книги / Теория автоматического управления техническими системами
..pdfV |
N (s) С{s) G(s)+ B(s) M(s) F (s) + Л4„ fs) |
|
|
|
(3.20) |
|||||||
Л |
|
|
D~(s)B (s)-fC(s)/V(s)~------- |
|
|
|
||||||
Если |
из |
уравнений (3.19) исключить функции |
Я (s) и X(s) |
|||||||||
и выразить эти уравнения относительно E(s), то |
|
,ogn |
||||||||||
р/~\ —D (*) в(Д) О(s)—B(s) M(s) F (s)—М„ (s) |
* |
|
||||||||||
|
|
|
D(s) B(s) + C(s) N(s) |
|
|
|
|
|
||||
Разделив |
все |
члены |
уразнений (3.20) |
и |
(3.21) |
на |
D (s)В (s) |
|||||
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ХФ = 1+ WIs) G W+ l + lP(s) F |
+ 1+ |
|
(!)'• |
|
(3-22) |
|||||||
£ w = r r i « 0 (s) - r F r k /r<s) - , - r ^ ’ |
|
(3-23> |
||||||||||
где |
|
C(s)N{s) |
|
M(s) |
|
|
|
|
MH(s) |
|||
W(s)= |
|
VH(s) = |
||||||||||
D (s) B (s) |
K(S)= D($) ’ |
O(s) B(s) |
||||||||||
Первое слагаемое в |
правой части выражений (3.22) и (3.23) |
|||||||||||
характеризует собой эффект управляющего воздействия g(t); |
||||||||||||
второе —эффект возмущающего воздействия |
|
f(t); |
третье сла |
|||||||||
гаемое—эффект начальных условий. В случае нулевых началь |
||||||||||||
ных условий формулы (3.22) и (3.23) |
могут |
быть |
переписаны |
|||||||||
в следующем |
виде: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
*(s)=<D(s)G(s)+y(s)F(s); |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
гдеE(s)=d>t(s)G(s)—Y{s)F(s), |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
V(s) |
|
W(s) . |
|
|
|
|
|
|
(3.24) |
|
r(s) = 1+r(s) |
Ф(*)= 1+ W(s) ’ |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.25) |
Если возмущающее воздействие |
|
|
то X(s)=<D(s)G($) |
|||||||||
|
X |
(s) |
|
|
|
определяемая выраже |
||||||
и 0(s)=^-^ |
, T. e. функция O(s), |
|||||||||||
нием (3.24), является передаточной |
функцией замкнутой САР |
|||||||||||
по отношению к управляющему воздействию g(t). Если управ |
||||||||||||
ляющее воздействие #(0—0, то Я(s)=У(s)F(s) и |
Y(s)=*X(s)/ |
|||||||||||
IF(s), т. e. функция |
Y(s) |
представляет |
собой |
передаточную |
||||||||
функцию замкнутой САР по отношению к возмущающему воз |
||||||||||||
действию f(t). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Функция |
Фе (s)= |
gj^-> |
определяемая |
(3.25), |
называется |
передаточной функцией ошибки, или рассогласования.
Если САР (см. рис. 3.7) разомкнуть в точке А (чувстви тельный элемент, измеряющий разность между входом и выхо
дом, будет отключен от регулируемой переменной), то уравне ние ошибки (3.18) перестанет существовать, а уравнение регу лятора будет иметь вид
B(p)r{t)=N(p)g(t) |
или В (s)R (s)—N (s)G(s). |
(3.26) |
||
Если уравнение (3.26) разрешить относительно R {s) и |
резуль |
|||
тат подставить в уравнение для объекта (3.16), то для |
разомк |
|||
нутой системы |
|
|
|
|
V |
|
, |
N (s) C(s) |
|
ЛРW—D(*) t |
T в(s) D (s) G (S). |
|
||
Если возмущающее воздействие f(/)=0, то |
|
|||
Xp(s) |
N(s) С(s) |
= W(s), |
(3.27) |
|
G(s) |
B(s) D(s) |
T. e. функция №(s) представляет собой передаточную функцию разомкнутой САР по отношению к управляющему воздействию g(/). Когда управляющее воздействие g(0=0.
Хр(s)
TW (3.28)
т. e. функция (3.28) представляет собой передаточную функцию разомкнутой САР по отношению к возмущающему воздействию
т -
3.5. Типовые звенья САР
Типовые звенья с различными передаточными функциями ха |
|||||
рактеризуются определенным процессом, возникающим при из |
|||||
менении входного сигнала |
(воздействия). Для сравнения вре |
||||
менных характеристик этих |
звеньев принято рассматривать |
||||
переходный процесс при скачкообразном |
изменении |
входного |
|||
сигнала на одну единицу (при нулевых |
начальных условиях), |
||||
т. е. при единичном |
ступенчатом |
воздействии. Функцию, опре |
|||
деляющую изменение переменной |
на выходе звена |
при этих |
|||
условиях, называют |
переходной |
функцией звена. Она может |
|||
При анализе различных свойств САР вводят в рассмотрение |
|||||
понятие типовых линейных звеньев как некоторых |
составных |
частей динамических элементов системы.
Разнообразные элементы систем регулирования можно опи сывать одинаковыми дифференциальными уравнениями и, сле довательно, иметь одинаковые передаточные функции. Коэффи циенты, входящие в выражения для передаточных функций, не посредственно связаны с конструктивными параметрами этих элементов.
быть получена экспериментально, путем регистрации изменения выходной величины при скачкообразном изменении входной. Эту функцию иногда называют кривой разгона.
Частотные |
|
характеристики |
|
|
Xi(t) |
|
|||||||
типовых звеньев |
могут быть оп |
|
|
|
|||||||||
ределены |
из |
соответствующих |
|
|
|
|
|
||||||
дифференциальных |
|
уравнений |
|
|
|
|
|
||||||
(передаточных |
функций), |
а |
так |
|
|
|
|
|
|||||
же экспериментально. |
|
видов |
|
|
|
|
|
||||||
Можно |
указать семь |
Xг |
|
|
|
|
|||||||
типовых звеньев: |
|
усилительные |
|
|
|
|
|||||||
(безынерционные), |
апериодиче |
|
|
x2(t) |
|
||||||||
ские (инерционные), колебатель |
|
|
|
||||||||||
ные, интегрирующие, |
дифферен |
|
|
|
|
|
|||||||
цирующие 1-го порядка, |
диффе |
|
|
|
|
|
|||||||
ренцирующие 2-го |
порядка, |
за |
|
|
|
|
|
||||||
паздывающие. |
|
звено. Воспро |
|
|
|
|
|
||||||
Усилительное |
|
|
|
|
|
||||||||
изводит входной |
|
сигнал |
без |
|
|
|
|
|
|||||
искажения и запаздывания, но с |
Рис. 3.8. Временныхарактеристи |
||||||||||||
изменением |
масштаба |
(увели |
ки усилительного звена: |
||||||||||
чивая его или уменьшая). |
Пе |
а —входное ступенчатое |
ооэдсПстнне; |
||||||||||
редаточная |
функция |
усилитель |
|
б —переходная функция |
|||||||||
ного звена |
W(s)=k. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Зависимость между выходной и входной величинами: X2=kx\. |
|||||||||||||
При подаче на вход усилительного звена единичного ступенча |
|||||||||||||
того воздействия |
X\(t)= \[t) сигнал xz{t) на его выходе |
изме |
|||||||||||
няется мгновенно |
|
(рис. 3.8). АФХ |
определяется |
выражением |
|||||||||
W(j<û)=k и изображается точкой на действительной оси комп |
|||||||||||||
лексной плоскости. |
(инерционное) |
звено |
описывается |
диффе |
|||||||||
Апериодическое |
|||||||||||||
ренциальным уравнением 1-го порядка: |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
■kxx, |
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.29) |
||
где Х\ —величина на входе звена; лг2—на выходе. |
|
|
|
||||||||||
Уравнению |
(3.29) соответствует передаточная функция |
|
|||||||||||
где k —передаточный коэффициент |
|
|
|
|
(3-3°) |
||||||||
(для нормированной пере |
|||||||||||||
даточной функции 6=1); Т —постоянная времени. |
U\ |
на |
входе |
||||||||||
На рис. 3.9,а входной |
величиной |
является |
напряжение |
||||||||||
RC-фильтра, выходной —напряжение |
U2на его выходе. На рис |
3.9,б вход |
|||||||||||
нойвеличиной является давление газа в магистрали Pu выходной —давление |
|||||||||||||
газа в резервуаре Р2.На рис. 3.9,в входной величиной является температура |
|||||||||||||
жидкости Т|, выходной —температура х2тела, опущенного в жидкость. |
|||||||||||||
Переходная функция h(t) устойчивого апериодического звена |
|||||||||||||
для случая, когда х\ в |
(3.30) представляет собой единичное сту |
пенчатое воздействие Х\ (/)= 1(t), определяется выражением /*(*)=А:(1_е-*/1').
xrPi(t)
_____x2^(t)
а |
I |
Mi |
|
rj(t) |
|
t + |
f |
W |
|
I L __ J L * |
I Вен- |
|
||
I/лш» |
|
|||
|
Рис. 3.9. Примерыапериодических звеньев: |
закалки |
||
а—электрическийRC-фильтр; |
б—резервуар с сжатымгазом; в—процесс |
|||
|
|
|
детали в жидкости |
|
Эта функция изображена на рис. 3.10 в виде кривой /. Неустойчивое апериодическое звено имеет передаточную
функцию
*®-тг=г- которой соответствует переходная функция
h(t)==k(tt,T—1),
показанная на рис. ЗЛОв виде кривой 2.
*1
x(t)
|
« |
* |
|
|
|
|
Рис. 3.10. Временны характеристики |
апериодического |
звена: |
|
|
|
а —входное ступенчатое |
воздействие; б —переходные функции устой |
|
||
|
чивого эвена {!) инеустойчивого (2) |
|
|
||
Частотные характеристики апериодического |
звена |
могут |
|||
быть получены из выражения для передаточной функции |
(3.30) |
||||
путем формальной замены s аргументом /о: |
|
|
|||
^ |
- -ттгггг= ÿ ÿ èrf е~У |
г“' |
|
<3-31) |
Модуль этой функции представляет собой амплитудную частот ную характеристику (АЧХ) апериодического звена
Я(о) VТ3<аг+1
Аргумент функции (3.31) является фазовой частотной характе ристикой (ФЧХ) апериодического звена, т. е.
0(со) = —arctgîû).
Кривую (рис. 3.11), описываемую концом вектора W(jtù) на комплексной плоскости, или годограф вектора W{j(ù), при из-
Рис, 3.11. АФХапериодического звена
менении частоты от —оо до +оо называют амплитудно-фазовой частотной характеристикой (АФХ) звена. АФХ апериодического звена при положительных значениях частоты (ш>0) представ ляет собой полуокружность, диаметр которой равен передаточ
ному коэффициенту k. При частоте со, стремящейся к бесконеч ности, выходной сигнал отстает от входного на 90°.
Колебательное звено. Динамические свойства устойчивого колебательного звена описывают дифференциальным уравнени ем 2-го порядка:
Г«2-^ -+ 2 |к7-,,%-+*!=<!*1. |
(3.32) |
Дифференциальные уравнения неустойчивых колебательных звеньев имеют вид
26,7’.
(3.33
ТУ-^г+21,7-, *2=
где *i, *2 —величины на входе и выходе соответственно; Тк — постоянная времени; |к —коэффициент относительного демпфи рования (0<£к<1); k —передаточный коэффициент.
Согласно уравнению (3.32) колебательное звено имеет пере даточную функцию
W(s)= TK2s2+2|КГKs+1 |
(3.34) |
Передаточные функции неустойчивых колебательных |
звеньев |
|
из уравнений (3.33): |
(3.35) |
|
W4s) |
tk2s2—2§K7’K$+1 |
|
Примеры |
+râi=r- |
(3-36) |
колебательных звеньев приведены на рис. 3.12,а и б. |
A,-tto-
Рис. 3.12. Примерыколебательных звеньев:
а—RLC-колебателышй контур; б—механическая систе ма (т—масса, feу —коэффициент упругости пружины; с—коэффициент демпфирования)
Переходную функцию устойчивого колебательного звена оп ределяют в соответствии с уравнением (3.32):
h(f) |
|
|
|
(3.37) |
Переходная функция неустойчивого |
колебательного звена, |
например |
||
(3-36), |
|
|
|
|
I |
Т~* |
IV1—£к2 |
VI—1кг\ |
(3.38) |
М0=АЧ7?= |
е Гк |
s in ^ ^ ^ +arctg^^-). |
Ступенчатое воздействие на входах и соответствующие переходны функции (3.37) и (3.38) устойчивого и неустойчивого колебательных звеньев изображенына рис. 3.13. Следует отметить, что колебания возникают лишь
Рис. |
13. Временны характеристики колебательного звена: |
а —входное |
ступенчатое воздействие; б—переходны функции устойчивого |
|
эвена (/) инеустойчивого (2) |
в томслучае, если корни характеристического уравнения являются комплекс нымивеличинами, т. е. когда
|к2-1<0.
Для устойчивого колебательного звена 0<£к<1. При |к>1 колебатель ное звено может быть представлено в виде двух апериодических звеньев с постоянными времени ТхиТ2\ если £к=1, то апериодические звенья имеют одинаковуюпостояннуювремени,т.е. Т\=Т2.
Если коэффициент демпфирования £к=0, то передаточная функция звена имеет вид
*<»>- tJss +1 |
• |
|
(3'39> |
|
Система, имеющая передаточнуюфункциювида (3.39), называется |
консер |
|||
вативной; такая система не рассеивает энергиюив ней протекаю незату |
||||
хающие колебания. |
|
|
|
|
Когда коэффициент £к<0, то выходные колебания с течениемвремени |
||||
возрастаю. Такое звено является неустойчивымколебательнымзвеном. |
||||
Частотные характеристики устойчивого колебательного звена |
||||
имеют вид |
|
-/ arctgЪктк<* |
|
|
Ц7(угп)=— |
k |
(3.40) |
||
f |
Модуль функции (3.40) является АЧХ колебательного звена’*
у(1 ~ТУ©*)2+4и*ТК*а^* Аргумент функции (3.40) представляет собой ФЧХ:
*(«)-- arc‘g т§Й&г- |
|
|
|
|||||||
АФХзвена (рис. |
3.14) |
начинается |
jv(w) |
|
||||||
на |
действительной |
оси |
в |
точке k |
(jmm0 |
к |
||||
при |
<а=0. При |
частоте |
со-»-оо кри |
|||||||
вая |
подходит к началу |
координат, |
'N. |
b)-0?(J(co) |
||||||
касаясь |
действительной |
оси. |
Вы |
|
/ |
|||||
ходной гармонический |
сигнал |
при |
|
|
||||||
частоте, |
стремящейся |
к |
бесконеч |
|
|
|||||
ности, |
отстает |
от |
входного |
на |
|
|
||||
180°. |
|
|
звено. |
Диффе |
|
|
||||
|
Интегрирующее |
Рис. 3.14. АФХколебательного |
||||||||
ренциальное уравнение |
этого |
зве |
||||||||
на имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
звена |
||
|
-71-- кХ\. |
|
|
|
|
|
|
|
(3.41) |
Интегрирующему звену соответствует передаточная функция
W(s)=^, |
(3.42) |
где k —передаточный коэффициент (отношение скорости изме нения выходной величины к входной величине).
Из уравнения (3.41) следует, что значение скорости выходной переменной интегрирующего звена пропорционально значению входной величины.
На рис. 3.15,а изображена схема электродвигателя постоянного тока, у которого входнымсигналомявляется управляющее напряжение X\—Uv, а выходным—угол поворота якоря х2=0. При этом не учитываются электри-
жгш§т
Рис. 3.15. Примерыинтегрирующих звеньев: -электродвигатель постоянного тока; б—резервуар с входнымтру бопроводом
ческая и механическая инерционности электродвигателя. На рис. 3.15,6 пока зан резервуар, в который поступает поток, жидкости Xi=Q; выходной вели чиной является высота уровня x2=h.
Переходную функцию интегрирующего звена, согласно урав нению (3.41), определяют с помощью выражения
h(t)=kt
График этой функции приведен на рис. 3.16,6.
Рис.3. 16.Временны характеристики интегри- |
Рис. 3.17. АФХинтегри |
рующего звена: |
рующего звена |
а—входное ступенчатое воздействие; б—переходные |
|
функции: /—приAi—1,2—прий2“10 |
|
Частотные характеристики интегрирующего звена ’(3.42) при |
|
S=j(ùl |
|
Г(/с)=А.е |
(3.43) |
При изменении частоты ©от 0 до оо (рис. 3.17) конец вектора W(j(ù), согласно (3.43), движется по отрицательной части мни--
мой оси от —оо до 0. Интегрирующее звено создает отставание выходного гармонического сигнала от входного на 90° при всех частотах. Амплитуда выходного сигнала уменьшается с возра станием частоты.
ВСАР интегрирующее звено выполняет роль астатического |
|
элемента. Порядок астатизма системы зависит от числа инте |
|
грирующих звеньев в прямой цепи контура регулирования. |
|
Дифференцирующее (форсирующее) |
звено 1-го порядка |
описывается уравнением |
|
*г=ь[*Чг+х<} |
(3.44) |
а именно выходная переменная х2определяется не только теку щим значением, но и скоростью изменения входной переменной,
т. е. ее производной.
Уравнению (3.44) дифференцирующего звена соответствует передаточная функция
r(s)=£(TS+l). (3.45)
Здесь, в выражениях (3.44) и (3.45), k —передаточный коэффи циент звена; т—постоянная времени.
Переходную функцию дифференцирующего звена 1-го поряд ка определяют с помощью выражения
Л(<)=%«(()+[!]}. |
(3-46) |
где Ô(0 —дельта-функция. |
(3.46) показан на рис. 3.18,а. |
График переходной функции |
При скачкообразном изменении входного воздействия на выходе
Рис. 3.18. Динамические характеристики дифференцирующего звена 1-го порядка:
а—переходная функция; б—АФХ
дифференцирующего звена получается импульс бесконечно большой амплитуды, соответствующий бесконечно большой ско рости изменения входного воздействия в момент скачка. После этого выходная величина принимает постоянное установившее ся значение.
Частотные характеристики дифференцирующего звена 1-го порядка имеют следующий вид:
WU(ù) =k ]/т2о)2-f-1eyarctBTtû. |
(3.47) |
Модуль этой функции является амплитудно-частотной харак теристикой
Н{а)=кУШ+Т, |
(3.48) |
а ее аргумент представляет собой фазовую частотную характе ристику звена
0(ш) =arctgT<o. |
звена |
1-го |
порядка |
(3.49) |
||
АФЧХ дифференцирующего |
(рис. |
|||||
3.18,6) —прямая, параллельная |
мнимой |
оси |
и начинающаяся |
|||
на действительной оси в точке К при частоте ю=0. |
|
|||||
Идеальному дифференцирующему |
звену |
соответствует передаточная |
||||
функция W{s)=ks, которая может быть получена |
из |
уравнения (3.44), если |
||||
в его правой части принять jci=0. Пример |
такого |
звена —тахогенератор |
||||
постоянного тока (рис. 3.19,а), если рассматривать |
установившийся |
режим |
Xj—n(t) |
a |
F |
j |
|
|
Рис. 3.19. Примерыдифференцирующих |
звеньев |
|
|||
|
|
1-го порядка |
угол поворота 0 вала |
якоря |
|
его работы. Входной величиной ххявляется |
|||||
тахогенератора, а выходной Хг—напряжение |
UTT.Это |
напряжение |
пропор |
||
ционально угловой скорости Q=dQ/dt якоря тахогенератора. Поэтому, со |
|||||
гласно уравнениюUrT=kTrdQldt, передаточная функция тахогенератора |
|||||
r "<s>=w-=*”s- |
|
сигнала |
обладает электриче |
||
Свойством дифференцирования входного |
|||||
ский RC-фильтр (рис. 3.19,6), имеющий передаточнуюфункцию |
|
||||
ЕЛзых(s)__ 7s |
|
|
|
|
|
W(s)= б^вх (s) |
7s+ I ’ |
|
|
|
числитель которой характеризует дифференцирование входного напряжения, а знаменатель —электрическуюинерционность фильтра.
Как следует из формулы (3.47), дифференцирующее звено создает опережение выходной величины по фазе. При частоте сэ-*-оо сдвиг по фазе приближается к 90°. Наличие дифферен цирующего звена 1-го порядка в основном контуре системы ре* гулирования означает введение производной в закон регулиро вания и применяется для улучшения динамических свойств си стемы.