книги / Течения газа около тупых тел. Метод расчета и анализ течений А. Н. Любимов, В. В. Русанов

правильное V можно выбрать из соображений непрерывности функции г? (г) при

г={=0.

Втабл. 10.2 приведен пример расчета значений функций на поверхности кругово­ го параболоида (а1 = а2 = 2.25) при М*, = 6, а = 15°, а в табл. 10.3 — на по­

верхности	эллиптического параболоида (ах = 3 , а2 = 5) при Моо = 4, а =		15°.
Функции	вычислены в	трех точках для каждого из следующих значений 0: 0, у4я,
У2я, 3/4я,	я.	приведены значения/?, ш, снятые с графиков при заданных г
В табл. 10.2 и 10.3
и 0, значения и, г;, р, вычисленные по формулам (10.2), и значения/?, р, и, V,			по­

лученные при численном решении задачи. Эти примеры и табл. 10.1 помогают вы­ брать правильные знаки компонент при определении их по графикам и формулам (10.2). Кроме того, табл. 10.2 и 10.3 дают представление о точности графиков и свя­ занной с него точностью расчетов по формулам (10.2).

§11. Значение энтропии на поверхности параболоидов

Вбольшинстве работ, посвященных исследованию пространственных течений газа около тупых тел, значительное внимание уделено определению величины энтропии в критической точке. Вопрос обычно ставят так: «Максимальна ли энтропия на по­ верхности тупого тела при сверхзвуковой скорости его движения?»

Ответ на этот вопрос прежде всего необходим для выяснения структуры прост­ ранственного течения. Кроме того, утвердительный ответ дает основания считать пра­ вильными результаты расчета течений около тупых тел в тех работах, в которых при постановке задачи сделано предположение о максимальном значении энтропии на по­ верхности тел (см., например, [71, 72]).

Пока нельзя считать успешными попытки аналитическим путем оценить величи­ ну энтропии на поверхности тупых тел в пространственных течениях. Отметим здесь две работы. В [180] оценка величины энтропии сведена, при некоторых допущениях, к задаче об исследовании аналитического характера уравнений газовой динамики. В [128] сделан вывод о том, что критическая линия тока не проходит через нормальный к вектору скорости невозмущенного потока участок ударной волны и поверхность то­ ка с максимальной энтропией не смачивает тело. В [128] показано, что в плоскости симметрии течения линия тока с максимальной энтропией смещена от критической линии тока в направлении уменьшения кривизны тела. Выводы этой работы сделаны на основе приближенного анализа.

Во многих работах, посвященных численному исследованию пространственных течений газа около тупых тел, значительное внимание уделено определению величины энтропии на их поверхности. Однако в большинстве работ не указана точность полу­ ченного численного решения, на основании которого сделаны выводы о величине энт­ ропии. Поэтому до настоящего времени нет достаточно обоснованного ответа на воп­ рос, максимальна ли энтропия на поверхности тупого тела. Заметим к тому же, что полученные в разных работах ответы не совпадают. В [81, 82, 88] отмечено, что кри­ тическая линия тока проходит выше линии тока с максимальным значением энтро­ пии, а в [89] сделан противоположный вывод.

В работах [83, 84, 90] величина энтропии на поверхности тупых тел, и в част­ ности в критической точке, не приведена.

Из-за сложностей проведения измерений в поле пространственного течения экспе­ риментальным путем весьма трудно с удовлетворительной точностью определить вели­ чину энтропии на тупом теле. Для этого нужно найти взаимное расположение крити­ ческой линии тока и линии тока с максимальным значением энтропии, т.е. провести измерения не только поля давления, но и поля скоростей и поля плотности (или поля полного давления). Внесение же в дозвуковой поток любых насадков может привести к искажению экспериментальных результатов в данном случае на большую величи­ ну, чем измеряемая. Далее, всегда следует иметь в виду, что эксперимент проводится в'вязком газе/поэтому использовать его результаты для объяснения течений идеаль­

ного газа необходимо] с большой осторожностью и особенно в тех областях тече­ ния, где вязкость сказывается наиболее существенно.

В работе [181] экспериментальным путем определена критическая точка на по­ верхности тела при а Ф 0 и одновременно за ударной волной, образованной точно таким же телом, насадком измерено полное давление на оси симметрии течения при а = 0. В работе [181] названы десять различных источников погрешности измерения величины давления. В частности, отмечено, что имевшаяся в рабочей части аэродина­ мической трубы неравномерность поля скоростей по числу М до 0.4% могла привести к ошибкам в измерении полного давления до 1%. Максимальное давление на поверх­ ности тела в работе [181] измерено в нескольких точках и оказалось на 0.3 % меньше полного давления, измеренного одновременно насадком в другом месте рабочей части трубы. На основании этого сделан вывод о том, что энтропия в критической точке не максимальна, а линия тока с максимальной энтропией проходит выше критической линии тока.

Оптические методы исследования течений газа позволяют определить поле плот­ ности, но они также не обеспечивают необходимой в данном случае точности измере­ ний. Кроме того, знание поля плотности недостаточно для определения величины энт­ ропии.

При численном решении задачи конечно-разностным методом поле течения около параболоидов в узлах сетки было определено с точностью не менее 0.3% при М<» = 4, 0.5% при Моо = 6 и 0.8% при М» = 10. Ошибки в полученном численном решении максимальны в узлах конечно-разностной сетки, расположенных около поверхнос­ ти параболоидов на наибольшем удалении от его вершины. Чем ближе узлы сетки рас­ положены к оси 2 и к ударной волне, тем ошибки меньше. Указанная выше оценка погрешности численного решения найдена с помощью интегральных проверок и вы­ числения значений интеграла Бернулли в узлах сетки, а также сравнением расчетов с различными шагами сетки.

Результаты проведенного численного исследования дают основание считать, что для параболоидов энтропия на поверхности отличается от максимально возможной не более чем на 0.8% при всех числах Моо, причем отличия при меньших числах М» меньшие. В остальных точках плоскости симметрии течения, не лежащих на поверх­ ности тела, энтропия имеет меньшую величину, чем на поверхности тел.

Координаты критической линии тока и линии тока с максимальным значением энтропии совпадают с точностью не менее 0.2%.

Энтропия в критической точке отличается от максимально возможного значения энтропии, равного энтропии за ударной волной, нормальной к вектору скорости невоз­ мущенного потока, не более чем на 0.1%.

Таким образом, энтропия на поверхности параболоидов с указанной выше точ­ ностью постоянна и равна значению энтропии за прямой ударной волной. Ниже при­ водятся подтверждающие этот вывод результаты анализа 15 случаев обтекания, отли­ чающиеся Рдруг от друга формой тела, числом М» и углом атаки а (см. также [160]).

Рассмотрим характер изменения компонент вектора скорости, давления и плот­ ности вдоль поверхности параболоидов в плоскости симметрии течения. На фиг. 10.19 приведены типичные для параболоидов графики функций и (г), V (г), а на фиг. 10.5

и	10.11 — графики функций р (г), р (г) для				эллиптического параболоида, Ь/а =
=	1.2910, Моо =	4, а =	0° и а =	15°.	в плоскости симметрии и характе­
	Критическая	точка	течения	расположена

ризуется обращением в нуль вектора скорости и максимумами давления и плотности.

Из графиков видно, что действительно и и		V обращаются	в нуль, а р и р имеют мак­
симумы примерно в одной и той же точке		плоскости 0 =	0 -г- я на поверхности па­
раболоида. При а =	0 она совпадает с началом координат, а при а у 0 смещается
в полуплоскость 0 =	0.

Для точного определения положения критической точки были построены интер­ поляционные многочлены по двум, трем и четырем узлам для всех четырех функций

Координаты г, г точек, в которых и = а = 0,*р — Ртах» р —ртах

Вариант	Функция	по 2 узлам	по 3 узлам	по 4 узлам

Круговой	параболоид
3	II	II «	о
			Ю

Круговой параболоид Мсо = 6, а = 15°

Эллпптпческпй параболоид Ъ /а = 1.29100

Мет = 4 , а = 15°

Эллпптпческпй параболоид

Ъ/а = 1.29100

Мсо = 6, а = 15°

Эллиптический параболоид

Ь/д =	0.77460
=	4, а = 1 5 °

Ртах			0.0219	0.1394	0.0216	0.1385
Ртах	—	—	0.0219	0.1396	0.0216	0.1385
и	0.0208	0.1359	0.0214	0.1378	0.0287	0.1597
V	0.0224	0.1410	0.0221	0.1400	0.0220	0.1400
Ртах	—	—	0.0209	0.1363	0.0207	0.1356
Ртах	—	—	0.0210	0.1367	0.0207	0.1358
и	0.0199	0.1331	0.0206	0.1350	0.0270	0.1548
V	0.0215	0.1382	0.0211	0.1373	0.0212	0.1373
Ртах	_	—	0.0164	0.1046	0.0161	0.1035
Ртах	—	—	0.0165	0.1048	0.0160	0.1034
и	0.0157	0.1024	0.0160	0.1033	0.0180	0.1096
V	0.0166	0.1053	0.0163	0.1044	0.0164	0.1046
Ртах	—	—	0.0159	0.1029	0.0155	0.1016
Ртах	—	—	0.0160	0.1031	0.0155	0.1016
и	0.0153	0.1009	0.0155	0.1017	0.0171	0.1068
V	0.0160	0.1034	0.0158	0.1026	0.0158	0.1028
Ртах	—	—	0.0109	0.0659	0.0103	0.0639
Ртах	—	—	0.0109	0.0660	0.0103	0.0641
и	0.0096	0.0620	0.100	0.0633	0.0105	0.0657
V	0.0110	0.0665	0.107	0.0656	0.0108	0.0640

и, V, р, р и найдены их нули и максимумы соответственно. Вычисленные таким об­ разом координаты точек, в которых и и V равны нулю, а р и р максимальны, при­ ведены в табл. 11.1. В каждом случае обтекания координаты точек максимумов дав­ ления и максимумов плотности, как правило, совпадают с точностью до единицы чет­ вертого десятичного знака (при интерполяционных многочленах, построенных по четырем узлам). В некоторых случаях различия в значениях координат достигают единиц четвертого знака. Координаты точек, в которых и == г? = 0, совпадают меж­ ду собой и с координатами максимумов р и р с меньшей точностью, что можно объяс­ нить более сложным характером изменения и (г), V (г) вблизи критической точки.

По результатам расчетов, представленным в табл. 11.1, и по аналогичным резуль­ татам можно найти координаты критической точки с точностью, не меньшей 0.2% (по максимумам р и р). В табл. 11.2 приведены координаты критических точек для различных вариантов. По результатам табл. 11.2 можно также установить и за­ висимость смещения критической точки от значений параметров Мто, а и формы тела.

В табл. 11.3 приведены максимумы давления и плотности, вычисленные с помощью интерполяционных многочленов, а также соответствующие значения энтропии

&== .Ртах/Ртах'

Втабл. 11.4 приведены точные значения давления и плотности в полностью

заторможенном потоке за прямой ударной волной р 0, р0 и значения энтропии за пря­ мой ударной волной 5гаах.

		Круговой параболоид			Эллиптический параболоид Эллиптический параболоид
Мсо						Ъ/а = 1.29100			Ъ/а = 0.77460
		2		г	2		г		2		г
4	5	0.002		0.047	0.002		0.035		_	_
4	10	0.009		0.091	0.007		0.069
4	15	0.022		0.139	0.016		0.104	0.010		0.064
6	15	0.021		0.136	0.016		0.102	0.010		0.063
10	15	0.020		0.134	0.015		0.1С1	0.009		0.062
									Т а б л и ц а		11.3
	Вариант				Ртах		Ртах		Ь '-Р т а х ^ т а *
	Тело		Мсо	а0	3 точки	4 точки	3 точки	4 точки	3 ТОЧКИ	4 точки
Круговой параболоид			4	5	21.06	21.07	5.016	5.016	2.203	2.204
			4	10	21.06	21.07	5.015	5.016	2.203	2.204
			4	15	21.06	21.07	5.016	5.017	2.203	2.203
Эллиптический		параболоид	4	5	21.06	21.07	5.015	5.017	2.203	.2.203
(1/а =	1.2910		4	10	21.08	21.07	5.018	5.016	2.204	2.204
			4	15	21.08	21.07	5-018	5.017	2.204	2.203
Эллиптический		параболоид	4	15	21.06	21.08	5.015	5.017	2.203	2.204
а/Ь =0.7746
Круговой параболоид			6	15	46.80	46.81	5.709	5.710	4.084	4.084
Эллиптический		параболоид	6	15	46.83	46.82	5.711	5.710	4.084	4.084
Ь /а = 1.2910
Эллиптический		параболоид	6	15	46.80	46.83	5.707	5.710	4.086	4.085
Ь /а =	0,7746
Круговой параболоид			10	15	129.3	129.2	6.155	6.154	10.15	10.15
Эллиптический		параболоид	10	15	129.3	129.2	6.155	6.154	10.15	10.15
Ь /а =	1.2910
Эллиптический		параболоид	10	15	129.2	129,3	*6.150	6.154	10.16	10.16
Ь /а =	0.7746
Из сравнения результатов табл. 11.3 и 11.4 видно, что значения р т вх и рщах											сов­

падают с точностью не менее 0.1 % со значениями р 0 и р0, а значения 5 с такой же точ­ ностью совпадают с максимально возможными значениями энтропии 1$тах. Таким об­ разом, в критической точке энтропия максимальна с точностью до 0.1 %.

Т а б л и ц а 11.4

	Критические параметры		Энтропия 8а
И »			прямой
			ударной
	Ро	ро	волной 8тах
4	21.068	5.0162	2.2034
6	46.815	5.7092	4.0849
10	129.22	6.1532	10.153

Непосредственное вычисление значений энтропии на поверхности параболоидов в узлах сетки показывает, что энтропия на поверхности постоянна и равна значениям ^тах с точностью не менее 0.2% при Мте = 4, 0.4% при Мю = 6 и 0.8% при Мм = = 10. При 0 ^ г ^ 0.2 энтропия с точностью не менее 0.1 % равна значениям, приве­ денным в табл. 11.4. При больших значениях г отклонение энтропии от максимально возможной увеличивается. Например, на поверхности кругового параболоида при г 0.7, Мое = 10, а = 15° оно достигает 0.8%. Увеличение отклонения энтропии от 1$тах при увеличении значений г и М<х> не отражает каких-либо закономерностей ее поведения, а происходит из-за недостаточного количества узлов конечно-разност­ ной сетки, на которой получено численное решение.

В плоскости 0 = 0 н- ох с помощью интерполяционных многочленов четвертой степени были найдены координаты линий равных значений энтропии, а также коор­ динаты линии тока, приходящей в критическую точку. Последние были определены

путем численного] интегрирования				дифференциальных уравнений для линий тока
		дX _ 1 / дг д г				дг д г \
		ду		~СГ		дг\йф / ’
		дг\ _	1	Г дг	дг	дг дг	\	(11.1)
		д ^ “	1Г Ы		~5ф	Лу) »
		_	дг	дг __ дг		дг
		* -				’
Здесь ф — длина дуги,		а производные,			входящие		в правые	части, определяются
функциями, известными		из численного			решения:
^ = р ( в * +		^	=	и (и*+„*)-•/’,			дг_	— С ) 31П 0),
		дг	_		, у		дг
	= — (Р — С) С05 0),		— Г01\		г ъг1-г,$
г0-п =	0-п51П СО+ О СОЗСО. СО*,,				=	(Р^ — &*,) 51П СО+ (Р — О) С05 (0 • СО*,,
*0П =	и — Оц СО$ СО+	С 51П СОСО*,,		21п =		— (/?*, —	О*,) С05 СО+	(Р — О) 51П СОСО*,.

Интегрирование уравнений (11.1) было проведено методом Рунге — Кутта, на­ чиная от критической точки.

Линия постоянного максимального значения энтропии совпадает с точностью не менее 0.2% с критической линией тока.

На фиг. 11.1 приведены эти линии для кругового параболоида при углах атаки а = 10° и а = 15°, а на фиг. 11.2 — для эллиптического параболоида (аг = 3, = = 5) при углах атаки а = 5, 10,15°. В обоих случаях М» = 4. На фиг. 11.2 ударная волна для а = 5° не нанесена.

§12. Решение задачи в осесимметричном и плоском случаях

1.Основные уравнения. Расчет плоского и л и осесимметричного течения около затуп­ ленного тела вращения представляет собой частный случай задачи, рассмотренной в первой главе. Алгоритм, описанный в § 5, может быть применен без всяких изменений

красчету осесимметричного течения. Для этого достаточно задать исходные параметры и начальные данные не зависящими от 0 и положить в разностной схеме а3 = 0. Ясно, однако, что такой подход к расчету осесимметричного обтекания тупого тела не экономен и симметрию течения следует использовать при построении численного алгоритма. Мы не будем повторять здесь все изложенное в первой главе применитель­ но к осесимметричному случаю, а лишь укажем на те изменения в основных формулах, которые при этом возникают.

Так как в осесимметричном течении IV= 0 и все функции не зависят от <р = 0,

то уравнения (3.1) принимают вид
где	-§г	+ 914 г +		5В^	+	г = 0>		(12.1)
						■о
		и					■
		V				0
		Р ,		Г =	вг~Е- рС 17
		Р				. РУ
и	0	Р 1	0'		V	0	0	0
0	и	0	0	95 =	0	V	р"1	0
рс2	0	и	0		0	рС2	V	0
Р	0	0	и		0	Р	0	V

Общий вид граничных условий (3.2) и (3.3) не изменяется, необходимо лишь учесть равенство нулю компонент векторов по направлению ср.

Расчетная система координат (^, т|, I) вводится теми же формулами (3.14), в ко­

торых опять следует учесть отсутствие зависимости всех функций от <р =		0. В резуль­
тате формулы (3.21) для производных ^2, ^г, ^т, т]2, т]г, т]т не изменяются, а		= 0.
В граничных условиях	(3.17) и (3.18) следует также положить | ф = ш = 0 и отбро­
сить второе из условий	(3.17).	0, так как в
Наиболее существенно изменяются уравнения вблизи оси г = т] =

силу симметрии течения особенность на оси исчезает и в уравнениях (12.1) при г = 0 имеется лишь неопределенность ъ\г вида 0/0. В самом деле, из третьего уравнения (12.1), имеющего вид

^ + 9 с ' ( ^ + г - ^ ) - 0 ,	(12.2)
получаем, что V^ == О (г2) и г > = О (г), откуда Н т ь/г =	(ду/дг)г=0. Следовательно,
г-*0

особенность в уравнениях (12.1) отсутствует, если решение удовлетворяет на оси ус­ ловиям симметрии

др	__ ди	I	__ др	I	(12.3)
V = 0 ( Г ) ,	дг	I г=о	дг	I г=*о
дг г=»о

которые следует использовать при построении разностной схемы как дополнительные граничные условия.

Для плоского течения уравнения еще более упрощаются. В этом случав исход­ ной является не цилиндрическая, а декартова система координат (г, ж, у) и все функ­ ции не зависят от координаты у, а компонента скорости в этом направлении равна нулю. Из (3.1) и (3.4) следует, что формально уравнения плоского течения совпадают

с уравнениями (12.1), если в них положить х = г и Г = 0. Последнее равенство и уп­ рощает задачу, так как в уравнениях исчезает даже формальная особенность при г = 0.

Если плоское течение симметрично относительно оси 2, то условия (12.3) остаются

в	силе.	В противном случае возникают две границы П1 и П2 с уравнениями г\ = Н1
и	т| =	# 2, а линия г = 0 ничем не отличается от любой другой вида г = сопз!. За­

метим, впрочем, что так как в плоском течении г можно отсчитывать от любой точки,

то линии г =	0 может вообще не быть в области течения.
2. Численный алгоритм. Разностная схема для расчета осесимметричного и плос­
кого течений получается из		разностной схемы (5.3) отбрасыванием членов, содержа­
щих разностные операторы по 0. Вектор X и матрицы А, В , Г определяются формула­
ми (3.15) и	(12.1) с учетом	= г]ф = 0. Аналогично и: меняется схема для гранич­
ных лучей,	к которым принадлежит теперь и центральный луч. Разностная схема

для него записывается с учетом условий симметри. (12.3), а величина у/г, входящая в Г, в осесимметричном случае вычисляется при г\ = /гх, что соответствует замене ь/г производной ду/дг. Соответствующим образом изменяются и формулы прогонки (§ 5, п. 6), в которых следует положить Ъ3 = я3 = р 3 = 0 и уменьшить порядок матриц

а, 6, а, Ьна единицу.

Условия устойчивости разностной схемы (6.62) и прогонки (7.40) не изменяются, так же как и условие (3.32), обеспечивающее пространственный тип поверхности

Л= я .

3.О расчете течений с реакциями. Ряд расчетов, приведенных в этой главе, вы­ полнен с учетом равновесных физико-химических реакций в воздухе. Для вычисле­ ния скорости звука с и энтальпии к в этом случае необходимо решать систему уравне­ ний термодинамического равновесия. Обычно при этом в качестве независимых пара­ метров принимаются давление и температура [182]. Для наших целей более удобно считать давление и плотность заданными, а температуру Т — их функцией. Соответ­ ствующий метод расчета, дающий также и значения относительных молярных кон­

центраций компонент воздуха, описан в [15]. Некоторые результаты этой главы были получены путем непосредственного расчета этим методом функций с2 (р, р) и к (р, р), входящих в уравнения и граничные условия. Одновременно вычислялась температура Т (р, р). Специальный бл ж алгоритма обработки осуществлял расчет концентраций компонент смеси по известным значениям р, Т.

Расчет функций с2, к и Т с помощью решения системы уравнений термодинамиче­ ского равновесия довольно трудоемок и приводит к увеличению времени расчета задачи в 2—3 раза. Чтобы избавиться от этого, была проведена аппроксимация ука­ занных функций многочленами Чебышева. При этом оказалось целесообразным ап­ проксимировать не сами функции, которые сильно меняются и для совершенного газа,

а некоторые другие величины, значительно слабее зависящие от р и р.	А именно в
качестве функций, определяющих с2, к и Г, были приняты следующие: я ур,		р) =
= с2р/р, со(р, р) = кр/(кр — р), р (р, р) = ЯТр/р. Функции к и со	можно	наз­

вать эффективными показателями адиабаты, р — молекулярный вес я Я — универ­ сальная газовая постоянная. В качестве независимых переменных были взяты х = = сг (р/р), у = с2 + 1& р, где съ с2 — константы, подбираемые из соображений удоб­ ства.

Расчет к, со, р был сначала произведен точно (путем решения системы уравнений для с2, к я Т ) для значенийр^ = ехр (у;- — с2), рц = сгр^х^ где х 1и у — координаты узлов некоторой заданной (неравномерной) сетки в плоскости (я, у). Затем методом наименьших квадратов были найдены коэффициенты разложения аппроксимируе­ мых функций по многочленам Чебышева пятой степени. В результате были построены формулы вида:

5 б

(12.4)

где Р*(г) — многочлены Чебышева, — постоянные коэффициенты, х*, у*, а, Ь— константы преобразования промежутков по х и у в промежуток Г—1, 1]. Для большей точности вся область изменения величин (р, р) была разбита на ряд пере­ крывающихся прямоугольников. Применение аппроксимирующих формул позволи­ ло, не снижая точности расчетов, снизить увеличение времени расчета течений с реакциями до 10—20% по сравнению с расчетом течений совершенного газа.

4. Обработка результатов. Все алгоритмы обработки, описанные в § 9, применимы без каких-либо изменений к результатам расчета осесимметричного и плоского тече­ ний. Таким образом строились изолинии ряда функций и поля характеристик в сверх­ звуковой области. В качестве примера рассмотрим построение поля характеристик, примыкающих к звуковой линии. Для этого сначала определяются координаты зву­ ковой линии, как изолинии числа Маха со значением единица. Затем из каждой точки пересечения звуковой линии с линией | = выпускаются две характеристики раз­ ных семейств, координаты которых вычисляются посредством интегрирования их дифференциальных уравнений (см. также § 19):

= (ц	V М2 —Т — ЪУ) цг +	{V 1^ма — 1 + ги) ту	^
(и	— ег>)52 +	(у	' * '
где М2 = (и2 + гЯ)/с2 — квадрат числа Маха, а величина е равна +			1 для характе­

ристики первого семейства и —1для характеристики второго семейства. Интегриро­ вание производится методом Эйлера с пересчетом, имеющим второй порядок аппрок­ симации. Значения правой части вычисляются с помощью блока интерполяции по четырем точкам.

Заметим, что (12.5) при е = 0 являются дифференциальными уравнениями линий тока. Последние должны совпадать с линиями уровня энтропийной функции. Это об­ стоятельство использовалось, в частности, как один из способов контроля точности расчета.

Для обработки течений с реакциями в алгоритм включен блок расчета концент­ раций компонент смеси. Независимо от того, проводилось ли вычисление Т в основном расчете с помощью точного решения уравнений термодинамического равновесия или по аппроксимационным формулам, вычисление концентраций компонент проводится по заданным р и Т путем решения полных уравнений термодинамического равновесия.

§ 13. Замечания об исследованиях осесимметричных течений

За последние двадцать лет выполнено большое количество исследований, посвященных изучению смешанных осесимметричных течений около гладких тупых тел. Перечень основных работ этого направления содержится в пункте 1 § 2. Во многих работах получены ценные результаты, которые позволили составить представление и получить конкретные данные о течениях газа около тупых носков и кромок различной формы.

Методы исследования осесимметричных смешанных течений около тупых тел можно условно разделить на три группы: экспериментальные, аналитические и чис­ ленные. В этом параграфе на отдельных примерах приводится сравнение результатов, полученных некоторыми из этих методов.

1. Первые исследования осесимметричных течений около тупых тел были про­ ведены экспериментальными методами. При этом наибольшее развитие и распро­ странение получили экспериментальные методы измерения давления по поверхности тел и определения формы ударной волны. Измерение давления, как правило, осу­ ществлялось и осуществляется на дренированных моделях с помощью манометров. Определение формы ударной волны производится фотографированием теневой кар­ тины течения, методом Теплера и т. д. При тщательной постановке эксперимента и аккуратной обработке его данных распределение давления вдоль поверхности глад­ ких тупых тел и форма ударной волны могут быть получены достаточно точно. В луч-

*Р/^Ртпа*

тих экспериментальных работах определение дав­

ления и формы ударных

волн проведено с

точ­

ностью до 1—3%.

Хорошо известны

эксперимен­

тальные

работы

по

определению распределения

давления по поверхности

сфер и

эллипсоидов

и

формы ударных волн Оливера [183], Кендалла

(см. в работе [81]), Г. М. Рябинкова (см.

в работе

[52]), Ксерпкоса и Андерсона [184] и других.

На фиг. 13.1 приведено экспериментальное

распределение давления

по

поверхности

сферы,

полученное в [183].

Кружками обозначены

дан­

ные эксперимента для М<» =

5.8,

сплошной

ли­

Фиг.

13.1

нией — результаты

наших

расчетов

для того же

числа Мес. По оси абсцисс отложена длина дуги,

измеренная радиусом сферы, а по оси ординат —

коэффициент давления, отнесенный к максимальному значению

коэффициента

давления. Из сравнения экспериментальных и численных

значений

следует,

что

они совпадают достаточно хорошо. Однако следует отметить,

что

эксперименталь­

ные точки все же имеют разброс, который не превышает здесь 2—3%.

Систематические экспериментальные данные о распределении

давления по по­

верхности сфер, цилиндров и эллипсоидов (Ь/а = 0.5 п Ъ/а =

1.5) при 2

М» ^

8

содержит работа

[52].

Там же приведено

сравнение

этих данных

с результатами

расчетов методом интегральных соотношений. Совпадение везде хорошее. Сравнение этих экспериментальных значений с результатами наших расчетов показывает, что для цилиндров наибольшее отклонение расчетного значения давления от экспери­ ментального составляет 9% при М«> = 2, со = 80° и 1096 при Мот = 4, со = 80°. На поверхности сферы замеченное отклонение расчетных данных от эксперименталь­ ных меньше и при Мто = 4, со = 60° оно составляет 4%. Возможно, различные отклонения экспериментальных данных для цилиндра и сферы от расчетных объяс­ няются влиянием масштабного эффекта при проведении эксперимента. В [52] экспе­ риментальные значения давления представлены в виде таблиц функции р (со). Во II части настоящей работы также даны таблицы р (со). Поэтому можно легко провести

идругие сравнения экспериментальных данных с результатами расчетов.

Внекоторых экспериментальных работах сделаны попытки получить точные данные о потоке для выяснения точности численных результатов (см., например, 122]).

Определение всего поля течения около тупых тел экспериментальным путем представляет значительно большие и, главное, принципиальные трудности даже для случаев обтекания простейших тел. Например, как видно из работ [184,185], форму звуковой линии измерить экспериментальным путем очень трудно. Приведем еще один пример.

На фиг. 13.3 изображена форма ударной волны, звуковая линия и предельные характеристики около кругового цилиндра при М«> = 2. Пунктирной линией нане­

сены численные результаты, полученные в [45], а сплошными — результаты на­ ших расчетов. Кружками обозначены экспериментальные точки, определяющие форму ударной волны. Зачерненный кружок показывает положение звуковой точки на ударной волне, которое получено экспериментально. Все экспериментальные зна­ чения взяты из [45]. Как видно из фиг. 13.3, в данном случае по экспериментальным точкам трудно определить точность результатов, полученных численными методами.

Наиболее типичный пример принципиальных затруднений, возникающих при попытках определить экспериментальным путем все поле течения, дает работа [184].

ИРабота [184] выполнена специально для получения экспериментальных данных

сцелью проверки точности численных результатов. Эксперимент технически подго­ товлен очень тщательно (модель была взята большого размера, В = 378.5 лш,

Фиг. 13.3

приемники давления надежно и точнофиксировались на различном удаленииот поверх­ ности сферы, они перемещались с помощью эксцентриков, профили которых зависели от Мое и угловой координаты, и т. д.). Однако при планировании эксперимента ис­ пользована информация о поле течения, полученная численным методом с недоста­ точной степенью приближения (метод интегральных соотношений, первое прибли­ жение). Отметим, что без использования теоретических данных нельзя было вообще провести этот эксперимент, потому что для нахождения поля течения трубки изме­ рения полного давления нужно установить в потоке под вполне определенным углом (ось трубки должна совпадать с направлением вектора скорости в той точке потока, где измеряется полное давление). Этот угол был найден методом интегральных со­ отношений, но точность его определения авторами эк­ сперимента не приводится. Поэтому остается неизвест­ ной и точность полученных экспериментальных данных.

На фиг. 13.2 приведено сравнение полученных в [184] экспериментальных (кружки) и численных (сплошные линии) данных с результатами наших рас­ четов (крестики). Обозначения на фиг. 13.2 в основном сохранены в том виде, в котором они даны в [184], а их смысл ясен из фиг. 13.2, б. Эксперимент и расчеты про­ ведены для сферы, Моо = 3.975. Иэ фиг. 13.2, а видно, что формы ударных волн, определенные эксперимен­ тальным и численным путем, в значительной части совпадают удовлетворительно, хотя при малых со и наблюдаются заметные расхождения. Статическое дав­ ление (отнесено к давлению торможения в невозмущен­ ном потоке), определенное экспериментально, и в на­ ших расчетах совпадает хорошо при всех со (фиг. 13.2, в). Значения местных чисел Маха для всех углов со не совпадают (фиг. 13.2, г). Чтобы выяснить, имеются ли

Ж