книги / Пространственная модель турбулентного обмена
..pdfДоказательство легко проводится но индукции. Оценку <1.12) уточняет
Л е м м а |
2. |
Если выполимегся условие (1.11) и |
|
|||||||||
*,7 |
< |
(0(1*1 - РЦ**> + («г/ ♦ Ъц){си +4ц))10»Рц'). |
^ |
|||||||||
2|/ |
|
- |
|
|
+ V |
' . / - |
|
|
|
|
|
|
<Эля |
х 6 П Л \ ( л с - и х в * ) , г ^ с л * |
= |
( Л 1( А * ) Рх * * = (Л Г .Л ,, Л /зА ж ), го |
|||||||||
Д*/ < Щ = (<* + 4 / ) / О + К//)Л/ /2 |
Н О |
0 * ^ /4 - |
|
|||||||||
- |
|
0,Д ^ |
1- |
|
♦ е/#/))'" |
< |
I |
|
|
<114) |
||
Лтл х € |
Я»,. |
|
|
|
|
|
|
|
+ х 11 )Р 1 1) , а |
|||
З а м е ч а н и е |
I. Так как |
д* | |
= ул |
= (г л + ГЛ , ) / ( ( • |
||||||||
рд |
д, |
= ул, ^ |
= 0, то в точках |
х* н х " можно выбирать такие пара |
||||||||
метры: хц |
= 0 , 9ц = 1. |
|
|
|
|
|
|
|||||
Л е м м а |
3. |
Если |
|
|
|
|
|
|
|
|||
*// |
> |
(ОцТц- + аг/г |
+ Ьу |
РцУрц , |
|
|
(115) |
|||||
го |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
«й |
+ А/ |
< 1 • |
|
|
|
|
|
|
(1.16) |
|||
Условия (1.13) и ( М2 ) |
можно объединить: |
|
||||||||||
|
|
> |
Ри(0ц*ч + П1ах ( - 'о ; аи + |
|
р,7)). |
(1.17) |
||||||
Сформулируем условии сходимости итерационного процесса: |
|
|||||||||||
/СД5Фт |
= [О 4- У/)Ф", “ | |
Г. |
|
|
(1.18) |
Итерационным процесс (1.18) сходится в пространстве /?‘у , если вес эле* моиты диагональной матрицы // неотрицательные.
Рассмотрим метод неполной факторизации применительно к системам. получающимся при решении методом сеток самосопряженных уравнешп! эллиптического типа.
$ 6.2. Сходимость метода в энергетически* пространствах Пусть в прямоугольнике 12 ищется решение задачи
3 |
/ |
ди \ |
Ъ |
/ |
Эм Ч |
|
|
|
|
|
|
|
(2. 1) |
на границе б: |
|
|
|
|
|
|
М о |
|
|
|
|
|
( 2 .2) |
|
|
|
|
|
|
|
причем |
|
|
|
|
|
|
О < |
оь < |
А*(х) |
< |
аа , |
1 = |
1 , 2 ; |
» < « ? ! < |
<г(х) |
< 9 2. |
х « (х,. х ,): |
|||
Я = (х , 0 < * , < / , , |
0 < х а < / г }. |
221
Будем предполагать сначала, что <Цх) - |
непрерывная функция, а к г (л), |
||||||||||||
ка (х) |
- |
непрерывно дифференцируемые функции в 12, где |
12 = 12 V у . |
||||||||||
Введем обозначения: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
&Х| |
= { х, хх = г'А|, |
XI =/А*. / = 0 , /V| |
+ I , >-=0, Ыг + |
I |
): |
|
|||||||
здесь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Л, |
= Ь /(Л/, |
* I), |
Л3 = /а /(V , * |
I) - |
шаги сетки; |
|
|
|
|||||
П/, |
|
= ( х |
6 |
Я/,; х |
+ Л|«4. х -Л ,Л /€ П /„ г - 1 . 2 }; |
|
|
|
|||||
П* |
= { х |
е |
ДЛ; х |
+ Лрг/. х - к(п; 6 ЙЛ, г = 1 , 2 >; |
|
|
|
||||||
м/ - |
единичный вектор в х; -паправлении; |
|
|
|
|
||||||||
ох; |
= о(х + А/пх) |
- |
и(х); |
|
|
|
|
|
|||||
ух/ |
=■ у ( |
х ) |
- |
и(х |
- |
/|,пг). |
|
|
|
|
|
||
Дня задачи (2.1), (2.2) построим разностный аналог |
|
|
|
||||||||||
Лы = |
- (^ х ,)* » |
|
+ </(*)« |
= / Ч * ) . |
|
|
(2.3) |
||||||
х |
6 |
12„ , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
“ | ей |
= |
0 - |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
€ = > ,(х |
+ А , м , / 2 ) ^ ? , |
|
|
|
|
( 2.4) |
|||||||
В = *з(х |
+ М |
а / 2) /А |. |
|
|
|
|
|
||||||
Разностную |
задачу |
(2.?). (2.4) |
можно записать в |
виде |
(1.1), (1.2), |
||||||||
при атом |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Л</а |
* / - ! . / • |
|
А# / = |
4 , / ~ 1 * |
|
|
|
|
|
||||
Л / |
= ви * *// + г// |
+ |
4 / + ^//у- |
|
|
|
|
|
|||||
Введем |
//(Я * ) |
- гильбертово пространство сеточных |
функций, задан* |
пых на Д/, и обратившихся в нуль вне 12Х|. со скалярным произведением
(У. е) “ |
2 |
Г (х )и (х )Л ,Л 3 . |
|
|
(2.5) |
|
х € |
0 /| |
|
|
|
Через Нв(П)>) обозначим энергетическое пространство |
со скалярным |
||||
произведением |
{у, и )в = (Ву, о ), где В - |
самосопряженный, положитель |
|||
но определенный оператор в / / ( 12/1 ), |
|
|
|
||
Известно |
[31), «по оператор А является |
в //(12/,) самосопряженным, |
|||
положительно определенным. Для него |
о |
норме //(1 %,) |
елргшедлипы |
222
оисикм |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
М Н 1’ < Н » . |
|
< 6 1 II |
|
|
|
|
( 2 .6 ) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г 0 =■ /71 |
+ |
4Д! |
* 51и'*яЛ ,Д 2Л ) |
|
|
|
|
|||
I |
--------------------- |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
* |
сох1 1ГА1Л2/1) |
|
|
|
(2.7) |
|
«I = </а |
4 |
4*2 |
Е |
---------;--------- |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|||||||
/1(и, и) - |
<г у , 4, иК( >+(</*».»,, " л ,) 4 ^ |
- а - Ь - с - ^ ) и ло). |
(2.8) |
|||||||
Опелем |
п |
рассмотрение операторы |
(I, |
к \ сопряженные к ним |
И*. |
|||||
а т а к ж е / / -1, |
И~* |
П/0: |
|
|
|
|
|
|||
Со = ох. - |
|
|
С*и = - п г |
+ к - |
. |
|
|
|||
|
|
I |
|
|
X , |
|
-Iз |
|
|
|
иш<;= с,, 0, * , . , + |
</,,*>,(УМ, |
|
|
|
+ |
|
||||
Н~1о= о(х - |
|
1Г*ь = |
иСк-А^На). |
|
|
|||||
0ои = «„о,-/. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Формулу (1.7) с учетом соотношений ( 1 .8) удобно записать о виде |
|
|||||||||
(К и )|/ = |
г, |
_ I. ,■/, _ , . 1 4 , * г {%у _ |
|
|
|
|
(2 .9 ) |
|||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г.у “ |
|
Л - . |
|
|
|
|
|
|
|
|
В § 6.1 |
уже отмечалось, что если Л = Л *, то В = 2? V Очевидно, что В - Л = |
|||||||||
= В * Н - также самосопряженный оператор. |
|
|
||||||||
Л е м м а |
4. Оператор О * // ашооолрялгенушл и |
|
|
|||||||
«В + /У)и,*)= -0(/Снл <7|’)+ ((/-0)№ ‘| (иО 4 |
|
|
||||||||
+ 7 /-а(р с О К и ) |
+ (кро.о), |
|
|
|
|
(2 .Ю) |
||||
где / - |
единичный оператор. Если все Оц одинаковые, г.с. 01( = 0, то |
|||||||||
((ОеЯ)и. о)= -0{гСо, С о)+ (| - 0)(улш, н»о)+(кри, и). |
(2.1 1 ) |
|||||||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . Нетрудно убедиться в том, что |
|
|||||||||
{{В ♦ Н )о ^ |
- —Ст(г, Со)/у + (] - |
&у)(рг_ т. / с|_ |
/ + |
|
||||||
4 |
0 Г ./- 1 4(. /_ , |
|
4 КцРцЬц, |
|
|
|
|
|
||
((2) + ЛГ)у),у = - 0 С л(гСо)и _ 1 + (I -а)н»*(7 |
+ |
|
« 3
Теперь покажем.что оператор В эквивалентен по спектру оператору А.
Т е о р е м а |
2.1. Дая операторов В и А существуют такие константы |
||||||
О < $С М |
| ,что |
|
|
|
|
||
( в «Ч»)/М и. ы) € |
| |
|
( 2-12) |
||||
Аля любви о Ф О, еде |
|
|
|
||||
Ь * |
I + шах (ХуРц + ( I - |
бц)(Р1- 1 . /й>/ +М.1- I ^/)У 5о. |
С2-13) |
||||
= |
I |
- |
тах му. |
|
|
(2.143 |
|
|
|
|
* € л в |
|
|
|
|
Если хц |
> 0 и Оу = 0. то |
|
|
||||
$1 * 1 |
* |
тах |
(дс^Гу + ( |
| |
1./в у + Р|уЛ,/))/Во. |
(2.13г) |
|
|
|
,т € Л Л |
|
|
|
||
$0 = 1 |
|
о |
шах Му. |
|
|
(2.14г) |
*6 « й
До к а з а т е л ь с т в о . Оцепим (Вь9о) сверху:
(Ли. и)<(Ли. и)*( |
тах |
(х#, + (1 - 0 |
„ |
) |
О |
* ] - + |
||||
+ |
|
|
д е п ^ |
|
|
|
|
|
<2'5> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Из нсраьслствв (2.15) имеем оценку (]. |
|
|
|
|
||||||
Получим оценку (Ли. о) снизу. В силу условия |
(1.19) |
|||||||||
(Во, и) > (Ли, V) - |
(гои, Си) > |
|
|
|
|
|||||
> (Ли, и) - |
(у , \/Ы и х% - |
ч/гсГи^ ) 1 |
> |
|
|
|||||
>(Аи, и )-(р с .и 1 |
) - ( М |
^ |
) ^ < 1 - |
тах |
Ру)(Л\),о). |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
д е я А |
|
||
При выводе этой оценки использовалось неравенство |
||||||||||
(\/с д о я% - ч /л Г и * , ) 1 |
^ |
(</ + с)(со 2 , |
|
|
|
|
||||
Оценки (2.13х) . |
(2 .1 4 ^ |
выводятся из соотлощсннй (2.М ). Теорема 2.1 |
||||||||
доказана. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из теоремы |
вытекает важное следствие* позволяющее доказать сходи |
|||||||||
мость итерационного процесса: |
|
|
|
|
|
|||||
КВХВа(им - |
|
“ ') |
= т„,(Р-Льт ' х). |
|
|
(216) |
||||
С л е д е т а н е |
I. Оператор В" 1Л является самосопряженным в энерге |
|||||||||
тических пространствах МЛ |
и |
И #, и |
его |
спектр принадлежит отрезку |
К . о , ) , г д е о 0 = 1/ $, .
224
Доказательство имеется в |
[39). |
|
|||||
Запишем уравнение длп ошибки о методе |
(2.16) после проведения ите |
||||||
рации. Обозначил: н -\>к |
у , получимг к = Рк2 е ,где |
||||||
Рх = |
к |
|
г,„1Г 'Л ). |
|
|
||
ГТ |
(/Г |
|
|
||||
114 = | |
|
|
|
|
|
||
В силу следствия I |
|
к |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
11^*11 |
< |
|
гаах |
|
| П |
(I - г и|х ) |, |
|
|
|
я, < X < |
О, |
III * I |
|
||
где норма берегся в Н А или Н в . |
|
||||||
Итерационный процесс (2.16) сиси |
набора (г,л } .мн1гнмнэн- |
||||||
|
|
|
|
к |
|
т„,х) | , называется оптимальным линейным |
|
рутощего |
|
гаах |
| |
П |
(1 |
||
|
аь < х < а4 |
#и = I |
|
|
|||
А-шлоьым |
процессом. Этот набор ( т,„ > называется чсбышсдским. Сел |
||||||
А = I, ш итерационный процесс называется одношаговым. |
|||||||
0 1 носнп'11М1о схо;ц1мостк метода (2.1б) справедлива |
|||||||
Т е о р е м а |
2.2. /7осгедоватслыюсгь{ и"11 сходится в норме простран |
ств Пл или Ыа х решениюуравнения Ад = /■* при
т< 2/С|
илюбом начальном приближении и0. Если набор (г,„ ) выбран по формуле
а, + о0 «1 - о0 |
2 « » - |
|
|
---------- сок |
^ ! „ Г |
I. |
|
|
2* |
^ |
|
го снрыс&шаа оценка
III» - ** II, « | г« ( т ~ ^ ) ] ’ • * - » • < « . |
(2.17) |
где
П Ы = | [(л ♦ (** - О*'’ )* ♦ (* - ( г 1 - I)1'*)* I
есть многочлен Чебымево, а обозначает энергетическую норму в На
или На-
Доказательство приводится в |31,39].
Сели к = 1»ю
II и —V* |
V 1>°1 |
(2.1В) |
где и>= ой/ 0| . В А-шагодом процессе будем иметь |
|
|
Н о- и* IIв < |
2 рА7<Р** * 1)11» - »° 1|в , |
(2.19) |
где р = (I |
+ у/~ёо)< |
|
22$
Оценим число итераций, необходимое для уменьшения нормы начальной ошибки не менее, чек в 1/е раз. В случае одношагового оптимального процесса
1 « | |
I |
|
*в > 1 о Г 1 а € ' |
(2 2 0 > |
|
а при использовании ^ш агового оптимального процесса |
|
|
*♦ > |
I* | |
(2.21) |
Исследуем'вопрос о выборе параметра к/;- л вц . В соответствии с оцен ками (2.20), (2.21) для достижения минимума вычислительной работы следует выбй рать Кц я 0ц из условия максимума отношения а0]о%.
Рассмотрим случай, когда коэффициенты *, (к), Ла (х) и д(х) - по стоянные числа; при эгом а - с - сопзС, Ь = <Г=сопи, р = а + А + *:*•*/ + Сформулируем утверждение, аналогичное лемме 2.
Л е м м а 5. Если кц —и, 0 ^ — 0, то
шах. Цц < V = |
(с + ^)/((1 + к) р /2 |
+ |
|
|
* ((1 + л)ара М - |
0<в-А )(с + <*))'п |
< |
I. |
(2.22) |
Утверждение леммы позволяет сделать полезное преобразование форму лы для о0. Если выразить * через р :
к =(0(.<М-А)*'а -рг> * с -н О /С р м ), |
(2.23) |
то |
|
$1 < I + ((а + Ь) г 1 - р V+ с * <0/(6он). |
(2.24) |
Найдем оптимальный параметр V, исходя из соотношений {ц = 0 ): |
|
т а х с о /о , = т а х ^ С ^ ) |
|
ГТ
либо |
|
|
|
т а х о 0/о л = |
т а х * 4(«0, |
|
|
г |
г |
|
|
где |
|
|
|
Л (*») « «0(1 - |
У)*/((» + ЬУ |
~ < Р - 8о) " + * 4 <0» |
|
Яг М = «оО - |
((* |
«о)*' 4 « 1*<0 ■ |
|
Заметим, что если к = 0, го |
|
|
|
Яг(V) = б0(1 - |
К)/«в ♦ |
" (Р - «о) V4 с + ). |
(2-25) |
226
Вычислим |
» 4*2/еГк |
|
|
= 50((Р —л —* — |
—2( с + г/)у +- |
* с + г/)/((* + $ И - { р - 6 0)у + с + «/)1;
I Л _ о = ЫС* + ^ “ 2 (а+Ъ)и+р - Ья - с -<Щ (о*6) и3 —
— (р - Л0)р + с + </)3 .
Максимальные значения функций ,&»(*/) и ^а(р) достигаются соответствен но и точках
ц, = (с + с /} Д с + ^ + ((с 4 <^)3 - ( с - ^ ^ ) < д - л - Л - г 0)>,/3) =
= |
1У<1 + (Во/(с + <Г)У'3); |
|
(2 -2 6 ) |
|
на = (/» - б о - г - с О /И Л + ((а ^ )х- ( а + * ) ( д - с - ^ ) ) ,' а) - |
|
|||
- |
1 - |
<бо/(<*+й)),,а ; |
|
(227) |
при этом |
|
|
|
|
ш ш св.(м)=(6й/( с 4 ^ ) ) ,/2/ ( 2 + ^ о ( ^ ^ ) ) ,/а) < |
1, |
(2.28) |
||
|
/ |
|
|
|
т а х Л |
( и ) < ( 6 0/(а + ^ ) ,,:,/ ( 2 - ( 8 о / ( а + А))1'х) < |
I. |
(2,29) |
Гели пелпщша 80 неизвестна либо ц > О, то можно выбрать параметры
к =0, 0 * 1 . В этом случае 0о - 1. п, < 1/(1 - н ) , |
|
||
* М с + ^0/(р/2♦< ^V 4 -й ♦Ь )(**^3), / , ) < |
1/(1 + (*/(*+* У '* Ь |
(2-30) |
|
ов/ о 1 М - Р = 0 ((« /(с4 е /)> ," > |
|
(231) |
|
Оценки (2.28)» |
(2.29) показывают, что с ростом ввличш1ы <?3/а , ско |
||
рость сходимости |
уменьшается.» {а^{о\У!г |
рвз для одношагового опти |
мального процесса и в (гг/?]) 1/4 раз для ^шагового оптимального процес са, С увеличением ^ скорость сходимости рветег. От числа узлов количест во итераций зависит как
*« |
= 0(т ы (М 3, /Уа» , |
|
|
|
|
(2.32) |
* , |
= О((шах (А/], Мг)Уп ). |
|
|
|
(2,33) |
|
Рассмотрим случай переменных коэффициентов Л, (У), кг (г) |
(</ (дг) = 0) |
|||||
в исходном уравнении (2.1). Введем величины |
и |
вычисляемые |
||||
по формулам типа (2.13), (2.14), а и ^ - по формуле типа |
(2.26), где |
|||||
а = ац, с = с у , Ь = |
4= 4ц, |
р = рц . Бели при этом для хц выпол |
||||
няется условие <1.23), то |
< р у |
и |
|
|
|
|
Ьн/ |
■ I - »ц- |
|
|
|
|
(2.34) |
217
Если в |
точках |
|
|
|
Хц |
= |
0 и 0П = I, *> | 1|; = |
|, |
= 0 ( 1 ) . |
|||||
Пусть л* € |
. Если |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
С»„+ Ь д)»',* «„ М,_м |
> V |
- |
I ./ |
+ Ь.7й и - 1 |
= |
'« • |
|
(2.35) |
||||||
ТО при |
0;у < (с,;- + |
|
|
|
для |
|
|
|
|
|
||||
«Г/ “ (М « // * |
|
“ |
Р№] 4 С«7 + |
|
|
|
|
|
||||||
будет выполняться условие |
(1.21) |
1Г |
|
|
|
|
|
|||||||
{цг< |
1 + (0х// + |
|
- |
Ру^У 4 <//4 ^//)У(вв^в) • |
|
|
(2.3б) |
|||||||
Если |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(аИ 4 Ъц)иц < 1у, |
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.37) |
|||||
то будем выбирать |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
*11‘ - (Рц*у - |
Рц *Ц4 (СУ 4 ^у)(дГ/ + ^./))/(Р //Л /), |
|
|
(2.38) |
||||||||||
|
< |
(Ру + |
|
|
+ ^/)/Г?,. |
|
|
|
|
|
|
|
||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
$ и/ < |
К О |
= |
1 Н ;?; - Ру*у + («у + Ъц){сц + 4ц))Ц60»ц)1 |
|
||||||||||
где Г = |
. При |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
О/ |
< |
(*// 4 |
*;/)(<’// + <*//) |
|
|
|
|
|
|
(2.40) |
||||
^ ( 0 |
не возрастает. В случае выполнения условия |
(2.40) |
для |
Ь щ будет |
||||||||||
справедлива оценка |
(2.36). |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Заметим, что |
если ац |
+ Ьц |
< |
сц + 4 ц , |
то |
< |
(в;; |
+ А //)5 < |
||||||
< (ву + Л//)((С|/ |
+ ////) |
и * (/) |
убывает. Если |
|
|
|
|
|||||||
*ц > (аи 4 *>цКс(1 4 4/)» |
|
|
|
|
|
|
(2-41) |
|||||||
я// |
+ Ьц > су + |
</// |
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.42) |
и( ( /) возрастает.
Всил у условии (2.41). (2.42)
^ ( « О + М ^ г ’ Х ^ + А у Х с о + а д > (ед + </,/)’ :
следовательно,
I > п и х(д,_ 1,г.Мк1-у) - |
+ ачШ аЦ4 ^/>* |
(2-43) |
228
Пусть |
ио-ирсжиему |
выполняются условия (2 .37)-(2 .39) |
и условие |
|||
(2.43), тогда |
|
|
|
|
||
$и; < 1 + ((<гц +М |
Цу - |
♦ сц -*• <1у)[(в'о Цг}) < 1. |
|
|||
НаПлем оценки эквивалентности о0 п Ру. Из (2.34) следует, что |
||||||
в! |
= |
шах |
= |
I + |
соГ1 . |
(2.44) |
|
|
к е п , , |
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
ю, |
= |
П1Ш(6д / (г,-, |
+ с1г]У)'п . |
(2.45) |
||
Для с 0 справедливы соотношеии |
|
|||||
а0 = |
пнл$;^ |
= (] + Ы |)/(2 + <с,(1 + сс3)), |
(2.46) |
|||
т л х о 0/ с | = ы 1Д2 + ы 1(1 + и 3)), |
(2.47) |
|||||
где |
|
|
|
|
|
|
сс3 |
= |
шах |
(с// + йц - ац - Ьц)/5С. |
|
||
|
|
г е п й |
|
|
|
|
Таким образом, в случае, когда коэффициенты Аз (х ), к2 (х) |
- |
|||||
иые числа, оценка (2.47) переходит в оценку (2.28). |
|
Так как коэффициенты к { (х), к2 (л) - непрерывно дифференцируемые функции, то
«3 = 0 ( I /^пн|0*
Величина <с,оз3 не зависит от ^ т |п- З а м е ч а н и е 1. Требования на коэффициенты кл (х ),к 2 (х) можно
ослабить, например считать их непрерывными ло Липшицу, т.е.
1*1 (XI + / . Х г ) - М * 1, * 2) |
| * а ( х , , х , + 0 - А я( Х з , х , ) | < 1*2 1.
X, = сол$Т, Д* - сопя.
Из оценки (2.47) сиедует, что в случае переменных коэффициентов спра ведливы те же зависимости скорости сходимости от числа узлов, величии
а1/д а и I? I, что и для достоянных коэффициентов. Сформулируем основной результат г виде теоремы 4.
Т е о р е м а 2.3. Если вымолмедмусловия лемм 1,2м т < 2/о3, тоите рационный процесс (2-16) сходится а энергетических пространствах НЛ или НД при любом начальном приближении.
Параметры Кц, Оц можно выбрать так, что оценки спектральной экви» валентности будут иметь вид (2 .44)-(2 .46). Если при этом коэффициенты *,<*), &з(х) непрерывны по Липшицу, то число итераций, необходимое для уменьшения нормы начальной ошибки не менее чем в 1) е раз в случае
22?
Таблица б.]
Скоростя сходимости X
я |
*1 |
|
Я |
А! |
|
1/Ю |
0,32180 |
0.73544 |
1/50 |
0,07070 |
0,30699 |
1/30 |
0,11649 |
0.40726 |
|
|
|
оптимального линейного одношагового процесса, есть
*о = \ * ^ 1п 7 е О^шахС^,, Л/2) ]п
а в случае оптимального лилейного Л-шагового процесса
»((тах(ЛГ1,Л ',» ] П 1п|).
За м е ч а н и е 2. На практике, после того как заданы параметры к„ и величины о0 и О) следует вычислять по формулам (2.13), (2.14),
(2.13г),‘ (2,14*).
З а м е ч а н и е 3. При произвольном порядке использовании итера ционных параметров (г ,* ) может возникнуть счетная неустойчивость. Алгоритмы упорядочения параметров, позволяющие избежать нежелатель ного эффекта, были предложены в работах 131 л 5 0 |.
Сходимость итерационного процесса при расчете задачи Дирихле дил уравнения Пуассона в единичном квадрате можно представить в виде табл. 6.1:
|
I |
1М«* - /II |
2 |
к}*1 |
|
х = |
|
II к 11= |
|||
* " ЯА Vе - / I I |
К/ = I |
|
|||
где X, |
хяракте-рлэует итсрадиокиый процесс |
с одним итерационным пара |
|||
метром г = 2 /(о 0 4 с, )„ Xа —с чебышсвскнм |
набором параметров. |
Из таблицы видно, что использование чебышенекою набора даст сущест венное ускорение скорости сходимости.
б 6.3. Достпо<пые условия сходимости дня одного класса неявных схем неполной факторизации
Рассмотрим вопрос о сходимости неявных схем неполной факториза ции 157). Как и для явной схемы, на основании теоремы 1.1 можно дока зать сходимость итерационного процесса
ДФ" = С<‘ч“ 1 + Р, |
(^ '0 |
где
С = Л) ♦ н. |
<3 2) |
2 »