книги / Статистический анализ геофизических полей

Таким образом, задача оценивания последних углов эквивалентна оцениванию каких-либо двух координат вектора г~ .

Матричная спектральная плотность наблюдений (Ш .6Л5) может быть представлена в виде

£ . / * ) -

£ ', М

+ г г г Г т(л),

(Щ .6Л8)

где

И л)- A*(J0Q'’ А(А)',

4

-

обратный спектр

АР-модели помех;

Г *

(гг,

-5 ,

s /i~ r f - г% ‘ ) г;

Л

кг,

i(A) = 2L

*

Щ.бЛ'вО

*=о

Ч

%

2 $Г

аг вы

; ав ~ ~ /

_

обратный

энерге-

аг ’

Л

тичеокий спектр АР-модели колебаний

/’-волны. При известных ко­

эффициентах

4 /

к е / 'р ;

Q АР-модели помех задача оценивания

азимута

и угла

выхода

/"-волны

сводится к

задаче

определения не­

известных параметров ( rt ,

§

)

и i

= (fy,

к е

(/>

)

энергетическо­

го

спектра (Ш .6Л8) наблюдений

(0Г .6Л 5). Согласно

результатам

разделов

Т.З

и Т .4

асимптотически э#ективная

оценка параметров

гг ,

( е Ц

и

Ьк,

ке

ВУр

может быть получена

как

решение систе­

мы уравнений

Ап1Щ ; г , Т ^ 0 ,

г* и ,

г}^ (Гг ;^7)-г2, кео.у,

(Ш.6Л9)

где

{Ar ,

)

-

АД статистики

неизвестных параметров матричного

спектра

(Ш .6Л 8),

Общее выражение для АД статистик

и параметров

спектра

FU,

) гауссовского

процесса имеет

вид

(теорема

4 . Г

гл а ш I ) :

* ) я

4

) ) ,

П .6.20)

/

N

—

/A.t

где

F U j, в У,

/£ - щ

F(Ar

& );

47

X j- t fr f t

Подставляя а выражение (Ш.6, 20)

формулу (Ш .6Л8)

и воспользовав­

шись равенством (формула Бартлета)

/ 1~Г/Л* ? г гг~’и

) ] '

at)-

Й

fr f }>

(| .6>2р)

${А)+г

6 и/^

нетрудно получить

следующие выражения для 4

и

:

4 f r r>2 Г \ ! 7 г £ ,

* в Ч

. 6 . 2 2 )

181

Ij ty ); Л, = ~ y ~ • Аналогично можно получить фор­

мулы для элементов ПШ-матрицы, определяющей ошибки оценивания параметров ( FI Г ) :

которые		здесь	не приводятся и з-за			их громоздкости. Уравнения
(Щ .6Л 9)		могут	решаться итеративной процедурой
где	(Гт	t F ,rT r) r;		Т ( х у , (Г )=	( 4 r	ъ)',	г"i	Т ) ) Г,
шш какой-либо другой, не требующей вычисления							Г ~ ’С ^ )	на	каж-
дом шаге		итераций		(например,	процедурой Девидова - Пауэла -				Флет­
чера	либо методом переменной метрики /71/). В						результате	получа­

ются оценки направления /-волны и АР-параметров энергетического спектра ее колебаний. Последние представляют самостоятельный ин­

тер ес, например, при классификации сейсмических событий по их
спектрам.
Важной проблемой применения численных алгоритмов решения не­
линейных уравнений Щ .6	.19)	является построение предварительных
оценок параметров ( F, Г	) ,	находящихся в окрестности истинных
значений этих величия.	Только наличие таких оценок гарантирует

быструю сходимость любой итерационной процедуры		решения уравне­
ний	(ШЛ5Л9). В качестве предварительных оценок	*}, % и
к е	о, q можно использовать '/F-оостоятельные оценки метода мо­

ментов, Автокорреляционная матричная функция трехкомпонентных наблюдений суммы /-волны и сейсмической помехи имеет вид

(f .6 .2 4 )

где С1*) - автокорреляционная матричная функция помех, предпола­ гаемая известной из анализа предшествующих помех; /9, - £ ^ vt+ р - 187

автокорреляционная функция колебаний

/’-волны вдоль луча

г ~ .

Из выражения

(1 .6 .2 4 ) при

9

= 0

выводим,

что

ГЛ

Г

=

Go

~ С0

(Е .6 .2 5 )

есть матрица ранга 1 , собственный вектор которой,

соответствующий

единственному

ненулевому собственному значению,

равен Я " . под-

отавляя

в

выражение (Щ .6.25)

ш есто

c

0e a+fl)

оценку этой ковариа-

ционной матрицы по наблюдениям (Ш .6Л5)

ТьГ

—/L

Г , Т г,

(Ш .6.26)

Г

t=r*r

V

t

а ш есто

С сл)

-

такую же оценку С

по

наблюдениям "чистой”

помехи,

получим,

вообще говоря,

невырожденную матрицу J

t соб­

ственный вектор

г

которой,

соответствующий максимальному соб­

ственному значению,

является

иокомой

if f -состоятельной сценкой

вектора

Г,

Для построения Г Г -

состоятельных оценок параметров

%

> ей~£

опектра

Я-волны умножим обе части уравнения (Ш .6.24)

слева на г г и справа на Г

. В

результате,

учитывая,

что

получим

r - F ' C ^ F ,

i e £ p ,

(Ш .6.27)

Подставляя в выражение (Щ .6.27)

вместо

К

С сл^р>

и

С а )

их i

уг-состоятельны е

оценки по наблюдениям, получим

V T -состоятель­

ную оценку корреляций колебаний

/'-волны вдоль луча:

у

Т ?

0+f>)g-

~ г Г <”)

-+

H i

(Ш .6.28)

f i r r c ,

г

-

r

r C

'Г ,

Оценку величин

можно найти,

не вычисляя матриц

с ‘л ),

при

9 > О,

Для этого достаточно

спроектировать векторные

наблю­

дения смеси оигяала с помехой

(Ш. 6 Л 5 )

и векторные наблюдения шу-

m до момента

вотуплекия

/’-волны на оценочный вектор

т .е .

образовать

одномерные временные ряды:

1Л+Р

У

1Л1-р

+&(Г+/,п-ГЪ

V)

‘n!

HCr-Miz) (Ш .6.29)

4

к .

f y ' - r r ?

i ............................

>*

ft

'

у

Нетрудно убедиться,

что

разность выборочных корреляций этих рядов

r+Ч

&*/)

Он-р)

/

г-9

in)

(Я)

J/ гf гТ ^t*r*1*«Г

у 1

(Ш .6.30)

9р

9 it )

м

t-r-M tP

9^

9 ft )

в точности совпадает с оценкой

(Щ .6.28), Оценки коэффициентов

к &

0, $

АР-моделн спектра

колебания /'-волны теперь можно

получить в

результате решения одномерных уравнений Кка -

Уокера

183

^7	' Л>	/ " (//	аг Л ) f	(Ш .б.эт)
и последующего вычисления		сверток:

ЧГ *

£ " / ' * £ * *

кет^}>

%’ -*■

( f .6 .8 2 )

Оценка момента вступления /'-волны, учитывающая ее линейную поляризацию. Модель наблюдений (Щ .6Л 5) суммы A -волны и помехи * целесообразно использовать для синтеза алгоритма оценивания мо­ мента вотупления этой волны. Такой алгоритм, в принципе, должен быть более точным, чем алгоритм (ЦТ.6 .8 ) , поскольку он учитывает линейную поляризацию /-волны и использует аппроксимацию (Щ .6Л8) матричного спектра процесса после разладки, содержащую меньшее число неизвестных параметров, чем общая АР-аппроксимация. В этой постановке задача о разладке решается на основании следующей мо­ дели наблюдений:

	t	^ г	-	АР-процесс оо спектральной
г -				матрицей общего вида;					(Ш .6.33)
	>	t > t	-	процеос
V*							со спектральной
				матрицей			(И. 6 Л 8)
Заметим, что	процесс		^	*■	-	сумма независимых АР-процес-
сов - уже является	АРСС-процессом. Поэтому задача о разладке
(Ш .6.33) отличается от той,				для которой была выведена МП-оценка
( f . 6 . 8 ) .
Функция правдоподобия					г,	§*г )		наблюдений до разладки
в задаче (Ш .6.32)	по-прежнему определяется формулой								(Щ .6.3), а
ее максимум по параметрам А?-модели							Щ -	формулой	(Щ .6.?) .Услов­
ную функцию правдоподобия					\ 7 * ,		г,	) наблюдений после

разладки (которая в данном случае также не завнои® от параметра &г в силу марковского свойства помехи и некоррелированности сиг­ нала о помехой) можно вычислить, исходя из приближенного спект­ рального представления функции правдоподобия гауссовского процес­

са / 267 . Это представление				ооновано на предположении, что значе­
ния дискретного преобразования Фурье наблюдений
-	/	Д	_		,Л,Ф	ЯГ/
У	/ г	£	, , *	с	-

не коррелированн при рззнах у , что справедливо при достаточно

[ 34

больших

/

В

соответствии с

таким приближенным подходом можем

записать:

I • t#w

>г- к

у

/V 7*

у ^

F ^Q j,

£ ) Ч

[ ln м

* x ? C p

(1 .6 .3 4 )

где

£

=

j

?t

e"*j t ,

F0t/)

U

% )

-

матричный спектр

Щ .6 Л 8 ),

(rp

у tk,

t e

6~ lf )

-

параметры матричного

опект-

pa

/’-волны. Используя формулу Бартлета

(Щ .6.21), выражение

(1 .6 .3 4 )

можно привести к

более удобному Для вычислений виду:

а/

л-Т

~

г, $ , М ) — ~

Г

(g.6.35)

где

обозначения аналогичны обозначениям в

формуле (Ш .6.22).

В

результате оценка момента вступления

/’-волны вычисляется

так

?.~arg

m a x [-ftn 4 et£ f(b + щ х

t t f * i

Г,

/ (•*))],

Ш.6.36)

Tf<

rx.rt

1

fft

r

V

(А)

обозначен обратный спектр наблюдений до момента

г ,

где 1 е

вычисленный по формуле (Ш .6Л 8)

на основании оценки АР-парамет-

ров этих наблюдений.

При макоимизации функции правдоподобия

(Ш .6.35)

по

необ­

ходимо использовать выражения ее производных по параметрам

6t ,

а также предварительные оценки этих параметров

. Ука­

занные производные совпадают в данном случае о выражениями

(Ш .6.22)

для АД статистик

Ark

и ^

, а

в

качестве

, tk

мож­

но использовать оценки метода моментов, описанные в предыдущем разделе. Заметим^ что проведение процедуры численной максимиза­

ции функции Ur, 62 ,		Lr	(л ))	по	% при каждом значении г	в ин­
тервале от т7	до	£	может оказаться олшиком трудоемкой опера­
цией для ЭМ,	используемой при обработке данных. В этом случае
можно заменить	оценку		(Ш .6.36)		оледувдей, значительно более	про­
стой оценкой момента			разладки в		задаче Щ .б .З З );	185

V
где ^	'( % , rv Ь /,.	А & Ц ф )	- предварительная ^ - с о с т о я ­
тельная оценка параметров /'-волны , вычисляемая по формулам
(Ш.6.25), Ш.б.26) и Ш*6.Э0)-(Щ.6.32),
При достаточно высоких отношениях сигнал - помеха				оценка
Щ ,6 ,3 7 )	может не	намного уступать по точности оценке максимума
правдоподобия (Щ .6.36). Теоретический анализ точности				оценок

Г86

Р и с . 17 . Модельные исследования алгоритма оценки момента разладки трехкомпонентного временного ряда:

а - реализация одной компоненты смеси случайного

сигнала о шумом (отношение сигнал -	шум 0 ,5 ; момент .
вступления сигнала £ = 500 с ); б -	однокомпонентная

функция правдоподобия момента разладки; в - трехком­ понентная функция правдоподобия момента разладки

(Щ .6.36), (Щ .6.37) затруднителен, и вопрос о предпочтительности той или иной оценки может быть разрешен их исследованием на ЭВМ о использованием модельных и реальных данных.

Экспериментальное исследование алгоритмов оценивания момен­ тов вступления Р - и У-волн. Из описанных выше алгоритмов оцен­ ки моментов вступления Р - и «У-волн наиболее простым является алгоритм (Ш .6.8), выведенный для задачи разладки гауссовского А Р - процесса общего вида. Его эффективность при определении моментов вступления Р - и ^-волн на сейсмограммах была исследована экспе­ риментально и на моделях, и на реальных данных. В качестве по­ следних испольговался тот же набор сейсмограмм, включающий в се­ бя местные, региональные и телесейсмические ообытия, который при­ менялся для экспериментального изучения алгоритмов обнаружения. Модельные реализации и участки сейомограмм в окрестности момен­ тов вступления Р - и <У-волн обрабатывались с помощью одномерно­ го и трехмерного вариантов алгоритма (Ш .6.8).

Рис. 17 содержит результаты опробования алгоритма на компью­ терной модели. Моделировался трехмерный временной ряд

(Ш .6.38)

*

187

р

Р и о., 4 8 . Оценка момента вступления /“-волны по трехкомпонентной оейомограмме афтершока Фриульского землетрясения (Италия, 0 5 .0 5 .4 9 7 6 )!

а~в - соответственно Z-, 0 - г -^-компоненты оейсмограммы афтершока; г - трехкомпонентная функция правдоподобия момента разладки, вычисленная в широ­ ком интервале

188'

s

Р и с . 1 9 . Оценка момента вступления «Г-волны по трех­

компонентной сейсмограмме афтершока Фриульского				землетря­
сения	(Италия, 0 6 .0 5 Л 9 7 6 ):			Р~ и S -
волн	а -в - соответственно	Z -,	^-компоненты
	сейсмограммы; г - трехкомпонентная функция правдопо­
добия момента вступления		.Г-волны

189

P s

Р и с . 20 . Оценка момента вступления $-волн по трехкомпонентной сейсмограмме слабого афтершока Фри­ ульского землетрясения:

а - в - соответственно Z-, N - , ^-компоненты сей­ смограммы; г - трехкомпонентная функция правдоподо­ бия момента разладки» вычисленная в широком интер-

190