книги / Статистический анализ геофизических полей
..pdfГрупповой фильтр г ~*(а ) |
оказывается также устойчивее в вы |
||||||||
числительном отношении, |
чем |
гг* (А), при матрице |
спектральной^ |
||||||
плотнооти помех f |
|
(л) » |
близкой |
к вырожденной. Из выражения (Щ .3.3) |
|||||
следует, что при числе локализованных источников помех |
и |
||||||||
мощности диффузной составлявдей помех, много меньшей мощности ко- |
|||||||||
геррентной составляющей, |
элементы матрицы |
f~'(A) |
неограниченно |
||||||
возрастают, т .е . |
матрица |
f(A ) |
становится |
плохо |
обусловленной. |
||||
Таким образом, в |
этой ситуации групповой фильтр |
(А) |
становит |
||||||
ая практически неприменимым и з-за больших ошибок вычислений. Вме |
|||||||||
сте о тем F * (л ), |
согласно |
выражениям (1 .3 .7 ) и (Ш .3.5), |
может |
||||||
быть предотавлен в |
форме |
|
|
|
|
|
|
||
А*(л)Ва Ц )* |
eg- |
|
|
|
|
|
|
а.з.э) |
|
F*(A)= £*fA)Bs(A)+ f* F |
|
|
|
|
|
|
егг
т . е . при max -j- — В неиснаясакщий групповой фильтр имеет предел
z |
¥t |
Г * (А) |
4 |
СА) |
|
*tA) « |
|||
|
/Г* (.л) |
4 |
.ЗЛ О ) |
|
|
|
(А) П л ) |
||
Легко видеть, |
что г*(.А ) |
остается |
неискажающим фильтром: |
|
г * (л )А (л)Ц (А)~ 1 / ( л ) . |
В дополнение к этому он обладает свой |
ством компенсирующего фильтра для помех, создаваемых локализован ными источниками (если реальныо векторы частотных характеристик каналов распространения от иоточников к элементам группы в точно
сти |
равны предполагаемым |
^ (А) , |
l e t . m |
) . |
Действительно, |
пусть |
|||||||
помеховый оигнал в |
1-ч источнике |
$! t , |
t e |
l имеет преобразова |
|||||||||
ние Фурье: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Х/А/-Ц |
|
|
|
|
Aef о, гг7. |
|
щ.з.м) |
||||
Тогда |
преобразование |
Фурье помехового векторного процесса |
г™, |
||||||||||
( е / |
равно |
fitA }- f c (A) Хг (А ) , |
а преобразование Фурье процесса |
||||||||||
У#, |
на выходе |
группового фильтра |
F *(а) - |
|
|
|
|
||||||
|
|
U(A)‘ f£*to )ffiA )% (A ) |
f* U )B s (A)4l U)Zi(A) |
|
(Ш%ЗЛ2) |
||||||||
|
|
|
|
VCA) |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Из |
свойотва (Ш .3.4) |
матрицы |
3S U) |
оледует, |
что mtA)= |
0 . |
Если |
||||||
помеховый сигнал % |
t e |
l |
- |
стационарный случайный процесс с |
|||||||||
энергетическим |
спектром |
л>} |
и ) |
, то матричный энергетический |
|||||||||
опектр процесса |
^ |
на |
выходах датчиков |
равен &г (А) = |
|
||||||||
~<}г (А) <*>е(л) (f * |
(А ) , |
а энергетический спектр процесса |
£ |
на вы |
ходе группового фильтра выражается формулой
131
/>&)=%*(•*) |
?(*)*%(*)* |
(Ш.ЗЛЗ) |
Этот спектр, согласно формуле (Ш .3.4), |
также тожцеотвенно равен |
нулю. Аналогично можно показать, что помеха произвольного типа,
отличного от двух рассмотренных, действующая в любом |
из I |
источ |
ников, на выходе компенсирующего фильтра оказывается |
полноотью |
|
подавленной. |
|
|
Таким образом, компенсирующий групповой фильтр |
г * (Л ) |
осу |
ществляет подавление до нуля любых помех, порождаемых е < т ло кализованными источниками, независимо от их структуры как функ ции времени. Это подавление осуществляется не за очет частотной фильтрации, а благодаря "избыточной информации" о помеховых про цессах в источниках, реализация которых (правда, искаженная час тотными характеристиками каналов распространения) принимается сразу на n » s датчиков.
В тех задачах приема оигналов на фоне помех, где нет необхо димости оценивать форму сигнала, применение неискажающих группо вых фильтров г * (л) или F * (Л) может оказаться нецелесообразным, особенно в вину трудноотей их практической реализации в реальном масштабе времени. Чтобы понять, как "стабилизировать" обычный
групповой фильтр w *(*)s Л * (л) |
(<х) |
в |
случае |
оильной когерревт- |
||
ности помех, сохраняя |
свойство асимптотической оптимальности ал |
|||||
горитмов обнаружения, |
рассмотрим отатистику |
) m,ei>4 (7^ ,4 )t |
||||
где а> * max ff*/>>/, которая |
вместе о 4 |
0 |
& ) |
являетоя асимптоти- |
||
чеоки достаточной. Согласно |
результатам |
раздела 1 .2 (теорема |
||||
Г .2 Л ) , это означает, |
что любые асимптотически допустимые теоты |
для обнаружения сигнала могут быть выражены как функции этой ота-
тистики. |
Например, в БАО теотах (Ш .2Л5) со |
статистиками |
(Ш .2Л 5)- |
|||||
(Ш .2Л7) |
замена 4(1% ) на |
) |
не |
влияет |
на вероятности оши |
|||
бок, |
воли соответствующим образом изменить пороги |
. Предельной |
||||||
для |
статиотики 4а (хк , 8 ) при |
а ■max j~ — О |
является в |
случае |
||||
квазщетерминированного источника |
t |
I |
|
|
|
|||
сигнала статиотика |
|
|
% (*#> |
gsJ *)> |
(1.3Л4) |
|
||
а в случае стохастического источника |
сигнала - статиотика |
|
■ ш % щ |
тА ‘ - з а/ ; v % у |
132
Если подставить в АО алгоритмы обнаружения вместо |
) ст а - |
||
тиотику А0 (xjf, 0"), то |
качеотво |
алгоритма при малых со , |
соглас |
но выражению (ПГ.З.З), |
изменится |
иесущеотвенно, однако в |
вычисли |
тельном отношении алгоритм обнаружения будет значительно устой
чивее. Групповой фильтр |
/Г*(й>4 ; (л ), фигурирующий в ста |
||
тистиках |
обнаружении (Ш .ЗЛ4) |
и (Ш .ЗЛ5) не является |
неискажаю |
щим для |
сигнала, но обладает, |
как и г * ( Л ) , свойством |
компенса |
ции помех, порождаемых г <т |
лекальными источниками. |
Отсюда сле |
дует, что любые алгоритмы обнаружения, включающие в овою структу
ру компенсирующие групповые фильтры 7*Сл) |
или г * ( л ) |
имеют веро |
ятности ошибок обнаружения, не зависящие |
от мощности |
и спектраль |
ного соотава локализованных источников помех. Это обстоятельство является наряду с вычислительной устойчивостью еще одним веским аргументом для замены "канонического" группового фильтра (Г*М -
~ |
СЛ) в АО алгоритмах обнаружения на групповой фильтр |
w * (л) |
или последовательность фильтров /*£(л)> ^(л)=^*(л) Д5(А)/Г(л). |
Несколько проигрывая при такой замене в аоимптотической вероятно сти пропуска сигнала при конечных отношениях мощности диффузной
И когеррентной составляющей помех, |
мы приобретаем зато |
полную ин |
|||||||||||
вариантность этой вероятности |
к характеристикам источника |
этих |
|||||||||||
помех. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Чтобы доказать |
последнее утверждение, |
рассмотрим предельное |
|||||||||||
распределение |
отатистики |
%(7ц, &~) |
(1 -З Л 4 ) |
для |
обнаружения ква- |
||||||||
зидетерминированного |
оигнала /UUt (/ *). Методами, |
изложенными в ра |
|||||||||||
боте 3 7 7 , |
нетрудно |
показать, |
что и при гипотезе |
/£•/? = 0 |
и щ>и |
||||||||
близких альтернативах Hf : |
|
|
7 /ТОГ> /< с |
статистика |
%(*#> & ) |
||||||||
асимптотически Нормальна |
о параметрами (jfe/Св), Z ( в~ ) ) , где |
||||||||||||
• |
|
|
ЙГ |
|
|
|
4 <*)£w Щ |
|
|
(Щ.зл6) |
|||
|
|
|
|
|
|
W ’ |
|
||||||
|
|
Js |
|
|
^ Г * ( й) 4 ( * ) Г ( л) * ц ь (л), |
|
|
||||||
где Щ (л) |
- |
энергетический |
спектр |
квазидетерминированного |
сигна |
||||||||
ла. Из выражений (Й .3 .4) |
и |
(Ш .ЗЛ6) |
следует, |
что |
при |
7(л) |
■* |
||||||
7 ( 0 ) - f |
|
|
|
|
(•*)?№ % м |
, |
|
Ш.зл?) |
|||||
|
|
4> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т . е . предельное распределение отатистики |
VQ ( |
& ) |
определяется |
||||||||||
только диффузной составляющей помех. Следовательно, |
иопельзова- |
133
iwo vB(T,f , & ) вместо АД статистики ¥(Т # ,{Г) в АО алгоритмах об наружения сигналов обеспечивает инвариантность вероятности оши бок к характеристикам когеррентных помех за счет их полной ком пенсации.
Совершенно аналогично последнее утверждение показывается и для статистики ч>0 (j£ , ) при обнаружении стохастического сигнала.
Оцонпвание частотной характеристики кошеноиругощего фильтра.
Практическое применение компенсирующих фильтров затруднено тем,
что мы, |
как |
правило, не |
знаем априори ни частотных характеристик |
||
^ (A), |
l € |
каналов, |
связывающих источники помех с датчиками |
||
группы, |
ни спектральной гоютнооти |
/%(А) |
диффузной составляющей |
||
помех. |
Поэтому вычисление матрицы |
Ss Са) |
по формуле (Щ .З.З) прак |
тически невозможно. Максимум, что обычно известно о "помеховой
обстановке" |
в |
точках регистрации поля - это |
оценка FCA) |
матрич |
||||||
ной спектральной плотности помех. Если а)= /пах & */Р ? |
мало, а |
|||||||||
|
л |
- |
достаточно |
точна, то |
л |
* |
1 |
|
|
|
оценка 8 (л ) |
F (л) |
- |
неотрицательно опре |
|||||||
деленная |
эрмитова матрица, |
близкая |
к вырожденной ранга |
s . Как |
||||||
и з е л о ч ь |
из |
нее |
информацию о £ |
(А) |
и ff (A), |
te/T s |
? Прежде чем |
|||
обсуждать этот |
вопрос, сформулируем следующее утверждение. |
|||||||||
У т в е р ж д е н и е |
2 . |
I . |
Проектирующий оператор |
8 (1 |
|
,_г |
, |
* г |
о |
о |
|
||
|
|
3 'о |
F0 J, ^l(fr ..,%J
(1.3Л8)
не |
зависит от |
выбора б а з и с а / ^ , . f3J того подпространства |
|
|||||||
XQ е |
» |
на ортогональное |
дополнение |
к которому |
он проекти |
|||||
рует. _ |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П. "Компенсирующее" |
свойство |
(Ш .3.4) |
этого оператора по |
от |
|||||
ношению к любому вектору Т е |
ita |
сохраняется при любом базисе |
||||||||
Ss |
и любой невырожденной эрмитовой матрице F0 . |
|
|
|
||||||
|
Ш. Компенсирующий групповой фильтр |
ЦТ* са) =/Г*(л) £3 (.л) |
обес |
|||||||
печивает минимальную мощность помехи а , - |
f |
на выходе, |
||||||||
когда |
спектральная матрица |
(а) |
диффузного шума jy |
на его |
вхо |
|||||
де |
совпадает |
с матрицей |
(а) , в |
формуле (1 .3 Л 8 ) |
для |
tiglA), |
||||
|
Из предложений 1-Й утверждения 2 только третье |
требует |
спе |
циального доказательства, первые два проверяются непосредственно. Из утверждения 2 вытекает, что простейшим компенсирующим фильтром, требующим минимальной информации о помехах, являетоя фильтр
8 / Ы / - Qs(а) ( с£ (а) SS &))'*6f (а) ]. !.З Л 9 )
Идя его синтеза требуется знать только произвольный базис соб-
134
отвенкого подпространства локализованных помех в пространстве значений вектора спектров f (л) . Если однородЕШя диффузная поме ха такова, что радиус ее пространственной корреляции меньше рас стояний между датчиками, то полная спектральная матрица помех представима в виде
|
4 |
(л)- / $ '( *)/+ //& )(Г *(л)]* |
*„,(*) ЛШ ) / * СА), |
(Ш .3.20) |
|||||||||
где |
|
|
|
|
|
|
- |
|
матрица |
собственных |
векторов |
||
4 (А) |
, |
причем |
4 * ^ / ’ |
t e |
|
7,_ ео ть |
базис |
подпространства<£,, |
|||||
M U }- |
d la g [ $ ( * ) ,.. ,/>S ( A), |
в (л ), |
. , |
б (л ) ] |
_ |
диагональ |
|||||||
ная матрица |
собственных чисел |
4 |
( л ) . Матрице 4 (л) |
(ш.3.20) со |
|||||||||
ответствует |
в разложении |
(Ш .3.3) |
штрица |
S(as ) |
(Щ .ЗЛ9).Посколь |
||||||||
ку для |
матрицы |
/у Ы ) |
|
(Ц .3 .20) |
всегда |
имеет место неравенство |
|||||||
/>t (а) |
> & (л ), |
te-C s |
, |
то |
по собственным числам и собственным |
||||||||
векторам |
Fj-U) |
легко |
восстановить подпространство |
и> сле" |
|||||||||
довательно, |
матрицу |
В (0а ) т S ( |
|
|
|
|
|
|
Таким образом, при пространственной некоррелированности диф
фузных помех (в масштабе расстояния между датчиками группы) про цедура оценивания чаототиой характеристики компенсирующего фильт
ра вводится к сингулярному разложению |
оценки /у ( а) спектраль |
ной щтрицы помех, выделению множества |
собственных векторов 4<Я> |
= /4 /л),.. . , 4- ( A ) 7 f соответствующих высоким значениям собствен
ных чиоед |
jdt (A )» e (A ), |
t e /7* |
и вычислению по фордуле (Щ .ЗЛ9) |
о 0е ~-~- 4 |
матрицы 4 W |
компенсирующего группового фильтра. |
|
При наличии пространственной |
корреляции диффузных помех опи |
санная процедура приводит к надежному выделению базиса собствен
ного подпространства |
когеррентных помех |
только при |
<у |
= |
|||||
- г/тх (&г/ ^ |
) « |
1, |
поскольку ни одно из |
подмножеств собственных |
|||||
векторов матрицы |
F ( а) =[ в г£tjt) *■и (л )и * са) ] может не лежать в |
||||||||
подпроотранотве |
Ха |
. |
Однако при |
«>— о |
"контрастность" |
первых .у |
|||
наибольших собственных |
чисел матрицы |
F ( A) пс сравнению с |
осталь |
||||||
ными m -s |
увеличивается, а первые s |
собственных векторов |
отре |
||||||
шится к базису |
подпространства |
. |
|
|
|
|
1 .4 . ЩЦЕ1ЕНИЕ СЛАБЫХ СМСМИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ С ПОМОЩЬЮГРУШ. ЭНСПЕРИМЕИТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ АДАПТИВНОЙ ГРУППОВОЙ ФИЛЬТРАЦИИ
Иополъзование адаптивной групповой фильтрации для анализа сейсмических сигналов подземных ядерных взрывов. Одной из важней ших областей применения изложенной в разделах 1 .2 и Ж.З статисти ческой теории обнаружения сейсмических сигналов с помощью про-
130
неискажающий оптимальный -групповой
ССэ
о
чс
3
3
I s
•Sg
_ 3> ^ «X
О
3: CJ 3
CJ
Р и с . S. Блок-схема обработки данных сейсмической группы при обнаружении подземных ядерннх взрывов
странственной группы датчиков является мониторинг подземных ядер- |
||
ных взрывов. Как указывалосъ в разделе Ш Л, именно с этой целью |
||
был создан ряд специальных сейсмических групп, из которых наи |
||
большую известность получили группа L A S а /§ 2 / в (Ж , штат Ари |
||
зона, и группа N0RSAR /957 |
в Норвегии. Обе группы |
содержали бо |
лее сотни однокомпонентных |
сейсмических датчиков, |
охватывавших |
области около 400 км в диаметре, и были оснащены мощными сред ствами компьютерного анализа. В настоящее время такие гиганты, как группы LAS а и а/оазаа, в которых вопрооы обнаружения и ана лиза слабых сейсмических сигналов решались средствами "экстенсив ной технологии" обработки данных (т .е . с помощью сравнительно простых алгоритмов, сводившихся к суммированию большого количе ства оигналов), уступили место значительно более скромным по ко личеству датчиков и занимаемой площади современным группам. В по следних качество функционирования достигается за счет сложных ал горитмов совместной обработки воей совокупности принимаемых дан ных, реализуемых на современных компьютерах. Примером такой груп пы может служить группа R O R tS S /Й 4 7 , сменившая R0ASAA и со стоящая всего лишь из 20 станций, расположенных в пределах круга диаметром 5 км. Характерно, что вое сигналы группы R O A fSS в ре альном масштабе времени передаются по каналу спутниковой связи в г . Вашингтон в специальный центр обработки данных. При этом нет сколь-нибудь подробных публикаций относительно применяемых мето дов обработки.
136
уилылр |
Предложенная в |
|
разделах Ш .2, ЦГ.З |
статистическая адап тивная методика об наружения и выделе ния слабых волновых полей по данным г руппы датчиков мо
жет быть применена для мониторинга под земных ядерных взры вов. Возможная струк турная блок-схема системы, осуществ ляющей такой монито ринг, изображена на рио. 3 и соотодт из трех блоков: адап тивного группового
фильтра, алгоритма обнаружения и алгоритма классификации. Основ ным элементом этой системы, учитывающим специфику поля помех и оигнала, является групповой фильтр.
Впервые использовать неиокажащий групповой фильтр для обра ботки данных сейсмических групп при обнаружении сигналов предяо-, жил Кейпон для группы L A S А /3 2 /. Описанные в разделах Ш.2, 1 .3 ' алгоритмы являются развитием результатов Кейпона в следующих на правлениях:
4) показана оптимальность алгоритма Кейпона (полуэвриотически выведенного им для задачи обнаружения детерминированного сиг нала) по отношению к отрогим статистическим критериям качества;
2)обобщен алгоритм Кейпона на значительно более реалистиче ские модели оигнала сейсмического источника: в виде детерминиро ванного процесса о неизвестными (случайными) параметрами и в ви де реализации стохастического процесоа о энергетическим спектром, зависящим от неизвестных параметров;
3)получены асимптотические формулы для вероятностей ошибок алгоритмов обнаружения при детерминированных и случайных сигна лах в источнике;
4)учтены неизбежные на практике различия в частотных иска жениях сейсмических сигналов, вносимых средой на путях распро странения от источника к приемникам группы;
137
5) предложен метод адаптации группового фильтра к спектру помех на основе их аппроксимации многомерными AFCC-моделями, ко торый "автоматически" приводит к фильтру, реализуемому в реаль ном масштабе времени.
В целом, предложенная в разделах Ш.2, Ш.З технология обра ботки данных группы датчиков достаточно проста и не требует для реализации мощной ЭВМ. Представляется целесообразным ее использо вание в оиотемах мониторинга подземных ядерннх испытаний, рабо тающих в реальном масштабе времени.
Однако чтобы обосновать практическую ценность этой техноло гии, следует показать, что для реальных сигналов, приходящих от
слабых и удаленных сейсмических ообнткй и реальных сейсмических помех, она обеспечивает более высокое качеотво обнаружения и идеи* твфшацш ообытия, чем традиционно применяемые простые приемы группирования данных. Для этого необходимо ответить по крайней мере на два вопроса (которые трудно разрешимы теоретическим пу тем) , Первый - какова отепень когеррентности сейсмических помех
в диапазоне частот ядерннх взрывов? Поскольку групповой фильтр эффективно подавляет именно когерренткые помехи, их доля в сум марной мощности помех и определяет выигрыш предлагаемой методики обработки по сравнению с простыми приемами группирования. Второй вопрос - насколько адаптивная АР-аппроксимация матричного спектра помех при небольших значениях порядков модели позволяет реализо вать потенциальную (теоретическую) эффективность подавления когеррентяых помех групповым фильтром? Заметим, что в адаптивном режиме эта аппроксимация осуществляется на основе наблюдаемой реализации помех ограниченной длительности и кроме систематиче ской погрешности АР-эшроксимацта должны оказыватьоя статистиче ские ошибки оценивания АР-параметров спектра по наблюдениям.
Ответы на эти вопросы проще всего получить экспериментальным путем, исследуя эффективность групповой фильтрации на реальных записях помех и сигналов, а также их моделях. Ниже приводится опи сание методики и результатов такого исследования о реальными даншиш, записанными на сейомичеокой группе t/ORSAH t и моделями когерректных помех, полученными на основе типичных спектров микрооейсм и геометрии расположения датчиков этой группы.
Теоретический выигрыш оптимальной групповой фильтрации по оравнению о направленным групповым приемом. Как показано в разде ле ВГ.З, аоимптотичеоки оптимальная процедура обнаружения сигналь ного поля (включающая в себя групповую фильтрацию) обеопечивает вероятности ошибок, отрешщиеся к нулю о уменьшением мощнооти диф138
фузной составлящ ей помех и з-за "эффекта компенсации" когеррент-
ннх помех. Компенсация когеррентных помех осуществляется тленно в оптимальном групповом фильтре ((ЛФ) за спет избыточной инфор мации о сигналах источников этих помех, содержащейся в реализа циях, принимаемых группой (при числе датчиков группы т , боль шем числа источников помех). Распространенная процедура направ
ленного группового приема (НГП) заключается в выравнивании задер
жек полезных сигналов в датчиках (возникающих и з-за различия пу тей распространения от источника сигнала к приемышам группы) и последующем суммировании. Свойотвом компенсации когеррентности помех она, вообще говоря, не обладает. Чтобы оценить преимуще ство неискажающей оптимальной групповой фильтрации (HOPS) перед процедурой НГП, рассмотрим отношение сигнал - помеха на выходах этих схем обработки при наличии когеррентных помех, порождаемых для_простоты одним источником. Как следует из результатов разде
ла Ш.З |
(формула |
(Ш .3 .8 )), |
для алгоритма НОГФ выходное отношение |
||||
сигнал - |
помеха |
по мощности на каждой частоте |
л |
составляет: |
|||
|
|
|
|
|
(*) А (л ), |
Ш .4 Л ) |
|
где |
0 (Л) |
- нормированный энергетический спектр иоточника сигна- |
|||||
л а ( |
•Г |
0 (л) е/л =■/) ; ft/ - |
мощнооть источника; |
« |
|
||
j |
А (л) - вектор час |
тотных характеристик среды на пути от источника оигнала к группе;
f(A ) - матричный энергетический опектр помех. |
|
|
|
Для алгоритма НГП |
|
|
|
Кгп (•*)-М ( * ) / ? * (л) |
А (■*). |
~ ~ |
( 1 .4 .2 ) |
Цуоть когеррентные помехи создаются локализованным источником со спектральной плотностью i ел) и кроме них существует некоррелиро ванный по пространству (диффузный) шум со спектральной плотностью 4>(л) . Тогда матричная спектральная плотность помех на выходе датчиков группы
Н л ) - [ т ) 1 + Г б А ) Н * ) |
(1 .4 .3 ) |
где if (л) - вектор чаототных характеристик среды на пути от ис точника помехи к группе. В проотейшем случае чаототнонезавиоимой среды
|
А (*)-{е~ 'ЛГег,. |
( 1 .4 .4 ) |
||
где |
тй 1, |
ге1 |
- задержки помехи и сигнала при их распространении |
|
от |
соответствующих источников к |
/-му приемнику. Используя фор |
||
мулу Бартлета |
/6/ для обращения штрицы ( 1 .4 .3 ) , можно привести |
|||
выражение |
( 1 .4 Л ) к виду |
|
139