книги / Расчёт сварных соединений и конструкций примеры и задачи

>.10. Найти значения поперечных сил с помощью линий влияния в сечениях

// и / / — II балки, изображенной на рис. 191.

Ответ. Qj

0; Qn = 0.

7. 11 . Определить с помощью линий влияния изгибающий момент и поперечную, силу в сечении балки х = 6 м, изображенной на рис 192.

Ответ. М = — 1,5 тс • м; Q = — 5,85 тс.

РЛ

1м	1м	1м	1м
Рис.	195
7.12. Найти с помощью линий влияния изгибаю-,
щий момент и поперечную силу в сварном стыке бал­
ки, расположенном на расстоянии 1 м от опорного се­
чения (рис.	193).

		Ответ. М = 4,87 тс		м; Q = 5,7 тс.
		7.13. С помощью линий влияния определить ве­
		личину продольного сжимающего усилия, действую­
щего на среднюю	стойку	эстакады, от собственного	веса	балок q = 0,6 тс/м и дей­
ствующих на них сосредоточенных сил (рис. 194).
Ответ. N =	14,8 тс.
7.14. С помощью линий влияния отыскать поперечную силу в сечении /— / рамы
подъемника (рис.	195) от воздействия нагрузок Р =		100 кгс, q = 0,5 тс/м.
Ответ. Q = 7,6 тс.
7.15. С помощью линий влияния определить изгибающий момент в сечении /—•/
рамы, изображенной на рис. 195.
Ответ. М =	7,6 тс	м.

§3. Определение опасного загружения

иопасного сечения в балках

от подвижной системы сосредоточенных сил

Максимальное значение изгибающего момента в сечении х = а (рис. 196) от подвижной системы грузов будет иметь место тогда, когда одна из сил подвижной системы расположена над вершиной линии влияния. Эту силу называют критической. Допустим, что система стоит по отношению к сечению х = а в положении, дающем опасное загружение Мизг = Мах. Тогда смещение системы грузов на Ах из этого по­ ложения вправо (Да; > 0) или влево (Ах <; 0) должно в обоих слу­ чаях вызывать уменьшение изгибающего момента, т. е. AM < 0.

Изгибающий момент при первоначальном положении системы

М = угРi -f- У4Р2+

^

а после смещения ее на Ах

М' = у\Рг + У2Р2+ УъР3.

(?• 13)

Тогда приращение момента

т = Рг (у\ — Уг) + Р%(У2 — Уд + Ря (уз — Уа),

(7.14)

а та о как	Дyt = Дл: tg cct*,
то ДМ =	p xbx tg 04 + РфьХtg а2+ Р3Д* tg а2;
	AM — AxSPt tg а,.	(7.15)

Приращение момента AM может быть отрицательным только тогда, когда сомножители выражения (7.15) имеют разный знак, т. е. соблю­

даются неравенства:
при Ах > О	0;	(7.16)
2 Pj tg а, <
при Дл' <с О	0.
2 Pi tg а i >

Эти неравенства служат для проверки того, является ли данная сила системы грузов, стоящая над вершиной линии влияния, действительно критической, а положение грузов самым опасным.

Пример 7.3. Определить, при каком положении система сил, изоб­ раженная на рис. 197, а, вызовет максимальный момент посредине про­

лета балки, если	Рг > Р2.
Р е ш е н и е .	Поставим систему грузов так, чтобы сила Р2 была

над вершиной линии влияния М (рис. 197, б) и проверим, по неравен­ ствам (7.16), является ли такое положение грузов опасным. Учитывая, что углы а х иос2 находятся в разных четвертях,

При Дл; <	tg a i = — tg а 2.
	0
при Ах >	2 Р г tga, = Рхtg 04 + Р2tg 04 > 0;
	0
	p i tg <4 — Р2tg <4 > 0.

Одно из неравенств (7.16) не соблюдается, значит Р 2 не является крити­ ческой силой, а принятое положение грузов — не самое опасное. Пере­ двинем систему грузов так, чтобы над вершиной стала сила Р г

(рис. 197, в). Тогда проверка даст:			при Ах > О
при Ах <	О	1§ ctj	7*2 tg otj <	0;
		P jtg a , — P.j tg <*! >		0.
Положение		опасного сечения	на конструкции		не всегда бывает
известно,	что	усложняет определение расчетных			(самых	опасных)
t--------------f			загружений от подвижной системы
Р,			сил. Тогда поступают на основе еле»
			дующих соображений.
			Предположим,		что координата
			опасного сечения равна х. Построим
			линию влияния для этого			сечения.
			Найдем равнодействующую системы

сил R по величине и расположению (рис. 198) и через нее выразим опор­ ную реакцию RA, затем определим изгибающий момент в сечении х:

2МВ — 0; RAl — R(l — x — d) = 0;

R A =

М, = RAX— Р,с =		RV	x — P,c.
Максимальное значение Mx будет тогда, когда
4МХ	п.	dWx	0.
dx	~ '	dx2	^
dM* _ P {i _	2 x — d) = 0;		l — 2 х — d = 0;
dx

x = ■l — d

где l — длина пролета;

d — расстояние равнодействующей силы от критической.

(7.17)

(7.18)

(7.19)

Для определения опасных сечения и загружения применяют сле­

дующую		последовательность			работы:		равнодействующей системы
1.	Находят		величину	и	положение
грузов		R.
2.	Предположительно принимают одну из сил системы за критиче­
скую и определяют величину d.
3.	Находят		положение	опасного сечения
					х	l —d
						2	•

4.Строят линию влияния момента для опасного сечения.

5.Находят опасное загружение для сечения х, для чего ставят систему так, чтобы сила, принятая за критическую, была над вершиной линии влияния.

6.Проверяют по неравенствам (7.16), правильно ли выбрана кри­

тическая сила.
7. Если неравенства удовлетворяются, ищут расчетный		изгибаю­
щий момент (опасное загружение)
М = 2 Ptyj = Р1у1 + Р2у2 +	+ Рпуп.
Если неравенства не удовлетворяются, повторяют всю работу		сначала,

начиная с п. 2. Принимают другую силу за критическую, ищут новое

	4 м			расстояние d и т. д.
	Зм			Пример 7.4. Определить опас­
	Ш	В		ное сечение, опасное загружение
		Р=4тс		и требуемый момент сопротивле­
	1R			ния балки, нагруженной подвиж­
			Ш	ной системой грузов			(рис. 199).
		16м
				Р е ш е н и е .		Находим вели­
	*	«		чину и	положение		равнодейст­
				вующей	(рис. 199,	а )
	7ч м	л М М		Р = 3 + 2 + 4 = 9 те.
		ft		Для	определения		положения
				равнодействующей берем
				2Л4Д = 3 •4 + 2 - 3~~9xR = 0,
				откуда	12 +6
						=	2м.
	Рис. 199			Предположительно принимаем за
				критическую самую большущ си­

лу Р 3 = 4 тс. Тогдаd = 2 м. Определяем положение опасного сечения

х	I — d	16 — 2	= 7 м.
	2	2

Теперь строим линию влияния М для сечения х = 7 (рис. 199( б) и ставим силу Ра над вершиной линии влияния.

^ треб —

Проверяем, правильно ли выбрана критическая сила по неравен­ ствам (7.16), для чего находим

tg a1== 4 - ; tg a2 = - - f ;

при Дх > О

Р , tg a, + Р , tg a , _ Р, tg a , - 3 (-| -) + 2 ( Л - ) - 4 ( 4 - ) > 0:-

Неравенство не удовлетворяется.

Следовательно, критическая	сила выбрана неправильно. Возьмем’
в качестве критической силы Р 2	= 2 тс. Тогда d — 1 м, а

Строим новую линию влияния (рис. 199, в) и определяем ординаты линии влияния

л- Ц т г ) :

л- Ц т г ) -

Проверяем правильность выбора критической силы, для чего находим

	,	8,'б	.	7,5
при А х >	tg « 1 = - г ;			= — W '
	О
^ tg а , - Р2 tg а 2 - Р 3 tg «2 = 3 (!£ -) - 2 ( I f ) - 4 ( i f ) < 0;
при А х <	О

Л tg «1 + Р>tg а , - Р8 tg сц = 3 ( М .) + 2 (М .) _ 4 ( I f ) > 0.

Контрольные неравенства удовлетворяются, следовательно, сила Р 2 — критическая.

Максимальный момент

Л 1 щ а х = 2 Р ly i =	3	8,5 •6,5	+ 2	8,5 •6,5	+ 4	7,5 5,5
		16		16		16
=	10,3 -f~ 6,9 “j~		10,3 =	27,5 тс •м.

Если [а] = 1600 кгс/см2, то требуемый момент сопротивления

М2750 000

= 1720 СМ8.

la] 1600

Отыскание расчетных (максимальных) усилий в балке несколько осложняется при необходимости одновременного учета усилий от на­ грузок: подвижных 2 P it неподвижных сосредоточенных 27\и распре­ деленных (например, от собственного веса q). Использовать описанный выше аналитический путь для определения опасного сечения невоз-

можно, так как неподвижные нагрузки 27\- и 2 *7,-		могут существенно
смещать опасные сечения в любую сторону.
Практически поступают таким образом:
1. Разбивают пролет балки на 10— 12	равных	участков и строят
для каждого сечения линии влияния (0,1/,	0,2/, 0,3/...).

2.Для каждого сечения определяют опасное загружение от по­ движной системы сил и находят максимальное усилие в данном сече­ нии от системы подвижных грузов

3.Пользуясь теми же линиями влияния, определяют в каждом сечении усилия: от неподвижных сосредоточенных грузов

«5неп = 2Т*ty^\

от распределенных нагрузок

SQ= 2^-Ц.,

где й,- — площадь, ограниченная линией влияния и расположенная под распределенной нагрузкой данной интенсивности qt.

4. Строят обобщенную диаграмму (это не эпюра усилий и не линия влияния) максимальных суммарных усилий от всех видов нагрузки

в каждом сечении 5 max0,u,		S maxo.2z и т.	д. В качестве расчетного при­
нимают	самое большое из	максимально	возможных усилий. Под S
следует	понимать любое из усилий М, Q или N.

Задачи для самостоятельного решения

7.16. Найти расчетный момент в стыке балки х = а от подвижной системы сил

(рис. 200).

Ответ. УИрасч = 12 -g- тс м.

7.17. Найти опасное сечение балки на двух опорах длиной 20 м, по которой ка­ тается тележка с базой 4 м и давлением на каждое колесо 1тс. Определить величину

расчетного момента балки.

Ответ, а = 9 м; Мрасч =8,1 тс м.

7.18. По балке на двух опорах длиной I катается двухосная тележка (рис. 201)

с одинаковым давлением на колеса. Уста­ новить закон изменения расчетного момен­

та, если увеличивать расстояние между колесами.

2п	0,5м	0,5м	2м
		С = р =		| |э
		И	I
		(9)		©
Зтс	4тс		V 5 TC	\ 4 тс
	6 м			6 м
77777Z		7Ш/.		7Ш.
		Рис. 202

7.19. По эстакаде, смонтированной на колоннах, перемещаются две тележки, имеющие разное давление на оси (рис. 202). Определить расчетное давление на ко­ лонну.

Ответ. 10,5 тс.

§4. Построение линий влияния усилий

вэлементах фермы

Линии влияния опорных реакций для ферм строятся так же, как и для балок. Уравнения для линий влияния опорных реакций RA и RB имеют вид

R A — ~ ~ гI~ ~ 1; R B = 4 - 1.

Для того чтобы построить линию влияния усилия в каком-либо элементе фермы, необходимо составить уравнение, связывающее вели­ чину этого усилия с положением единичного груза на ферме х или, что то же самое, с величиной опорных реакций RA или Rb. Затем нужно сделать анализ полученного выражения и произвести необходимые по­ строения.

Рассмотрим несколько примеров построения линий влияния усилий в элементах фермы (рис. 203).

Для определения усилия в стержне 34 (34 — это также упрощенное обозначение усилия 5 в стержне) проанализируем два случая:

1. Груз находится справа от разрезаемой панели. Рассматриваем равновесие левой части (правило знаков прямое):

= RA	4d — 34h2 = 0,
откуда	RA *d
34 =
при х = 0	ho
R A = 1;	3 4 = 1П 2Г ’
При х — I
RA = 0;	34 = 0.

Полученное уравнение линии влияния — это уравнение первой степе­ ни относительно х, следовательно, ветвь линии влияния представля­ ет собой прямую. Строим правую ветвь линии влияния (рис. 203).

2. Груз находится слева от разрезаемой панели. Рассматриваем равновесие правой части (обратное правило знаков):

m 4' = RB4d — 34h2= 0 ,

откуда

	34 =		RB4d
			h2
	при х = 0
	RB =	0;	34 = 0;
	при х — I
	RB =	1;	34 = -IT- .
			h 2

Находим действительные и вспомогательные участки ветвей JIHHHH влияния. Для этого правый узел разрезанной панели, по которой дви. жется груз, сносим на правую ветвь, а левый узел — на левую аетвь.

Действительные части ветвей линии влияния отмечаем более толстой линией.

Строя линии влияния, учитывают следующее:

1.При узловой передаче нагрузки линия влияния в пределах раз­ резаемой панели изменяется по прямой.

2.Ветви линии влияния усилий в фермах пересекаются под моментной точкой (если моментная точка удалена в бесконечность, то ветви линии влияния параллельны между собой).

3.При любом положении единичного груза на нижнем поясе фермы стержня 33', 55' 01, 78 не работают (см. правила неработающих стерж­ ней в гл. VI, § 2).

Для определения усилия в стержне 34' используем то же сечение

I— /. Моментная точка удалена в бесконечность, значит ветви линии влияния параллельны. Строим правую ветвь. Груз находится справа от разрезаемой панели, рассматриваем равновесие левой части (пра­ вило знаков обычное):

откуда	2РУ=	R A	+ 34' cos а =		О,
		34' =		*
при х =	О		cos а
				_ j __.
	R A =	1;	3 4 '
				cos а	*
при х =	I
	RA =		0; 34' =	0.

Левую ветвь проводим через начало координат под левой опорой параллельно правой ветви. По общему правилу отделяем действитель­ ные части ветвей линии влияния. В пределах разрезанной панели учас­ ток линии влияния изменяется по прямой.

Для определения усилия в стержне 2'3 проводим сечение II — II,

отбрасываем правую часть. Строим правую ветвь:

%РУ= RA — 2'3 COS ос = 0,

откуда

		2'3	J A _ .
			cos а	*
	при х =	0
		RA = 1;	2'3 =	cos a
	При X =	l	2'3 = 0.
		RA = 0;

Левую ветвь проводим параллельно правой. После выделения дейст­ вительных частей линия влияния для усилия 2'3 будет иметь вид, Изображенный на рис. 203.

Для определения усилия в стержне 22' проводим сечение I II — III.

Груз находится справа, строим правую ветвь. Моментной точкой при определении усилия 22' будет точка D, где пересекаются линии стерж-

ней 12 и 23. Сумма моментов всех сил относительно точки D Ш 0 = — RAt — 2 2 ' (t + 2 d) = О,

откуда

		22'	=	- R /t .
при х =	О			; + 2d	*
					t
	R A =	1;	22’	= —
при х =					t + 2d ’
	I
	^	=	0;	22' =	0.

Строим правую ветвь (рис. 203).

Левую ветвь строим по двум точкам О и D. Отделяем действитель­ ные участки, причем сносим узлы той разрезанной панели (23), по ко­ торой движется груз.

В пределах разрезанной панели ординаты линии влияния изменя­ ются по прямой.

Для определения усилия в стержне 44' вырежем узел 4. Во всех слу­ чаях, когда единичный груз находится вне пределов разрезанных панелей (34 и 45), стержень 44' не работает. (См. третье правило не­ работающих стержней в гл. VI, § 2). Когда единичный груз станет в узел 4 (рис. 203), тогда усилие 44' будет наибольшим и равным едини­ це. Для промежуточных положений единичного груза (в пределах разрезаемых панелей 34 и 45) усилие в стержне 44' будет меняться по закону прямой.

Построим линии влияния усилий в элементах фермы, имеющей консоли (рис. 204). При этом следует иметь в виду, что ветви линий влияния проходят над опорами, не изменяя своего направления.

Остальные правила построения линий влияния те же, что и в ранее рассмотренных случаях. Напомним, что линии влияния опорных реак­ ций выражаются уравнениями

R A = - ^ - 1; RB = J r - 1.

Проанализировав эти выражения для разных положений единичного

груза, получим:
при	х =	0	R A =	1;	R B =	0;
при	х =	I	R A =		R B =
				0;		1.

Построим по этим данным линии влияния для среднего пролета фермы без учета консолей, а затем продлим ветви линии влияния на консоли. Тогда по построению на левом конце консоли ордината линии

	7	3
влияния Rа будет равна -у, а на правом-----Проверим подстановкой
в уравнение линии влияния RA. Для левого конца консоли
	* = — 3d\	I = 4d\
RA =	l — x	4d + 3d	7_
	l	4d	4 ’

Аналогично построим линию влияния опорной реакции RB.