<|1
Щк = аТ*Л-1,*>	‘'/к ~Р/А?/,*-!*
В случае выпал Кения условий
*№ + « № < !. «№ + * * < >		(3.14)
счет по формулам	(3.13) при известных значениях	устойчив	по

отношению к ошибкам округления.

Систему уравнении оида (3.13) будем решать методом лоследовагсль-

|гых приближений.		первого приближения функции \р1к задаем
Для	получения			величины
^/к(?), входящие		в правую часть уравнения для г,*. С учетом		условий
(3.3)	и при заданных		уравнения (3.13) позволяют получить	и

во всех, счетных узлах области. В частности, "начальные*’ значения функций *№ и </>,к суть

2 ц = 7 и А ь

При получении второго приближения для	величина	вычисляется
по первому приближению-.
Относительная роль слагаемого I,-*(<?}	в уравнениях	(3.13) и сходи­
мость последовательных приближений будут определяться		выбором пара­
метра 0]*,. Так как минимальные значения функция		при нимаег при

4л» близких к единице, то при отсутствии каких-либо предрар|ггсиы1ых

сведений о характере поля искомой функции \р1к дня		ньггнсле-1т я	первого
пркблнжемсл лучше .всего использовать систему (3.13) нри0^* = 1.
Если сумма коэффициентов о,*, Ьл ,с1К	мало	отличается	от р1к,

то сходимость итерационного процесса (3.13) относительно легко можно

показать	лишь для случал	=	0. При этом одна	итерация по системе
(3.13)	равносильна пяти-шести		обычным итерациям		по формуле (1.3).
Доказательство сходимости итерационного процесса					(3.13) прибг* = 0
было проведено С.М. Ермаковым.
Беляв уравнениях (3.12) н (3.13) положитьв(к				0,5 н к системе (3.13)

добавить формулу обычной нтерадии (1.5), то полученный итерационный процесс

21к = (*Н12{- 1щк+ р1*2г.*-1 + 1Лк + У{кГ(к,

		(3.15)
Ь'т*	^/+1.Аг + бГДг*^,1к+ 1 + *|к»
	1
=	— (а1к Щ- 1 ,* +	И'г,*- I 4*$Лк ^ + I.* 4 6ЛЬ к +, 4 7№/ ‘л )

Р1кЪк

окажется весьма эффективным и легко поддающимся теоретическому исследованию. Практика решения задач показывает, что в этом случае одна итерация равносильна десяти-двенадцати нтсраииям (1.5).

В качестве примера применения схемы (3,15) приведем результаты решения уравнения

З31в

					(3-,6)
внутри области0		1 ,	0	< 1 с граничными успениями
-	= 0 »рк ,	= 0	или	, = 0 .	р .1Г)
ф = 0	при х - 1	или у= 1.

Швг координатной сетки по осям х л у был взят равным А* - Ду= 1У7, так что численное решение для Фнаходилось в 49 точках области. В точках по осям х к у значения 0{к были взяты равными нулю, а в остальных точ­ ках - приняты равными 0,5. При указанных значениях параметра 0^ и выбранном числе счетных узлов коэффициент сходимости последователь-

1М

								Таблица 1.1
Зкгкиня приближений искомой функции * к решению м д 14и
					X
	0	0.1420	0.2857	0.4286	0,5714	0.7142	0,8571	1,00
а - у 3 ) и - у ' )	1.0000	0,9796	0.9184	0,8163	0.6735	0.4899	0,2654	0
1-е приближение	0.2131	0,2168	0,2010	0,1812	0.1554	0,1190	0,0697	0
2-е приближение	0.3916	0,3905	0,3664	0,3309	0.2810	0.2115	0.1196	0
3-е приближение	0.5335	0,5284	0.4964	0,4464	0,3756	0.2796	0,1556	0
б-е приближение	0.7936	0.7802	0.7322	0.6536	0.5428	0.3979	0.2175	0
1-е приближение по формуле Либмана	0.0204	0,0202	0.0196	0.0186	0,0171	0.0152	0.0129	0

ных приближений,определяемый по формуле

оказался равным 0,75, При решении тех же самых 49 разностных уравнений методом обычных

итераций	коэффициент	сходимости ^	равен 0,975. Таким образом, одна
итерация	по формулам	(3.15) в данном случае равносильна одиннадцати
итерациям по методу Лнбмана.
0 табл. 1.1 приведены значения нескольких приближений для искомой
функции	в узлах по оси ж. Для сопоставления приведено первое прибли­
жение, полученное до формуле Лнбмана.
В сочетании с приемами .экстраполяции решение уравнений типа (3.16),
(3.17)	с помощью схемы (3,15) может быть лолучеио с достаточной точ­
ностью примерло 10 т15 итерациями.
Если система уравионий вида (3.1)			решается при заданных значениях

искомой функции на границе области, то для решения задачи можно

использовать	более		экономную			схему,	состоящую из		попеременного
использования двух систем вида (3-13).
Для получения порвего приближения функции								нсяольэуютсн урав­
нении (3.13), а дпявторого приближения — уравнения
21* = $ № г Н 1		+	*1,к- I		+ Ц* * У\х Л **				Р	^
+1к - <*1кЦ- |.Дт + ЬкУ!' *+ I +
где
7/Аг- 1р/к -		сГк(»/+ | ,Аг *			I.*) т/ 4		I, * -
- ^ К к - 1									(3.19)
«/* = а1к7Д»		&1к = Ь <к		г	{№ в с1кТУ*»		$/* =	?/*,
			1Л+1 “		®Мг^«) + А*в Л * - 1 ( ^ - |(*_ 1 ~
а 9\к задано	в	нагтервале		[0,	I). Третье приближение снова находится с
помощью уравнений (3.13) нт.д.
Как показывает			опыт	решения		различных уравнений			диффузии,	гтри

заданных значениях искомой функции на границе области итерационный процесс (3.13) и (3.18) сходится при любом значении 0/* = 0 Я = соля1 из интервала [О, 1], причем быстрота сходимости улучшается с возрастанием 9 от Одо I.

Описанная выше схема получила название явной, но не сразу в момент ее возникновения., а примерно через десять пет, когда была осознана воз­ можность использования неявного вида оператора, задающего связь неиз­ вестной функции и вспомогательной переменной Др этого момента термин "схема неполной факторизации" одноэ1пчн» характеризовал все варианты этого метода. Для удобства дальнейшего изложения запишем уравнение (1,3) в векторно-матричной форме

( 3.20)

где Ф в ( р | >• • • » Л у )» ^ = ( / 1»• • - > М - векторы в		евклидовом простран­
стве	М = т Х г. К «свой м правой частям уравнения (1.7) добавляется
вектор	(/> + Н)Ф:
< / ( +	0 + « ) Ф = /гЧ - ( ^ + / / ) Ф г	(3 .2 1)
где /} -	некоторая матрица; вектор //Фслужиг для	минимизации правой

части получаемого уравнении, т.е. для компенсации сектора СФМатрица О выбирается такой, чтобы А 4 О * Н могла быть представлена

в виде произведения трех матриц:
В = Л + Р + Н= Г - ,ЛУ.	(3.22)

причем Л и .9 - матрицы более простой структуры, чем А, с единичным» элементами на главной диагонали, Г - диагональная матрица.

Уравнение (Э.22) решается методом последовательных приближений

ЯФ" = (0 + //)< * " -1 4 Г	(3.23)
ил и, с учетом (3.22),
Яг" = ГР+Г<Я -*/1)Ф п" \	(3.24)
5Ф "= гя	(3.25)

Являясь сочетанием простой векторной прогонки и последовательных приближений, метод неполной факториэацни оказался логически простым, достаточно эффективным и с успехом применялся дня решения различных задач гидродинамики и переноса тепла а каналах сложной формы. В часто ­ сти, решались уравнения движения н переноса тепла в установившемся продольном патоке жидкости в решетке стержней [18].

Дальнейшее развитие схем неполной факторизации заключалось или в изменении структуры операторов Л и приводящем к уменьшению норм итерируемого выражения Рц(у>), или в изменении структуры компенсн* рующен функция ///*(<р) (см. [5 |и д р .).

Мы рассмотрим оба направления развития схем неполной факторизации. В следующей главе описываются схемы с различными структурами опера­

торов Я л 5		при использовании простейшего вида компенсирующей функ­
ции //}*-(?)» так называемые схемы с диагональной компенсацией.
ГЛАВА 2
СХЕМЫ С ДИАГОНАЛЬНОЙ КОМПЕНСАЦИЕЙ
	§ 2.1. Явная схема с диагональной компенсацией
	В работах	[4 ,6 | разностное уравнение (1.3) переписывалось следующим
образом:
Лдг(*>И		з н Ъ ь = /,* + 0 (к&>) -	( 1. 1)
гДе	(у*)	- некоторое выражение, не содержащее значений	искомом
функции		с исходного пятиточочного шаблона А (<р), т.о. пары (У,

147

входашис в 0 1А(<р), отличны от следующих пяти							пар; (1, &),	(1 - 1, ^
(<•& - ! ) ,	(<	+ I ,* ) , (I,* + I);			!|* - произвольный коэффициент.
В работе		[4] структура линейион функции й Гк (<р) подбиралась такой,
чтобы уравнение (1.1) могло быть заменено системой
21* - «1*		I,*: +■01*Ъ.к-1		+ т	[//А * О» И	+ Н'К(у>)],		^ ( ^
У1к = &А1Л+1.А ‘•'бдИЛ,** 1 + 2|Л,
где
Структура выражения					к значения коэффициентов агд .#,* .
6М, 7 д получались в результате сопоставлении системы (1.2)								с исходным
уравнением (1.1) или (1.3) :
		=		, 40/*?/,*-]УУм.*-1 .				(1-3)
<*<* 88 Уа<*1к 1			= 7/* ^ А .		Ь я - 7 /л С(Н ^	5 Г* “ Ък<*1 к ,
ТМЕЯ (Л *		“ лНг - *» ?!-!. а - ^ Д ^ А - э) ' 1-						(1.4)
Система	уравнении		(1,2)	решалась методом			итераций.	Выражение
0 д ( р ) -	*/а1«а>входящее в уравнение для					г 1к%вычислялось но предыду­
щему приближению.
Слагаемое 5|*^А			вводилось в		уравнение	(1,1)	для компенсации итери­

руемого выражения Оцг (^ ), чтобы правая часть этого уравнения но модулы

была как можно меньшей величиной. В					работе [4]		коэффициент ?/**<*
принимался равным Ога^			ь^ г-	М	>	ГДС	< ].		{$) е
В случае плохо обусловленной задачи в итерируемое выражение
+ / / гл(<р)		на правой и верхней границе			области, где		сое (л, х)	>	0 или
соз(/1, у )		> 0, следует ввести слагаемое к ^ ( я ^ 4					0 <	ж <	I, т.с,
линейную функцию Н и (у?) и схеме (1.2) взять л виде
7 /а Я / а М = - 0 г * ( ОгГ А * 1 -1.А + 0 1 к Ъ ,к - 1 ),Р1к + * * к ( а <* +р1к)Ч>П'									( 1 .5 )
Схему		(1 .2 )-(1 .5 ) можно записать к в				векторно-матричной форме. Для
этого от нумерации узлов			Ц,к) перейдем к нумерации ( / ,* ) , где у =( + А
(индексу / = СОП81 соответствуют счетные узлы на диагоналях рассматри­
ваемой прямоугольной области).
Уравнение (1.1) с учетом (1.3) можно записать в виде
С/Фу- 1 + СО+ «?/)Фу 4			1 = *7 4 ^Г*У-						(1 •$)
Для	его решения спраледп&вв			схема (1 .6 )-(1 .7 ) гл.			1. Формулы		(1 .2 )-
(1.5)	являются реализацией			этой схемы. Решение (1,1) в соответствии с
формулами ((1 .6 ), (1,7) гл, 1) можно переписать в виде

г	,	♦П"7)-		С17)
ф /= - гуя , ф, м * г,,		)= 1 . 2 ......... м + н .
Согласно	структуре	формулы (1,4)	вычисление У(* есть	нс что иное,
как обращение диагональной матрицы» т.с. матрица /*/ + ^ * 0/
входящая в формулу типа (1.7) гл. 1 для I / —диагональная.
Значения	коэффициентов а ^ , 0ц ,		6/* системы (1.1)	не зависит от

нормировки иоходных уравнении (1.3) гл. 1.

Методом	индукции нетрудно покарать, что коэффициенты	^Лг.
бм системы	(1.1) с учетом (1.5) удовлетворяют условиям

X,* =$,-* + + У(кЧ1к + (I -в/*Н *нА -1.* + (?/*&,*_ 1 ) +

♦КгИ<*Лк + Дмг)^ 1<

+^ ____________ ____________°(к + Ь<*___________________________

*к	Сгк + 4 * *Я1к + (1 - 0(*)(в1*8<-1.г* +	) + К1к(*/к + Ь{к)
		( 1.8)

Выбором параметров 01к и к** можно добиться выполнении условия

“I* * Рта < 1. Таким образом, пространственная счетная устойчивость схемы (1.2) всегда может быть обеспечена.

Для улучшения устойчивости итерационного процесса (1.2) при 0** > О в работе [41 добавлялась обычная итерация по Либману, которую с учетом (1.5) можно записать в виде

--------- (°« Ч>}-\ ,л Ъ к */ У - I *	*}?I.А + &Л *1 .к м + У(к М -
УнРи	(1.9)

Пр«« (к & 0,5 одна итерация по схеме (1.2). (1.9) равноце1ша примерно Ш обычным итерациям ло формуле (1.9).

Задача Неймана рентастен па схеме ( 1.2) без закрепления искомой ф унк­ ции р в какой-либо точке с к/к > 0 в выражению (1.5). При этом после каждом итерации по схеме (1.2). (1.9) на получаемого приближения вычи­ тается сто среднее значение по всей рассматриваемо» области.

§ 2.2. Неявная схема с д иагональной компенсацией
Схема	(1.2)		весьма проста, по имеет один методический недостаток.
Если мы	будем		применять систему		(1.2)	к	решению	уравнений	(1.1),
не содержащих члена				(, *,т.е. аппроксимирующих задачу
Эр	Э	(	др	л(У >< о,		0 < х < 1 ,		0 < у <	I,
и -----------—		I к	—
Эх	Зу \		Ъу						(2. 1)
				р~ р ц (у)
*® М -И )		при дг= I ,			при у = О,		*>-р3(л) и р н у = 1,

то решение но схеме (1.2) будем получать все равно итерациями, в то вре­

мя как уравнение		(1.1) при а1к = 0	решается без всяких итераций путем
поспедойа1слмюго		решения прогонкой одномерных уравнений на линиях
/ = 1и, т -	1, м -	2 и так далее.
В 1970	году в	работе автора [6]	был предложен первый вариант неяв­

ной схемы неполной факторизации. В этой схеме оператор Д имеет двухто­ чечную структуру, а оператор 5" - неявную четырехточечиую.

Исходное уравнение (1.3) заменялось системой

	,* ♦	7I* [( п + ^ 1 к (р ) ~ *1кР(к\ ,	^ ^
Ш -	г- 1 -	8и № .к + а = ^1*VI* 1,к + *№.

169

что приводило к
		® «гС А -1|1с^Г-1,к-Г			* * | - | . Г Л - 1 Л г * |)					(2 .3)
«ф ормулам дин коэффициентов этой системы:
а ц	= 1{к .		А* н У(КЬ/к,		= Т/лОа»					р	4^
6 ц	я У ц **м ,		7 га = ( Р / л - Чк -		в « Ь - и * ) " 1•
Коэффициент				принимался		равным		0л№(/?,_, *	+	5, _ , * ) ,
О < 0	«	I.
На	правой границе области (где сов (г?, х)							> 0) полезно яслопьзопать
линейную функцию //,* (р ) в схеме (2.2) в виде
Т Л	№ = “ 6 *>/А ( А - I „А + А - I .*№ /*					+	“ гаЛ * •			( -	5)
Схема		(2.2)	не содержит указанного				ньпие недостатка, так			как	при
а1к = 0 выражение 0 /а №) -					обращается о куль.
В	векторно-матричной			форме	схему		(2.2)	решения уравнении (1.3)
гл. I, представленного в				виде (1.5)		гл. 1, можно записать			следующим
образом:

2<"> = * г& \ И Ж г + й Ф ^ 1> - 5 ,4 (" - , ) >. » ,• /* > - * , ♦ $ * г { " \

где Н{ - якобневы матрицы.

Уравнение для Ф решается методом прогонки:

А» = 0 ^ АаЛ л - 1 ^ , а- 1 ) '‘.

у{к - Рц А* Р*,*-1 + Ри С&А'РЦ м + 2/*) »

Ун = Рп АаЛ. *■» I + Угл■

Коэффициенты системы (2.2) удовлетворяют условиям

2ц - А* + 6ц * &А 4 Т/А^Ц + О ^®)(А-1,к 4 А-1,а)*/*4 «I*оу* <

Од < -------------------------------------------------------------- ------------------

А* + 41к + с№* ?/* + 0 - (А-1.А+ А-1%к)а<к + Кцс01)е

<3 6>

(2 .7 )

1,

(2.8)

Выбором параметров в и п[к исегда может быть обеспечена простран­

ственная счетная устойчивость схемы						(2.2)	(А* + 6 ц + | ц < 1, а{к = I).
Сходимость			итерационной	схемы		(2.2)	ирн различных значениях пара­
метра	0	исследовалась экспериментально. Оно имеет							место лрл всех зна­
чениях	0 € [0 ,1 ], Причем наилучшая сходимость							-	при 0 =0,7-5-0,9 (см.
табл. 2.1). Как			указывалось	в-	[6],	при 0 = 0,8		одна итерация по схеме
(2.2) равносильна примерло				30	простым итерациям (по Лнбмаиу). С уве­
личением		числа	счетных узлов		сетки это соотношение изменяется в поль­
зу схемы		(2.2);	последняя более эффективна, чем схема из (4].
Рассмотрим задачу Дирихле:
V = 0 при х - ±1, у>■= 0 при у - ±\, при шаге сетки									Ах = Ду = 0,125.

170