книги / Теория автоматического управления техническими системами

1 W(s)

ф^ ==z7(sj‘H-W(s) ~~

___________tPi(s) wa (s) W3(s) W4(s) _______

“1+Z4(s) IT4(S) +Z3(s) W3(s) W4(s) +Z,{s) W2(s) W3(s) W4(s) + •

+Z3(s) W,(s)r2(s)r3(s) W,(s)

Пример 3. Для упрощения структурнуюсхему САР (рис. 3.39,а) преоб­ разуют к виду, показанному на рис. 3.39,б, исходя из того, что сигнал g(t)

на входе элемента W3(s), прежде чемпоступить на выход системыив цепь обратной связи Z,(s), должен пройти через элемент W3(s).

Передаточная функция части системы, которая отмечена на рис. 3.39,б штриховыми линиями,

»_____ Wt(s)

Wii w-i+z.wir,^) (*)*

Схема на рис. 3.39,6 может быть преобразована к схем на рис. 3.39,в, пе­ редаточная функция которой в замкнутом состоянии имеет вид

Ф(s)= Wi(s) W23(s) W3(s) _ 1+Z, (s)W3(s)W23(s)~

_______ W* (s) W2(s) W3(s)______

“ 1+Z, (s) W2(s) W3(s) +Z,(s) W3(s) W2(s)'

Пример 4. Рассмотрим преобразование структурной схемысложной САР (самолет с автопилотом) с нескольким регулируемыми величинам (рис. 3.40). Система включает в себя самолет (объект регулирования) и

автопилота самолета:

/—канал курса; 2—руль курса; 3—руль высоты; 4— канал крена; 5—элероны; 6—гировертикаль; 7—кур­ совойгироскоп; 8—канал тингаж

автопилот, состоящий

из

трех

регуляторов,

которые

координированно

управляют самолетомпо

тремканалам

(тангажа,

курса

и крена)

с

по­

мощьюрулей высотыи курса, а также с помощьюэлеронов.

Для упрощения можно предположить, что боковые и продольные дви­

жения самолета независимыдруг от друга. При этомограничимся рассмот­

рениемкурсовой и поперечной стабилизации самолета с автопилотом.

Чувствительным элементом курсовой

стабилизации

служит

свободный

гироскоп с горизонтальной осьюсвободного вращения. При помощи чув­

ствительного элемента, специального демпфирующего устройства

и потенцио­

метра в автопилоте вырабатывается напряжение,

пропорциональное

углу

отклонения самолета от заданного курса иего угловой скорости относитель­

но вертикальной оси. Это напряжение подается на вход электронного уси­

лителя, который воздействует на серводвигатель

(рулевуюмашину), управ­

ляющий

движением руля

курса.

Серводвигатель

имеет

электрическую

обратнуюсвязь. На вход усилителя канала руля поворота подается напряже­

ние,

пропорциональное

не только

углу рысканья, но

и

углу бокового

кре­

на самолета. Это напряжение поступает от потенциометра, которым

снабжен

другой чувствительный элемент

автопилота —гироскоп

продольно­

поперечной стабилизации,

представляющий

собой

свободный

гироскоп с

вертикальной осьювращения. На

вход

электронного

усилителя

канала

элеронов

подается

сумма

напряжений,

одно из

которых пропорционально

углу бокового крена, а другое—углу отклонения самолета от заданного

курса.

Этот усилитель

воздействует

на

серводвигатель, управляющий

по­

воротомэлеронов.

Серводвигатель канала

элеронов

также

имеет

электри­

ческуюобратнуюсвязь.

Если не рассматривать системыпродольной стабилизации н внутренних

обратных связей в автопилоте, то систему самолет—автопилот можно пред­

ставить состоящей из четырех замкнутых контуров: 1) самолет—гироскоп

курсовой

стабилизации —усилитель и

серводвигатель

курсового

канала —

руль направления —самолет); 2)

самолет—гироскоп

продольно-поперечной

стабилизации —усилитель

и

серводвигатель

канала

элеронов —элероны—

самолет; 3) самолет—гироскоп курсовой

стабилизации —усилитель

и

серво­

двигатель

канала элеронов —элероны—самолет; 4) самолет—гироскоп

про­

дольно-поперечной

стабилизации —усилитель

и

серводвигатель

канала

на­

правления —руль направления —самолет.

с

автопилотом

показана

на

Структурная схема

системы

самолета

рис. 3.41,а, где через ¥*(0

и Фв(1)

обозначенытребуемы

законы

измене­

ния курсового угла

бокового

крена, а

через Чг(/)

и Ф(/)

их

действительны

значения:

еФ(0=ФЛ0-Ф(0-

МО =^(0-^(0;

обозначеныпереда­

Через

№i(s) и W2(s) (на рис. 3.41

везде

W\, W2и т. д.)

точные функции каналов руля направления и элеронов автопилота соответ­

ственно, а через №s(s)

иTt^4(s),

W$(s)

и

Wn(s) —передаточны

функции

самолета,

характеризующие

эффектыотклонений

элеронов

и руля

(на уг­

лыбокового крена), а также рысканья соответственно.

На рис. 3.41,6 приведена преобразованная схема, на которой самолет

представлен в виде четырех параллельно соединенных элементов с переда­

точными функциям Wa(s) •..W6(s).

парал­

Так как сигнал от каждого из элементов сравнения по двум

лельнымцепямпроходит через каналыIFj(s) и W2(s) то для определения

передаточной функции, характеризующей

изменение курсового угла ¥(t) в

зависимости от сигнала ошибки tv(t) схему на рис. 3.41,6 можно предста­

вить в виде двух схемна рис. 3.41,в,г. Схема

(см. рис. 3.41,в)

характери­

зует влияние сигнала ошибки ev(f) на курсовой угол ¥(/) через канал ру­

ля НМ$), а схема

(см. рис. 3.41,г)—влияние

сигнала

ошибки

е^(0 на

Ф(0 через канал элеронов W2(s).

путей

прохождения

сигнала

на

(см.

Для

выявления

параллельных

рис. 3.41,в,г) изменение

угла бокового

крена

полагается

равным

нулю,

т. е. Фй=0, а передаточная функция элемента сравнения для угла

боко­

вого крена заменяется —1. Это возможно на основании того,

что

если в

уравнении

Рис. 3.41. Преобразование структурной схемысамолет—автопилот то еФ(0=Ф*(0-Ф(0. Ф,(0=0,

*ф(*)__1 Ф(5)

Схемына рис. 3.41,в, г, могут быть сведенык виду, изображенному на рис.
3.41,5, е. Схема на	рнс. 3.41,в преобразуется к виду, изображенному на
рис. 3.41,5, так как сигнал ошибки еф(/) после прохождения через структур­
ныйэлемент Wt(s)	разветвляется на две параллельны ветви.
Схема на рис. 3.41,г приводится к схем на рис. 3.41,е. Передаточны
функции для каждой из этих системможно записать следующимобразом:
для схемына рис. 3.41,5:
( t/i fs) 1	■—W2(s)
=	(s) w*(s) + Wl(s) w<(s) Ws is)
Для схемына рис. 3.41, е:

=1Гг (s) W‘<s) +W>(s) W>(s) V' (s)

Искомая передаточная функция системл с разомкнутымканалом курса

r « - f é & k +№		k “ r ' w <s,+r=(s) * (s,+
+	Wt (s) Wl(s) W* (s) Wb(s)	Wl(s) W2(s) W3(s) \VD(s)
	1+w2(s) Wt(s)	l + Wl (s) Ws (s)

Аналогично можно определить передаточны функции других каналов управления.

3.9. Номограмма для замыкания системы

Как будет показано далее, для анализа качества САР необ­ ходимо решить следующую задачу: известны логарифмические амплитудная и фазовая частотные характеристики Я(©) и 0(©) разомкнутой системы W(s); необходимо найти логарифми­ ческие амплитудную и фазовую частотные характеристики А(©) и ф(о) замкнутой системы

Я- 20 /g cos 9 (ю)±^ cos*9 ((0)+ л^ч~1		(3.80)
Я=20 le sinie(©)-y(©)]		(3.81)
е	sin ф(со)

где Я —значение ЛАЧХ, дБ; Аи.ч—значение амплитудной ха­

рактеристики замкнутой системы, абс. ед.

Придавая Ав формуле (3.80) некоторые постоянные значе­ ния в абсолютных единицах, а в формуле (3.81) —в градусах, и изменяя 0 от 0 до ±360°, можно получить для каждого 0 соот­ ветствующие значения L(©) в децибелах.

При построении номограмм замыкания по оси ординат от­ кладывают значения Я(©) в децибелах, а по оси абсцисс — фазы 0(©) в градусах (рис. 3.42).

На плоскости (с координатами ЬтЯ(©) и 0(©)) строят кри­

вые, соответствующие геометрическим местам точек, имеющих постоянные значения Аи <р. Значения Аи <р, для которых по­ строены кривые, составляющие номограмму, отмечены соответ­ ствующими цифрами (индексами).

Следует отметить, что при больших по абсолютному значе­ нию отрицательных Я, уравнение (3.81) сводится к виду sin(0—ф)«0, или 0^ф, т. е. линии равных значений ф пример­ но совпадают с вертикалями (т. е. значения фазы 0 равны ин­ дексу ф).

Номограммой пользуются следующим образом. В координа­ тах логарифм модуля —фаза, в которых построена номограм­

ма, строят кривую L(0), представляющую зависимость L(©)= =Lm\W(j(ù)\ от 0(о)=arg{№(/©)} ДЛя системы. При этом угловую частоту ©рассматривают как параметр и значения ©

отмечают вдоль L(0).

Если кривая L(0) пересекает одну из кривых номограммы, имеющую индекс Ni—LmAi при значении ©=©ь то ЛАЧХ замкнутой системы LmA имеет значение Яь Если при ©=*©1 кривая Z(0) пересекает одну из кривых номограммы, имеющую индекс фЬ то при ©=©i ЛФЧХ ф(©) имеет значение фЬ

	Рис.3.43. Схема САР:
а—сединичнойООС: б—спеединичиойООС
Номограммы	применимы для САР, имеющих единичную
обратную связь	(рис. 3.43,а), передаточная функция которой

ф (‘>=ГТГ5Г

Если САР имеет неединичную обратную связь (рис. 3.43,6), то передаточная функция системы в замкнутом состоянии имеет вид

ф (s)=__ —Ф__ l+Z(s)tF(s) *

Для того чтобы применить номограмму для получения лога* рифмических частотных характеристик замкнутой системы, пе­ редаточную функцию этой системы представляют следующим образом:

ф(8)__—Г 1 К) Z(s) Ll+^(s)Z(s) J’

Выражение в квадратных скобках дает возможность вос­ пользоваться номограммой и найти логарифмические характе­ ристики, соответствующие этому выражению. Из полученных характеристик следует вычесть характеристики, соответствую­ щие передаточной функции Z(s). В результате получают иско­ мые логарифмические частотные характеристики замкнутой системы с неединичной обратной связью.

Контрольные вопросы

4 1. Вчем состоит задача линеаризации уравнения САР? Ка­ кова математическая основа линеаризации?

2.Какова методика экспериментального определения час­ тотных характеристик динамической системы?

3.Охарактеризуйте особенности свободных и вынужденных колебаний САР.

4.Что такое передаточная функция линейной САР? Какими передаточными функциями может быть описана САР?

5.Сравните между собой основные временные и частотные свойства типовых динамических звеньев.

6.Почему в определении передаточной функции динамичес­ кой системы начальное состояние (условия) является нулевым?

7.В чем состоят преимущества ЛЧХ в сравнении с ам­ плитудно-фазовыми характеристиками (АФХ)?

8.Каковы правила вычисления и построения ЛЧХ системы автоматического регулирования?

9.На какие технические свойства САР оказывают влияние низко-, средне- и высокочастотные области ЛЧХ?

10.Заданы ЛЧХ разомкнутого контура САР. Как опреде­ лить ЛЧХ системы, замкнутой цепью отрицательной обратной

связи?

11. Сформулировать основные правила преобразования структурных схем САР.

4. МЕТОД ПЕРЕМЕННЫХ СОСТОЯНИЯ В САР

Метод переменных состояния1в теории управления основан на понятии состояния динамической системы (объекта или САР в делом). Если систему описывают некоторой совокупностью физических переменных Xi{t), x2{t), ..., xn{t), характеризую­ щих поведение этой системы в будущем, и если известны ее состояние в данный момент и приложенные к ней воздействия, то статические и динамические свойства объекта или САР в данном случае можно описать системой дифференциальных

уравнений в нормальной форме Коши.

Матричная передаточная функция системы, а также свой­ ства наблюдаемости и управляемости позволяют глубже понять динамику и особенности технических систем [18, 20].

	4.1. Переменные состояния		и уравнения состояния
		динамической	системы
	Рассмотрим многомерную систему (рис. 4.1),				описываемую
	переменными состояния x{{t), x2(t), .... xn(t),				позволяющими
	U,(ti	«я		9f(V
	Ujftj		W2
				Vi(t)

Рис. 4.1. Система с двумя входами и выхо­ дами, описываемая переменными состояния Xi, хп

1Строгое определение метода переменных состояния (или пространства состояний) дано, например, в книге: Ту Ю.Современная теория управления / Пер.с англ. Я. Н.Гибадулина; Под ред. В.В.Солодовникова, М.: Машино­ строение, 1971, с. 80—90.

по их начальным значениям *i(£0),

• ••i-Xn(fe) в момент Uи заданным воздейст­ виям Ui(t) и игЦ) при t^t0определить буду­ щие значения переменных состояния, а так­ же выходных переменных y{(t) и yz(t).

Пояснимпонятие переменных состояния на простом примере механической системы, состоящей из груза мас­ сой т, подвешенного на пружине с коэффициентом упругости k и двигающегося в цилиндре с коэффици­ ентомтрения f (рис.4.2.). Дифференциальное уравнение этой системыможно представить в виде

лъи du mdF+fJt+ky=aV)'

Рис. 4.2. Механи­ Вкачестве переменных состояния введем
ческая система, по­		*i(0“1/(0.
ясняющая понятие			dxx
переменных	со­	dgjt)
стояния		it)- ! dt	—dt ■

Подставляя выражения (4.2) в уравнение (4.1), получим m^-jj-+fxi+kxl=u(t).

(4<1>

(4.2)

Учитывая выражения (4.2), можно написать:
dxi
ЧГ=Х*>		k	1	(*.3>
dxz	f
dt ~	mx-	mXl+ mu

Система уравнений 1-го порядка (4.3) и является уравнениями в перемен­
ных состояния для рассматриваемого линейного объекта.							выражен-
В общем случае нелинейной системы уравнения,
ные в переменных состояния, имеют вид
*i(О =fi[*i, х2, ..., хл; ии ы2, ..., ит; *];
X2{t)=h\xu *2, ..., *n;			ии «2, - - -, um\		t];		(4-4)
Xn(t)...................................................................=fn[x1, X2,	. . . , xn\		Uu U2t	um,	t].
							fi, fi, .. -
Если предположить, что в уравнениях (4.4) функций
..., fn линейны	относительно			переменных		хи х2, .... х«>
«1, «г,.... и» в не зависят от времени t, то их						можно	привести
к виду
Х\—0>\1*1+012*2+ . . .		-\-CL\nX-\~b\\U\-\-b\2U-\- .				. . -\-Ь\т^т\
х2=а2уХ\-\-а22х2-\-...		~\‘й,2пХп~\тЬ2\Щ~\~Ь22и2-\-... -\-Ь2тит’,
							(4.5)
Хп—&п\Х\~\~Оп2Х2~\- . . .		-|-flnn*n"|"ÔniU-f-&n2M‘-b . • • +^nmW.

В матричной форме уравнения

± â •	а\\ а,2		••	0>\п	1
	Ад а%г		■••	<hn
-ХП-	JLn\ ап2		, . (Inn_Хп_
~Ьп	.• •	Ь\т	щ
+ ^21 • ■••		&2т	и2
Ьпх	..• •	Ьпт _

(4.5) принимают вид

(4.6)

Матрицу-столбец, содержащую все переменные состояния в правой части уравнения (4.6), называют вектором состояния и обозначают через х, т. е.

_хп_

Если вектор входных сигналов обозначить через и, то данная линейная система в компактной векторно-матричной форме мо­ жет быть описана при помощи уравнения

х=Ах+Ви,

(4.7)

где А—квадратная [п, п]-матрица

В—прямоугольная [п, щ]-матрица

Для полного описания системы к уравнениям состояния (4.5) или (4.6) необходимо добавить уравнения, устанавливающие связь между переменными состояния Хи хч...... хпи выходны­

ми переменными уи у2, .... yv>которая обычно выражается в
виде системы линейных алгебраических уравнений:
У\~СПХ1~\-С\2х2~\~...-{-CinXnî 1	(4.8)
^2=ад -h С22Х2+ ; •; +С2п*п\
Ур—ср\х1+ Ср2х2+ ..• + СрпХ J
или в векторно-матричной форме
у—Сх.

У\

У: Уч

УР называется выходным вектором, а матрица С(р, п) ^-матрицей выхода:

Уравнениям (4.7) и (4.8) может соответствовать структур* ная схема (рис. 4.3), где векторные связи показаны стрелками.

* -е е - /

- Е И

А

Рис. 4.3, Структурная схема многомерной САР с об­ ратной связьюА

Векторное дифференциальное уравнение (4.7) можно решить методом, который применяют для решения уравнения 1-го по­ рядка. Рассмотрим уравнение 1-го порядка:

х=ах+Ьи,	(4,9)
где х и и —скалярные функции	времени; а и Ъ—постоянные
величины.	по Лапласу, получим:
Преобразовав уравнение (4.9)
sX{s)—x{0)=aX(s)+bU{s),
откуда
*(*)=-î^r+îéï-tf(s)-	(4.10)

Решение уравнения (4.9) можнонайти, взявобратное преоб­
разованиеЛапласа L^Xfo)]:
t	(4.11)
х(<)=е°Ос(0)+ Je«l‘-*>Ьи(t)dx.
Решение векторного уравнения	(4.7)определиманалогич­
ным образом, а именно	(4.12)
sX(s)-x(O)=АХ(s)+BU{s)з
или	(4.13)
Х.(«)

по